第三章 控制系統(tǒng)的時域分析

第三章控制系統(tǒng)的時域分析第1頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月第三章

控制系統(tǒng)的時域分析法

第一節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應及性能指標第二節(jié)增加零極點對二階系統(tǒng)響應的影響第三節(jié)反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差第四節(jié)勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)

第2頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

第一節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應及性能指標瞬態(tài)響應，是指系統(tǒng)的輸出從輸入信號r(t)作用時刻起，到穩(wěn)定狀態(tài)為止，隨時間變化的過程。分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，可以考查系統(tǒng)的穩(wěn)定性和過渡過程的性能。分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，有以下方法：1.直接求解法

2.間接評價法

3.計算機仿真法

本小節(jié)首先討論典型輸入信號、性能指標等內(nèi)容，然后討論一階、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應，最后討論如何處理高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應問題。第3頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月一、典型輸入信號（一）階躍信號

階躍信號的表達式為：(3.1)當A=1時，則稱為單位階躍信號，常用1(t)表示，如圖3-1所示。

圖3-1階躍信號

圖3-2斜坡信號

第4頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）斜坡信號

斜坡信號在t

=0時為零，并隨時間線性增加，所以也叫等速度信號。它等于階躍信號對時間的積分，而它對時間的導數(shù)就是階躍信號。斜坡信號的表達式為：(3.2)

第5頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）拋物線信號

拋物線信號也叫等加速度信號，它可以通過對斜坡信號的積分而得。拋物線信號的表達式為：（3.3）當A=1時，則稱為單位拋物線信號，如圖3-3所示第6頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（四）脈沖信號單位脈沖信號的表達式為：

(3.4)

其圖形如圖3-4所示。是一寬度為e，高度為1／e的矩形脈沖，當e趨于零時就得理想的單位脈沖信號(亦稱d(t)

函數(shù))。

(3.5)第7頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（五）正弦信號正弦信號的表達式為:（3.6）

其中A為幅值，w=2p/T為角頻率。

圖3-5正弦信號

第8頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月二、系統(tǒng)的性能指標系統(tǒng)的瞬態(tài)性能通常以系統(tǒng)在初始條件為零的情況下，對單位階躍輸入信號的響應特性來衡量，如圖3-6所示。這時瞬態(tài)響應的性能指標有：

1。最大超調(diào)量sp——響應曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大值，常以百分比表示，即

最大百分比超調(diào)量sp＝最大超調(diào)量說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

2。延滯時間td——響應曲線到達穩(wěn)態(tài)值50%所需的時間，稱為延滯時間。第9頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3.上升時間tr——它有幾種定義：(1)響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%到90%所需時間；(2)響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的5%到95%所需時間；(3)響應曲線從零開始至第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間。一般對有振蕩的系統(tǒng)常用“(3)”，對無振蕩的系統(tǒng)常用“(1)”。4.峰值時間tp——響應曲線到達第一個峰值所需的時間，定義為峰值時間。

5.調(diào)整時間ts——響應曲線從零開始到進入穩(wěn)態(tài)值的95%~105%（或98%~102%）誤差帶時所需要的時間，定義為調(diào)整時間。第10頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3-6單位階躍響應第11頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

對于恒值控制系統(tǒng)，它的主要任務是維持恒值輸出，擾動輸入為主要輸入，所以常以系統(tǒng)對單位擾動輸入信號時的響應特性來衡量瞬態(tài)性能。這時參考輸入不變、輸出的希望值不變，響應曲線圍繞原來工作狀態(tài)上下波動，如圖3-7所示。

第12頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月可用一階微分方程描述其動態(tài)過程的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)?？紤]如圖3-8所示的一階系統(tǒng)，它代表一個電機的速度控制系統(tǒng)，其中t是電機的時間常數(shù)。該一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(3.7)

三、瞬態(tài)響應分析

（一）一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應圖3-8一階控制系統(tǒng)

第13頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月當系統(tǒng)輸入為單位階躍信號時，即r(t)=1(t)或R(s)=1/s，輸出響應的拉氏變換為(3.8)

取C(s)的拉氏反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應為(3.9)

系統(tǒng)響應如圖3-9所示。從圖中看出，響應的穩(wěn)態(tài)值為(3.10)第14頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3-9一階系統(tǒng)的單位階躍響應第15頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月若增加放大器增益K，可使穩(wěn)態(tài)值近似為1。實際上，由于放大器的內(nèi)部噪聲隨增益的增加而增大，K不可能為無窮大。而且，線性模型也僅在工作點附近的一定范圍內(nèi)成立。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

(3.11)不可能為零。系統(tǒng)的時間常數(shù)為(3.12)它可定義為系統(tǒng)響應達到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需要的時間。第16頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月由式(3.9)，很容易找到系統(tǒng)輸出值與時間常數(shù)T的對應關系：從中可以看出，響應曲線在經(jīng)過3T（5%誤差）或4T（2%誤差）的時間后進入穩(wěn)態(tài)。

t=T，c(1T)=0.632c(∞)t=2T，c(2T)=0.865c(∞)t=3T，c(3T)=0.950c(∞)t=4T，c(4T)=0.982c(∞)第17頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月如果系統(tǒng)響應曲線以初始速率繼續(xù)增加，如圖3-9中的c1(t)所示，T還可定義為c1(t)曲線達到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間。

(3.13)

因此當t=T時，c1(t)曲線到達穩(wěn)態(tài)值，即，

所以第18頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）二階系統(tǒng)的階躍響應在工程實際中，三階或三階以以上的系統(tǒng)，?？梢越苹蚪惦A為二階系統(tǒng)處理。圖3-10是典型二階系統(tǒng)的結構圖，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

由上式可看出，z和wn是決定

二階系統(tǒng)動態(tài)特性的兩個非常重要參數(shù)，其中z稱為阻尼比，wn稱為無阻尼自然振蕩頻率.圖3-10二階系統(tǒng)

第19頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月例如圖2-2中R-Ｌ-Ｃ電路，其傳遞函數(shù)為

式中，無阻尼自然振蕩頻率就是電路當R=0時的諧振頻率；阻尼比

第20頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月又如圖2-3中電樞控制的直流電動機，輸出w與電樞電壓ua之間傳遞函數(shù)為或式中第21頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月由式(3.14)描述的系統(tǒng)特征方程為(3.15)這是一個二階的代數(shù)方程，故有兩個特征方程根，分別為(3.16)顯然，阻尼比不同，特征根的性質就不同，系統(tǒng)的響應特性也就不同。第22頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月下面分別對二階系統(tǒng)在0<z<1，z=1，和z>1三種情況下的階躍響應進行討論。

1.0<z<1，稱為欠阻尼情況按式(3.14)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)可寫為

GB(s)=(3.17)它有一對共軛復數(shù)根(3.18)

式中稱為有阻尼振蕩頻率。第23頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月在初始條件為零，輸入信號為單位階躍信號r(t)=1(t)時，系統(tǒng)輸出的拉氏變換為(3.19)

對式(3.19)求拉氏反變換，則得系統(tǒng)的單位階躍響應c(t)：(3.20)第24頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月它是一衰減的振蕩過程，如圖3-11所示，其振蕩頻率就是有阻尼振蕩頻率wd，而其幅值則按指數(shù)曲線（響應曲線的包絡線）衰減，兩者均由參數(shù)z和wn決定。

(a)根分布(b)單位階躍響應圖3-11欠阻尼情況(0<z<1)第25頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)的誤差則為(3.21)當t→∞時，穩(wěn)態(tài)誤差e(∞)＝０。若z=０，稱為無阻尼情況，系統(tǒng)的特征根為一對共軛虛根，即(3.22)此時單位階躍響應為(3.23)

它是一等幅振蕩過程，其振蕩頻率就是無阻尼自然振蕩頻率wn。當系統(tǒng)有一定阻尼時，wd總是小于wn。s1,2=±jwn

第26頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月2.z=１，稱為臨界阻尼情況此時系統(tǒng)有兩個相等的實數(shù)特征根：

s1=s2=-wn(3.24)

系統(tǒng)輸出的拉氏變換為(3.25)

取C(s)的拉氏反變換，求得臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為(3.26)

第27頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月(a)根分布(b)單位階躍響應圖3-12臨界阻尼情況(z＝1)響應曲線如圖3-12所示，它既無超調(diào)，也無振蕩，是一個單調(diào)的響應過程。第28頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3.z＞１，稱為過阻尼情況

當阻尼比z＞１時，系統(tǒng)有兩個不相等的實數(shù)根：(3.27)對于單位階躍輸入，C(s)為(3.28)將此式進行拉氏反變換，從而求得過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應為(3.29)第29頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3-13表示過阻尼二階系統(tǒng)的根的分布和響應曲線。顯然響應曲線無超調(diào)，而且過程拖得比z=１時來得長。

(a)根分布(b)單位階躍響應

圖3-13過阻尼情況(z>1)根據(jù)以上分析，可得不同z值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線族,如圖3-14所示。由圖可見，在一定z值下,欠阻尼系統(tǒng)比臨界阻尼系統(tǒng)更快地達到穩(wěn)態(tài)值，所以一般系統(tǒng)大多設計成欠阻尼系統(tǒng)。第30頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖3-14二階系統(tǒng)單位階躍響應

第31頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）二階系統(tǒng)的脈沖響應

當輸入信號為單位脈沖信號d(t)，即R(s)=１時，二階系統(tǒng)單位脈沖響應的拉氏變換為(3.30)

對式(3.30)求拉氏反變換，得

(3.31)

可見，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換就是系統(tǒng)的單位脈沖響應，所以脈沖響應和傳遞函數(shù)一樣，都可以用來描述系統(tǒng)的特征。第32頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月由式(3.31)，對于欠阻尼情況(0<z<1)，有(3.32)對于臨界阻尼情況(z＝１)，有

c(t)

=w2nte-wnt(3.33)

對于過阻尼情況(z>1)，有(3.34)圖3-15表示不同z值時的單位脈沖響應曲線。第33頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3-15二階系統(tǒng)單位脈沖響應

第34頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月（四）二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應性能指標

通常，工程實際中往往習慣把二階系統(tǒng)調(diào)整為欠阻尼過程，因為此時系統(tǒng)的響應較快，且平穩(wěn)性也較好。

對于單位階躍輸入作用下的欠阻尼系統(tǒng)，有：1.上升時間tr按式(3.20)，令c(tr)=1，就可求得

第35頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月因此

(3.35)式中(3.36)

由式(3.35)可見，要使系統(tǒng)反應快，必須減小tr。因此當z一定，wn必須加大；若wn為固定值，則z越小，tr也越小。2.峰值時間tp按式(3.20)，對c(t)求一階導數(shù)，并令其為零，可得到第36頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月到達第一個峰值時

wdtp=p所以(3.37)

上式表明，峰值時間tp與有阻尼振蕩頻率wd成反比。當wn一定,z越小，tp也越小。第37頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月3.最大超調(diào)量sp

以t=tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超調(diào)量(3.38)由上式可見，最大百分比超調(diào)量完全由z決定，z越小，超調(diào)量越大。當z=０時，sp%=100%，當z=１時，sp%=０。sp與z的關系曲線見圖3-16。第38頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3-16sp與z的關系第39頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月

4.調(diào)節(jié)時間ts根據(jù)定義可以求出調(diào)節(jié)時間ts，如圖3-17所示。圖中T=1/zwn，為c(t)包絡曲線的時間常數(shù)，在z=0.69(或0.77)，ts有最小值，以后ts隨z的增大而近乎線性地上升。圖3-17中曲線的不連續(xù)性是由于在z虛線附近稍微變化會引起ts突變造成的，如圖3-18所示。ts也可由式(3.21)的包絡線近似求得，即令e(t)的幅值

或0.02(3.39)第40頁，課件共44頁，創(chuàng)作于2023年2月圖3-17ts與z

的關系