第三章 矩陣的初等變換與線性方程組

第三章矩陣的初等變換與線性方程組第1頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組引例求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．第9講矩陣的初等變換一

線性方程組的初等變換第2頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組解第3頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組用“回代”的方法求出解：第4頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組于是解得（2）第5頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）第6頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組3．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．第7頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算．若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換．第8頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二矩陣的初等變換第9頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.elementarytransformation第10頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組等價關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價．例如，兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價第11頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組用矩陣的初等行變換解方程組（1）：第12頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第13頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第14頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第15頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．第16頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組注意：行最簡形矩陣是由方程組唯一確定的，行階梯形矩陣的行數(shù)也是由方程組唯一確定的．行最簡形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標準形．第17頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例如，第18頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組特點：所有與矩陣

等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形是這個等價類中最簡單的矩陣.第19頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組(2)的充分必要條件是存在n階可逆陣Q，AB~c(3)

的充分必要條件是存在m階可逆陣P三初等變換的基本性質(zhì)及n階可逆陣Q,使得(1)的充分必要條件是存在m階可逆陣P，~rAB定理1

設(shè)A與B為矩陣，使得使得推論方陣A可逆的充分必要條件是AE~r第20頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組如果A經(jīng)一系列初等行變換變?yōu)锽，則有可逆矩陣P使得那么，如何求出可逆矩陣P?如果對（A,E）作初等變換，那么，當A變成B是，E就變成了P，也就是可逆陣P。第21頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組

解例１四

利用初等變換求逆矩陣及相關(guān)問題第22頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第23頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組即初等行變換第24頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例２解第25頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第26頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第27頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組列變換列變換第28頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組解例3第29頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第30頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第31頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組四

利用初等變換求逆矩陣及相關(guān)問題例1

設(shè)求~r?

第32頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組~r例2

設(shè)的行最簡形為F，求F,并求一個可逆陣P，使得PA=F?PA=F(行最簡形),

第33頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組注

對于矩陣方程只需轉(zhuǎn)置:例3

解矩陣方程AX=B,

其中~r的解.例4

設(shè)求線性方程組AX=B，X?

第34頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組一矩陣秩的定義第10講矩陣的秩第35頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第36頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例5.1解第37頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例5.2解第38頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例5.3解計算A的3階子式，第39頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡單！第40頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組定理3

若則推論若P、Q可逆，則R(PAQ)=R(A)例6

設(shè)A為矩陣,R(A)=2,求R(AB).二初等變換法求矩陣的秩第41頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組初等變換法:

用初等行變換將矩陣化為行階梯形矩陣,則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例7

求矩陣的秩.例8

設(shè)已知R(A)=2，求及第42頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例7解第43頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第44頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第45頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第46頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組由階梯形矩陣有三個非零行可知第47頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第48頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組則這個子式便是的一個最高階非零子式.第49頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組第50頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組三常用的矩陣秩不等式

當時，

例9

設(shè)A為n階矩陣，證明例10

設(shè)且則列滿秩以后陸續(xù)證明第51頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組對于線性方程組Ax=b,(1)當時,方程組無解;(2)當時,方程組有解;時,有無限多個解.且時,有唯一解,第11講線性方程組的解相容不相容特解通解不妨設(shè)R(A)=r.的行最簡形為第52頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組重要定理定理1

如果線性方程組的系數(shù)行列式則一定有解,且解是唯一的.定理2

如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.定理3如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則齊次線性方程組沒有非零解.定理4如果齊次線性方程組

有非零解,則它的系數(shù)行列式必為零.第53頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組(1)無解的充分必要條件是R(A)<R(A,b);一線性方程組解的判別定理定理4

n元線性方程組Ax=b(2)有惟一解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)=n;(3)有無限多解的充分必要條件是R(A)=R(A,b)<n.(或：有解的充分必要條件是R(A)=R(A,b))推論1Ax=0有非零解的充分必要條件是R(A)<n

推論2AX=B有解的充分必要條件是R(A)=R(A,B)例11證明第54頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例12求解齊次線性方程組解二求解線性方程組

第55頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組即得與原方程組同解的方程組第56頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組由此即得第57頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例13求解非齊次線性方程組解對增廣矩陣B進行初等變換，故方程組無解．第58頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例14求解非齊次方程組的通解解對增廣矩陣B進行初等變換第59頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組故方程組有解，且有第60頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組所以方程組的通解為第61頁，課件共71頁，創(chuàng)作于2023年2月9/8/2023河北科大理學院第三章矩陣的初等變換與線性方程組例15

解證對增廣矩陣B進行初等變換，方程