第三章 功能原理和機(jī)械能守恒定律

第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律第1頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

3－1變力的功功能定理

3－2保守力與非保守力勢(shì)能

3－3功能原理及機(jī)械能守恒定律第三章功能原理和機(jī)械能守恒定律第2頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

3－1變力的功功能定理一、變力的功abO

功(work)度量能量轉(zhuǎn)換的基本物理量，描寫力對(duì)空間積累作用.定義：力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積。元功(elementarywork)*功的計(jì)算與具體過程相聯(lián)系,功是一個(gè)過程量.

變力的總功：第3頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月*合力的功等于各分力的功的代數(shù)和合力的元功從a到b合力之功單位(SI):焦耳(J)說明(1)功的計(jì)算與具體過程相聯(lián)系,功是過程量,不是狀態(tài)量,表征力對(duì)空間的累積效應(yīng).第4頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)前式中涉及的位移是受力物體的位移,只有按此定義,才能得到后面的動(dòng)能定理.(3)變力做功在直角坐標(biāo)系中的數(shù)學(xué)表達(dá)式.功率(power)定義

單位時(shí)間內(nèi)力所作的功稱為功率.(1)平均功率(2)瞬時(shí)功率第5頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月功率的單位(SI)：例1在一個(gè)深h=18m的坑里,垂直懸掛著一根長(zhǎng)繩,從地面垂至坑底.已知繩的質(zhì)量線密度λ

=0.88kg/m,試問:若將此繩提到地面,至少要做多少功?yyh解:取如圖坐標(biāo)系,繩運(yùn)動(dòng)到圖示任意位置y時(shí),所受重力λ(h-y)g.要使做功最少,作用于繩子的力剛好等于重力,通過dy距離時(shí),元功為:第6頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月全部拉上繩子拉力所做的功至少為例2質(zhì)量為2t的卡車,啟動(dòng)時(shí)在牽引力的作用下,自原點(diǎn)從靜止開始沿x軸做直線運(yùn)動(dòng),求在前10s內(nèi)牽引力所做的功.解:由

得

積分得

所以牽引力前10s做功為:第7頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月第8頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月二、動(dòng)能定理(theoremofkineticenergy)在自然坐標(biāo)系中,F是作用在物體上的合力,則從

a到b積分,有動(dòng)能(kineticenergy)單位：焦耳(J)第9頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月動(dòng)能定理合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量.

研究質(zhì)點(diǎn)系,對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用動(dòng)能定理,內(nèi)力功外力功求和,有動(dòng)能增量第10頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理作用于質(zhì)點(diǎn)系中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的外力和內(nèi)力所做的功的代數(shù)和,等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量.注意功是過程量,是能量變化的量度;動(dòng)能是狀態(tài)量,是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的單值函數(shù).它們的單位和量綱相同.動(dòng)能定理由牛頓第二定律導(dǎo)出,只適用于慣性參考系,動(dòng)能也與參考系有關(guān).第11頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

一質(zhì)量為1.0kg的小球系在長(zhǎng)為1.0m細(xì)繩下端,繩的上端固定在天花板上.起初把繩子放在與豎直線成60度角處,然后放手使小球沿圓弧下落.試求繩與豎直線成10度角時(shí)小球的速率.解:取如圖所示中間時(shí)刻,小球受拉力和重力作用,則:第12頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月由動(dòng)能定理得代入得第13頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月三、“一對(duì)力”

的功把作用力與反作用力,更一般地,把兩個(gè)大小相等,方向相反,在一條直線上的力稱為“一對(duì)力”.研究如圖的兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng),相互作用力的元功為:其代數(shù)和第14頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于整個(gè)過程物理意義一對(duì)力的功等于以其中任一質(zhì)點(diǎn)為參考系,計(jì)算它對(duì)另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的作用力所做的功.這說明一對(duì)力做功與參考系無關(guān),因此可選取最方便的參考系來計(jì)算一對(duì)力的功.常見的“一對(duì)力”的功①一對(duì)正壓力的功恒為零.(更普遍的,無相對(duì)位移或相對(duì)位移與一對(duì)力垂直的情況)②一對(duì)靜摩擦力的功恒為零.③一對(duì)滑動(dòng)摩擦力的功恒為負(fù).第15頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

3－2保守力與非保守力勢(shì)能一、重力(gravity)所做的功ba以地球?yàn)閰⒖枷刀?、萬有引力(gravitation)所做的功以質(zhì)點(diǎn)M為參考系,如圖

萬有引力的元功可寫為:OMm第16頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月三、彈性力(elasticwork)所做的功建立如圖所示坐標(biāo)系,彈性力的元功可寫為:第17頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月四、摩擦力所做的功以地面為參考系,元功:是曲線路徑的長(zhǎng)度顯然,從a到b,沿不同的路徑,摩擦力做功不同.第18頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月五、保守力與非保守力做功的多少僅由始末兩點(diǎn)的位置決定,而與中間所經(jīng)過的路徑無關(guān),這樣的力稱為保守力(conservativeforce).而做功多少和物體的運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)的力稱為非保守力(nonconservativeforce).對(duì)于任意閉合路徑:即做功為零,為保守力,如:重力,彈性力.為非保守力(耗散力).如:摩擦力為非保守力(非耗散力).如:爆炸力第19頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月六、勢(shì)能(potentialenergy)

可以將保守力的功表示為與相互作用物體相對(duì)位置有關(guān)的某函數(shù)在起點(diǎn)和終點(diǎn)的取值之差.

將該函數(shù)定義為此物體系的勢(shì)能,勢(shì)能只與質(zhì)點(diǎn)位置有關(guān),是狀態(tài)函數(shù).勢(shì)能定理勢(shì)能增量的負(fù)值等于保守力所做的功.保守力和勢(shì)能的微分關(guān)系:第20頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月2)勢(shì)能是相對(duì)的.零勢(shì)能位置的選取不同,勢(shì)能也不同,故勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的單值函數(shù).注意1)勢(shì)能是屬于系統(tǒng)的,保守力做功應(yīng)理解為一對(duì)力做功.3)勢(shì)能計(jì)算.令即得任一點(diǎn)的勢(shì)能為:4)常見勢(shì)能.彈性勢(shì)能引力勢(shì)能重力勢(shì)能勢(shì)能表達(dá)式零勢(shì)能位置地面附近彈簧自由狀態(tài)時(shí)自由端位置兩物體相距無限遠(yuǎn)第21頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

3－3功能原理及機(jī)械能守恒定律一、系統(tǒng)的功能原理對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理非保守內(nèi)力做功保守內(nèi)力做功由前述勢(shì)能定理定義系統(tǒng)的機(jī)械能,則系統(tǒng)的功能原理外力和非保守內(nèi)力做功的總和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量.第22頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月二、機(jī)械能守恒定律由功能原理,當(dāng)時(shí),

機(jī)械能守恒定律外力和非保守內(nèi)力做功的總和為零,或者說只有保守內(nèi)力作功的情況下，系統(tǒng)的機(jī)械能保持不變.注意1),

并不要求

和為零.

2)要求在任意一微小路程上都是成立的,因此常用功率來描述機(jī)械能守恒的條件.恒量,或

恒量第23頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月例：一粗細(xì)均勻的柔軟繩子,一部分置于光滑水平桌面上,另一部分自桌邊下垂,繩全長(zhǎng)為.開始時(shí),下垂部分長(zhǎng)為d，初速為零,求整個(gè)繩全部離開桌面時(shí)瞬間的速度大小(設(shè)繩不可伸長(zhǎng)).

本題將分別用牛頓定律,動(dòng)能定理,機(jī)械能守恒定律求解.第24頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月解一:用牛頓定律求解；用隔離體法：繩分成兩部分,桌上:AB,下垂:BC,t時(shí)刻：牛頓第二定律,列方程：AB:第25頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月繩不可伸長(zhǎng)：牛頓第三定律：繩質(zhì)量均勻分布：聯(lián)立求解：所以,繩全部離開桌面的速度方向向下,大小BC:第26頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月解二:用動(dòng)能定理求解；系統(tǒng):整個(gè)繩子,繩分成兩部分,桌上：AB,下垂：BC,受力如圖.作功：其中:因?yàn)槭恰耙粚?duì)力”作功因?yàn)榱εc位移方向垂直,有系統(tǒng)動(dòng)能：初態(tài)第27頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月由動(dòng)能定理，有：即系統(tǒng):整個(gè)繩子和地球.并由于繩不可伸長(zhǎng)，有：系統(tǒng)機(jī)械能守恒.所以,繩全部離開桌面的速度方向向下,大小為:解三:用機(jī)械能守恒定律求解；設(shè)水平桌面處重力勢(shì)能.第28頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月比較三種方法：①牛頓定律方程兩端：均為瞬時(shí)值，需對(duì)方程兩端積分；②動(dòng)能定理方程兩端：功的一側(cè)為過程量，動(dòng)能一側(cè)為狀態(tài)量，僅需對(duì)過程量積分；③功能原理方程兩端：功的一側(cè)由勢(shì)能改變?nèi)〈?，不需再求積分，所以，最簡(jiǎn)單。第29頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月三、勢(shì)能曲線重力勢(shì)能彈性勢(shì)能萬有引力勢(shì)能勢(shì)能曲線的作用1)由勢(shì)能曲線求保守力.第30頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月2)確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍.由于,質(zhì)點(diǎn)不可能在的區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng).3)確定平衡位置,判斷平衡的穩(wěn)定性.一維情況下:穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡第31頁，課件共32頁，創(chuàng)作于2023年2月

亥姆霍茲