第三章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析

第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第1頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

本章主要內(nèi)容及難點(diǎn)

自動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)

一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

自動(dòng)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

穩(wěn)態(tài)誤差

小結(jié)第2頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本章主要內(nèi)容

本章介紹了控制系統(tǒng)時(shí)域性能分析法的相關(guān)概念和原理。包括各種典型輸入信號(hào)的特征、控制系統(tǒng)常用性能指標(biāo)、一階、二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)、脈沖響應(yīng)函數(shù)及其應(yīng)用、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)定判據(jù)、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差等。本章重點(diǎn)

通過(guò)本章學(xué)習(xí)，應(yīng)重點(diǎn)掌握典型輸入信號(hào)的定義與特征、控制系統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的定義及計(jì)算方法、一階及二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用、控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差概念和誤差系數(shù)的求取等內(nèi)容。第3頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)的分析方法，有時(shí)域法和頻域法兩類。時(shí)域法控制系統(tǒng)的變量都是時(shí)間的函數(shù)。1得到控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2求解描述系統(tǒng)的微分方程3得到系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)曲線和函數(shù)4確定控制系統(tǒng)的性質(zhì)和特征目的控制系統(tǒng)分析控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)或綜合頻域法分析控制系統(tǒng)的另一種基本方法。在頻域法中，根據(jù)系統(tǒng)對(duì)各種頻率下正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來(lái)研究其頻域特性，并且根據(jù)頻域性能指標(biāo)推斷系統(tǒng)時(shí)域特性。根軌跡法第4頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1自動(dòng)控制系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)

一、對(duì)控制性能的要求

（1）系統(tǒng)應(yīng)是穩(wěn)定的；（2）系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)滿足給定的穩(wěn)態(tài)誤差的要求；（3）系統(tǒng)在暫態(tài)過(guò)程中應(yīng)滿足暫態(tài)品質(zhì)的要求。

第5頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、自動(dòng)控制系統(tǒng)的典型輸入信號(hào)

1．階躍函數(shù)階躍函數(shù)的定義是：第6頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幅值為1的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，如圖3-1所示。圖3-1單位階躍函數(shù)第7頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月它表示為：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為：第8頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．斜坡函數(shù)這種函數(shù)的定義是：該函數(shù)的拉氏變換是：第9頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖3-2斜坡函數(shù)單位斜坡函數(shù)如圖3-2所示。第10頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3．拋物線函數(shù)

這種函數(shù)的定義是：

該函數(shù)的拉氏變換是第11頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖3-3拋物線函數(shù)第12頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4．脈沖函數(shù)

這種函數(shù)的定義是：這種函數(shù)的拉氏變換是：第13頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

圖3-4單位脈沖函數(shù)tδ（t）0第14頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

一階系統(tǒng)的微分方程為:

式中，xc(t)為輸出量，xr(t)為輸入量，T為時(shí)間常數(shù)。

一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如圖3-5所示。第15頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

圖3-5一階控制系統(tǒng)第16頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

因?yàn)閱挝浑A躍輸入的拉氏變換為：可得：取Xc(s)的拉氏反變換，可得單位階躍響應(yīng)：第17頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

顯然，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線，如圖3-6所示。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)。圖3-7一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

第18頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)是決定系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的參數(shù)。判斷實(shí)驗(yàn)曲線調(diào)節(jié)時(shí)間第19頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2一階系統(tǒng)單位斜坡（速度）響應(yīng)第20頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2.3、一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)第21頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2.4一階系統(tǒng)單位加速度響應(yīng)第22頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3．2．5控制系統(tǒng)在任意輸入函數(shù)下的響應(yīng)任何控制系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)任意輸入函數(shù)是理想脈沖函數(shù)的疊加第23頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性定常系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分。這是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特性。我們可以根據(jù)這一特性，較方便地求出較復(fù)雜輸人信號(hào)的響應(yīng)。積分求導(dǎo)第24頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一階系統(tǒng)響應(yīng)小結(jié)閉環(huán)傳遞函數(shù)輸入信號(hào)時(shí)域

輸出響應(yīng)ess01(t)0t

T無(wú)窮大等價(jià)關(guān)系：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)；系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分。第25頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)寫成如下標(biāo)準(zhǔn)式：－自然頻率（或無(wú)阻尼振蕩頻率）－阻尼比（相對(duì)阻尼系數(shù)）第26頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月T稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)第27頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)構(gòu)圖如圖3-9所示。

圖3-9二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式結(jié)構(gòu)圖第28頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

系統(tǒng)的特征方程為：可解出特征方程式的特征根，這些根與阻尼比

有關(guān)系統(tǒng)的特征根為：二階系統(tǒng)的參數(shù)ξ，ωn是變化的，ξ取值不同，特征方程的根(即閉環(huán)極點(diǎn))可能是復(fù)數(shù)，也可能是實(shí)數(shù)。系統(tǒng)的響應(yīng)形式也因此會(huì)有較大的區(qū)別。第29頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1．無(wú)阻尼（

=0）的情況

特征方程式的根為：二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)為：

圖3-12時(shí)二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

第30頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．欠阻尼（）的情況

特征方程的根為：系統(tǒng)輸出響應(yīng)為：令：第31頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第32頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若如ξωn越大，振幅衰減得就越快。從閉環(huán)極點(diǎn)分布上，可以看出閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，振幅衰減得越快。ωd是正弦振蕩的頻率，表明，閉環(huán)極點(diǎn)離實(shí)軸越遠(yuǎn)，振蕩頻率就越高。第33頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3．臨界阻尼（

=1）的情況

系統(tǒng)的特征方程式的根為：

圖3-11

=1時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)第34頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)

4．過(guò)阻尼（

>1）的情況

第35頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式中，稱阻尼振蕩角頻率，或振蕩角頻率；

圖3-10以

參變量的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)第36頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二階系統(tǒng)在不同值瞬態(tài)響應(yīng)曲線綜合分析第37頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1）。響應(yīng)曲線只和阻尼比有關(guān)。由圖可見，越小，響應(yīng)特性振蕩得越厲害，隨著增大到一定程度后，響應(yīng)特性變成單調(diào)上升的。從過(guò)渡過(guò)程持續(xù)的時(shí)間看，當(dāng)系統(tǒng)無(wú)振蕩時(shí)，以臨界阻尼時(shí)過(guò)渡過(guò)程的時(shí)間最短，此時(shí)，系統(tǒng)具有最快的響應(yīng)速度。當(dāng)系統(tǒng)在欠阻尼狀態(tài)時(shí)，若阻尼比在0.4～0.8之間，則系統(tǒng)的過(guò)度過(guò)程時(shí)間比臨界阻尼時(shí)更短，而且此時(shí)的振蕩特性也并不嚴(yán)重。二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)第38頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

一般希望二階系統(tǒng)工作在=0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)下，在工程實(shí)際中，通常選取作為設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。2）．二階系統(tǒng)瞬態(tài)性能指標(biāo)在實(shí)際應(yīng)用中，控制系統(tǒng)性能的好壞是通過(guò)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特征量來(lái)表示的。為了定量地評(píng)價(jià)二階系統(tǒng)的控制質(zhì)量，必須進(jìn)一步分析和對(duì)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的影響，并定義二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一些特征量作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)的性能指標(biāo)。除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的系統(tǒng)外，通常希望二階系統(tǒng)工作在=0.4～0.8的欠阻尼狀態(tài)下。第39頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

此時(shí)，系統(tǒng)在具有適度振蕩特性的情況下，能有較短的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間，因此下面有關(guān)性能指標(biāo)的定義和定量關(guān)系的推導(dǎo)，主要是針對(duì)二階系統(tǒng)的欠阻尼工作狀態(tài)進(jìn)行的。控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)一般來(lái)說(shuō)是與初始條件有關(guān)的，為了便于比較各種系統(tǒng)的控制質(zhì)量，通常假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。系統(tǒng)在欠阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)為

第40頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0tσ超調(diào)量允許誤差±Δ10.90.50.1trtptstdh(t)0.02或0.05)(∞h)(∞h)(∞h)(∞h二、二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標(biāo)圖示第41頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

延遲時(shí)間td（DelayTime）：響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。

上升時(shí)間tr（RisingTime）:響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時(shí)間。上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。對(duì)于震蕩系統(tǒng)，也可定義為由零開始，首次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。

峰值時(shí)間tp（PeakTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。

概念第42頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月調(diào)節(jié)時(shí)間ts（SettlingTime）：響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在一個(gè)允許誤差范圍內(nèi)，所需的最短時(shí)間。用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通常取5%或2%）作，

超調(diào)量（MaximumOvershoot）：指響應(yīng)的最大偏離量h(tp)于終值之差的百分比，即⑥

穩(wěn)態(tài)誤差ess：期望值與實(shí)際值之差。第43頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

或評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度；同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)，從整體上反映系統(tǒng)的快速性。評(píng)價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度。穩(wěn)定性能指標(biāo)和抗干擾能力。越小，系統(tǒng)精度越高。ess第44頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、二階系統(tǒng)暫態(tài)特性指標(biāo)

1．上升時(shí)間tr：

在暫態(tài)過(guò)程中第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間稱為上升時(shí)間tr。

其計(jì)算公式為：由上式可以看出和

n對(duì)上升時(shí)間的影響。當(dāng)

n一定時(shí)，阻尼比越大，則上升時(shí)間tr越長(zhǎng)；當(dāng)一定時(shí)，

n越大，則tr越短。公式第45頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．最大超調(diào)量

%最大超調(diào)量發(fā)生在第一個(gè)周期中t=tm

時(shí)刻。根據(jù)超調(diào)量的定義得最大超調(diào)量的計(jì)算公式為：從上式知，二階系統(tǒng)的最大超調(diào)量與值有密切的關(guān)系，阻尼比越小，超調(diào)量越大。第46頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3．調(diào)節(jié)時(shí)間ts

調(diào)節(jié)時(shí)間ts是與穩(wěn)態(tài)值之間的偏差達(dá)到允許范圍（一般取5%~2%）而不再超出的暫態(tài)過(guò)程時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間為：第47頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月調(diào)節(jié)時(shí)間ts近似與成反比關(guān)系。在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，通常由要求的最大調(diào)節(jié)量所決定，所以調(diào)節(jié)時(shí)間ts由自然振蕩角頻率所決定。也就是說(shuō)，在不改變超調(diào)量的條件下，通過(guò)改變的值可以改變調(diào)節(jié)時(shí)間。4．振蕩次數(shù)

振蕩次數(shù)是指在調(diào)節(jié)時(shí)間ts內(nèi)，波動(dòng)的次數(shù)。根據(jù)這一定義可得振蕩次數(shù)為式中為阻尼振蕩的周期時(shí)間。第48頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、二階工程最佳參數(shù)

目前，在某些控制系統(tǒng)中常常采用所謂二階工程最佳參數(shù)作為設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的依據(jù)。這種系統(tǒng)選擇的參數(shù)使這時(shí)。將這一參數(shù)代入二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)式，得開環(huán)傳遞函數(shù)為：得閉環(huán)傳遞函數(shù)為：第49頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這一系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)暫態(tài)特性指標(biāo)為：

最大超調(diào)量

上升時(shí)間

調(diào)節(jié)時(shí)間

ts（2%）=8.43T（用近似公式求得為8T）

ts（5%）=4.14T（用近似公式求得為6T）第50頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3-1有一位置隨動(dòng)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)圖如圖3-13所示，其中Kk=4。求該系統(tǒng)的（1）自然振蕩角頻率；（2）系統(tǒng)的阻尼比；（3）超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間；（4）如果要求，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)參數(shù)Kk

值。第51頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

圖3-13例3-1隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第52頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

寫成標(biāo)準(zhǔn)形式由此得自然振蕩角頻率阻尼比由得超調(diào)量調(diào)節(jié)時(shí)間

第53頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)要求時(shí),

所以必須降低開環(huán)放大系數(shù)值，才能滿足二階工程最佳參數(shù)的要求。但應(yīng)注意到，降低開環(huán)放大系數(shù)將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大。

第54頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3-2為了改善圖3-13所示系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能，滿足單位階躍輸入下系統(tǒng)超調(diào)量的要求，今加入微分負(fù)反饋，如圖3-14所示。求微分時(shí)間常數(shù)。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

第55頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

圖3-14例3-2隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

第56頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月為了使，令

由可求得并由此求得開環(huán)放大系數(shù)為第57頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例

設(shè)控制系統(tǒng)

如圖所示。其中（a）為無(wú)速度反饋系統(tǒng)，（b）為帶速度反饋系統(tǒng)，試確定是系統(tǒng)阻尼比為0.5時(shí)的值，并比較系統(tǒng)（a）和(b)階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。R(s)E(s)-C(s)(a)(b)R(s)E(s)C(s)--圖3-16例一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第58頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將上式與標(biāo)準(zhǔn)式相比較得解得,計(jì)算上升時(shí)間R(s)E(s)-C(s)(a)(b)R(s)E(s)C(s)--圖3-16例一系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（秒）解系統(tǒng)（a）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為第59頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月峰值時(shí)間

超調(diào)量調(diào)節(jié)時(shí)間振蕩次數(shù)系統(tǒng)（b）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（秒）（秒）（次）第60頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將上式與式（3-6）相比較得將代入，解得由和可求得通過(guò)上述計(jì)算可知，采用速度反饋后，可以明顯地改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。（秒）（秒）（秒）第61頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若要求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)為試確定參數(shù)K和a的值。解系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由此得第62頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由題意即解得而即解得a=3所以

（秒）第63頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。

例解：圖示為一欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖中給出的階躍響應(yīng)性能指標(biāo)，先確定二階系統(tǒng)參數(shù)，再求傳遞函數(shù)。

0t(s)11.30.1c(t)第64頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月比例-微分控制不改變系統(tǒng)的自然頻率，但增大了系統(tǒng)的阻尼比。適當(dāng)選擇開環(huán)增益和微分時(shí)間常數(shù)，既可減小系統(tǒng)斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，又可使系統(tǒng)具有滿意的階躍響應(yīng)性能。四、零極點(diǎn)對(duì)二階系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響

具有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

第65頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：（1）微分控制可增大系統(tǒng)阻尼，減小階躍響應(yīng)的超調(diào)量，縮短調(diào)節(jié)時(shí)間；（2）允許選取較高的開環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差；（3）微分對(duì)于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強(qiáng)時(shí)，不用比例-微分控制。第66頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.4

高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高階系統(tǒng)。在控制工程中，大多數(shù)控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù)求出它的時(shí)域響應(yīng)，然后按上述二階系統(tǒng)的分析方法來(lái)確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。但是，高階系統(tǒng)的分布計(jì)算比較困難，同時(shí)，在工程設(shè)計(jì)的許多問題中，過(guò)分講究精確往往是不必要的，甚至是無(wú)意義的。因此，工程上通常把高階系統(tǒng)適當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化成低階系統(tǒng)進(jìn)行分析。下面簡(jiǎn)單地介紹高階系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的確定方法及研究高階系統(tǒng)性能的思路和途徑。第67頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為假設(shè)系統(tǒng)所有零點(diǎn)、極點(diǎn)互不相同，且極點(diǎn)中q個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和r對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)，零點(diǎn)中只有實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為式中n=q+2r第68頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月或?qū)懗墒街小到y(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；

——系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)第69頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將上式展開成部分分式，得

式中、、和都是進(jìn)行部分分式展開時(shí)所確定的常數(shù)。對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換，求得系統(tǒng)在零初始條件下的單位階躍響應(yīng)為

由此可見，高階系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組成。第70頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月各瞬態(tài)分量在過(guò)渡過(guò)程中所起作用的大小，將取決于它們的指數(shù)、的值和相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)、、的大小。如果系統(tǒng)所有極點(diǎn)都分布在S平面的左半部分，即所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，那么，當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí)，式中的指數(shù)項(xiàng)都趨于零，系統(tǒng)的響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值。由式（3-27）可以看出，在瞬態(tài)過(guò)程中，某衰減項(xiàng)的指數(shù)或的值越大，則該項(xiàng)衰減越快，反之亦然。而和就是系統(tǒng)的極點(diǎn)到虛軸的距離，因此，如果分布在S平面左半部分的極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，則它對(duì)應(yīng)的分量衰減越快。顯然，對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程影響最大的，是那些離虛軸最近的極點(diǎn)。第71頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月各衰減項(xiàng)的系數(shù)不僅與相應(yīng)的極點(diǎn)在S平面中的位置有關(guān)，而且還與零點(diǎn)的位置有關(guān)。極點(diǎn)的位置距原點(diǎn)越遠(yuǎn)，則相應(yīng)分量的系數(shù)越小，該分量對(duì)系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程的影響就越小。如果某極點(diǎn)與零點(diǎn)很靠近，則相應(yīng)分量的系數(shù)也很小，這對(duì)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)過(guò)度過(guò)程的影響也將很小。因此，高階系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由系統(tǒng)傳遞函數(shù)中那些靠近虛軸而又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的極點(diǎn)來(lái)決定。如果高階系統(tǒng)有一個(gè)極點(diǎn)（或一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)）離虛軸最近，且其附近又無(wú)零點(diǎn)存在，而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的五倍以上，則可近似的認(rèn)為系統(tǒng)的瞬態(tài)特性由這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)來(lái)確定，而其它極點(diǎn)的影響可以忽略不計(jì)，這個(gè)（或這對(duì)）極點(diǎn)就稱為高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。第72頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)常常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因此高階系統(tǒng)可以常用主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)來(lái)近似。相應(yīng)的性能指標(biāo)可按二階系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)來(lái)估計(jì)。在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時(shí)，常利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念來(lái)選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣，就可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)。第73頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月單位階躍響應(yīng)為

從分析高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達(dá)式還可以得出如下結(jié)論。（1）系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部在s平面左側(cè)離虛軸越遠(yuǎn)，則相應(yīng)的分量衰減越快。反之，系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的實(shí)部越小，即在s平面左側(cè)離虛軸越近，則相應(yīng)的分量衰減越慢。

第74頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)不僅和極點(diǎn)在s平面中的位置有關(guān)，并且與零點(diǎn)的位置有關(guān)。（3）如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部小于其它極點(diǎn)的實(shí)部的1/5，并且附近不存在零點(diǎn)，可以認(rèn)為系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)主要由這一極點(diǎn)決定。這些對(duì)暫態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的閉環(huán)極點(diǎn)，叫作主導(dǎo)極點(diǎn)，是所有閉環(huán)極點(diǎn)中最重要的極點(diǎn)。在設(shè)計(jì)一個(gè)高階控制系統(tǒng)時(shí)，我們常常利用主導(dǎo)極點(diǎn)這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，這樣就可以近似地用一階或二階系統(tǒng)的指標(biāo)來(lái)設(shè)計(jì)系統(tǒng)。

第75頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量反映系統(tǒng)跟蹤控制信號(hào)的準(zhǔn)確度或抑制擾動(dòng)信號(hào)的能力，用穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)描述。在系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項(xiàng)重要的性能指標(biāo)，它與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用的形成有關(guān)，也與元件的不靈敏、零點(diǎn)漂移、老化及各種傳動(dòng)機(jī)械的間隙、摩擦等因素有關(guān)。本章只討論由于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用等因素所引起的穩(wěn)態(tài)誤差。給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動(dòng)輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，給定輸入變化，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。對(duì)恒值系統(tǒng)，給定輸入通常是不變的，需要分析輸出量在擾動(dòng)作用下所受到的影響，因而用擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。本章介紹穩(wěn)態(tài)誤差的概念和計(jì)算方法，研究穩(wěn)態(tài)誤差的規(guī)律性以及減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的途徑。第76頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義

系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為輸出量的希望值與實(shí)際值之差。對(duì)圖3-22所示的典型系統(tǒng)，其誤差定義有兩種形式：（1）式中，

為系統(tǒng)輸出量的希望值，C(t)為輸出量的實(shí)際值。（2）其中，系統(tǒng)輸出量的希望值是給定輸入r(t)，而輸出量的實(shí)際值為系統(tǒng)主反饋信號(hào)b(t)。通常H（s）是測(cè)量裝置的傳遞函數(shù)，故此時(shí)誤差就是給定輸入與測(cè)量裝置的輸出量之差。第77頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

第一種形式的誤差是從系統(tǒng)輸出端來(lái)定義的，它在性能指標(biāo)提法中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中無(wú)法測(cè)量，因而，一般只有數(shù)學(xué)意義。而第二種形式的誤差是從系統(tǒng)的輸入端來(lái)定義的，它在系統(tǒng)中是可以測(cè)量的，因而具有實(shí)用性。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，要求輸出量C(t)的變化規(guī)律與給定輸入r(t)的變化規(guī)律完全一致，所以給定輸入r(t)也就是輸出量的希望值，即。此時(shí)，上述兩種定義統(tǒng)一為

e(t)=r(t)-c(t)

R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)圖3-22反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖第78頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，誤差的兩種定義形式是一致的。對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，若設(shè)第（1）種形式的誤差為E’(s),第（2）種形式的誤差為E(s)，則不難證明E(s)與E’(s)之間存在如下關(guān)系

可見，兩種定義對(duì)非單位反饋系統(tǒng)是存在差異的，但兩種定義下的誤差之間具有確定的關(guān)系，即誤差E’(s)可以直接或間接地由E(s)來(lái)確定。從本質(zhì)上看，它們都能反映控制系統(tǒng)的控制精度。在下面的討論中，我們將采用第二種誤差定義。E(t)通常也稱為系統(tǒng)的誤差響應(yīng)，它反映了系統(tǒng)在輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)作用下整個(gè)工作過(guò)程中的精度。誤差響應(yīng)中也包含有瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量?jī)蓚€(gè)部分，如果所研究的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮大時(shí)，瞬態(tài)分量趨近于零，剩下的只是穩(wěn)態(tài)分量。

穩(wěn)態(tài)誤差的定義：穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)誤差信號(hào)的穩(wěn)態(tài)分量稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，以表示。第79頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

在圖所示系統(tǒng)中，如果不計(jì)擾動(dòng)輸入的影響，可以求得系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差。此時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可簡(jiǎn)化為圖3-23。E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)給定輸入作用下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖-第80頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由圖3-23可知由誤差的定義可知式中稱為給定輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。應(yīng)用拉氏變換的終值定理可以方便地求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

第81頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3-33）

式（3-33）是確定給定穩(wěn)態(tài)誤差的一個(gè)基本公式。它表明，在給定輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和輸入信號(hào)的形式有關(guān)，對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng)，當(dāng)給定輸入的形式確定后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差將取決于以開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。為了分析穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)來(lái)規(guī)定控制系統(tǒng)的類型。設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)的傳遞函數(shù)為

（3-34）第82頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式中稱為系統(tǒng)的開環(huán)放大環(huán)節(jié)或開環(huán)增益。式（3-34）分母中的表示開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)處有重極點(diǎn)，或者說(shuō)有個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)。當(dāng)……時(shí)，分別稱系統(tǒng)為0型、1型、2型……系統(tǒng)。分類是以開環(huán)傳遞函數(shù)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目為依據(jù)的，而C(s)H(s)中其它零、極點(diǎn)對(duì)分類沒有影響。下面分析系統(tǒng)在不同典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。

第83頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

令

稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為（3-35）因此，在單位階躍輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)于0型系統(tǒng)，

1、

單位階躍輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差

對(duì)于單位階躍輸入，R(s)=1/s,由式（3-33）求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為第84頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)于1型系統(tǒng)（或高于1型的系統(tǒng)），

可見，由于0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，它對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，誤差的大小與系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K成反比，K越大，越小，只要K不是無(wú)窮大，系統(tǒng)總有誤差存在。對(duì)實(shí)際系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，通常是允許存在穩(wěn)態(tài)誤差的，但不允許超過(guò)規(guī)定的指標(biāo)。為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下，增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，若要求系統(tǒng)對(duì)階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則必須選用1型或高于1型的系統(tǒng)。

第85頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、

單位斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差

對(duì)于單位斜坡輸入，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令

稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為（3-36）因此，在單位斜坡輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于速度誤差系數(shù)。第86頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于0型系統(tǒng)，對(duì)于1型系統(tǒng)，

第87頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

對(duì)于2型系統(tǒng)（或高于2型的系統(tǒng)），上面的計(jì)算表明，在單位斜坡輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，而1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。為了使穩(wěn)態(tài)誤差不超過(guò)規(guī)定值，可以增大系統(tǒng)的K值。2型或高于2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總為零。因此，對(duì)于單位斜坡輸入，要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值或?yàn)榱?，必需，也即系統(tǒng)必須有足夠積分環(huán)節(jié)。第88頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、單位拋物線輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差

對(duì)于單位拋物線輸入，此時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為對(duì)于0型系統(tǒng)，于是穩(wěn)態(tài)誤差可表示為

第89頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于1型系統(tǒng)，對(duì)于2型系統(tǒng)，

第90頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于3型系統(tǒng)（或高于3型的系統(tǒng)），

以上計(jì)算表明，在單位拋物線輸入作用下，0型和1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。對(duì)3型或高于3型的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是，此時(shí)要使系統(tǒng)穩(wěn)定則比較困難。第91頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在各種典型輸入信號(hào)作用下，不同類型系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差如表3-1所示。

III系統(tǒng)類別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入r(t)=Rt加速度輸入III表3-1輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差第92頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

若給定的輸入信號(hào)不是單位信號(hào)時(shí)，則將系統(tǒng)對(duì)單位信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差成比例的增大，就可以得到相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差。若給定輸入信號(hào)是上述典型信號(hào)的線性組合，則系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差就由疊加原理求出。例如，若輸入信號(hào)為則系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差為綜上所述，穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)、、和描述了系統(tǒng)對(duì)減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，因此，它們是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性的一種表示方法。提高開環(huán)放大系數(shù)K或增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，都可以達(dá)到減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的目的。但是，這兩種方法都受到系統(tǒng)穩(wěn)定性的限制。因此，對(duì)于系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性必須統(tǒng)籌兼顧、全面衡量。

第93頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月此外，由以上討論可知，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)相對(duì)的穩(wěn)態(tài)誤差為零，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)相對(duì)的穩(wěn)態(tài)誤差為零；當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)相對(duì)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。因此，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)含有個(gè)串聯(lián)積分環(huán)節(jié)時(shí)，稱系統(tǒng)對(duì)給定輸入r(t)是階無(wú)差系統(tǒng)，而稱為系統(tǒng)的無(wú)差度。三、擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差控制系統(tǒng)除了受到給定輸入的作用外，通常還受到擾動(dòng)輸入的作用。系統(tǒng)在擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的大小，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。第94頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

擾動(dòng)輸入可以作用在系統(tǒng)的不同位置，因此，即使系統(tǒng)對(duì)于某種形式的給定輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，但對(duì)同一形式的擾動(dòng)輸入其穩(wěn)態(tài)誤差則不一定為零。下面根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，以圖3-25所示系統(tǒng)來(lái)討論由擾動(dòng)輸入所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差。按照前面給出的誤差信號(hào)的定義可得擾動(dòng)輸入引起的誤差為而此時(shí)系統(tǒng)的輸出為所以R(s)-B(s)+N(s)圖3-25擾動(dòng)輸入作用下系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖C(s)第95頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式中稱為擾動(dòng)輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。此時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為（3-38）第96頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.8

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)

一、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念和穩(wěn)定的充分必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)）全部負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)數(shù)，也就是所有的閉環(huán)特征根分布在s復(fù)平面虛軸的左側(cè)。本節(jié)敘述的代數(shù)判據(jù)（勞斯判椐和赫爾維茨判椐）就是不用直接求解代數(shù)方程，就可判斷一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式有幾個(gè)零點(diǎn)位于復(fù)平面的右半面的方法。第97頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式中稱為擾動(dòng)輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。此時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為例3-10設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-26所示，其中給定輸入，擾動(dòng)輸入（和均為常數(shù)），試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

（3-38）第98頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到給定輸入和擾動(dòng)輸入的作用時(shí)，其穩(wěn)定誤差為給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差的疊加。令n(t)=0時(shí)，求得給定輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為所以給定穩(wěn)態(tài)誤差為R(s)-+N(s)圖3-26例3-10系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖C(s)第99頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

令r(t)=0時(shí)，求得擾動(dòng)輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為所以擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差為由上式計(jì)算可以看出，r(t)和n(t)同是階躍信號(hào)，由于在系統(tǒng)中的作用點(diǎn)不同，故它們產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。此外，由擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差的表達(dá)式可見，提高系統(tǒng)前向通道中擾動(dòng)信號(hào)作用點(diǎn)之前的環(huán)節(jié)的放大系數(shù)（即），可以減小系統(tǒng)的擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差。

第100頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月該系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為為了分析系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的影響，我們假設(shè)圖3-26中給定輸入和擾動(dòng)輸入保持不變。這時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按上述相同的方法求出，即第101頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為比較以上兩次計(jì)算的結(jié)果可以看出，若要消除系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差，則系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)都起作用。若要消除系統(tǒng)的擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差，則在系統(tǒng)前向通道中只有擾動(dòng)輸入作用點(diǎn)之前的積分環(huán)節(jié)才起作用。因此，若要消除由給定輸入和擾動(dòng)輸入同時(shí)作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，則串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)應(yīng)集中在前向通道中擾動(dòng)輸入作用點(diǎn)之前。對(duì)于非單位反饋系統(tǒng)，當(dāng)H（s）為常數(shù)時(shí)，以上分析的有關(guān)結(jié)論同樣適用。前面定義了相對(duì)于給定輸入的無(wú)差度，同樣也可以定義相對(duì)于擾動(dòng)輸入的無(wú)差度。當(dāng)系統(tǒng)的中含有個(gè)串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)時(shí)稱系統(tǒng)相對(duì)于擾動(dòng)輸入是第102頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月階無(wú)差系統(tǒng)，而稱為系統(tǒng)相對(duì)于擾動(dòng)輸入的無(wú)差度。對(duì)本例中的前一種情況，系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)輸入的無(wú)差度為0，而后一種情況，系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的無(wú)差度是1。顯然，當(dāng)談及一個(gè)系統(tǒng)的無(wú)差度時(shí)應(yīng)指明系統(tǒng)對(duì)哪一種輸入作用而言，否則，可能會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)論。第103頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法

前面的討論表明，為了減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可以增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的串聯(lián)接分環(huán)節(jié)的數(shù)目或提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。但是，串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)一般不超過(guò)2，而開環(huán)放大系數(shù)也不能任意增大，否則系統(tǒng)將可能不穩(wěn)定，為了進(jìn)一步減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，可以采用加前饋控制的復(fù)合控制方法，即從給定輸入或擾動(dòng)輸入處引出一個(gè)前饋控制量，加到系統(tǒng)中去，通過(guò)適當(dāng)選擇補(bǔ)償裝置和作用點(diǎn)，就可以達(dá)到減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的目的。第104頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在圖3-27所示系統(tǒng)中，為了消除由r(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎(chǔ)上，從給定輸入處引出前饋量經(jīng)補(bǔ)償裝置對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行開環(huán)控制。此時(shí)系統(tǒng)誤差信號(hào)的拉氏變換式為經(jīng)整理得顯然，如果選擇補(bǔ)償裝置的傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差為零。R(s)E(s)C(s)-+圖3-27按給定輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制第105頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在圖3-28所示系統(tǒng)中，為了消除由n(t)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可在原反饋控制的基礎(chǔ)上，從擾動(dòng)輸入引出前饋量經(jīng)補(bǔ)償裝置加到系統(tǒng)中，若設(shè)r(t)=0，則系統(tǒng)的輸出C(s)就是系統(tǒng)的誤差信號(hào)。系統(tǒng)輸出的拉氏變換式為經(jīng)整理得顯然，如果選擇補(bǔ)償裝置的傳遞函數(shù)為

R(s)N(s)E(s)--+C(s)A圖3-28按擾動(dòng)輸入補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制第106頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則可使輸出不受擾動(dòng)n(t)的影響，故系統(tǒng)的擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。從結(jié)構(gòu)上看，當(dāng)滿足時(shí)，擾動(dòng)信號(hào)經(jīng)兩條通道到達(dá)A點(diǎn)，兩個(gè)分支信號(hào)正好大小相等，符號(hào)相反，因而實(shí)現(xiàn)了對(duì)擾動(dòng)的全補(bǔ)償。由于物理上可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總是滿足分母的階次大于或等于其分子的階次，要求構(gòu)造出分子的階次大于或等于其分母階次的補(bǔ)償裝置，這通常是不可能的。此外，由于傳遞函數(shù)的元件參數(shù)隨著時(shí)間的推移也會(huì)發(fā)生變化，這就使得全補(bǔ)償條件不可能成立。所以，實(shí)際上只能實(shí)現(xiàn)近似補(bǔ)償?？梢宰C明，前饋控制加入前后，系統(tǒng)的特征方程保持不變，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將不會(huì)發(fā)生變化。第107頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素?cái)_動(dòng)時(shí)，會(huì)使被控制量偏離原來(lái)的平衡工作狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無(wú)法正常工作的。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。一、穩(wěn)定的概念和定義在自動(dòng)控制理論中，有多種穩(wěn)定性的定義，這里只討論其中最常用的一種，即漸近穩(wěn)定性的定義。第108頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例圖3-17擺運(yùn)動(dòng)示意圖Af圖3-18不穩(wěn)定系統(tǒng)圖3-19小范圍穩(wěn)定系統(tǒng)dfcA圖3－19中，小球超出了C、D范圍后系統(tǒng)就不再是線性的，故可以認(rèn)為該系統(tǒng)在線性范圍內(nèi)是穩(wěn)定的。圖3－17為穩(wěn)定的系統(tǒng)。圖3－18為不穩(wěn)定系統(tǒng)。第109頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二.穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定性是系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，自身具有的一種恢復(fù)能力，它是系統(tǒng)的一種固有特性，這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用無(wú)關(guān)。線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性的定義：如果線性定常系統(tǒng)受到擾動(dòng)的作用，偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài)，而當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)又能夠逐漸恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的（簡(jiǎn)稱為穩(wěn)定）。否則，稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。在下面的討論中，如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在小偏差線性化的基礎(chǔ)上，則認(rèn)為系統(tǒng)中各信號(hào)的變化均不超出其線性范圍。此時(shí)，該系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定性的定義。課本上p80講：李雅浦諾夫的定義（講的是狀態(tài)方程的表述形式，同學(xué)們能否給出其微分方程結(jié)構(gòu)的表達(dá)式呢？）？第110頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

根據(jù)上述穩(wěn)定性的定義，可以用函數(shù)作為擾動(dòng)來(lái)討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)線性定常系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，輸入一個(gè)理想單位脈沖，這相當(dāng)于系統(tǒng)在零平衡狀態(tài)下，受到一個(gè)擾動(dòng)信號(hào)的作用，如果當(dāng)t趨于時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)C(t)收斂到原來(lái)的零平衡狀態(tài)，即該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。根據(jù)這個(gè)思路分析系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

第111頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特征方程為如果特征方程的所有根互不相同，且有q個(gè)實(shí)數(shù)根和r對(duì)共軛復(fù)數(shù)根,則在單位脈沖函數(shù)的作用下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換可表示為將上式用部分分式法展開并進(jìn)行拉氏反變換得

式中第112頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實(shí)部時(shí)，則各瞬態(tài)分量都是衰減的，且有，此時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果特征根中有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部，則該根對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是發(fā)散的，此時(shí)有，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果特征根中具有一個(gè)或一個(gè)以上的零實(shí)部根，而其余的特征根均有負(fù)實(shí)部，則C（t）趨于常數(shù)或作等幅振蕩，這時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定和不穩(wěn)定的臨界狀態(tài)，常稱之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。對(duì)于大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)，當(dāng)它處于臨界狀態(tài)時(shí)，也是不能正常工作的，所以臨界穩(wěn)定的系統(tǒng)在工程上屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根據(jù)都具有負(fù)實(shí)部，或者說(shuō)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于為S平面的左半部分（不包括虛軸）。

該式表明第113頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、勞斯判據(jù)

首先將系統(tǒng)的特征方程式寫成如下標(biāo)準(zhǔn)形式為判斷系統(tǒng)穩(wěn)定與否，將系統(tǒng)特征方程式中的s各次項(xiàng)系數(shù)排列成如下的勞斯表（RouthArray）。第114頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月勞斯表共n+1行；最下面的兩行各有1列，其上兩行各有2列，再上面兩行各有3列，依次類推。最高一行應(yīng)有(n+1)/2列（若n為奇數(shù)）或(n+2)/2列（若n為偶數(shù)）。表中的有關(guān)系數(shù)為第115頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這一計(jì)算過(guò)程，一直進(jìn)行到行，計(jì)算到每行其余的系數(shù)全部等于零為止。為簡(jiǎn)化數(shù)值運(yùn)算，可以用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一行的各項(xiàng)，這時(shí)并不改變穩(wěn)定性的結(jié)論。

Routh判據(jù)：特征方程的全部根都在s左半平面的充分必要條件是勞斯表的第1列系數(shù)全部是正數(shù)。

勞斯判據(jù)還可以指出方程的右半平面根的個(gè)數(shù)。它等于勞斯表中第1列各元改變符號(hào)的次數(shù)。第116頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3-4系統(tǒng)的特征方程為計(jì)算勞斯表中各元的值，并排列成下表由于表中的第1列出現(xiàn)了負(fù)數(shù)，根并非都在左半平面。因此，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第117頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在應(yīng)用勞斯判據(jù)時(shí)，可能遇到如下的特殊情況：

1．勞斯表中第1列出現(xiàn)零如果勞斯表第1列中出現(xiàn)0，那么可以用一個(gè)小的正數(shù)代替它，而繼續(xù)計(jì)算其余各元。例如，方程第118頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)在觀察勞斯表第1列的各元。當(dāng)趨近于零時(shí)，的值是一個(gè)很大的負(fù)值，因此可以認(rèn)為第1列中的各元的符號(hào)改變了兩次。由此得出結(jié)論，該系統(tǒng)特征方程式有兩個(gè)根具有正實(shí)部，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果上面一行的首列和下面一行的首列符號(hào)相同，這表明有一對(duì)純虛根存在。例如對(duì)下列方程式的勞斯表為第119頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可以看出，第1列各元中的上面和下面的系數(shù)符號(hào)不變，故有一對(duì)虛根。將特征方程式分解，有解得根為第120頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．勞斯表的某一行中，所有元都等于零

如果在勞斯表的某一行中，所有元都等于0，則表明方程有一些大小相等且對(duì)稱于原點(diǎn)的根。在這種情況下，可利用全0行的上一行各元構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式（稱為輔助方程），式中均為偶次。以輔助方程的導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)代替勞斯表中的這個(gè)全0行，然后繼續(xù)計(jì)算下去。這些大小相等而關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根也可以通過(guò)求解這個(gè)輔助方程得出。例3-5系統(tǒng)特征方程式為第121頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月勞斯表中得各元為由上表可以看出，行的各項(xiàng)全部為零。為了求出各項(xiàng)，將行的各元構(gòu)成輔助方程式，它的導(dǎo)函數(shù)為第122頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用導(dǎo)函數(shù)的系數(shù)4和12代替行相應(yīng)的元繼續(xù)算下去，得勞斯表為可以看出，在新得到的勞斯表的第1列沒有變號(hào)，因此可以確定在右半平面沒有特征根。另外，由于行的各元均為零，這表示有共軛虛根。這些根可由輔助方程式求出。本例的輔助方程式是第123頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由之求得特征方程式的大小相等符號(hào)相反的虛根為

應(yīng)用Routh判據(jù)分別研究一階、二階和三階微分方程

第124頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

容易得到以下的簡(jiǎn)單結(jié)論：（1）一階和二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程所有系數(shù)均為正。（2）三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程所有系數(shù)均為正，且。第125頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、赫爾維茨判據(jù)

設(shè)所研究的代數(shù)方程仍為構(gòu)造赫爾維茨行列式D：

第126頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：特征方程式的全部根都在左半復(fù)平面的充分必要條件是上述行列式的各階主子式均大于0，即第127頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響應(yīng)用代數(shù)穩(wěn)定判椐可以用來(lái)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還可以方便地用于分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而給出使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。

第128頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)特征方程為根據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判椐，穩(wěn)定的充要條件得第129頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.6穩(wěn)態(tài)誤差

在穩(wěn)態(tài)條件下輸出量的期望值與穩(wěn)態(tài)值之間存在的誤差，稱為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的大小是衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標(biāo)。影響系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的因素很多，如系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)的參數(shù)以及輸入量的形式等。必須指出的是，這里所說(shuō)的穩(wěn)態(tài)誤差并不考慮由于元件的不靈敏區(qū)、零點(diǎn)漂移、老化等原因所造成的永久性的誤差。

本節(jié)將討論計(jì)算和減少穩(wěn)態(tài)誤差的方法。第130頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差如圖所示為有給定作用和擾動(dòng)作用的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。第131頁(yè)，課件共150頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月擾動(dòng)誤差的傳遞函數(shù)為根據(jù)拉氏變換的終值定理，求得擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為由上式知，系統(tǒng)擾動(dòng)誤差決定于系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)和擾動(dòng)量。對(duì)于恒值系統(tǒng)，典型的擾動(dòng)量為單位階躍函數(shù)，