湖南長沙一中自主招生考試數學試卷

2007年湖南省長沙一中自主招生考試數學試卷一、填空題設a為'/!：的小數部分，b為■巧的小數部分，則飛設a為'/!：的小數部分，b為■巧的小數部分，則飛資萬￥的整數部分為下列兩個方程組640s+20y=n2s-y-7與3s4-y=8有相同的解，則m+n=500k-489y=m3.AB—如圖，在RtAABC中，NC=90°,NB=60°,NA的平分線AD交BC于D,則———3.。 20024.已知a是方程x2-2002x+1=0的根，則2/一40口力+1+上瀘■月.1.A、B是平面內兩個不同的定點，在此平面內找點C,使^ABC為等腰直角三角形，則這樣的點C有個..某工程隊要招聘甲乙兩種工種的工人150名，甲乙兩種工種工人的月工資分別是600元和1000元，現要求乙種工種的人數不少于甲種工種人數的兩倍，問甲乙兩種工種的人數各聘 時可使得每月所付工資最少，TOC\o"1-5"\h\z最小值是 .-2x2+13k+23-8k+15Ar -6k3-2x2+13k+23-8k+15.已知廠4-，2,則分式 \o"CurrentDocument".如圖，D、E分別是△ABC的邊AC、AB邊上的點，BD、CE相交于點O,若S^COD=3,S^BDE=4,S^OBC=5,那口么S四邊形DOE= .A.三邊長為整數且最長邊是11的三角形共有個..已知方程：x3+4x2-11x-30=0的兩個根的和等于1,則這個方程的三個根分別是.若函數f（Q二一十』丐當a<x<b時的最小值為2a,最大值為2b,求a、b的值..函數尸/一之肝:（色-1），其中a為任意實數，則該函數的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為—.二、解答題（共8小題，滿分0分）.已知關于x的方程x2-（2m-3）x+m-4=O的二根為a^a2，且滿足-3<a]<-2,a2>0.求m的取值范圍..在△ABC中，AD±BC于點D,NBAC=45°,BD=3,DC=2,求△ABC的面積..一個三角形的三邊長分別為a、a、b,另一個三角形的三邊長分別為a、b、b,其中a>b,若兩個三角形的最小內角相等，則U停=.%+y=2.求方程組 n的實數解.sy-z=1.如圖，在半徑為r的。O中，AB為直徑，C為郎的中點，D為?6的三分之一分點，且DB的長等于兩倍的匚口的長，連接AD并延長交。O的切線CE于點E（C為切點），求AE的長.An

An.如圖，4ABC是銳角三角形，以BC為直徑作。O,AD是。O的切線，從AB上一點E作AB的垂線交AC的延長線于F,若笑嗎.AFAC求證：AD=AE..如圖，在正方形ABCD中，DC的中點為E,F為CE的中點，求證：NDAEgNBAF..如圖，四邊形ABCD是正方形，E為BF上一點，四邊形AEFC恰好是一個菱形，求NEAB的度數.2007年湖南省長沙一中自主招生考試數學試卷參考答案與試題解析一、填空題.設a為門的小數部分，b為?巧的小數部分，則1—廿丁的整數部分為二_.考點：估算無理數的大小.分析：根據無理數的取值范圍表示a、b,再代入所求算式計算，估計結果的整數部分.解答：解：?.二<43<2,_1<12<2,?,a=.：3_1,b=，_：2-1，__=_= = （a-b）b（有-1-詆+1）（V2-1）/T）（V2+1）= /V3=（_.-'6-受+..：3-1）（'/%工）=1.;3+2,'2+1, _?1.732，2?/工，2828，5V..與+2?巧+1<6，?；1+2'回+1的整數部分為5，故答案為：5.有規(guī)律的無限不循環(huán)小點評：此題主要考查了無理數的估算，其中無理數包括開方開不盡的數，和n有關的數，數.有規(guī)律的無限不循環(huán)小2.下列兩個方程組640x+20y=n-y=7f2.下列兩個方程組640x+20y=n-y=7f3s+y=8與15期一非9廠口有相同的解，則m+n=3889考點：二元一次方程組的解.分析：將兩個方程組中不含字母系數的方程重新組成方程組求x、y的值，再求m+n的值解答解:聯立方程組2k-y=73x+y=8解得解答解:聯立方程組2k-y=73x+y=8解得，則m+n=500x則m+n=500x-489y+640x+20y=1140x-469y二1140x3-469x（-1）二3889，故答案為：3889.點評：本題考查了二元一次方程組的解.結果是將兩個方程組重新組合，先求x、y的值，再求m+n.3.如圖，在RtAABC中，NC=90°,NB=60AB-嵋,N3.如圖，在RtAABC中，NC=90°,NB=60AB-嵋,NA的平分線AD交BC于D,則 =_得一考點n八、、

專題

分析角平分線的性質；三角形內角和定理;計算題.過D作DELAB于E,求出CD=DE,全等三角形的判定與性質；勾股定理；特殊角的三角函數值.求出NBDE=30°,求出BD=2BE,CD=DE='j'MBE,根據勾股定理求解答:出AE=AC,求出AB-AC=BE,代入求出即可.解：過D作DELAB于E,丁AD平分NBAC,DE±AB,NC=90°,?.DE=CD,;DE±AB,?.NBED=90°,;NB=60°,?.NBDE=180°-90°-60°=30°,?.BD=2BE,由勾股定理得：DE=CD='；3BE,由勾股定理得：AE2=AD2-DE2,AC2=AD2-CD2,?.AE=AC,即AB-AC=AB-AE=BE?1一BE.如1 = ?CDV3BE3故答案為：孩.點評:4.已知a是方程x2-2002x+1=0的根，則2/一4003出4+20022001本題考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的內角和定理，角平分線性質的應用，關鍵是能根據性質求出CD=.1BE和AB-AC=BE,題目比較好，是一道具有一定代表性的題目.考點n考點n八、、

專題

分析解答:一元二次方程的解.計算題.由a為方程x2-2002x+1=0的根，所以將x=a代入方程得到關于a的等式a2-2002a=-1,a2+1=2002a,然后將所求的式子的第二項變形為-4004a+a,前兩項提取2變形后，將a2-2002a=-1,a2+1=2002a代入，合并約分后再將a2+1=2002a代入，整理后即可得到值.解：:a是方程x2-2002x+1=0的根，.??將x=a代入方程得：a2-2002a+1=0,「?a2-2002a=-1,a2+1=2002a,貝U2a2-4003a+1+^^=2(a2-2002)+a+1+^^鏟十1 a2+lcI2002I1Ia+1ICMC=-2+a+1+ =-1+a+—=-1+ =-1+2002=2001.20(J'2a aa故答案為：2001點評：此題考查了一元二次方程的解，利用了轉化及降次的數學思想，其中方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數的值..A、B是平面內兩個不同的定點，在此平面內找點^使^ABC為等腰直角三角形，則這樣的點C有6個.考點：等腰直角三角形.專題：規(guī)律型.分析：分三種情況考慮：當A為直角頂點時，過A作AB的垂線，以A為圓心，AB長為半徑畫弧，與垂線交于C3與C4兩點；當B為直角頂點時，過B作AB的垂線，以B為圓心，BA長為半徑畫弧，與垂線交于C5與C6；當C為直角頂點時，以上兩種情況的交點即為C1和C2，綜上，得到所有滿足題意的點C的個數.解答：解：A、B是平面內兩個不同的定點，在此平面內找點^使^ABC為等腰直角三角形，如圖所示：則這樣的點C有6個.故答案為：6點評：此題考查了等腰直角三角形的性質，利用了分類討論的思想，根據等腰直角三角形的性質找全滿足題意的點C是解本題的關鍵..某工程隊要招聘甲乙兩種工種的工人150名，甲乙兩種工種工人的月工資分別是600元和1000元，現要求乙種工種的人數不少于甲種工種人數的兩倍，問甲乙兩種工種的人數各聘甲50人，乙100人時可使得每月所付工資最少，最小值是130000.考點：一次函數的應用.分析：設招聘甲工種工人x人，則乙工種工人(150-x)人，根據甲、乙兩種工種的工人的工資列出一次函數關系式，由乙種工種的人數不少于甲種工種人數的2倍，求自變量x的取值范圍，根據一次函數的性質求工資的最小值.解答：解：設招聘甲工種工人x人，則乙工種工人(150-x)人，每月所付的工資為y元，則y=600x+1000(150-x)=-400x+150000,;(150-x)>2x,」.x<50,:k=-400<0,「.y隨x的增大而減小???當x=50時，y最小-400x50+150000=130000元.

」?招聘甲50人，乙100人時，可使得每月所付的工資最少；最少工資130000元.故答案為：甲50人，乙100人，130000元.點評：本題考查了一次函數的運用.關鍵是根據所付工資列出函數關系式，根據題意求出自變量的取值范圍.,ri _ 9.已知,2,則分式 二二0二2^12資-8k+15考點：分式的化簡求值._分析：首先求得當x=4-1:2時，x2- 8x+15=1,然后將原式化為x4- 6x3- 2x2+18x+23=x2 (x2 -8x+15) +2x (x2-8x+15)-(x2二8x+15)-20x+38,即可將原式化簡，然后代入x=4-二！即可求得答案.解答：解：:當x=4-1.'12時，x2-8x+15=(x-3)(x-5)=(1-1.-12)(-1-1.-'2)=1,,凸"38k+15=x4-6x3-2x2+18x+23=x2(x2-8x+15)+2x(x2-8x+15)-(x2-8x+15)-20x+38=x2+2x-1-20x+38=x2-18x+37=(x2-8x+15)-10x+22=1-10x+22=23-10x,_ _ _...當x=4-工時，原式=23-10(4-±)=10/2-17.故答案為：10-2-17.點評：此題考查了分式的化簡求值問題.此題比較難，注意得到x2-8x+15=1與將原式化為x2(x2-8x+15)+2x(x2-8x+15)-(x2-8x+15)-20x+38是解此題的關鍵..如圖，D、E分別是△ABC的邊AC、AB邊上的點，BD、CE相交于點O,若S^COD=3，SABde=4，Saobc=5,那口么S四邊adoe二一五一.考點：三角形的面積.專題：應用題.分析：根據“等高的兩個三角形的面積的比等于對應的底的比〃求出OD與OB的比，再根據Sabde=4求出△BOE與△DOE的面積，然后設△ADE的面積為x,再次利用“等高的兩個三角形的面積的比等于對應的底的比，根據△ADE與△CDE面積的比列式，AABD與△BCD面積的比列式，然后得到關于x的方程，求解即可.解答：解：:SACOD=3,SAOBC=5,??.OD：OB=3：5,又「SABDE=4,SADOE=■^^x4=1,5SADOE=■^^x4=1,5設△ADE的面積為x,

則隆仙J工包,Sacde3+1*CD品虹口4+工SABCD3+5所以，14+k

— ,所以，4.53附、|c 36,1 93所以,S四邊ADOE?+1-5-11故答案為：魯故答案為：魯點評:本題考查了三角形的面積，主要利用“等高的兩個三角形的面積的比等于對應的底的比〃性質，這是解答此題的關鍵.點評:9.三邊長為整數且最長邊是11的三角形共有36個.考點：三角形三邊關系；一元一次不等式組的應用.分析：確定三邊中的兩邊，分類找到第三邊長的范圍，再根據第三邊長也是整數，且唯一最長的邊11的三角形的個數即可.解答：解：當兩邊長分別為11,1時，10〈第三邊〈12,可取11,只有1個；當兩邊長為11,2時，9〈第三邊＜13,又因為最長邊是11,故可取10,11共2個數；當兩邊長為11,3時，8〈第三邊＜14,又因為最長邊是11,故可取9,10,11共3個數；當兩邊長為11,4時，7〈第三邊＜15,又因為最長邊是11,故可取8,9,10,11共4個數；當兩邊長為11,5時，6〈第三邊＜16,又因為最長邊是11,故可取7,8,9,10,11共5個數；當兩邊長為11,6時，5〈第三邊＜17,又因為最長邊是11,故可取6,7,8,9,10,11共6個數；當兩邊長為11,7時，4〈第三邊＜18,又因為最長邊是11,故可取5,6,7,8,9,10,11共7個數；當兩邊長為11,8時，3〈第三邊＜19,又因為最長邊是11,故可取4,5,6,7,8,9,10,11共，8個數；當兩邊長為11,9時，2〈第三邊＜20,又因為最長邊是11,故可取3,4,5,6,7,8,9,10,11共9個數；當兩邊長為11,10時，1〈第三邊＜21,又因為最長邊是11,故可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11共10個數；當兩邊長為11,11時，0〈第三邊＜22,又因為最長邊是11,故可取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11共11個數；去掉重合的組，這樣的三角形共有36組.故選答案為：36.點評：此題主要考查了三角形的三邊關系，解決本題的關鍵是分類討論得到三角形的三邊長；注意去掉重合的組成三角形的三邊.

10.已知方程：x3+4x2-11x-30=0的兩個根的和等于1,則這個方程的三個根分別是-2,3,-5考點：根與系數的關系.分析：由于方程的兩個根的和等于1,可設三次方程因式分解后為(x-a)(x2-x-b)=0,于是可得x3+4x2-11x-30=(x-a)(x2-x-b)=x3+(-1-a)x2+(a-b)x+ab,根據等于號的性質，可得-1-a=4,a-b=-11,ab=-30,可求a=-5、b=6,再把b=6代入(乂2-x-b)=0中，易求x=-2或x=3,從而可得方程的三個根.解答：解：由于方程的兩個根的和等于1,那么可設方程為(x-a)(x2-x-b)=0,則x3+4x2-11x-30=(x-a)(x2-x-b)=x3+(-1-a)x2+(a-b)x+ab,于是-1-a=4,a-b=-11,ab=-30,解得a=-5,b=6,把b=6代入^2-*…)=0中，得x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,所以方程的三個根分別是-2,3,-5.故答案是-2,3,-5.點評：本題考查了根與系數的關系，解題的關鍵是理解兩個根的和等于1代表的意思，并能設出方程.11.若函數f⑺二一 省當a<x<b時的最小值為2a,最大值為2b,求a、b的值.考點n八、、

分析

解答二次函數的最值.根據二次函數的增減性以及當a<b考點n八、、

分析

解答二次函數的最值.根據二次函數的增減性以及當a<b<0時(1)當a<b<0時12--a2+=2a,2 32X2好號的頂點是x=a時有最小值2a,當a<0<b時，若0<a<b時分別得出a,b的值即可.13 13(0,￡)，對稱軸是y軸，最大值為號，如右圖，J lJx=b時有最大值2b,于是2b,可知a、b是方程--^x2+彳=2x的兩個根，即3x2+12x-26=0,由于A^0,xp2=—彳，此方程有一正一負兩個根，這與a<b<0矛盾，故此情況舍去;(2)當a<0<b時，x=0時有最大值￥=2b,解得b=￥,0x=b時有最小值2a,(q2+干烏372(q2+干烏372>0,而2a<0,矛盾，所以只能是x=a時取最小值，(1.2130(-工)a2+——=2a,2 3-6--114 -一八3a2+12a-26=0a= 石 <0,符合條件，

1 1(3)若0<a<b,顯然有(-爭a2以=2b①，-tb2+^=2a②,①-②得：(-])(a-b)(a+b)=2(b-a),則a+b=4,b=4-2,代入①得：(-,)a2+=2(4-a),乙 ,--13a2-12a+22=0,;△<0,點評:???此方程無實數根，故此情況舍去.,此題主要考查了二次函數的最值求法,b』.點評:???此方程無實數根，故此情況舍去.,此題主要考查了二次函數的最值求法,b』.6根據自變量的取值范圍分別將a,b代入求出是解題關鍵.考點：考點：、、：分析:解答:12.函數產工(a-1)，其中a為任意實數，則該函數的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為_胃_.拋物線與x軸的交點.設函數y=x2-ax+i(a-1)與x軸的交點坐標分別為(x-0),(x2,0),則該函數的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為瓦-x2l.欲求瓦-x2l的最小值，需要根據關于x一元二次方程x2-ax+i(a-1)=0的根與系數的關系與代數式的變形相結合求得(x]-x2)2=(x1+x2)2-4xjx2=a2-a+1=(a--i)2d，最后根據二次函數的最值的求法即可解得lx「x2l的最小值.解：設函數y=x2-ax+-1(a-1)與x軸的交點坐標分別為(x^0),(x2,0),貝Ux1,x2是一元二次方程x2-ax+《(a-1)=0的兩個實數根，由韋達定理得，x1+x2=a,x1*x2=^(a-1),則％-x2)2=(x1+x2)2-4x1*x2=a2-a+1=(a-=)丁a為任意實數，「.(a-1)2>0,2(x1-x2)2§.lxI、豆-lx1-叼1/^,???1X1-x2l的最小值是4,即該函數的圖象在x軸上截得的最短線段的長度為」?.故答案是：苫.點評：本題考查了拋物線與X軸的交點問題.利用二次函數與一元二次方程間的關系是解答此類題目常用的方法.二、解答題(共8小題，滿分0分)13.已知關于x的方程x2-(2m-3)x+m-4=O的二根為ara2，且滿足-3<a]<-2,a2>0.求m的取值范圍.考點：拋物線與x軸的交點.專題：數形結合.分析：先令y=x2-(2m-3)x+m-4,根據方程x2-(2m-3)x+m-4=0的二根為a1>a2,且滿足-3<a]<-2,a2>0畫出函數圖象，由圖象可知當x=0,當x=-2,當x=-3時y的取值范圍，列出關于m的不等式組，求出m的取值范圍即可.解答：解：y=x2-(2m-3)x+m-4,如圖得關系式，當x=0時，y=m-4<0,當x=-2時，y=4+4m-6+m-4<0,當x=-3時，y=9+6m-9+m-4>0,‘產卬-4V0即廠4十4皿-6+m—4<口y=9+6皿-9+m-4〉。解得2<m<q.7 5故答案為：《<m<~^.7 5點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，利用數形結合把方程問題轉化為函數取值范圍的問題是解答此題的關鍵..在△ABC中，AD±BC于點D,NBAC=45°,BD=3,DC=2,求△ABC的面積.C/\口A.考點：正方形的性質；勾股定理.分析：把^ABD沿AB為對稱軸翻折成為△ABE,△ACD沿AC為對稱軸翻折成為△ACG,延長EB、GC相交于點F，根據軸對稱的性質可以證明四邊形AEFG是正方形，設AD=x，用x表示出BF、CF，在Rt△BCF中，根據勾股定理列式進行計算即可求出x的值，再利用三角形的面積公式列式計算即可得解.解答：解：如圖，把△ABD沿AB為對稱軸翻折成為△ABE,△ACD沿AC為對稱軸翻折成為△ACG,延長EB、GC相交于點F,則^ABEM△ABD,△ACDM△ACG,所以，AD=AE=AG,乙AEB=NAGC=90°,丁NBAC=45°,??.NEAG=NEAB+NBAD+NCAD+NCAG=2(NBAD+NCAD)=2NBAC=2x45°=90°,???四邊形AEFG是正方形，;BD=3,DC=2,「.BC=BD+CD=3+2=5,設AD=x，則UBF=EF-BE=x-3,CF=FG-CG=x-2,在R3BCF中，根據勾股定理，BF2+CF2=BC2,即(x-3)2+(x-2)2=52,整理得，x2-5x-6=0,解得，x1=-1(舍去)，x2=6,所以，'△ABC=^BaADLx5x6=15.點評：本題考查了正方形的判定與性質，軸對稱的性質，以及勾股定理的應用，根據NBAC=45°軸對稱圖形，構造出正方形并得到R3BCF是解題的關鍵，也是本題的難點..一個三角形的三邊長分別為a、a、b,另一個三角形的三邊長分別為a、b、b,其中a>b,若兩個三角形的最小內角相等，則笊=一苧—考點：相似三角形的判定與性質.分析：由已知邊長可知，兩個三角形為等腰三角形，又兩個三角形的最小內角相等，可證△ABC-△CBD,利用

相似比列方程求解.解答：解：由兩個三角形三邊長可知，△ABC與八CBD為等腰三角形，???NABC=NCBD，且都為底角，??.△ABC-△CBD，返匹，即』，BCBDba-b整理，得a2-ab-b2=0,即（色）2-'-1=0,bb解得"與四或二^(舍去負值)，I---故答案為：粵點評:本題考查了相似三角形的判定與性質.關鍵是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性質解題.點評:16.求方程組16.求方程組□的實數解.空一工=1考點：高次方程.專題：計算題.分析：首先把x+y=2兩邊分別平方，得x2+2xy+y2=4,一步步化簡可以得到：(x-1)2+(y-1)2+2z2=0,根據非負數的性質，可以解得x、y、z的值.解答：解：將x+y=2兩邊分別平方，得x2+2xy+y2=4(1)把方程xy-z2=1兩邊都乘以2得2xy-2z2=2(2)(1)-(2)得：x2+y2+2z2=2(3)由x+y=2得2x+2y=4(4)(3)-(4)得：x2+y2+2z2-2x-2y+2=0,配方，得：(x-1)2+(y-1)2+2z2=0,:x,y,z均為實數，一只能是保-1)2=0,(y-1)2=0,z2=0,「?x=1,y=1,z=0,顯然x=1,y=1,z=0滿足原方程組.???原方程組的實數解為：x=1,y=1,z=0.點評：本題主要考查高次方程求解的問題，解決此類問題的關鍵是把方程轉化成幾個非負數之和的形式，再進行求解，此類題具有一定的難度，同學們解決時需要細心.17.如圖，在半徑為r的。O中，AB為直徑，C為郎的中點，D為?6的三分之一分點，且DB的長等于兩倍的匚口的長，連接AD并延長交。O的切線CE于點E(C為切點)，求AE的長.考點：圓的綜合題.專題：綜合題.分析:2芍分析:2芍x45°=30°過E作EH±AB于H,連OC,根據直徑所對的圓周角為直角得到NACB=90°,由C為AB的中點，則CA=CB且NCAB=45°，可得到CO±AB，根據切線的性質得OCLCE，則四邊形OCEH為矩形，于是有EH=OC=r，又由于D為13的三分之一分點，且誣的長等于兩倍的?的長，則NBAD=2NDAC，可得NBAD然后根據含30度的直角三角形三邊的關系即可得到AE的長.解答：解：過E作EH±AB于H,連OC,如圖，丁AB為。O直徑，「.NACB=90°,又:C為形的中點，?.CA=CB,NCAB=45°,「.CO±AB,丁CE為。O的切線，?.OC±CE,而EH±AB,??四邊形OCEH為矩形，?.EH=OC=r,丁D為二即勺三分之一分點，且DB的長等于兩倍的CD的長，.NBAD=2NDAC,.NBAD/x45°=30°,3在RtAAHE中，NBAE=30°,NAHE=90°,?.AE=2EH=2r.點評：本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角為直角；圓的切線垂直于過切點的半徑；記住含30度的直角三角形三邊的關系.18.如圖，△ABC是銳角三角形，以BC為直徑作。O,AD是。O的切線，從AB上一點E作AB的垂線交AC的延長線于F,AF.AC求證：AD=AE的延長線于F,AF.AC求證：AD=AE.考點：、、：專題切割線定理;證明題.相似三角形的判定與性質.分析：連接BN,根據BC為。O的直徑，求證△ABN-△AFE利用其對應邊成比例得AE2=AN?AC,再利用切割線定理得出AD2=AN?AC,然后利用等量代換即可.解答：證明：如圖，設AC交。O于點N.連接BN,丁BC為。O的直徑，???乙BNC=90°,「.乙BNA=90°,vFE±AB,「.NAEF=90°=NBNA,NBNA=NFAE,??.△ABN-△AFE,.AB-AN.. ,A