湖南長(zhǎng)沙一中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷

2007年湖南省長(zhǎng)沙一中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷一、填空題設(shè)a為'/!：的小數(shù)部分，b為■巧的小數(shù)部分，則飛設(shè)a為'/!：的小數(shù)部分，b為■巧的小數(shù)部分，則飛資萬(wàn)￥的整數(shù)部分為下列兩個(gè)方程組640s+20y=n2s-y-7與3s4-y=8有相同的解，則m+n=500k-489y=m3.AB—如圖，在RtAABC中，NC=90°,NB=60°,NA的平分線AD交BC于D,則———3.。 20024.已知a是方程x2-2002x+1=0的根，則2/一40口力+1+上瀘■月.1.A、B是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，在此平面內(nèi)找點(diǎn)C,使^ABC為等腰直角三角形，則這樣的點(diǎn)C有個(gè)..某工程隊(duì)要招聘甲乙兩種工種的工人150名，甲乙兩種工種工人的月工資分別是600元和1000元，現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的兩倍，問(wèn)甲乙兩種工種的人數(shù)各聘 時(shí)可使得每月所付工資最少，TOC\o"1-5"\h\z最小值是 .-2x2+13k+23-8k+15Ar -6k3-2x2+13k+23-8k+15.已知廠4-，2,則分式 \o"CurrentDocument".如圖，D、E分別是△ABC的邊AC、AB邊上的點(diǎn)，BD、CE相交于點(diǎn)O,若S^COD=3,S^BDE=4,S^OBC=5,那口么S四邊形DOE= .A.三邊長(zhǎng)為整數(shù)且最長(zhǎng)邊是11的三角形共有個(gè)..已知方程：x3+4x2-11x-30=0的兩個(gè)根的和等于1,則這個(gè)方程的三個(gè)根分別是.若函數(shù)f（Q二一十』丐當(dāng)a<x<b時(shí)的最小值為2a,最大值為2b,求a、b的值..函數(shù)尸/一之肝:（色-1），其中a為任意實(shí)數(shù)，則該函數(shù)的圖象在x軸上截得的最短線段的長(zhǎng)度為—.二、解答題（共8小題，滿分0分）.已知關(guān)于x的方程x2-（2m-3）x+m-4=O的二根為a^a2，且滿足-3<a]<-2,a2>0.求m的取值范圍..在△ABC中，AD±BC于點(diǎn)D,NBAC=45°,BD=3,DC=2,求△ABC的面積..一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、a、b,另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、b,其中a>b,若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，則U停=.%+y=2.求方程組 n的實(shí)數(shù)解.sy-z=1.如圖，在半徑為r的。O中，AB為直徑，C為郎的中點(diǎn)，D為?6的三分之一分點(diǎn)，且DB的長(zhǎng)等于兩倍的匚口的長(zhǎng)，連接AD并延長(zhǎng)交。O的切線CE于點(diǎn)E（C為切點(diǎn)），求AE的長(zhǎng).An

An.如圖，4ABC是銳角三角形，以BC為直徑作。O,AD是。O的切線，從AB上一點(diǎn)E作AB的垂線交AC的延長(zhǎng)線于F,若笑嗎.AFAC求證：AD=AE..如圖，在正方形ABCD中，DC的中點(diǎn)為E,F為CE的中點(diǎn)，求證：NDAEgNBAF..如圖，四邊形ABCD是正方形，E為BF上一點(diǎn)，四邊形AEFC恰好是一個(gè)菱形，求NEAB的度數(shù).2007年湖南省長(zhǎng)沙一中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題.設(shè)a為門(mén)的小數(shù)部分，b為?巧的小數(shù)部分，則1—廿丁的整數(shù)部分為二_.考點(diǎn)：估算無(wú)理數(shù)的大小.分析：根據(jù)無(wú)理數(shù)的取值范圍表示a、b,再代入所求算式計(jì)算，估計(jì)結(jié)果的整數(shù)部分.解答：解：?.二<43<2,_1<12<2,?,a=.：3_1,b=，_：2-1，__=_= = （a-b）b（有-1-詆+1）（V2-1）/T）（V2+1）= /V3=（_.-'6-受+..：3-1）（'/%工）=1.;3+2,'2+1, _?1.732，2?/工，2828，5V..與+2?巧+1<6，?；1+2'回+1的整數(shù)部分為5，故答案為：5.有規(guī)律的無(wú)限不循環(huán)小點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，其中無(wú)理數(shù)包括開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，和n有關(guān)的數(shù)，數(shù).有規(guī)律的無(wú)限不循環(huán)小2.下列兩個(gè)方程組640x+20y=n-y=7f2.下列兩個(gè)方程組640x+20y=n-y=7f3s+y=8與15期一非9廠口有相同的解，則m+n=3889考點(diǎn)：二元一次方程組的解.分析：將兩個(gè)方程組中不含字母系數(shù)的方程重新組成方程組求x、y的值，再求m+n的值解答解:聯(lián)立方程組2k-y=73x+y=8解得解答解:聯(lián)立方程組2k-y=73x+y=8解得，則m+n=500x則m+n=500x-489y+640x+20y=1140x-469y二1140x3-469x（-1）二3889，故答案為：3889.點(diǎn)評(píng)：本題考查了二元一次方程組的解.結(jié)果是將兩個(gè)方程組重新組合，先求x、y的值，再求m+n.3.如圖，在RtAABC中，NC=90°,NB=60AB-嵋,N3.如圖，在RtAABC中，NC=90°,NB=60AB-嵋,NA的平分線AD交BC于D,則 =_得一考點(diǎn)n八、、

專題

分析角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理;計(jì)算題.過(guò)D作DELAB于E,求出CD=DE,全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；特殊角的三角函數(shù)值.求出NBDE=30°,求出BD=2BE,CD=DE='j'MBE,根據(jù)勾股定理求解答:出AE=AC,求出AB-AC=BE,代入求出即可.解：過(guò)D作DELAB于E,丁AD平分NBAC,DE±AB,NC=90°,?.DE=CD,;DE±AB,?.NBED=90°,;NB=60°,?.NBDE=180°-90°-60°=30°,?.BD=2BE,由勾股定理得：DE=CD='；3BE,由勾股定理得：AE2=AD2-DE2,AC2=AD2-CD2,?.AE=AC,即AB-AC=AB-AE=BE?1一BE.如1 = ?CDV3BE3故答案為：孩.點(diǎn)評(píng):4.已知a是方程x2-2002x+1=0的根，則2/一4003出4+20022001本題考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能根據(jù)性質(zhì)求出CD=.1BE和AB-AC=BE,題目比較好，是一道具有一定代表性的題目.考點(diǎn)n考點(diǎn)n八、、

專題

分析解答:一元二次方程的解.計(jì)算題.由a為方程x2-2002x+1=0的根，所以將x=a代入方程得到關(guān)于a的等式a2-2002a=-1,a2+1=2002a,然后將所求的式子的第二項(xiàng)變形為-4004a+a,前兩項(xiàng)提取2變形后，將a2-2002a=-1,a2+1=2002a代入，合并約分后再將a2+1=2002a代入，整理后即可得到值.解：:a是方程x2-2002x+1=0的根，.??將x=a代入方程得：a2-2002a+1=0,「?a2-2002a=-1,a2+1=2002a,貝U2a2-4003a+1+^^=2(a2-2002)+a+1+^^鏟十1 a2+lcI2002I1Ia+1ICMC=-2+a+1+ =-1+a+—=-1+ =-1+2002=2001.20(J'2a aa故答案為：2001點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程的解，利用了轉(zhuǎn)化及降次的數(shù)學(xué)思想，其中方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值..A、B是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，在此平面內(nèi)找點(diǎn)^使^ABC為等腰直角三角形，則這樣的點(diǎn)C有6個(gè).考點(diǎn)：等腰直角三角形.專題：規(guī)律型.分析：分三種情況考慮：當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)A作AB的垂線，以A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與垂線交于C3與C4兩點(diǎn)；當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B作AB的垂線，以B為圓心，BA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與垂線交于C5與C6；當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，以上兩種情況的交點(diǎn)即為C1和C2，綜上，得到所有滿足題意的點(diǎn)C的個(gè)數(shù).解答：解：A、B是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，在此平面內(nèi)找點(diǎn)^使^ABC為等腰直角三角形，如圖所示：則這樣的點(diǎn)C有6個(gè).故答案為：6點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，利用了分類討論的思想，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找全滿足題意的點(diǎn)C是解本題的關(guān)鍵..某工程隊(duì)要招聘甲乙兩種工種的工人150名，甲乙兩種工種工人的月工資分別是600元和1000元，現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的兩倍，問(wèn)甲乙兩種工種的人數(shù)各聘甲50人，乙100人時(shí)可使得每月所付工資最少，最小值是130000.考點(diǎn)：一次函數(shù)的應(yīng)用.分析：設(shè)招聘甲工種工人x人，則乙工種工人(150-x)人，根據(jù)甲、乙兩種工種的工人的工資列出一次函數(shù)關(guān)系式，由乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍，求自變量x的取值范圍，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求工資的最小值.解答：解：設(shè)招聘甲工種工人x人，則乙工種工人(150-x)人，每月所付的工資為y元，則y=600x+1000(150-x)=-400x+150000,;(150-x)>2x,」.x<50,:k=-400<0,「.y隨x的增大而減小???當(dāng)x=50時(shí)，y最小-400x50+150000=130000元.

」?招聘甲50人，乙100人時(shí)，可使得每月所付的工資最少；最少工資130000元.故答案為：甲50人，乙100人，130000元.點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)所付工資列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意求出自變量的取值范圍.,ri _ 9.已知,2,則分式 二二0二2^12資-8k+15考點(diǎn)：分式的化簡(jiǎn)求值._分析：首先求得當(dāng)x=4-1:2時(shí)，x2- 8x+15=1,然后將原式化為x4- 6x3- 2x2+18x+23=x2 (x2 -8x+15) +2x (x2-8x+15)-(x2二8x+15)-20x+38,即可將原式化簡(jiǎn)，然后代入x=4-二！即可求得答案.解答：解：:當(dāng)x=4-1.'12時(shí)，x2-8x+15=(x-3)(x-5)=(1-1.-12)(-1-1.-'2)=1,,凸"38k+15=x4-6x3-2x2+18x+23=x2(x2-8x+15)+2x(x2-8x+15)-(x2-8x+15)-20x+38=x2+2x-1-20x+38=x2-18x+37=(x2-8x+15)-10x+22=1-10x+22=23-10x,_ _ _...當(dāng)x=4-工時(shí)，原式=23-10(4-±)=10/2-17.故答案為：10-2-17.點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題.此題比較難，注意得到x2-8x+15=1與將原式化為x2(x2-8x+15)+2x(x2-8x+15)-(x2-8x+15)-20x+38是解此題的關(guān)鍵..如圖，D、E分別是△ABC的邊AC、AB邊上的點(diǎn)，BD、CE相交于點(diǎn)O,若S^COD=3，SABde=4，Saobc=5,那口么S四邊adoe二一五一.考點(diǎn)：三角形的面積.專題：應(yīng)用題.分析：根據(jù)“等高的兩個(gè)三角形的面積的比等于對(duì)應(yīng)的底的比〃求出OD與OB的比，再根據(jù)Sabde=4求出△BOE與△DOE的面積，然后設(shè)△ADE的面積為x,再次利用“等高的兩個(gè)三角形的面積的比等于對(duì)應(yīng)的底的比，根據(jù)△ADE與△CDE面積的比列式，AABD與△BCD面積的比列式，然后得到關(guān)于x的方程，求解即可.解答：解：:SACOD=3,SAOBC=5,??.OD：OB=3：5,又「SABDE=4,SADOE=■^^x4=1,5SADOE=■^^x4=1,5設(shè)△ADE的面積為x,

則隆仙J工包,Sacde3+1*CD品虹口4+工SABCD3+5所以，14+k

— ,所以，4.53附、|c 36,1 93所以,S四邊ADOE?+1-5-11故答案為：魯故答案為：魯點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形的面積，主要利用“等高的兩個(gè)三角形的面積的比等于對(duì)應(yīng)的底的比〃性質(zhì)，這是解答此題的關(guān)鍵.點(diǎn)評(píng):9.三邊長(zhǎng)為整數(shù)且最長(zhǎng)邊是11的三角形共有36個(gè).考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系；一元一次不等式組的應(yīng)用.分析：確定三邊中的兩邊，分類找到第三邊長(zhǎng)的范圍，再根據(jù)第三邊長(zhǎng)也是整數(shù)，且唯一最長(zhǎng)的邊11的三角形的個(gè)數(shù)即可.解答：解：當(dāng)兩邊長(zhǎng)分別為11,1時(shí)，10〈第三邊〈12,可取11,只有1個(gè)；當(dāng)兩邊長(zhǎng)為11,2時(shí)，9〈第三邊＜13,又因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊是11,故可取10,11共2個(gè)數(shù)；當(dāng)兩邊長(zhǎng)為11,3時(shí)，8〈第三邊＜14,又因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊是11,故可取9,10,11共3個(gè)數(shù)；當(dāng)兩邊長(zhǎng)為11,4時(shí)，7〈第三邊＜15,又因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊是11,故可取8,9,10,11共4個(gè)數(shù)；當(dāng)兩邊長(zhǎng)為11,5時(shí)，6〈第三邊＜16,又因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊是11,故可取7,8,9,10,11共5個(gè)數(shù)；當(dāng)兩邊長(zhǎng)為11,6時(shí)，5〈第三邊＜17,又因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊是11,故可取6,7,8,9,10,11共6個(gè)數(shù)；當(dāng)兩邊長(zhǎng)為11,7時(shí)，4〈第三邊＜18,又因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊是11,故可取5,6,7,8,9,10,11共7個(gè)數(shù)；當(dāng)兩邊長(zhǎng)為11,8時(shí)，3〈第三邊＜19,又因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊是11,故可取4,5,6,7,8,9,10,11共，8個(gè)數(shù)；當(dāng)兩邊長(zhǎng)為11,9時(shí)，2〈第三邊＜20,又因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊是11,故可取3,4,5,6,7,8,9,10,11共9個(gè)數(shù)；當(dāng)兩邊長(zhǎng)為11,10時(shí)，1〈第三邊＜21,又因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊是11,故可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11共10個(gè)數(shù)；當(dāng)兩邊長(zhǎng)為11,11時(shí)，0〈第三邊＜22,又因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊是11,故可取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11共11個(gè)數(shù)；去掉重合的組，這樣的三角形共有36組.故選答案為：36.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是分類討論得到三角形的三邊長(zhǎng)；注意去掉重合的組成三角形的三邊.

10.已知方程：x3+4x2-11x-30=0的兩個(gè)根的和等于1,則這個(gè)方程的三個(gè)根分別是-2,3,-5考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.分析：由于方程的兩個(gè)根的和等于1,可設(shè)三次方程因式分解后為(x-a)(x2-x-b)=0,于是可得x3+4x2-11x-30=(x-a)(x2-x-b)=x3+(-1-a)x2+(a-b)x+ab,根據(jù)等于號(hào)的性質(zhì)，可得-1-a=4,a-b=-11,ab=-30,可求a=-5、b=6,再把b=6代入(乂2-x-b)=0中，易求x=-2或x=3,從而可得方程的三個(gè)根.解答：解：由于方程的兩個(gè)根的和等于1,那么可設(shè)方程為(x-a)(x2-x-b)=0,則x3+4x2-11x-30=(x-a)(x2-x-b)=x3+(-1-a)x2+(a-b)x+ab,于是-1-a=4,a-b=-11,ab=-30,解得a=-5,b=6,把b=6代入^2-*…)=0中，得x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,所以方程的三個(gè)根分別是-2,3,-5.故答案是-2,3,-5.點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解兩個(gè)根的和等于1代表的意思，并能設(shè)出方程.11.若函數(shù)f⑺二一 省當(dāng)a<x<b時(shí)的最小值為2a,最大值為2b,求a、b的值.考點(diǎn)n八、、

分析

解答二次函數(shù)的最值.根據(jù)二次函數(shù)的增減性以及當(dāng)a<b考點(diǎn)n八、、

分析

解答二次函數(shù)的最值.根據(jù)二次函數(shù)的增減性以及當(dāng)a<b<0時(shí)(1)當(dāng)a<b<0時(shí)12--a2+=2a,2 32X2好號(hào)的頂點(diǎn)是x=a時(shí)有最小值2a,當(dāng)a<0<b時(shí)，若0<a<b時(shí)分別得出a,b的值即可.13 13(0,￡)，對(duì)稱軸是y軸，最大值為號(hào)，如右圖，J lJx=b時(shí)有最大值2b,于是2b,可知a、b是方程--^x2+彳=2x的兩個(gè)根，即3x2+12x-26=0,由于A^0,xp2=—彳，此方程有一正一負(fù)兩個(gè)根，這與a<b<0矛盾，故此情況舍去;(2)當(dāng)a<0<b時(shí)，x=0時(shí)有最大值￥=2b,解得b=￥,0x=b時(shí)有最小值2a,(q2+干烏372(q2+干烏372>0,而2a<0,矛盾，所以只能是x=a時(shí)取最小值，(1.2130(-工)a2+——=2a,2 3-6--114 -一八3a2+12a-26=0a= 石 <0,符合條件，

1 1(3)若0<a<b,顯然有(-爭(zhēng)a2以=2b①，-tb2+^=2a②,①-②得：(-])(a-b)(a+b)=2(b-a),則a+b=4,b=4-2,代入①得：(-,)a2+=2(4-a),乙 ,--13a2-12a+22=0,;△<0,點(diǎn)評(píng):???此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故此情況舍去.,此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法,b』.點(diǎn)評(píng):???此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，故此情況舍去.,此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法,b』.6根據(jù)自變量的取值范圍分別將a,b代入求出是解題關(guān)鍵.考點(diǎn)：考點(diǎn)：、、：分析:解答:12.函數(shù)產(chǎn)工(a-1)，其中a為任意實(shí)數(shù)，則該函數(shù)的圖象在x軸上截得的最短線段的長(zhǎng)度為_(kāi)胃_.拋物線與x軸的交點(diǎn).設(shè)函數(shù)y=x2-ax+i(a-1)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x-0),(x2,0),則該函數(shù)的圖象在x軸上截得的最短線段的長(zhǎng)度為瓦-x2l.欲求瓦-x2l的最小值，需要根據(jù)關(guān)于x一元二次方程x2-ax+i(a-1)=0的根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式的變形相結(jié)合求得(x]-x2)2=(x1+x2)2-4xjx2=a2-a+1=(a--i)2d，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值的求法即可解得lx「x2l的最小值.解：設(shè)函數(shù)y=x2-ax+-1(a-1)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x^0),(x2,0),貝Ux1,x2是一元二次方程x2-ax+《(a-1)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，x1+x2=a,x1*x2=^(a-1),則％-x2)2=(x1+x2)2-4x1*x2=a2-a+1=(a-=)丁a為任意實(shí)數(shù)，「.(a-1)2>0,2(x1-x2)2§.lxI、豆-lx1-叼1/^,???1X1-x2l的最小值是4,即該函數(shù)的圖象在x軸上截得的最短線段的長(zhǎng)度為」?.故答案是：苫.點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與X軸的交點(diǎn)問(wèn)題.利用二次函數(shù)與一元二次方程間的關(guān)系是解答此類題目常用的方法.二、解答題(共8小題，滿分0分)13.已知關(guān)于x的方程x2-(2m-3)x+m-4=O的二根為ara2，且滿足-3<a]<-2,a2>0.求m的取值范圍.考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn).專題：數(shù)形結(jié)合.分析：先令y=x2-(2m-3)x+m-4,根據(jù)方程x2-(2m-3)x+m-4=0的二根為a1>a2,且滿足-3<a]<-2,a2>0畫(huà)出函數(shù)圖象，由圖象可知當(dāng)x=0,當(dāng)x=-2,當(dāng)x=-3時(shí)y的取值范圍，列出關(guān)于m的不等式組，求出m的取值范圍即可.解答：解：y=x2-(2m-3)x+m-4,如圖得關(guān)系式，當(dāng)x=0時(shí)，y=m-4<0,當(dāng)x=-2時(shí)，y=4+4m-6+m-4<0,當(dāng)x=-3時(shí)，y=9+6m-9+m-4>0,‘產(chǎn)卬-4V0即廠4十4皿-6+m—4<口y=9+6皿-9+m-4〉。解得2<m<q.7 5故答案為：《<m<~^.7 5點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合把方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)取值范圍的問(wèn)題是解答此題的關(guān)鍵..在△ABC中，AD±BC于點(diǎn)D,NBAC=45°,BD=3,DC=2,求△ABC的面積.C/\口A.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；勾股定理.分析：把^ABD沿AB為對(duì)稱軸翻折成為△ABE,△ACD沿AC為對(duì)稱軸翻折成為△ACG,延長(zhǎng)EB、GC相交于點(diǎn)F，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可以證明四邊形AEFG是正方形，設(shè)AD=x，用x表示出BF、CF，在Rt△BCF中，根據(jù)勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可求出x的值，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解.解答：解：如圖，把△ABD沿AB為對(duì)稱軸翻折成為△ABE,△ACD沿AC為對(duì)稱軸翻折成為△ACG,延長(zhǎng)EB、GC相交于點(diǎn)F,則^ABEM△ABD,△ACDM△ACG,所以，AD=AE=AG,乙AEB=NAGC=90°,丁NBAC=45°,??.NEAG=NEAB+NBAD+NCAD+NCAG=2(NBAD+NCAD)=2NBAC=2x45°=90°,???四邊形AEFG是正方形，;BD=3,DC=2,「.BC=BD+CD=3+2=5,設(shè)AD=x，則UBF=EF-BE=x-3,CF=FG-CG=x-2,在R3BCF中，根據(jù)勾股定理，BF2+CF2=BC2,即(x-3)2+(x-2)2=52,整理得，x2-5x-6=0,解得，x1=-1(舍去)，x2=6,所以，'△ABC=^BaADLx5x6=15.點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)NBAC=45°軸對(duì)稱圖形，構(gòu)造出正方形并得到R3BCF是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)..一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、a、b,另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、b,其中a>b,若兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，則笊=一苧—考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).分析：由已知邊長(zhǎng)可知，兩個(gè)三角形為等腰三角形，又兩個(gè)三角形的最小內(nèi)角相等，可證△ABC-△CBD,利用

相似比列方程求解.解答：解：由兩個(gè)三角形三邊長(zhǎng)可知，△ABC與八CBD為等腰三角形，???NABC=NCBD，且都為底角，??.△ABC-△CBD，返匹，即』，BCBDba-b整理，得a2-ab-b2=0,即（色）2-'-1=0,bb解得"與四或二^(舍去負(fù)值)，I---故答案為：粵點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).關(guān)鍵是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解題.點(diǎn)評(píng):16.求方程組16.求方程組□的實(shí)數(shù)解.空一工=1考點(diǎn)：高次方程.專題：計(jì)算題.分析：首先把x+y=2兩邊分別平方，得x2+2xy+y2=4,一步步化簡(jiǎn)可以得到：(x-1)2+(y-1)2+2z2=0,根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可以解得x、y、z的值.解答：解：將x+y=2兩邊分別平方，得x2+2xy+y2=4(1)把方程xy-z2=1兩邊都乘以2得2xy-2z2=2(2)(1)-(2)得：x2+y2+2z2=2(3)由x+y=2得2x+2y=4(4)(3)-(4)得：x2+y2+2z2-2x-2y+2=0,配方，得：(x-1)2+(y-1)2+2z2=0,:x,y,z均為實(shí)數(shù)，一只能是保-1)2=0,(y-1)2=0,z2=0,「?x=1,y=1,z=0,顯然x=1,y=1,z=0滿足原方程組.???原方程組的實(shí)數(shù)解為：x=1,y=1,z=0.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查高次方程求解的問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是把方程轉(zhuǎn)化成幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和的形式，再進(jìn)行求解，此類題具有一定的難度，同學(xué)們解決時(shí)需要細(xì)心.17.如圖，在半徑為r的。O中，AB為直徑，C為郎的中點(diǎn)，D為?6的三分之一分點(diǎn)，且DB的長(zhǎng)等于兩倍的匚口的長(zhǎng)，連接AD并延長(zhǎng)交。O的切線CE于點(diǎn)E(C為切點(diǎn))，求AE的長(zhǎng).考點(diǎn)：圓的綜合題.專題：綜合題.分析:2芍分析:2芍x45°=30°過(guò)E作EH±AB于H,連OC,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到NACB=90°,由C為AB的中點(diǎn)，則CA=CB且NCAB=45°，可得到CO±AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得OCLCE，則四邊形OCEH為矩形，于是有EH=OC=r，又由于D為13的三分之一分點(diǎn)，且誣的長(zhǎng)等于兩倍的?的長(zhǎng)，則NBAD=2NDAC，可得NBAD然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系即可得到AE的長(zhǎng).解答：解：過(guò)E作EH±AB于H,連OC,如圖，丁AB為。O直徑，「.NACB=90°,又:C為形的中點(diǎn)，?.CA=CB,NCAB=45°,「.CO±AB,丁CE為。O的切線，?.OC±CE,而EH±AB,??四邊形OCEH為矩形，?.EH=OC=r,丁D為二即勺三分之一分點(diǎn)，且DB的長(zhǎng)等于兩倍的CD的長(zhǎng)，.NBAD=2NDAC,.NBAD/x45°=30°,3在RtAAHE中，NBAE=30°,NAHE=90°,?.AE=2EH=2r.點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓周角為直角；圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系.18.如圖，△ABC是銳角三角形，以BC為直徑作。O,AD是。O的切線，從AB上一點(diǎn)E作AB的垂線交AC的延長(zhǎng)線于F,AF.AC求證：AD=AE的延長(zhǎng)線于F,AF.AC求證：AD=AE.考點(diǎn)：、、：專題切割線定理;證明題.相似三角形的判定與性質(zhì).分析：連接BN,根據(jù)BC為。O的直徑，求證△ABN-△AFE利用其對(duì)應(yīng)邊成比例得AE2=AN?AC,再利用切割線定理得出AD2=AN?AC,然后利用等量代換即可.解答：證明：如圖，設(shè)AC交。O于點(diǎn)N.連接BN,丁BC為。O的直徑，???乙BNC=90°,「.乙BNA=90°,vFE±AB,「.NAEF=90°=NBNA,NBNA=NFAE,??.△ABN-△AFE,.AB-AN.. ,A