礦大隨機(jī)過程考試試卷

中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)2009級考卷A應(yīng)用隨機(jī)過程2011-10100min任課教師 學(xué)院理專業(yè) 學(xué)號 姓名 題號一28二12三12四12五12六12七12總分得分一．(每小題4分，滿分28分)復(fù)隨機(jī)過程z(t)的自相關(guān)函數(shù)R(s,t)的定義是R(s,t) <Z Z假設(shè)｛X(t),t>0｝是參數(shù)為a的維納過程其增量X(t)-X(s)的方差等于 對二階矩的隨機(jī)變量X和序列｛X,X,X,｝稱｛X｝均方收斂于X，若滿足：12nn4.設(shè)｛X(t),t>0｝是參數(shù)九二3的泊松過程，則P｛X⑶=41X(1)=2｝= 已知馬爾可夫鏈｛X(n)｝的狀態(tài)空間為1=｛1,2,3｝，初始分布為(4,才三)，P(1)=則P｛X⑴=2｝ 。設(shè)｛X(n),n=0,1,2,｝為齊次馬爾科夫鏈，則稱條件概率：P｛X 豐j,1<v<n-1,X =j|X=i｝為該鏈由狀態(tài)i到j(luò)的 m+v m+n m7.對于平穩(wěn)過程X(t),若 ,則稱X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性。二.(本題滿分12分)若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為九的指數(shù)分布，試求X的特征函數(shù)，并由特征函數(shù)求其數(shù)學(xué)期望。解答：若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為九的指數(shù)分布，則的概率密度為x>0九九一it九九一it其特征函數(shù)為0(t)=E[eitX]=J+"eitx九e-心dx=0三.(本題滿分12分)設(shè)隨機(jī)過程弋(t)可表示成g(t)=2cos(2兀t+0)，式中0是一個(gè)離散隨機(jī)變量，且1 兀]p(0=°)=2,卩(0=2)=2'試求E⑴和即1)

解答：Eg⑴是指當(dāng)t=i時(shí)’所得隨機(jī)變量的均值，行(0,1)是指當(dāng)t=0和t=l時(shí)’所得的兩個(gè)隨機(jī)變量的自相關(guān)函數(shù)。E=E[2cos(2兀+0)]g=E[2cos(2k+0)]=2(丄cos0+—的自相關(guān)函數(shù)。E=E[2cos(2兀+0)]g11—R(0,1)=E[g(0)g(1)]=E[2cos0x2cos(2—+0)]=4E[cos20]=4(—cos20+—cos2一)=2

g 2< 2< 2<四.(本題滿分12分)假設(shè)顧客到達(dá)商場的人數(shù)服從強(qiáng)度為九的泊松過程，且每一位到達(dá)商場的顧客購物的概率分別為p(0<p<1),與其他顧客是否購物互相獨(dú)立，若記 N(t)為在商場購物的人數(shù)，證明｛N1(t),t>0｝為強(qiáng)度為九p的泊松過程。解答：證明：(1)因?yàn)?<N1(0)<N(0)=0，所以N1(0)=0⑵對任意0<t<t<<t<t因?yàn)镹(t)-N()只與N(t)-N(t)有關(guān)，i=1,2,n，而

0 1 n一1n 1i 1i-1 i i-1N(t)-Nt )N( -Nt(),Nt( -)Nt(獨(dú)立，所以N (t)-N(t ),N (t )-N (t ), ,N (t ) -N(t )1 0 2 0?…n n一1 11 10 12 10 1n?…1n-1獨(dú)立，因此{(lán)N1(t),t>0}有獨(dú)立增量。(3)P{N(t+s)—N(s)=n}=為P{N(t+s)-N(s)=i}P{N(t+s)-N(s)=nIN(t+s)-N(s)=i}i=ne-“(入t)ie-“(入t)ii!i=nCnpn(1-p)i-nie—,n=0,1,2,n!所以｛N't),t>0｝為強(qiáng)度為九p的泊松過程。五.(本1題滿分12分)某人負(fù)責(zé)訂閱雜志，設(shè)前來訂閱的讀者天內(nèi)平均到達(dá)率為4的泊松過程，他們分別以概率—3，1/4，1/4和16訂閱1季、2季、3季和一年雜志，其選擇是相互獨(dú)立的，每次訂閱1季時(shí)，該負(fù)責(zé)人獲利1元，令｛X(t),t>0｝表示在[0,t)內(nèi)此人所得的全部利潤,(1)證明｛X(t),t>0｝是獨(dú)立增量過程； (2)求均值函數(shù)卩(t)、方差函數(shù)為D(t)。XX解答：(1)令0<t<t< <t，則X(t)-X(t)=Wy,k=1,2, ,m由定義可知{X(t),t>0}TOC\o"1-5"\h\z01 m k k-1 ii=N(tk-1)+1是獨(dú)立增量過程 … …(2)由題意知X(t)=刃Y,t>0,其中P{Y=1}=1，P{Y=2}=P{Y=3尸1，P{Y=4}=1，k k3k k4k 6k=19 25{x(t),t>o}為一個(gè)復(fù)合泊松過程，EY=—，EY2=-k4k4EX(t)=E藝Y=XtEY=4t-=9t，DX(t)=D刃Y=XtE(Y)2=4t25=25tkk4 k k4k=1 k=1六.(本題滿分12分)設(shè)隨機(jī)過程{X(t)=Xsin九t+Ycos九t,tgR}，其中隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立且都服從零均值方差為b2的正態(tài)分布，試(1)試證｛X(t),tgR｝為強(qiáng)平穩(wěn)過程；(2)推證｛X(t),tgR｝的均值和均方值是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。

解答：(1)X(t)二Xsin九t+Ycos九t,tgR是正態(tài)變量X,Y的線性組合，故X(t)的正態(tài)變量,{X(t),tgR}是二階矩過程；EX(t)二E[Xsin九t+Ycos九t]二0,R(t,t+t)二E[X(t)X(t+t)]=E[Xsin九t+Ycos九t][Xsin九(t+t)+Ycos九(t+t)]X=E[Xsin九t-Xsin九(t+t)+Ycos九t-Ycos九(t+t)]=g2[sin九t-sin九(t+t)+cos九tcos九(t+t)]=◎2cos骯只與T有關(guān)，綜合以上可知｛X(t),tgR｝是嚴(yán)平穩(wěn)的。(2)EX(t)二E[Xsin九t+Ycos九t]二0〈X(t)〉=l.i.m—JT[Xsin九t+Ycos九t]dt=l.i.m—x2fTYcos九tdt=l.i.m—Y T=0t*2T-t t*2T 0 t*九T九T所以EX(t)=〈X(t)〉，故｛X(t),tgR｝的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性。又根據(jù)EX2(t)二E[Xsin九t+Ycos九t]2=o2〈X2(t)〉=l.i.m-!-fT[Xsin九t+Ycos九t]2dt=l.i.m-!—fT[Xsin九t]2+[Ycos九t]2dtTs2T—T Ts2T—T=l.i.m—fT[X2sin2九t]+[Y2cos2九t]dt=l.i.m—fT[X+X cos2九t+XYsin2九t]dtX2+Y22TOC\o"1-5"\h\zTT82T—T TT82TX2+Y22豐G2，故EX2(t)斗X2(t)〉，因此｛X(t),tgR｝的均方值不具有各態(tài)歷經(jīng)性七.(本題滿分12分)狀態(tài)空間為｛1,2,3｝的不可約非周期馬爾可夫鏈｛Xn，n=0,l,2,...｝的轉(zhuǎn)移概率矩陣為_0.6 0.2 0.21 "P=0.3 0.4 0.3，求0.1 0.5 0.4「0.60.20.2「0.60.2 0.21「0.440.30.261P(2)=0.30.40.30.30.40.3=0.330.370.30.10.50.40.10.50.40.250.420.33⑴兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣P⑵和憎⑵過程的平穩(wěn)分布解：(1