廣東省深圳市深圳高級中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

深圳高級中學(xué)2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級開學(xué)考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（每題3分，共30分）1． “二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶．下列四幅標(biāo)識圖，其中文字上面圖案是中心對稱圖形的是（） A． B． C． D．2． 若分式的值為0，則x＝（） A．－1 B．1 C．±1 D．03． 下列四個命題中，假命題是（） A．順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形 B．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等 C．等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合 D．一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形4． 若函數(shù)y＝ax和函數(shù)y＝bx＋c的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式ax－bx＞c的解集是（） A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞15． 已知多項(xiàng)式x2－x＋m因式分解后得到一個因式為x＋2，則m的值為（） A．－5 B．5 C．－6 D．66． 某口罩廠六月份的口罩產(chǎn)量為100萬只，由于市場需求量減少，八月份的產(chǎn)量減少到81萬只，設(shè)該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為x，可列方程為（） A．100（1＋x）2＝81 B．100（1－x）2＝81 C．81（1－x）2＝100 D．100＋100（1－x）＋100（1－x）2＝817． 關(guān)于x的一元二次方程kx2－4x＋1＝0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（） A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠08． 如圖，長方形花圃ABCD面積為4m2，它的一邊AD利用已有的圍墻（圍墻足夠長），另外三邊所圍的柵欄的總長度是5m．EF處開一門，寬度為1m．設(shè)AB的長度是xm，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A．x（5－2x）＝4 B．x（5＋1－2x）＝4 C．x（5－2x－1）＝4 D．x（2.5－x）＝49． 如圖，在四邊形紙片ABCD中，AB∥DC，AB＝DC＝4，AD＝9，∠BCD＝30°，點(diǎn)E是線段DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段BC上，將△CEF沿EF所在的直線翻折得到△C'EF，連接AC'，則AC'長度的最小值是（） A． B． C． D．10．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接AF，DE，點(diǎn)G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長為（） A． B．1 C． D．2二．填空題（每題3分，共18分）11．分解因式：xy2－4x＝．12．關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，那么a的取值范圍為．13．若關(guān)于x的方程有增根，則m的值是．14．若m，n是一元二次方程x2＋2022x－2023＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則＋＝．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝4，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)O的直線交AD于點(diǎn)E，且平分△ABD的周長，則OE＝．?16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，過點(diǎn)B作BE⊥AC，延長BE到點(diǎn)D，使得BD＝AC，連接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，則CD的長為．三．解答題（共52分）17．（5分）先化簡，再求值：，其中x＝2．18．（4分）解方程：．19．（8分）（1）用配方法解方程：2x2－x－1＝0．（2）公式法解方程：2x2－7x＋3＝0．20．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線EF分別交AD、AC、BC于點(diǎn)E、O、F，連接CE和AF．（1）求證：四邊形AECF為菱形；（2）若AB＝8，BC＝16，求菱形AECF的周長．21．（8分）某超市用1200元購進(jìn)一批甲玩具，用500元購進(jìn)一批乙玩具，所購甲玩具件數(shù)是乙玩具件數(shù)的2倍，已知甲玩具的進(jìn)貨單價比乙玩具的進(jìn)貨單價多1元．（1）求甲、乙玩具的進(jìn)貨單價各是多少元？（2）玩具售完后，超市決定再次購進(jìn)甲、乙玩具（甲、乙玩具的進(jìn)貨單價不變），購進(jìn)乙玩具的件數(shù)比甲玩具件數(shù)的2倍多40件，求該超市用不超過1400元最多可以采購甲玩具多少件？22．（9分）如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)H，使得以A、C、B、H為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出H點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖1點(diǎn)M（1，－1）是第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得|FM－FC|的值最大？若存在，請求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由23．（10分）【課本重現(xiàn)】已知：如圖1，D，E分別是等邊△ABC的兩邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD＝CE．若BE，CD交于點(diǎn)F，則∠EFD＝°；【遷移拓展】如圖2，已知點(diǎn)D是等邊△ABC的AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是AC延長線上一點(diǎn)，若AD＝CE，連接ED，EB．求證：ED＝EB；【拓展延伸】如圖3，若點(diǎn)D，E分別是BA，AC延長線上一點(diǎn)，且連接DE，以DE為邊向右側(cè)作等邊△DEF，連接AF，求△ADF的面積．

深圳高級中學(xué)九年級開學(xué)考參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶．下列四幅標(biāo)識圖，其中文字上面圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)A、B、C的圖形均不能找到一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；選項(xiàng)D的圖形能找到一個點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．故選：D．2．若分式的值為0，則x＝（）A．－1 B．1 C．±1 D．0【解答】解：由分式的值為零的條件得x－1＝0，x＋1≠0，解得，x＝1．故選：B．3．下列四個命題中，假命題是（）A．順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形 B．斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等 C．等腰三角形的高、中線、角平分線互相重合 D．一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形【解答】解：A、順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是平行四邊形，是真命題，不符合題意；B、斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，是真命題，不符合題意；C、等腰三角形的底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線互相重合，故本選項(xiàng)說法是假命題，符合題意；D、一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形，是真命題，不符合題意；故選：C．4．若函數(shù)y＝ax和函數(shù)y＝bx＋c的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式ax－bx＞c的解集是（）A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1【解答】解：觀察函數(shù)圖象得x＞1時，ax＞bx＋c，所以關(guān)于x的不等式ax－bx＞c的解集為x＞1．故選：D．5．已知多項(xiàng)式x2－x＋m因式分解后得到一個因式為x＋2，則m的值為（）A．－5 B．5 C．－6 D．6【解答】解：令x＋2＝0，即x＝－2，把x＝－2代入多項(xiàng)式得：4－（－2）＋m＝0，解得：m＝－6．故選：C．6．某口罩廠六月份的口罩產(chǎn)量為100萬只，由于市場需求量減少，八月份的產(chǎn)量減少到81萬只，設(shè)該廠七八月份的口罩產(chǎn)量的月平均減少率為x，可列方程為（）A．100（1＋x）2＝81 B．100（1－x）2＝81 C．81（1－x）2＝100 D．100＋100（1－x）＋100（1－x）2＝81【解答】解：依題意得：100（1－x）2＝81．故選：B．7．關(guān)于x的一元二次方程kx2－4x＋1＝0有兩個實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0【解答】解：∵方程有兩個實(shí)數(shù)根，∴根的判別式Δ＝b2－4ac＝16－4k≥0，即k≤4，且k≠0．故選：D．8．如圖，長方形花圃ABCD面積為4m2，它的一邊AD利用已有的圍墻（圍墻足夠長），另外三邊所圍的柵欄的總長度是5m．EF處開一門，寬度為1m．設(shè)AB的長度是xm，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（）A．x（5－2x）＝4 B．x（5＋1－2x）＝4 C．x（5－2x－1）＝4 D．x（2.5－x）＝4【解答】解：設(shè)AB＝xm，則BC＝（5＋1－2x）m，根據(jù)題意可得，x（5＋1－2x）＝4，故選：B．9．如圖，在四邊形紙片ABCD中，AB∥DC，AB＝DC＝4，AD＝9，∠BCD＝30°，點(diǎn)E是線段DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段BC上，將△CEF沿EF所在的直線翻折得到△C'EF，連接AC'，則AC'長度的最小值是（）A． B． C． D．【解答】解：連接AE，過點(diǎn)E作EM⊥AD的延長線于點(diǎn)M，∵AE≥AC'－EC'，當(dāng)點(diǎn)A、C'、E在一條直線上時，AC'的值最小，由翻折可知EC＝EC'，∵，點(diǎn)E是線段DC的中點(diǎn)，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠MDE＝∠BCD＝30°，在Rt△MDE中，∠MDE＝30°，，∴，由勾股定理得，∵AD＝9，∴AM＝AD＋MD＝12，在Rt△AME中，由勾股定理得，∴，即AC'長度的最小值是，故選：C．10．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接AF，DE，點(diǎn)G，H分別為DE，AF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長為（）A． B．1 C． D．2【解答】解：連接AG并延長交CD于M，連接FM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG，∵G為DE的中點(diǎn)，∴GE＝GD，在△AEG和MDG中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，∴CM＝CD＝2，∵點(diǎn)H為AF的中點(diǎn)，∴GH＝FM，∵F為BC的中點(diǎn)，∴CF＝BC＝2，∴FM＝＝2，∴GH＝，故選：C．二．填空題（共6小題）11．分解因式：xy2－4x＝x（y＋2）（y－2）．【解答】解：xy2－4x＝x（y2－4）＝x（y＋2）（y－2）．故答案為：x（y＋2）（y－2）．12．關(guān)于x的不等式組恰有3個整數(shù)解，那么a的取值范圍為－4≤a＜－3．【解答】解：，解不等式①，得：x＞a，解不等式②，得：x≤－1，∵不等式組恰有3個整數(shù)解，∴這三個整數(shù)解為－1，－2，－3，∴－4≤a＜－3，故答案為：－4≤a＜－3．13．若關(guān)于x的方程有增根，則m的值是2．【解答】解：方程兩邊都乘（x－1），得m－1－x＝0，∵方程有增根，∴最簡公分母x－1＝0，即增根是x＝1，把x＝1代入整式方程，得m＝2．故答案為：2．14．若m，n是一元二次方程x2＋2022x－2023＝0的兩個實(shí)數(shù)根，則＋＝．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2＋2022x－2023＝0的兩個實(shí)數(shù)根，∴m＋n＝－2022，mn＝－2023，∴＋＝＝＝．故答案為：．15．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝4，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)O的直線交AD于點(diǎn)E，且平分△ABD的周長，則OE＝2．?【解答】解：如圖，延長DA至H，使AH＝AB，連接BH，過點(diǎn)A作AN⊥BH于N，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD＝OB，∵OE平分△ABD的周長，∴AE＋AB＋OB＝OD＋DE，∴AH＋AE＝DE，即HE＝DE，又∵BO＝DO，∴BH＝2OE，∵AH＝AB，∠BAD＝60°，∴∠H＝∠ABH＝30°，∵AH⊥BH，∴AN＝AB＝2，HN＝BN＝AN＝2，∴BH＝4，∴OE＝2，故答案為：2．16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，過點(diǎn)B作BE⊥AC，延長BE到點(diǎn)D，使得BD＝AC，連接AD，CD，若AB＝4，AD＝5，則CD的長為．【解答】解：過D點(diǎn)分別作DG⊥BC于點(diǎn)G，DF⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)F，∴∠DGC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四邊形BGDF為矩形，∠BAC＋∠ACB＝90°，∴BG＝DF，DG＝FB，∵BE⊥AC，∴∠BAC＋∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠ACB，在△ABC和△DFB中，，∴△ABC≌△DFB（AAS），∴FD＝AB＝4，BC＝FB，∴BG＝4，在Rt△FAD中，AD＝5，∴AF＝，∴BF＝AB＋AF＝4＋3＝7，∴DG＝BF＝BC＝7，∴CG＝BC－BG＝7－4＝3，在Rt△DCG中，CD＝．故答案為：．三．解答題（共7小題）17．先化簡，再求值：，其中x＝2．【解答】解：÷（＋1）＝÷＝÷＝?＝，當(dāng)x＝2時，原式＝＝．18．解方程：．【解答】解：去分母得：3－x－1＝x－2，移項(xiàng)合并得：2x＝4，解得：x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是分式方程的增根．∴原分式方程無解．19．（1）用配方法解方程：2x2－x－1＝0．（2）公式法解方程：2x2－7x＋3＝0．【解答】解：（1）兩邊都除以2，得．移項(xiàng)，得．配方，得，，∴或，∴x1＝1，；（2）∵2x2－7x＋3＝0，∴b2－4ac＝（－7）2－4×2×3＝25＞0，則x＝＝，∴x1＝，x2＝3．20．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線EF分別交AD、AC、BC于點(diǎn)E、O、F，連接CE和AF．（1）求證：四邊形AECF為菱形；（2）若AB＝8，BC＝16，求菱形AECF的周長．【解答】（1）證明：∵EF是AC的垂直平分線，∴AO＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA）；∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形；（2）解：設(shè)AF＝x，∵EF是AC的垂直平分線，AB＝8，BC＝16，∴AF＝CF＝x，BF＝16－x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2＋BF2＝AF2，82＋（16－x）2＝x2，解得x＝10．∴AF＝10，∴菱形AECF的周長為40．21．某超市用1200元購進(jìn)一批甲玩具，用500元購進(jìn)一批乙玩具，所購甲玩具件數(shù)是乙玩具件數(shù)的2倍，已知甲玩具的進(jìn)貨單價比乙玩具的進(jìn)貨單價多1元．（1）求甲、乙玩具的進(jìn)貨單價各是多少元？（2）玩具售完后，超市決定再次購進(jìn)甲、乙玩具（甲、乙玩具的進(jìn)貨單價不變），購進(jìn)乙玩具的件數(shù)比甲玩具件數(shù)的2倍多40件，求該超市用不超過1400元最多可以采購甲玩具多少件？【解答】解：（1）設(shè)甲種玩具的進(jìn)貨單價為x元，則乙種玩具的進(jìn)價為（x－1）元，根據(jù)題意得：＝×2，解得：x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的解，∴x－1＝5．答：甲種玩具的進(jìn)貨單價6元，則乙種玩具的進(jìn)價為5元．（2）設(shè)購進(jìn)甲種玩具y件，則購進(jìn)乙種玩具（2y＋40）件，根據(jù)題意得：6y＋5（2y＋40）≤1400，解得：y≤75，∵y為整數(shù)，∴y最大值＝75，答：該超市用不超過1400元最多可以采購甲玩具75件．22．如圖1，OA＝2，OB＝4，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC．（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖1，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)H，使得以A、C、B、H為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出H點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）如圖1點(diǎn)M（1，－1）是第四象限內(nèi)的一點(diǎn)，在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得|FM－FC|的值最大？若存在，請求出F點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）如圖1，過C作CM⊥x軸于M點(diǎn)，…1分∵∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，則∠MAC＝∠OBA，…2分在△MAC和△OBA中，，∴△MAC≌△OBA（AAS），…3分∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，∴OM＝OA＋AM＝2＋4＝6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－6，－2）…4分（2）答：如圖2，存在三個H點(diǎn)，∵A（－2，0），B（0，－4），C（－6，－2），∴根據(jù)B到A的平移規(guī)律可得C到H1的平移規(guī)律，則H1（－8，2），同理得H2（－4，－6）、H3（4，－2）…7分（3）答：存在，F(xiàn)（0，－），如圖3，作點(diǎn)M（1，－1）關(guān)于y軸的對點(diǎn)M'（－1，－1），設(shè)y軸上存在一點(diǎn)F1，連接CF1、M'F1，由于|FM－FC|≤CM'，當(dāng)C、M'、F三點(diǎn)共線時取等號，…8分連接CM'，與y軸交于點(diǎn)F即為所求，設(shè)CM'的解析式為：y＝kx＋b，把C（－6，－2）、M'（－1，－1）代入得，，解得：，∴y＝，（9分）當(dāng)x＝0時，y＝－，∴F（0，－）．（10分）23．【課本重現(xiàn)】已知：如圖1，D，E分別是等邊△ABC的兩邊AB，AC上的點(diǎn)，且AD＝CE．若BE，CD交于點(diǎn)F，則∠EFD＝120°；【遷移拓展】如