碳黑填充橡膠隔振器動態(tài)特性的非線性模型與參數(shù)辨識

碳黑填充橡膠隔振器動態(tài)特性的非線性模型與參數(shù)辨識

橡膠密封器（以下簡稱“橡膠密封器”）廣泛應用于汽車減速系統(tǒng)的振動系統(tǒng)，如整體懸掛式擴張器、懸掛式擴張器和氣壓系統(tǒng)。在諸如發(fā)動機懸置系統(tǒng)隔振分析、懸架系統(tǒng)動力學分析、整車平順性分析和排氣系統(tǒng)振動分析中,都需要對橡膠隔振器的動態(tài)特性進行精確建模,因此對其動特性的準確預測是非常重要的。橡膠隔振器包含很強的非線性特征,受預載、激振頻率和激振振幅等因素的影響,使得其動態(tài)特性的建模變得較為困難。最早用于橡膠隔振器動特性模擬的是Kelvin-Voigt模型,為了更有效地預測橡膠在高頻時的動態(tài)特性,又發(fā)展了Maxwell模型和三參數(shù)Maxwell模型等,這些模型雖然增加了描述的變量并得到較為廣泛的應用,但一些參數(shù)的物理意義并不明確。Bagley在文獻中,在描述粘彈性材料的動態(tài)特性時,引入分數(shù)導數(shù)概念,可以用較少的模型參數(shù)來表征橡膠材料的頻率相關性,是一種可以借鑒的方法。橡膠材料中加入碳黑補強填充劑,從而使橡膠材料呈現(xiàn)出類似于摩擦現(xiàn)象的特征,即其動態(tài)特性隨激振的振幅而變化。Berg在文獻中建立了橡膠隔振器動態(tài)特性的模型,模型中力和位移的關系采用三個力分量疊加:使用線彈性力描述其彈性特性,庫侖摩擦力描述其振幅相關性,Kelvin-Voigt粘性力描述其頻率相關性。Sj?berg在文獻和中,在Berg的模型基礎上進行了改進,并引入了分數(shù)導數(shù)的概念來描述橡膠隔振器動態(tài)特性的頻率相關性,但彈性力部分仍然采用線彈性理論和基于幾何特征形狀因子的幾何非線性,忽略了材料的超彈性特征且在描述復雜特征的橡膠隔振器時較為困難,因而使該模型的適用性受到較大限制。本文實驗測試了一橡膠隔振器的動態(tài)特性,建立了基于超彈性、分數(shù)導數(shù)和摩擦模型用于表征橡膠隔振器動態(tài)特性的建模方法。在所建立的模型中,基于有限元分析獲得了橡膠隔振器的靜態(tài)力-位移曲線,利用測試得到的橡膠隔振器在大振幅、低頻激勵下的力-位移關系,擬合得到橡膠隔振器動態(tài)模型中摩擦模型的參數(shù),利用測試得到的橡膠隔振器在小振幅、高頻激勵下的力-位移關系,擬合得到橡膠隔振器動態(tài)模型中分數(shù)導數(shù)模型的參數(shù)。利用本文建立的建模方法和參數(shù)識別方法,對橡膠隔振器的動態(tài)特性進行了計算分析,分析結(jié)果表明,考慮了材料超彈性的模型可以更為準確的描述橡膠隔振器動態(tài)特性與激振振幅、激振頻率和預載等的相關性。1裝置及試件測試橡膠隔振器的靜、動態(tài)特性是在MTS831振動實驗臺上測試的,測試裝置及試件的示意圖見圖1。在測試時,在作動端對零件加3000N的預載,并同時在作動端施加不同振幅和不同頻率的正弦位移激勵信號,記錄固定端力傳感器的信號。詳細的測試方法和實驗數(shù)據(jù)處理方法,可參見文獻。1.1激振振幅的影響由于橡膠隔振器的阻尼的作用,實驗的位移與力的曲線將形成遲滯環(huán)。當激振頻率為0.1Hz,激振振幅不同時,測試得到的圖1所示的橡膠隔振器的力-位移曲線見圖2。激振頻率為0.1Hz時,橡膠隔振器的粘性力貢獻很小,可以忽略不計;隨著激振振幅的增加,遲滯環(huán)的斜率(表征動剛度)逐漸減小,試件開始出現(xiàn)幾何非線性和材料非線性現(xiàn)象,在振幅為8mm時該現(xiàn)象尤為明顯。當激振振幅一定,而激振頻率不同時,實測得到的橡膠隔振器的力-位移曲線見圖3。由圖可見,隨著頻率的增加,遲滯環(huán)的斜率和面積(表征一個循環(huán)的損耗能)增加。1.2激振頻率的影響圖4給出了實測的橡膠隔振器的動態(tài)特性與激振增幅和激振頻率的相關性。由圖可見,當振幅不變、激振頻率增加時,動剛度和滯后角增加;當激振頻率固定,而激振振幅增加時,動剛度減小,滯后角變大。2本構(gòu)模型的建立的實驗結(jié)果可見,在建立橡膠隔振器的動態(tài)模型時,必須考慮其動態(tài)特性的頻率相關性和振幅相關性。本文建立了基于超級彈性、分數(shù)導數(shù)和摩擦模型的橡膠隔振器非線性動態(tài)模型。該模型的力與位移的關系包括三個部分:①彈性力模型,描述碳黑填充橡膠的非線性靜態(tài)彈性特性;②粘彈性力模型,采用分數(shù)導數(shù)模型描述橡膠隔振器的粘性效應;③摩擦力模型,用庫侖摩擦模型進行描述,表征橡膠隔振器動態(tài)特性的振幅相關性。如圖5所示為所建立模型的示意圖,力-位移之間的關系可用式(1)表達,其中fhe為彈性力,fve為粘性力,ff為摩擦力,f為合力,x為位移激勵,tn為時間。f=fhe[x(tn)]+fve[x(tn)]+ff[x(tn)](1)2.1材料模型的建立和擬合fhe=k′ex=(ke+kcorr)x(2)彈性力模型見式(2),k′e為等效彈性剛度,其中ke為線彈性剛度,kcorr為修正剛度。當零件變形較小時,kcorr等于零;隨著變形量的增加,零件呈現(xiàn)較強的幾何非線性和材料非線性,基于形狀系數(shù)理論對形狀規(guī)則且材料呈線彈性特征的零件描述較為有效,當幾何形狀、材料屬性的非線性較強時,適用性受到較大限制。本文使用有限元法計算獲得橡膠隔振器的彈性特性,其中考慮了材料的超彈性行為和幾何非線性,建立的軸對稱有限元模型如圖6所示。在上金屬板上端施加載荷并使用剛性線以獲得均勻的加載,下金屬板用于固定。橡膠采用軸對稱雜交單元,金屬板采用軸對稱減縮積分單元。為了獲得與實驗值可比較的結(jié)果,在加載端施加實驗預載,并分析該端位移與力的關系。本文采用VanderWaals材料模型描述填充橡膠材料的超彈性,該模型在擬合本文的材料試驗數(shù)據(jù)時效果較好,且能較好地描述壓縮、剪切和拉伸的狀態(tài),如圖7所示為擬合的結(jié)果,其中VanderWaals模型參數(shù)μ0=1.0562,λm=4.5034,α0=0.8475,β0=0,D=0。根據(jù)該材料模型參數(shù)和所建立的有限元模型計算獲得橡膠隔振器的力-位移曲線見圖8,設位移零點的修正剛度為零,得到非線性修正剛度見式(3),由圖8可見使用超彈性材料模型計算獲得的結(jié)果較之于采用線彈性材料計算獲得的結(jié)果更接近于實驗結(jié)果。kcorr=0.00667x6+0.001867x5-0.05413x4-0.26333x3-0.19093x2-6.2616x(3)2.2初始力和初始位移應用庫侖摩擦模型來描述橡膠隔振器動態(tài)特性的振幅相關性,其力與位移的關系用式(4)表示,與變形的歷史有關。如圖9所示為摩擦模型的參數(shù)識別示意圖,ffmax表示最大摩擦力,x2的大小表征摩擦力隨位移增加的變化趨勢;ffs和xs分別表示參考狀態(tài)的初始力和初始位移。ff=ffs+x-xsx2[(1-sign(˙x)ffsffmax+sign(˙x)(x-xs)]ff=ffs+x?xsx2[(1?sign(x˙)ffsffmax+sign(x˙)(x?xs)](4)摩擦模型參數(shù)的獲得可以參照如圖9所示的力-位移曲線。確定模型參數(shù)時,采用低頻(0.1Hz)、大振幅(8mm)的力-位移實驗數(shù)據(jù)來擬合得到模型參數(shù)。采用很低的頻率進行測試可以消除粘性力的影響,而大位移可以充分考慮摩擦的影響。由于橡膠隔振器的幾何非線性和材料非線性,在擬合時須從測試的力-位移曲線中減去修正項(見式3)。2.3橡膠隔振器的動態(tài)特性用分數(shù)導數(shù)模型描述橡膠隔振器動態(tài)特性與頻率的相關性:fv=bdax/dta(5)其中dax/dta為a階導數(shù),當0<a<1,該模型同時具有彈性和粘性特性,定義式為:daxdta=1Γ(1-a)ddt∫t0x(τ)(t-τ)adτdaxdta=1Γ(1?a)ddt∫t0x(τ)(t?τ)adτ(6)式中Γ為Gamma函數(shù),表達為Γ(β)=∫∞0sβ-1exp(-s)ds,b>0為模型的常量。粘性力在時域上的求解利用Grünwald定義獲得,如式(7)所示。fv(tn)=bΔt-aΓ(-a)n-1∑m=0Γ(m-a)Γ(m+1)xn-mfv(tn)=bΔt?aΓ(?a)∑m=0n?1Γ(m?a)Γ(m+1)xn?m(7)如果不考慮振幅因素的影響,橡膠隔振器的復剛度形式可以表達為只包含彈性剛度和粘性剛度的方程,如式(8)所示。為了獲得橡膠隔振器的頻域特性,需在小振幅激勵下獲得橡膠隔振器的動態(tài)特性,以盡量減少摩擦的影響。且在使用最小二乘法進行數(shù)據(jù)擬合時需消除摩擦的影響,具體方法請參照文獻。?kfkv(ω)=k′e+b(iω)ak?fkv(ω)=k′e+b(iω)a(8)如圖10為根據(jù)優(yōu)化的擬合參數(shù)(a和b)計算獲得的橡膠隔振器動態(tài)特性與消除摩擦影響后的實測值的比較結(jié)果,表明采用本文所建立的模型對擬合橡膠隔振器頻域動態(tài)特性是較為有效的。3器模型參數(shù)應用第3節(jié)的方法,識別得到的圖1所示橡膠隔振器的模型參數(shù)見表1。利用這些模型參數(shù)對橡膠隔振器動態(tài)特性與激振頻率、激振振幅和預載的相關性進行了計算分析,并與實驗結(jié)果進行了對比分析。3.1碳黑填充橡膠材料的超彈性和幾何非線性當激振頻率為0.1Hz,激振振幅為0.5mm和8mm時,計算得到的橡膠隔振器的力-位移曲線和實測的力-位移曲線見圖11。振幅較小時,橡膠隔振器的彈性部分表現(xiàn)為線彈性,即不包含材料非線性和幾何非線性,因此采用線彈性模型或超彈性模型描述隔振器的彈性特性均可,如圖11(a)所示。當振幅為8mm時,由圖11(b)中可見力-位移曲線呈現(xiàn)較強非線性,這種非線性是由于大位移拉伸或壓縮時截面積變化較大而引起的,其次為碳黑填充橡膠材料的超彈性特性。因此當振幅超過較大時,只有全面考慮材料的超彈性和幾何非線性才能獲得滿意的結(jié)果,見圖11(b)計算值(I)。當激振振幅為3mm,激振頻率為0.1Hz、10Hz和100Hz時,橡膠隔振器的力-位移曲線見圖12,由圖可見,激振頻率為0.1Hz和10Hz時計算值和實驗值吻合的較好,而激振頻率為100Hz時計算值與實驗值存在一定的誤差,但仍屬于工程上可以接受的范圍內(nèi)。從圖12中可知,隨著頻率的增加,遲滯環(huán)的面積增加,表明每個循環(huán)的耗散能增加,因此阻尼值上升;圖12(a)中0.1Hz和100Hz的數(shù)據(jù)對比表明,遲滯環(huán)的斜率隨著頻率的升高而增加,粘性力的貢獻加大,因此動剛度上升。3.2橡膠隔振器動態(tài)特性橡膠隔振器的復剛度表達式如式(8)所示。其中?k表示總的復剛度,?kfkv表示粘彈性剛度,?kff為摩擦剛度。?k=?kfkv(ωn)+?kff(ωn)(8)圖13為計算得到的橡膠隔振器與激振振幅、激振頻率的相關性,圖14為采用超彈性模型后計算得到的橡膠隔振器動態(tài)特性與預載的相關性。由圖可見,利用文中的模型,計算得到的橡膠隔振器的動態(tài)特性和實驗值吻合得較好,基于橡膠材料超彈性所建立的彈性模型可較好地描述橡膠隔振器動態(tài)特性隨預載的變化,證明了模型的有效性。4橡膠隔振器動態(tài)特性對一橡膠隔振器的動態(tài)特性進行了實驗測試,建立了基于