碳黑填充橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性的非線性模型與參數(shù)辨識(shí)

碳黑填充橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性的非線性模型與參數(shù)辨識(shí)

橡膠密封器（以下簡(jiǎn)稱“橡膠密封器”）廣泛應(yīng)用于汽車減速系統(tǒng)的振動(dòng)系統(tǒng)，如整體懸掛式擴(kuò)張器、懸掛式擴(kuò)張器和氣壓系統(tǒng)。在諸如發(fā)動(dòng)機(jī)懸置系統(tǒng)隔振分析、懸架系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析、整車平順性分析和排氣系統(tǒng)振動(dòng)分析中,都需要對(duì)橡膠隔振器的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行精確建模,因此對(duì)其動(dòng)特性的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)是非常重要的。橡膠隔振器包含很強(qiáng)的非線性特征,受預(yù)載、激振頻率和激振振幅等因素的影響,使得其動(dòng)態(tài)特性的建模變得較為困難。最早用于橡膠隔振器動(dòng)特性模擬的是Kelvin-Voigt模型,為了更有效地預(yù)測(cè)橡膠在高頻時(shí)的動(dòng)態(tài)特性,又發(fā)展了Maxwell模型和三參數(shù)Maxwell模型等,這些模型雖然增加了描述的變量并得到較為廣泛的應(yīng)用,但一些參數(shù)的物理意義并不明確。Bagley在文獻(xiàn)中,在描述粘彈性材料的動(dòng)態(tài)特性時(shí),引入分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)概念,可以用較少的模型參數(shù)來(lái)表征橡膠材料的頻率相關(guān)性,是一種可以借鑒的方法。橡膠材料中加入碳黑補(bǔ)強(qiáng)填充劑,從而使橡膠材料呈現(xiàn)出類似于摩擦現(xiàn)象的特征,即其動(dòng)態(tài)特性隨激振的振幅而變化。Berg在文獻(xiàn)中建立了橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性的模型,模型中力和位移的關(guān)系采用三個(gè)力分量疊加:使用線彈性力描述其彈性特性,庫(kù)侖摩擦力描述其振幅相關(guān)性,Kelvin-Voigt粘性力描述其頻率相關(guān)性。Sj?berg在文獻(xiàn)和中,在Berg的模型基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn),并引入了分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的概念來(lái)描述橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性的頻率相關(guān)性,但彈性力部分仍然采用線彈性理論和基于幾何特征形狀因子的幾何非線性,忽略了材料的超彈性特征且在描述復(fù)雜特征的橡膠隔振器時(shí)較為困難,因而使該模型的適用性受到較大限制。本文實(shí)驗(yàn)測(cè)試了一橡膠隔振器的動(dòng)態(tài)特性,建立了基于超彈性、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)和摩擦模型用于表征橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性的建模方法。在所建立的模型中,基于有限元分析獲得了橡膠隔振器的靜態(tài)力-位移曲線,利用測(cè)試得到的橡膠隔振器在大振幅、低頻激勵(lì)下的力-位移關(guān)系,擬合得到橡膠隔振器動(dòng)態(tài)模型中摩擦模型的參數(shù),利用測(cè)試得到的橡膠隔振器在小振幅、高頻激勵(lì)下的力-位移關(guān)系,擬合得到橡膠隔振器動(dòng)態(tài)模型中分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型的參數(shù)。利用本文建立的建模方法和參數(shù)識(shí)別方法,對(duì)橡膠隔振器的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了計(jì)算分析,分析結(jié)果表明,考慮了材料超彈性的模型可以更為準(zhǔn)確的描述橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性與激振振幅、激振頻率和預(yù)載等的相關(guān)性。1裝置及試件測(cè)試橡膠隔振器的靜、動(dòng)態(tài)特性是在MTS831振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)上測(cè)試的,測(cè)試裝置及試件的示意圖見圖1。在測(cè)試時(shí),在作動(dòng)端對(duì)零件加3000N的預(yù)載,并同時(shí)在作動(dòng)端施加不同振幅和不同頻率的正弦位移激勵(lì)信號(hào),記錄固定端力傳感器的信號(hào)。詳細(xì)的測(cè)試方法和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法,可參見文獻(xiàn)。1.1激振振幅的影響由于橡膠隔振器的阻尼的作用,實(shí)驗(yàn)的位移與力的曲線將形成遲滯環(huán)。當(dāng)激振頻率為0.1Hz,激振振幅不同時(shí),測(cè)試得到的圖1所示的橡膠隔振器的力-位移曲線見圖2。激振頻率為0.1Hz時(shí),橡膠隔振器的粘性力貢獻(xiàn)很小,可以忽略不計(jì);隨著激振振幅的增加,遲滯環(huán)的斜率(表征動(dòng)剛度)逐漸減小,試件開始出現(xiàn)幾何非線性和材料非線性現(xiàn)象,在振幅為8mm時(shí)該現(xiàn)象尤為明顯。當(dāng)激振振幅一定,而激振頻率不同時(shí),實(shí)測(cè)得到的橡膠隔振器的力-位移曲線見圖3。由圖可見,隨著頻率的增加,遲滯環(huán)的斜率和面積(表征一個(gè)循環(huán)的損耗能)增加。1.2激振頻率的影響圖4給出了實(shí)測(cè)的橡膠隔振器的動(dòng)態(tài)特性與激振增幅和激振頻率的相關(guān)性。由圖可見,當(dāng)振幅不變、激振頻率增加時(shí),動(dòng)剛度和滯后角增加;當(dāng)激振頻率固定,而激振振幅增加時(shí),動(dòng)剛度減小,滯后角變大。2本構(gòu)模型的建立的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可見,在建立橡膠隔振器的動(dòng)態(tài)模型時(shí),必須考慮其動(dòng)態(tài)特性的頻率相關(guān)性和振幅相關(guān)性。本文建立了基于超級(jí)彈性、分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)和摩擦模型的橡膠隔振器非線性動(dòng)態(tài)模型。該模型的力與位移的關(guān)系包括三個(gè)部分:①?gòu)椥粤δＰ?描述碳黑填充橡膠的非線性靜態(tài)彈性特性;②粘彈性力模型,采用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型描述橡膠隔振器的粘性效應(yīng);③摩擦力模型,用庫(kù)侖摩擦模型進(jìn)行描述,表征橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性的振幅相關(guān)性。如圖5所示為所建立模型的示意圖,力-位移之間的關(guān)系可用式(1)表達(dá),其中fhe為彈性力,fve為粘性力,ff為摩擦力,f為合力,x為位移激勵(lì),tn為時(shí)間。f=fhe[x(tn)]+fve[x(tn)]+ff[x(tn)](1)2.1材料模型的建立和擬合fhe=k′ex=(ke+kcorr)x(2)彈性力模型見式(2),k′e為等效彈性剛度,其中ke為線彈性剛度,kcorr為修正剛度。當(dāng)零件變形較小時(shí),kcorr等于零;隨著變形量的增加,零件呈現(xiàn)較強(qiáng)的幾何非線性和材料非線性,基于形狀系數(shù)理論對(duì)形狀規(guī)則且材料呈線彈性特征的零件描述較為有效,當(dāng)幾何形狀、材料屬性的非線性較強(qiáng)時(shí),適用性受到較大限制。本文使用有限元法計(jì)算獲得橡膠隔振器的彈性特性,其中考慮了材料的超彈性行為和幾何非線性,建立的軸對(duì)稱有限元模型如圖6所示。在上金屬板上端施加載荷并使用剛性線以獲得均勻的加載,下金屬板用于固定。橡膠采用軸對(duì)稱雜交單元,金屬板采用軸對(duì)稱減縮積分單元。為了獲得與實(shí)驗(yàn)值可比較的結(jié)果,在加載端施加實(shí)驗(yàn)預(yù)載,并分析該端位移與力的關(guān)系。本文采用VanderWaals材料模型描述填充橡膠材料的超彈性,該模型在擬合本文的材料試驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)效果較好,且能較好地描述壓縮、剪切和拉伸的狀態(tài),如圖7所示為擬合的結(jié)果,其中VanderWaals模型參數(shù)μ0=1.0562,λm=4.5034,α0=0.8475,β0=0,D=0。根據(jù)該材料模型參數(shù)和所建立的有限元模型計(jì)算獲得橡膠隔振器的力-位移曲線見圖8,設(shè)位移零點(diǎn)的修正剛度為零,得到非線性修正剛度見式(3),由圖8可見使用超彈性材料模型計(jì)算獲得的結(jié)果較之于采用線彈性材料計(jì)算獲得的結(jié)果更接近于實(shí)驗(yàn)結(jié)果。kcorr=0.00667x6+0.001867x5-0.05413x4-0.26333x3-0.19093x2-6.2616x(3)2.2初始力和初始位移應(yīng)用庫(kù)侖摩擦模型來(lái)描述橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性的振幅相關(guān)性,其力與位移的關(guān)系用式(4)表示,與變形的歷史有關(guān)。如圖9所示為摩擦模型的參數(shù)識(shí)別示意圖,ffmax表示最大摩擦力,x2的大小表征摩擦力隨位移增加的變化趨勢(shì);ffs和xs分別表示參考狀態(tài)的初始力和初始位移。ff=ffs+x-xsx2[(1-sign(˙x)ffsffmax+sign(˙x)(x-xs)]ff=ffs+x?xsx2[(1?sign(x˙)ffsffmax+sign(x˙)(x?xs)](4)摩擦模型參數(shù)的獲得可以參照如圖9所示的力-位移曲線。確定模型參數(shù)時(shí),采用低頻(0.1Hz)、大振幅(8mm)的力-位移實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)擬合得到模型參數(shù)。采用很低的頻率進(jìn)行測(cè)試可以消除粘性力的影響,而大位移可以充分考慮摩擦的影響。由于橡膠隔振器的幾何非線性和材料非線性,在擬合時(shí)須從測(cè)試的力-位移曲線中減去修正項(xiàng)(見式3)。2.3橡膠隔振器的動(dòng)態(tài)特性用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型描述橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性與頻率的相關(guān)性:fv=bdax/dta(5)其中dax/dta為a階導(dǎo)數(shù),當(dāng)0<a<1,該模型同時(shí)具有彈性和粘性特性,定義式為:daxdta=1Γ(1-a)ddt∫t0x(τ)(t-τ)adτdaxdta=1Γ(1?a)ddt∫t0x(τ)(t?τ)adτ(6)式中Γ為Gamma函數(shù),表達(dá)為Γ(β)=∫∞0sβ-1exp(-s)ds,b>0為模型的常量。粘性力在時(shí)域上的求解利用Grünwald定義獲得,如式(7)所示。fv(tn)=bΔt-aΓ(-a)n-1∑m=0Γ(m-a)Γ(m+1)xn-mfv(tn)=bΔt?aΓ(?a)∑m=0n?1Γ(m?a)Γ(m+1)xn?m(7)如果不考慮振幅因素的影響,橡膠隔振器的復(fù)剛度形式可以表達(dá)為只包含彈性剛度和粘性剛度的方程,如式(8)所示。為了獲得橡膠隔振器的頻域特性,需在小振幅激勵(lì)下獲得橡膠隔振器的動(dòng)態(tài)特性,以盡量減少摩擦的影響。且在使用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合時(shí)需消除摩擦的影響,具體方法請(qǐng)參照文獻(xiàn)。?kfkv(ω)=k′e+b(iω)ak?fkv(ω)=k′e+b(iω)a(8)如圖10為根據(jù)優(yōu)化的擬合參數(shù)(a和b)計(jì)算獲得的橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性與消除摩擦影響后的實(shí)測(cè)值的比較結(jié)果,表明采用本文所建立的模型對(duì)擬合橡膠隔振器頻域動(dòng)態(tài)特性是較為有效的。3器模型參數(shù)應(yīng)用第3節(jié)的方法,識(shí)別得到的圖1所示橡膠隔振器的模型參數(shù)見表1。利用這些模型參數(shù)對(duì)橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性與激振頻率、激振振幅和預(yù)載的相關(guān)性進(jìn)行了計(jì)算分析,并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。3.1碳黑填充橡膠材料的超彈性和幾何非線性當(dāng)激振頻率為0.1Hz,激振振幅為0.5mm和8mm時(shí),計(jì)算得到的橡膠隔振器的力-位移曲線和實(shí)測(cè)的力-位移曲線見圖11。振幅較小時(shí),橡膠隔振器的彈性部分表現(xiàn)為線彈性,即不包含材料非線性和幾何非線性,因此采用線彈性模型或超彈性模型描述隔振器的彈性特性均可,如圖11(a)所示。當(dāng)振幅為8mm時(shí),由圖11(b)中可見力-位移曲線呈現(xiàn)較強(qiáng)非線性,這種非線性是由于大位移拉伸或壓縮時(shí)截面積變化較大而引起的,其次為碳黑填充橡膠材料的超彈性特性。因此當(dāng)振幅超過(guò)較大時(shí),只有全面考慮材料的超彈性和幾何非線性才能獲得滿意的結(jié)果,見圖11(b)計(jì)算值(I)。當(dāng)激振振幅為3mm,激振頻率為0.1Hz、10Hz和100Hz時(shí),橡膠隔振器的力-位移曲線見圖12,由圖可見,激振頻率為0.1Hz和10Hz時(shí)計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值吻合的較好,而激振頻率為100Hz時(shí)計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值存在一定的誤差,但仍屬于工程上可以接受的范圍內(nèi)。從圖12中可知,隨著頻率的增加,遲滯環(huán)的面積增加,表明每個(gè)循環(huán)的耗散能增加,因此阻尼值上升;圖12(a)中0.1Hz和100Hz的數(shù)據(jù)對(duì)比表明,遲滯環(huán)的斜率隨著頻率的升高而增加,粘性力的貢獻(xiàn)加大,因此動(dòng)剛度上升。3.2橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性橡膠隔振器的復(fù)剛度表達(dá)式如式(8)所示。其中?k表示總的復(fù)剛度,?kfkv表示粘彈性剛度,?kff為摩擦剛度。?k=?kfkv(ωn)+?kff(ωn)(8)圖13為計(jì)算得到的橡膠隔振器與激振振幅、激振頻率的相關(guān)性,圖14為采用超彈性模型后計(jì)算得到的橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性與預(yù)載的相關(guān)性。由圖可見,利用文中的模型,計(jì)算得到的橡膠隔振器的動(dòng)態(tài)特性和實(shí)驗(yàn)值吻合得較好,基于橡膠材料超彈性所建立的彈性模型可較好地描述橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性隨預(yù)載的變化,證明了模型的有效性。4橡膠隔振器動(dòng)態(tài)特性對(duì)一橡膠隔振器的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)試,建立了基于