《隨機變量及其分布》單元教學設計的幾點“注重”論文

《隨機變量及其分布》單元教學設計的幾點“注重”摘要：本文通過對《隨機變量及其分布》單元教學設計中的幾點“注重”，即注重培養(yǎng)學生對概率的學習興趣，注重對概率相關概念的教學，注重用概率的語言描述隨機現(xiàn)象和隨機事件，注重概率模型化思想的滲透，注重加強學生閱讀理解能力和數(shù)據(jù)處理能力的培養(yǎng)，注重問題的多樣性和綜合性方面的拓廣和探索，注重信息技術和課程的深度融合，注重結合相應的教學內(nèi)容落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。關鍵詞：基本概念，概率語言，概率模型，信息技術，核心素養(yǎng)。引言：本單元是《2019人教A版高中數(shù)學選擇性必修第三冊》的第七章，所屬選擇性必修課程里的主題三概率和統(tǒng)計；同時，也是必修課程中概率內(nèi)容的延續(xù)。本單元由必修2里的古典概型入手，構建了條件概率的概念，再由條件概率的公式變形得到概率的乘法公式，又由概率的乘法公式和加法公式得到全概率公式和貝葉斯公式；把隨機現(xiàn)象數(shù)量化，得到兩種隨機變量：離散型和連續(xù)型隨機變量，由離散型隨機變量得其分布列及其性質(zhì)、數(shù)字特質(zhì)（期望和方差），最后學習了概率的三種模型，即二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布。概率的相關概念和性質(zhì)是本單元的“骨架”，概率的三種模型是本單元的“血肉”，二者構成了一個有機整體，學習的過程構成了由理論到實踐，再由實踐到理論的知識回路。單元教學設計有利于優(yōu)化課堂教學設計，提高課堂效率。為了師生整體把握教材體系，更好地理解數(shù)學，談談本單元教學設計中的幾點需要“注重”的問題。1.在整個教學設計中注重培養(yǎng)學生對概率的學習興趣子曰：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者?！迸d趣是最好的老師。數(shù)學教育應當讓學生從思想上對數(shù)學有一個理性地、客觀全面的正確的認識，去“妖魔化”，使學生愿意接近數(shù)學、了解數(shù)學、探討數(shù)學、玩“數(shù)學”，對數(shù)學現(xiàn)象保持一定的熱情和好奇心。正如劉慈欣對宇宙奧妙的好奇心，才創(chuàng)造出風靡世界的《三體》。這就要求課堂教學設計要從學生已有的生活經(jīng)驗、數(shù)學經(jīng)驗出發(fā)，注意創(chuàng)設良好的問題情境。譬如：以史料作為教學情境，滲透數(shù)學文化，激發(fā)學生的學習興趣；結合課本中的典型案例，引入大量生活實例，讓學生親自動手實踐和操作，“知行合一”，使其感知經(jīng)歷整個過程，引導學生會學數(shù)學，養(yǎng)成良好的學習習慣，努力增強學生學習數(shù)學的熱情，使學生對問題內(nèi)容產(chǎn)生好奇，產(chǎn)生“我想學”的興趣和“沖動”，促進更多的學生熱愛數(shù)學，讓學生成為問題解決的成功者和幸福者。2.在整個教學設計中注重對概率基本概念的教學數(shù)學是最抽象，最不好玩，最難玩的學科。因此，數(shù)學教師要想方設法讓學生主動地參與學習，學得快樂，學得成功，獲得情感上的滿足，數(shù)學是“玩”概念的，概念是數(shù)學教學的核心。本單元涉及概念眾多，引導學生讀透教材，對教材中的基本概念進行梳理，對概念的來源、產(chǎn)生、發(fā)展，以及概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，進行深度學習。2.1數(shù)學概念教學的本質(zhì)數(shù)學概念是反映客觀事物在數(shù)量關系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維形式，是人們通過實踐，從數(shù)學所研究的事物對象的許多屬性中，抽象出其本質(zhì)屬性概括而成的。概念的形成，標志著人的認識已經(jīng)從感性認識上升為理性認識。數(shù)學中的推理和證明實質(zhì)上由一連串的概念、判斷和原理組成，因此數(shù)學概念學習是數(shù)學學習的基礎，數(shù)學概念的教學是數(shù)學教學最重要的組成部分。數(shù)學概念學習的本質(zhì)就是概括出數(shù)學中一類事物對象的共同本質(zhì)屬性，正確區(qū)分同類事物的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，正確形成數(shù)學概念的內(nèi)涵和外延。一般地，數(shù)學概念學習的內(nèi)容包括以下4個方面:(1)概念的名稱，(2)概念的定義，(3)概念的例子，(4)概念的屬性。概念教學的本質(zhì)是要使學生在腦中形成概念表象，幫助學生在腦中建構起良好的概念圖式。概念教學的本質(zhì)不是低水平的概念言語連鎖學習，而是要幫助學生獲得概念的心理意義，即形成概念內(nèi)涵的心理表象或者說建構起良好的概念圖式。概念圖式由一些反映概念屬性的觀念組成。概念圖式中觀念的多少、觀念的準確與否、觀念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。2.1.1概念的形成概念的形成使指從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過程。低年級學生大多數(shù)通過接觸概念的例證和反例，或者記住某些典型例子來獲得具體概念或日常概念。隨著認知水平的提高，學生可以按概念的形成方式來獲得精確的科學概念。以概念的形成方式獲得精確概念的心理過程如下圖1所示。2.1.2概念的同化概念的同化是指學習者利用原有認知結構中的觀念來理解接納新概念的過程。概念的同化過程不僅使新概念獲得了意義，而且擴大和深化了原有的認知結構。在數(shù)學中，大多數(shù)概念是以屬概念(在概念的從屬關系中，外延大的概念稱為屬概念)加種差(即關鍵屬性)的方式定義的。同化以這種方式定義的概念，實質(zhì)上就是對屬概念重新進行分類，分類的依據(jù)是種差，并借助于具體的例證進行，學習者就明確了概念的內(nèi)涵和外延。同化的結果，概念獲得了心理意義，原有的數(shù)學認知結構得到擴展和深化。2.2數(shù)學概念學習的4種水平數(shù)學概念學習可以分成了解、理解、掌握和綜合運用4種水平:了解：能回憶出概念的言語信息，能辨認出概念的常見例證，會舉例說明概念的相關屬性。理解：能把握概念的本質(zhì)屬性，能與相關概念建立聯(lián)系，能區(qū)別概念的例證與反例。掌握：在理解的基礎上，能直接把概念運用于新的情境。綜合運用：能綜合運用概念解決問題。為幫助學生透徹理解并掌握所學的數(shù)學概念，教師在教學中要注意以下5個方面:(1)加強對數(shù)學概念的解剖分析:數(shù)學概念是借助于數(shù)學語言符號來表達的，其用語、用詞一般都非常嚴密、精練，具有高度的概括性，因而，有的概念敘述十分簡練，寓意深刻;有的用符號、式子表示，比較抽象，對這些概念，教師必須抓住概念中的關鍵詞句進行解剖分析，揭示每一個詞、句、符號、式子的內(nèi)在含義，使學生深刻理解概念的本質(zhì)屬性。(2)利用變式，突出概念的本質(zhì)屬性:利用變式的目的是通過非本質(zhì)屬性的變化來突出本質(zhì)屬性，使學生獲得的概念更精確、更穩(wěn)定。(3)注重概念的對比和直觀化:數(shù)學中有許多概念是平行相關的概念，如果能將它們有機地聯(lián)系在一起進行類比，就可以收到由此及彼、溫故而知新的效果。有些數(shù)學概念之間，聯(lián)系緊密，差別較小，形式相似，容易被學生混淆。對這些概念，就要讓學生比較它們的內(nèi)涵和外延，在比較中加以鑒別，澄清模糊。數(shù)學教材一般都是從正面闡述概念，這容易使學生形成思維定式，妨礙對概念的深刻理解；因此，教師應注意引導學生從正反兩方面去認識概念。比如，可以利用若干反例，讓學生從反面去認識概念的內(nèi)涵和外延。數(shù)學概念通常是經(jīng)過多層次的抽象概括而得來的，它往往脫離了具體的原型。對這類比較抽象的概念，應引導學生將概念具體化、形象化，借助于直觀圖形，使抽象的數(shù)學概念成為看得見摸得著的事物。(4)注重概念體系的建構:在數(shù)學概念教學中，不但要使學生掌握單個的概念，而且還要使學生掌握概念體系，建構良好的數(shù)學認知結構。新概念是在原有概念的基礎之上形成的，或是原有概念的限制、延伸或擴充。因此，新舊概念之間有著內(nèi)在的聯(lián)系，如相鄰關系、對立關系、矛盾關系、交叉關系、從屬關系、并列關系等，這些聯(lián)系是構建概念體系的前提。經(jīng)過章節(jié)的學習之后，應引導學生將所學的概念加以整理、歸類、理解概念之間的關系，特別是種屬關系，將這些概念聯(lián)點串線。學生一旦形成了這樣概念體系，不僅有利于概念的存儲和檢索，而且有助于理解和吸收新概念。(5)注重概念產(chǎn)生的背景:為幫助學生透徹理解并掌握所學的數(shù)學概念，關鍵的問題是不僅要讓學生知道一節(jié)課學習的內(nèi)容，更要讓學生知道為什么要學這個內(nèi)容，由“知其然”、發(fā)展到“知其所以然”。即使是教師直接告訴學生課題，也要作出充分的鋪墊，使得學生覺得這個時候?qū)W習這個內(nèi)容是應該的，自然而然的，不至于產(chǎn)生從天上掉下-一個概念的感覺，長此以往，學生就會逐漸在學習過程中自已給自己提出下一步要研究什么的問題，發(fā)展自我探求知識的意思和能力。3.在整個教學設計中注重用概率的語言描述隨機現(xiàn)象和隨機事件用數(shù)學的語言表達世界。在引導學生利用所學知識解決一些實際問題的基礎上，適當進行嚴格、準確的描述，強調(diào)解決問題過程的規(guī)范化和統(tǒng)一性。比如，在教學全概率公式時，解決如下的問題：從有a個紅球和b個藍球的袋子中，每次隨機摸出1個球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為 .那么第2次摸到紅球的概率是多大?如何計算這個概率呢?用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍球”(i=1，2)，我們可以用圖形來表示事件之間的關系。事件R2可按第1次可能摸球的結果(紅球或藍球)表示為兩個互斥事件的并即R2=(R1R2)∪(B1R2).利用概率的加法公式和乘法公式，得用符號和概率的語言將一個復雜事件表示為兩個互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復雜事件的概率.通過概率的相關符號和語言使得解決問題的整個過程明晰清楚有序，簡要規(guī)范。4.在整個教學設計中注重概率模型化思想的滲透概率問題基本是應用問題，情境貼近學生的實際生活，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力并用概率模型解決實際問題。4.1在教學設計中明確數(shù)學建模課教學的重要意義(1)讓學生學會通過查詢資料、獲取信息等手段，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的意識。(2)培養(yǎng)學生的觀察力、理解力和抽象能力，對事物進行正確判斷的能力，從而，加深對數(shù)學本質(zhì)的理解與認識。(3)能擴展數(shù)學概念，增強數(shù)學研究的能力，強化數(shù)學應用的意識，培養(yǎng)學生靈活運用數(shù)學知識與數(shù)學方法的能力。(4)提高分析問題和解決問題的能力，樹立創(chuàng)新意識。(5)培養(yǎng)學生的自立能力與使用精神，增強對數(shù)學的感受和情感體驗.4.2正確把握數(shù)學建模課的課程標準的教學要求在中學階段，數(shù)學與物理、化學、經(jīng)濟、日常生活以及哲學、社會科學的聯(lián)系越來越緊密，如人口增長、質(zhì)量控制、抽樣試驗等都需要有相應的數(shù)學模型。因此，數(shù)學教育應重視對數(shù)學建模和數(shù)學應用的教學。4.3認真解讀數(shù)學課程標準中的教學建議數(shù)學建模課可以采用課題組的學習模式，教師引導和組織學生學會獨立思考、分工合作、交流討論、尋求幫助，教師成為學生的使用伙伴;教師應指導學生完成數(shù)學建模報告，規(guī)范報告的格式(包括問題提出的背景、問題解決的方案、問題解決的進程、合作學習的過程、結果和評價等)。5.在整個教學設計中注重加強學生閱讀理解能力和數(shù)據(jù)處理能力的培養(yǎng)概率教學是相對獨立的一個模塊，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量。該類問題以實際應用題為載體，題材內(nèi)容非常的豐富，生活背景知識特別廣泛，注重培養(yǎng)學生的應用意識、閱讀理解能力、計算能力、分類討論與化歸轉化的能力。比如，在正態(tài)分布教學中有這樣的一個問題：自動流水線包裝的食鹽，每袋標準質(zhì)量為400g.由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標準質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差（實際質(zhì)量減去標準質(zhì)量）.用X表示這種誤差，則X是一個連續(xù)型隨機變量.檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X(單位：g）的觀測值如下：對“問題”中食鹽質(zhì)量和標準質(zhì)量的誤差數(shù)數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計。通過統(tǒng)計，對整個數(shù)據(jù)有了初步的了解，如其均值、標準差、中位數(shù)等數(shù)字特征。再由此作出頻率分布直方圖（如下圖5），根據(jù)頻率與概率的關系，加以直觀想象，水到渠成地得到一條如鐘形的曲線。另一方面，隨著樣本數(shù)量越來越大，分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的上方輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線。通過數(shù)學實驗，讓學生經(jīng)歷處理大數(shù)據(jù)的過程和方式以及動手實踐的能力，培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)分析實驗結果的能力，發(fā)現(xiàn)知識的規(guī)律。6.在整個教學設計中注重問題的多樣性和綜合性方面的拓廣和探索近幾年的高考題中，對概率統(tǒng)計的考查要求逐漸提高，背景和題型變化多，且在加大綜合性方面進行了探索。聰明在于勤奮，天才在于積累；即使天才也要刻意訓練，何況普通之人。學生要“閱題無數(shù)”，心中有數(shù)，實踐出真知；在“做”中學，“學”中做，成功不在難易，在于身體力行去做，正如王陽明所說，事上練，破猶豫之賊。7.在整個教學設計中注重信息技術和課程的深度融合基于信息技術的教育資源和教學手段日新月異，正改變著數(shù)學教與學的方式。學生和教師都要適應時代的發(fā)展，按照課程標準的要求，發(fā)揮信息技術直觀便捷、資源豐富的優(yōu)勢，幫助學生發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)。通過信息技術和課程的深度融合，使數(shù)學可視化、動態(tài)化、簡化、美化，提高課堂效率，提高學習效率。舉例1：甲、乙兩人進行象棋比賽，如果甲的水平比乙高，采用3局2勝或5局3勝哪一種賽制對甲有利呢?直覺上，賽制越長對水平高的一方越有利.通過計算機處理，由下圖7，橫坐標表示每局甲獲勝的概率，縱坐標表示甲和乙經(jīng)過若干局比賽之后，甲最終獲勝的概率。通過動態(tài)圖的展示，很容易得到選手實力越強局數(shù)越多越有利的結論。舉例2:將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復拋擲10次，求：（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4，0.6]內(nèi)的概率。重復擲硬幣是最簡單的n重伯努利試驗,通過計算機處理“恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率”，同時可以計算出X等于其它的值對應的概率。通過計算重復試驗中：擲10次硬幣正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4，0.6]內(nèi)的概率為0.65625。擲50次硬幣，頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率為擲100次硬幣，頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率為隨著重復試驗次數(shù)的增加，頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率增大，并逐漸接近。通過信息技術的使用，助學生進一步認識頻率穩(wěn)定到概率的意義，又培養(yǎng)了學生大數(shù)據(jù)運算的能力和處理分析數(shù)據(jù)的手段。在整個教學設計中注重結合相應的教學內(nèi)容落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。在單元整體教學設計的過程中，“注重”知識結構的整體性來構思教學目標的設立，尋找不同知識點間的關聯(lián)性和邏輯性，精確定位教學內(nèi)容的切入，合理的教學