《隨機(jī)變量及其分布》單元教學(xué)設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)“注重”論文

《隨機(jī)變量及其分布》單元教學(xué)設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)“注重”摘要：本文通過對《隨機(jī)變量及其分布》單元教學(xué)設(shè)計(jì)中的幾點(diǎn)“注重”，即注重培養(yǎng)學(xué)生對概率的學(xué)習(xí)興趣，注重對概率相關(guān)概念的教學(xué)，注重用概率的語言描述隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件，注重概率模型化思想的滲透，注重加強(qiáng)學(xué)生閱讀理解能力和數(shù)據(jù)處理能力的培養(yǎng)，注重問題的多樣性和綜合性方面的拓廣和探索，注重信息技術(shù)和課程的深度融合，注重結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。關(guān)鍵詞：基本概念，概率語言，概率模型，信息技術(shù)，核心素養(yǎng)。引言：本單元是《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》的第七章，所屬選擇性必修課程里的主題三概率和統(tǒng)計(jì)；同時(shí)，也是必修課程中概率內(nèi)容的延續(xù)。本單元由必修2里的古典概型入手，構(gòu)建了條件概率的概念，再由條件概率的公式變形得到概率的乘法公式，又由概率的乘法公式和加法公式得到全概率公式和貝葉斯公式；把隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量化，得到兩種隨機(jī)變量：離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量，由離散型隨機(jī)變量得其分布列及其性質(zhì)、數(shù)字特質(zhì)（期望和方差），最后學(xué)習(xí)了概率的三種模型，即二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布。概率的相關(guān)概念和性質(zhì)是本單元的“骨架”，概率的三種模型是本單元的“血肉”，二者構(gòu)成了一個(gè)有機(jī)整體，學(xué)習(xí)的過程構(gòu)成了由理論到實(shí)踐，再由實(shí)踐到理論的知識回路。單元教學(xué)設(shè)計(jì)有利于優(yōu)化課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，提高課堂效率。為了師生整體把握教材體系，更好地理解數(shù)學(xué)，談?wù)劚締卧虒W(xué)設(shè)計(jì)中的幾點(diǎn)需要“注重”的問題。1.在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中注重培養(yǎng)學(xué)生對概率的學(xué)習(xí)興趣子曰：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者?！迸d趣是最好的老師。數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生從思想上對數(shù)學(xué)有一個(gè)理性地、客觀全面的正確的認(rèn)識，去“妖魔化”，使學(xué)生愿意接近數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、探討數(shù)學(xué)、玩“數(shù)學(xué)”，對數(shù)學(xué)現(xiàn)象保持一定的熱情和好奇心。正如劉慈欣對宇宙奧妙的好奇心，才創(chuàng)造出風(fēng)靡世界的《三體》。這就要求課堂教學(xué)設(shè)計(jì)要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，注意創(chuàng)設(shè)良好的問題情境。譬如：以史料作為教學(xué)情境，滲透數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；結(jié)合課本中的典型案例，引入大量生活實(shí)例，讓學(xué)生親自動手實(shí)踐和操作，“知行合一”，使其感知經(jīng)歷整個(gè)過程，引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，努力增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，使學(xué)生對問題內(nèi)容產(chǎn)生好奇，產(chǎn)生“我想學(xué)”的興趣和“沖動”，促進(jìn)更多的學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)，讓學(xué)生成為問題解決的成功者和幸福者。2.在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中注重對概率基本概念的教學(xué)數(shù)學(xué)是最抽象，最不好玩，最難玩的學(xué)科。因此，數(shù)學(xué)教師要想方設(shè)法讓學(xué)生主動地參與學(xué)習(xí)，學(xué)得快樂，學(xué)得成功，獲得情感上的滿足，數(shù)學(xué)是“玩”概念的，概念是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心。本單元涉及概念眾多，引導(dǎo)學(xué)生讀透教材，對教材中的基本概念進(jìn)行梳理，對概念的來源、產(chǎn)生、發(fā)展，以及概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)。2.1數(shù)學(xué)概念教學(xué)的本質(zhì)數(shù)學(xué)概念是反映客觀事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維形式，是人們通過實(shí)踐，從數(shù)學(xué)所研究的事物對象的許多屬性中，抽象出其本質(zhì)屬性概括而成的。概念的形成，標(biāo)志著人的認(rèn)識已經(jīng)從感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識。數(shù)學(xué)中的推理和證明實(shí)質(zhì)上由一連串的概念、判斷和原理組成，因此數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)最重要的組成部分。數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是概括出數(shù)學(xué)中一類事物對象的共同本質(zhì)屬性，正確區(qū)分同類事物的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，正確形成數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延。一般地，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的內(nèi)容包括以下4個(gè)方面:(1)概念的名稱，(2)概念的定義，(3)概念的例子，(4)概念的屬性。概念教學(xué)的本質(zhì)是要使學(xué)生在腦中形成概念表象，幫助學(xué)生在腦中建構(gòu)起良好的概念圖式。概念教學(xué)的本質(zhì)不是低水平的概念言語連鎖學(xué)習(xí)，而是要幫助學(xué)生獲得概念的心理意義，即形成概念內(nèi)涵的心理表象或者說建構(gòu)起良好的概念圖式。概念圖式由一些反映概念屬性的觀念組成。概念圖式中觀念的多少、觀念的準(zhǔn)確與否、觀念的深刻程度是反映概念理解水平的重要因素。2.1.1概念的形成概念的形成使指從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類事物的共同本質(zhì)屬性的過程。低年級學(xué)生大多數(shù)通過接觸概念的例證和反例，或者記住某些典型例子來獲得具體概念或日常概念。隨著認(rèn)知水平的提高，學(xué)生可以按概念的形成方式來獲得精確的科學(xué)概念。以概念的形成方式獲得精確概念的心理過程如下圖1所示。2.1.2概念的同化概念的同化是指學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念來理解接納新概念的過程。概念的同化過程不僅使新概念獲得了意義，而且擴(kuò)大和深化了原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在數(shù)學(xué)中，大多數(shù)概念是以屬概念(在概念的從屬關(guān)系中，外延大的概念稱為屬概念)加種差(即關(guān)鍵屬性)的方式定義的。同化以這種方式定義的概念，實(shí)質(zhì)上就是對屬概念重新進(jìn)行分類，分類的依據(jù)是種差，并借助于具體的例證進(jìn)行，學(xué)習(xí)者就明確了概念的內(nèi)涵和外延。同化的結(jié)果，概念獲得了心理意義，原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到擴(kuò)展和深化。2.2數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的4種水平數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)可以分成了解、理解、掌握和綜合運(yùn)用4種水平:了解：能回憶出概念的言語信息，能辨認(rèn)出概念的常見例證，會舉例說明概念的相關(guān)屬性。理解：能把握概念的本質(zhì)屬性，能與相關(guān)概念建立聯(lián)系，能區(qū)別概念的例證與反例。掌握：在理解的基礎(chǔ)上，能直接把概念運(yùn)用于新的情境。綜合運(yùn)用：能綜合運(yùn)用概念解決問題。為幫助學(xué)生透徹理解并掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)概念，教師在教學(xué)中要注意以下5個(gè)方面:(1)加強(qiáng)對數(shù)學(xué)概念的解剖分析:數(shù)學(xué)概念是借助于數(shù)學(xué)語言符號來表達(dá)的，其用語、用詞一般都非常嚴(yán)密、精練，具有高度的概括性，因而，有的概念敘述十分簡練，寓意深刻;有的用符號、式子表示，比較抽象，對這些概念，教師必須抓住概念中的關(guān)鍵詞句進(jìn)行解剖分析，揭示每一個(gè)詞、句、符號、式子的內(nèi)在含義，使學(xué)生深刻理解概念的本質(zhì)屬性。(2)利用變式，突出概念的本質(zhì)屬性:利用變式的目的是通過非本質(zhì)屬性的變化來突出本質(zhì)屬性，使學(xué)生獲得的概念更精確、更穩(wěn)定。(3)注重概念的對比和直觀化:數(shù)學(xué)中有許多概念是平行相關(guān)的概念，如果能將它們有機(jī)地聯(lián)系在一起進(jìn)行類比，就可以收到由此及彼、溫故而知新的效果。有些數(shù)學(xué)概念之間，聯(lián)系緊密，差別較小，形式相似，容易被學(xué)生混淆。對這些概念，就要讓學(xué)生比較它們的內(nèi)涵和外延，在比較中加以鑒別，澄清模糊。數(shù)學(xué)教材一般都是從正面闡述概念，這容易使學(xué)生形成思維定式，妨礙對概念的深刻理解；因此，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生從正反兩方面去認(rèn)識概念。比如，可以利用若干反例，讓學(xué)生從反面去認(rèn)識概念的內(nèi)涵和外延。數(shù)學(xué)概念通常是經(jīng)過多層次的抽象概括而得來的，它往往脫離了具體的原型。對這類比較抽象的概念，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將概念具體化、形象化，借助于直觀圖形，使抽象的數(shù)學(xué)概念成為看得見摸得著的事物。(4)注重概念體系的建構(gòu):在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，不但要使學(xué)生掌握單個(gè)的概念，而且還要使學(xué)生掌握概念體系，建構(gòu)良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。新概念是在原有概念的基礎(chǔ)之上形成的，或是原有概念的限制、延伸或擴(kuò)充。因此，新舊概念之間有著內(nèi)在的聯(lián)系，如相鄰關(guān)系、對立關(guān)系、矛盾關(guān)系、交叉關(guān)系、從屬關(guān)系、并列關(guān)系等，這些聯(lián)系是構(gòu)建概念體系的前提。經(jīng)過章節(jié)的學(xué)習(xí)之后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)的概念加以整理、歸類、理解概念之間的關(guān)系，特別是種屬關(guān)系，將這些概念聯(lián)點(diǎn)串線。學(xué)生一旦形成了這樣概念體系，不僅有利于概念的存儲和檢索，而且有助于理解和吸收新概念。(5)注重概念產(chǎn)生的背景:為幫助學(xué)生透徹理解并掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)概念，關(guān)鍵的問題是不僅要讓學(xué)生知道一節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，更要讓學(xué)生知道為什么要學(xué)這個(gè)內(nèi)容，由“知其然”、發(fā)展到“知其所以然”。即使是教師直接告訴學(xué)生課題，也要作出充分的鋪墊，使得學(xué)生覺得這個(gè)時(shí)候?qū)W習(xí)這個(gè)內(nèi)容是應(yīng)該的，自然而然的，不至于產(chǎn)生從天上掉下-一個(gè)概念的感覺，長此以往，學(xué)生就會逐漸在學(xué)習(xí)過程中自已給自己提出下一步要研究什么的問題，發(fā)展自我探求知識的意思和能力。3.在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中注重用概率的語言描述隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)事件用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。在引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識解決一些實(shí)際問題的基礎(chǔ)上，適當(dāng)進(jìn)行嚴(yán)格、準(zhǔn)確的描述，強(qiáng)調(diào)解決問題過程的規(guī)范化和統(tǒng)一性。比如，在教學(xué)全概率公式時(shí)，解決如下的問題：從有a個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為 .那么第2次摸到紅球的概率是多大?如何計(jì)算這個(gè)概率呢?用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍(lán)球”(i=1，2)，我們可以用圖形來表示事件之間的關(guān)系。事件R2可按第1次可能摸球的結(jié)果(紅球或藍(lán)球)表示為兩個(gè)互斥事件的并即R2=(R1R2)∪(B1R2).利用概率的加法公式和乘法公式，得用符號和概率的語言將一個(gè)復(fù)雜事件表示為兩個(gè)互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得這個(gè)復(fù)雜事件的概率.通過概率的相關(guān)符號和語言使得解決問題的整個(gè)過程明晰清楚有序，簡要規(guī)范。4.在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中注重概率模型化思想的滲透概率問題基本是應(yīng)用問題，情境貼近學(xué)生的實(shí)際生活，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力并用概率模型解決實(shí)際問題。4.1在教學(xué)設(shè)計(jì)中明確數(shù)學(xué)建模課教學(xué)的重要意義(1)讓學(xué)生學(xué)會通過查詢資料、獲取信息等手段，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的意識。(2)培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、理解力和抽象能力，對事物進(jìn)行正確判斷的能力，從而，加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與認(rèn)識。(3)能擴(kuò)展數(shù)學(xué)概念，增強(qiáng)數(shù)學(xué)研究的能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法的能力。(4)提高分析問題和解決問題的能力，樹立創(chuàng)新意識。(5)培養(yǎng)學(xué)生的自立能力與使用精神，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的感受和情感體驗(yàn).4.2正確把握數(shù)學(xué)建模課的課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)要求在中學(xué)階段，數(shù)學(xué)與物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)、日常生活以及哲學(xué)、社會科學(xué)的聯(lián)系越來越緊密，如人口增長、質(zhì)量控制、抽樣試驗(yàn)等都需要有相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。因此，數(shù)學(xué)教育應(yīng)重視對數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)應(yīng)用的教學(xué)。4.3認(rèn)真解讀數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的教學(xué)建議數(shù)學(xué)建模課可以采用課題組的學(xué)習(xí)模式，教師引導(dǎo)和組織學(xué)生學(xué)會獨(dú)立思考、分工合作、交流討論、尋求幫助，教師成為學(xué)生的使用伙伴;教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生完成數(shù)學(xué)建模報(bào)告，規(guī)范報(bào)告的格式(包括問題提出的背景、問題解決的方案、問題解決的進(jìn)程、合作學(xué)習(xí)的過程、結(jié)果和評價(jià)等)。5.在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中注重加強(qiáng)學(xué)生閱讀理解能力和數(shù)據(jù)處理能力的培養(yǎng)概率教學(xué)是相對獨(dú)立的一個(gè)模塊，處理問題的方式、方法體現(xiàn)了較高的思維含量。該類問題以實(shí)際應(yīng)用題為載體，題材內(nèi)容非常的豐富，生活背景知識特別廣泛，注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識、閱讀理解能力、計(jì)算能力、分類討論與化歸轉(zhuǎn)化的能力。比如，在正態(tài)分布教學(xué)中有這樣的一個(gè)問題：自動流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g.由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差（實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量）.用X表示這種誤差，則X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量.檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽取了100袋食鹽，獲得誤差X(單位：g）的觀測值如下：對“問題”中食鹽質(zhì)量和標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的誤差數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。通過統(tǒng)計(jì)，對整個(gè)數(shù)據(jù)有了初步的了解，如其均值、標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)等數(shù)字特征。再由此作出頻率分布直方圖（如下圖5），根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，加以直觀想象，水到渠成地得到一條如鐘形的曲線。另一方面，隨著樣本數(shù)量越來越大，分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的上方輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線。通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷處理大數(shù)據(jù)的過程和方式以及動手實(shí)踐的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果的能力，發(fā)現(xiàn)知識的規(guī)律。6.在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中注重問題的多樣性和綜合性方面的拓廣和探索近幾年的高考題中，對概率統(tǒng)計(jì)的考查要求逐漸提高，背景和題型變化多，且在加大綜合性方面進(jìn)行了探索。聰明在于勤奮，天才在于積累；即使天才也要刻意訓(xùn)練，何況普通之人。學(xué)生要“閱題無數(shù)”，心中有數(shù)，實(shí)踐出真知；在“做”中學(xué)，“學(xué)”中做，成功不在難易，在于身體力行去做，正如王陽明所說，事上練，破猶豫之賊。7.在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中注重信息技術(shù)和課程的深度融合基于信息技術(shù)的教育資源和教學(xué)手段日新月異，正改變著數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式。學(xué)生和教師都要適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，發(fā)揮信息技術(shù)直觀便捷、資源豐富的優(yōu)勢，幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。通過信息技術(shù)和課程的深度融合，使數(shù)學(xué)可視化、動態(tài)化、簡化、美化，提高課堂效率，提高學(xué)習(xí)效率。舉例1：甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，如果甲的水平比乙高，采用3局2勝或5局3勝哪一種賽制對甲有利呢?直覺上，賽制越長對水平高的一方越有利.通過計(jì)算機(jī)處理，由下圖7，橫坐標(biāo)表示每局甲獲勝的概率，縱坐標(biāo)表示甲和乙經(jīng)過若干局比賽之后，甲最終獲勝的概率。通過動態(tài)圖的展示，很容易得到選手實(shí)力越強(qiáng)局?jǐn)?shù)越多越有利的結(jié)論。舉例2:將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求：（1）恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4，0.6]內(nèi)的概率。重復(fù)擲硬幣是最簡單的n重伯努利試驗(yàn),通過計(jì)算機(jī)處理“恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率”，同時(shí)可以計(jì)算出X等于其它的值對應(yīng)的概率。通過計(jì)算重復(fù)試驗(yàn)中：擲10次硬幣正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4，0.6]內(nèi)的概率為0.65625。擲50次硬幣，頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率為擲100次硬幣，頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率為隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率增大，并逐漸接近。通過信息技術(shù)的使用，助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識頻率穩(wěn)定到概率的意義，又培養(yǎng)了學(xué)生大數(shù)據(jù)運(yùn)算的能力和處理分析數(shù)據(jù)的手段。在整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中注重結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容落實(shí)“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。在單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，“注重”知識結(jié)構(gòu)的整體性來構(gòu)思教學(xué)目標(biāo)的設(shè)立，尋找不同知識點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)性和邏輯性，精確定位教學(xué)內(nèi)容的切入，合理的教學(xué)