2022屆高三人教A版理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)（23）解三角形的應(yīng)用

課時(shí)作業(yè)(二十三)[第23講解三角形的應(yīng)用][時(shí)間：45分鐘分值：100分]eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．已知兩座燈塔A、B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10°B．北偏西10°C．南偏東10°D．南偏西10°2．已知A、B兩地的距離為10km，B、C兩地的距離為20km，觀測(cè)得∠ABC＝120°，則A、C兩地的距離為()A．10km\r(3)kmC．10eq\r(5)kmD．10eq\r(7)km3．有一長(zhǎng)為1的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10°，則斜坡長(zhǎng)為()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°4．[2022·北京朝陽(yáng)區(qū)二模]如圖K23－1，一艘船上午8：00在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午8：30到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距4eq\r(2)nmile，則此船的航行速度是________nmile/h.圖K23－1eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．如圖K23－2，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為()圖K23－2A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m\f(25\r(2),2)m6．兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)km\r(2)akmC．2akm\r(3)akm7．據(jù)新華社報(bào)道，強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“珍珠”在廣東饒平登陸．臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí)以上，大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來(lái)嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹(shù)被大風(fēng)折斷．某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹(shù)干也傾斜為與地面成75°角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20m，則折斷點(diǎn)與樹(shù)干底部的距離是()\f(20\r(6),3)mB．10eq\r(6)m\f(10\r(6),3)mD．20eq\r(2)m8．[2022·江門(mén)一模]海事救護(hù)船A在基地的北偏東60°，與基地相距100eq\r(3)nmile，漁船B被困海面，已知B距離基地100nmile，而且在救護(hù)船A的正西方，則漁船B與救護(hù)船A的距離是()A．100nmileB．200nmileC．100nmile或200nmileD．100eq\r(3)nmile9．某人在C點(diǎn)測(cè)得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10m到D，測(cè)得塔頂A的仰角為30°，則塔高為()A．15mB．5mC．10mD．12m10．已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A船到燈塔C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°處，A、B兩船間的距離為3km，則B船到燈塔C的距離為_(kāi)_______km.11．如圖K23－3，在坡角為15°的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，且第一排和最后一排的距離為10eq\r(6)m，則旗桿的高度為_(kāi)_______m.圖K23－312．[2022·濰坊二模]如圖K23－4，為測(cè)得河對(duì)岸塔AB的高，先在河岸上選取一點(diǎn)C，使C在塔底B的正東方向上，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°，再由點(diǎn)C沿北偏東15°方向走10m到位置D，測(cè)得∠BDC＝45°，則塔AB的高是________m.圖K23－413．[2022·珠海二模]△ABC中，AB＝2eq\r(2)，BC＝eq\r(5)，A＝45°，∠B為△ABC中最大角，D為AC上一點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)DC，則BD＝________.14．(10分)以40km/h向北偏東30°航行的科學(xué)探測(cè)船上釋放了一個(gè)探測(cè)氣球，氣球順風(fēng)向正東飄去，3min后氣球上升到1000m處，從探測(cè)船上觀察氣球，仰角為30°，求氣球的水平飄移速度．15．(13分)[2022·開(kāi)封二模]如圖K23－5所示，甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為15eq\r(2)nmile/h，在甲船從A島出發(fā)的同時(shí)，乙船從A島正南40nmile處的B島出發(fā)，朝北偏東θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanθ＝\f(1,2)))的方向作勻速直線航行，速度為mnmile/h.(1)若兩船能相遇，求m.(2)當(dāng)m＝10eq\r(5)時(shí)，求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間距離最近，最近距離為多少nmile?圖K23－5eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)16．(12分)某海島上有一座海拔1km的山，山頂上有一觀察站P(P在海平面上的射影點(diǎn)為A)，測(cè)得一游艇在海島南偏西30°，俯角為45°的B處，該游艇準(zhǔn)備前往海島正東方向，俯角為45°的旅游景點(diǎn)C處，如圖K23－6所示．(1)設(shè)游艇從B處直線航行到C處時(shí)，距離觀察站P最近的點(diǎn)為D處．(i)求證：BC⊥平面PAD；(ii)計(jì)算B、D兩點(diǎn)間的距離．(2)海水退潮后，在(1)中的點(diǎn)D處周?chē)?.25km內(nèi)有暗礁，航道變窄，為了有序參觀景點(diǎn)，要求游艇從B處直線航行到A的正東方向某點(diǎn)E處后，再沿正東方向繼續(xù)駛向C處．為使游艇不會(huì)觸礁，試求AE的最大值．圖K23－6

課時(shí)作業(yè)(二十三)【基礎(chǔ)熱身】1．B[解析]如圖，∠CBA＝eq\f(1,2)(180°－80°)＝50°，α＝60°－50°＝10°，故選B.2．D[解析]如圖，△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠B＝120°.由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°，＝102＋202－2×10×20×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝700，∴AC＝10eq\3．C[解析]如圖，在△ACD中，由正弦定理，有eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，∴AD＝eq\f(sin180°－20°,sin20°－10°)＝eq\f(2sin10°cos10°,sin10°)＝2cos10°，故選C.4．16[解析]如圖，在△ABS中，由正弦定理，有eq\f(AB,sin∠ASB)＝eq\f(BS,sinA)，∴AB＝eq\f(4\r(2)sin75°－30°,sin30°)＝8，故此船的航行速度是8÷eq\f(1,2)＝16(nmile/h)．【能力提升】5．A[解析]由題意，得B＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．6．D[解析]依題意得∠ACB＝120°，由余弦定理，得cos120°＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC).∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝a2＋a2－2a2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝3a2，∴AB＝eq\r(3)a，故選D.7．A[解析]如圖所示，設(shè)樹(shù)干底部為O，樹(shù)尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，∴AO＝eq\f(20\r(6),3)m，故選A.8．C[解析]如圖，設(shè)基地的位置為O，在△OAB中，OA＝100eq\r(3)，OB＝100，∠OAB＝30°，由余弦定理，有OB2＝AB2＋OA2－2AB·OAcos∠OAB，即AB2－300AB＋2×1002＝0，解得AB＝100，或AB＝200，故選C.9．C[解析]如圖，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝eq\r(3)h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10.由余弦定理得，OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10，或h＝－5(舍)，故選C.\r(6)－1[解析]如圖，由題意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3，設(shè)BC＝x，則由余弦定理可得，AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝x2＋22－2×2xcos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝eq\r(6)－1.11．30[解析]設(shè)旗桿高為h米，最后一排為點(diǎn)A，第一排為點(diǎn)B，旗桿頂端為點(diǎn)C，則BC＝eq\f(h,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)h.在△ABC中，AB＝10eq\r(6)，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理得，eq\f(10\r(6),sin30°)＝eq\f(\f(2\r(3),3)h,sin45°)，故h＝30.12．10eq\r(6)[解析]在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°＋15°＝105°，∠CBD＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，有eq\f(CD,sin30°)＝eq\f(BC,sin45°)，則BC＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝10eq\r(2)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6).\r(5)[解析]在△ABC中，由正弦定理，有eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即sinC＝eq\f(2\r(2)sin45°,\r(5))＝eq\f(2,\r(5))，∴cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(1,\r(5))，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,\r(5))＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(2,\r(5))＝eq\f(3\r(2),2\r(5))，由正弦定理，有eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，得AC＝eq\f(\r(5)×\f(3\r(2),2\r(5)),\f(\r(2),2))＝3.∵AD＝eq\f(1,2)DC，∴AD＝1，DC＝2，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos45°＝(2eq\r(2))2＋12－2×2eq\r(2)×1×eq\f(\r(2),2)＝5，∴BD＝eq\r(5).14．[解答]如圖，船從A航行到C處，氣球飄到D處．由題知，BD＝1000m＝1km，AC＝2km，∵∠BCD＝30°，∴BC＝eq\r(3)km.設(shè)AB＝xkm，在△ABC中，∵∠BAC＝90°－30°＝60°，∴由余弦定理得22＋x2－2×2xcos60°＝(eq\r(3))2，∴x2－2x＋1＝0，∴x＝1.∴氣球水平飄移速度為eq\f(1,\f(1,20))＝20(km/h)．15．[解答](1)設(shè)t小時(shí)后，兩船在M處相遇，由tanθ＝eq\f(1,2)，得sinθ＝eq\f(\r(5),5)，cosθ＝eq\f(2\r(5),5)，所以sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝eq\f(\r(10),10).由正弦定理，eq\f(AM,sinθ)＝eq\f(AB,sin∠AMB)，∴AM＝40eq\r(2)，同理得BM＝40eq\r(5).∴t＝eq\f(40\r(2),15\r(2))＝eq\f(8,3)，m＝eq\f(40\r(5),\f(8,3))＝15eq\r(5).(2)以A為原點(diǎn)，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P(x1，y1)，Q(x2，y2)處，則|AP|＝15eq\r(2)t，|BQ|＝10eq\r(5)t.由任意角三角函數(shù)的定義，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝15\r(2)tcos45°＝15t，,y1＝15\r(2)tsin45°＝15t，))即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(15t,15t)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝10\r(5)tsinθ＝10t，,y2＝10\r(5)tcosθ－40＝20t－40，))即點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(10t,20t－40)，∴|PQ|＝eq\r(－5t2＋5t－402)＝eq\r(50t2－400t＋1600)＝eq\r(50t－42＋800)≥20eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)t＝4時(shí)，|PQ|取得最小值20eq\r(2)，即兩船出發(fā)4小時(shí)時(shí)，距離最近，最近距離為20eq\r(2)nmile.【難點(diǎn)突破】16．[解答](1)(i)連接PD，AD，∵游艇距離觀察站P最近的點(diǎn)為D處，∴PD⊥BC.又依題意可知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又PA∩PD＝P，∴BC⊥平面PAD.(ii)依題意知PA⊥AB，∠PBA＝45°，PA＝1，∴AB＝1，同理AC＝1，且∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.又BC⊥AD，∴D為BC的中點(diǎn)，且BD＝eq\f(\r(3),2).(2)解法一：依題意過(guò)點(diǎn)B作圓D的切線交AC于點(diǎn)E，切點(diǎn)為G，則AE取得最大值．設(shè)AE＝x，則CE＝1－x，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC于F，則EF＝eq\f(1－x,2).連接DG，則DG⊥BE，∴Rt△BGD∽R(shí)t△BFE，∴BE＝eq\r(3)(1－x)．在△ABE中，BE2＝AB2＋AE2－2AB·AE·cos∠BAC，即3(1－x)2＝1＋x2＋x，化簡(jiǎn)得2x2－7x＋2＝0，解得x1＝eq\f(7＋\r(33),4)，x2＝eq\f(7－\r(33),4).又∵0<x<1，∴x＝eq\f(7－\r(33),4)，答：BD的長(zhǎng)為eq\f(\r(3),2)km，AE的最大值為eq\f(7－\r(33),4)km.解法二：在平面ABC內(nèi)