10.1橢圓及其性質(zhì)

/第十章圓錐曲線本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖曲線與方程曲線與方程軌跡方程的求法：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸（實(shí)軸）、短軸（虛軸）、漸近線（雙曲線）、準(zhǔn)線（只要求拋物線）離心率對(duì)稱性問(wèn)題中心對(duì)稱軸對(duì)稱點(diǎn)(x1，y1)eq\o(\s\do3(───────→),\s\up3(關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱))點(diǎn)(2a－x1，2b－y1)曲線f(x，y)eq\o(\s\do3(───────→),\s\up3(關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱))曲線f(2a－x，2b－y)eq\b\lc\{(\a\al(A·\f(x1＋x2,2)＋B·\f(y1＋y2,2)＋C＝0,\f(y2－y1,x2－x1)·(－\f(A,B))＝－1))特殊對(duì)稱軸x±y＋C＝0直接代入法點(diǎn)(x1，y1)與點(diǎn)(x2，y2)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0對(duì)稱第一節(jié)橢圓及其性質(zhì)考綱解讀了解圓錐曲線的實(shí)際背景及其在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.掌握橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何圖形及其簡(jiǎn)單性質(zhì)了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用理解數(shù)形結(jié)合的思想命題趨勢(shì)研究橢圓是圓錐曲線的重要內(nèi)容，高考主要考查橢圓的基本性質(zhì)，橢圓方程的求法，橢圓定義的運(yùn)用和橢圓中各個(gè)量的計(jì)算，尤其是對(duì)離心率的求解，更是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，在各種題型中均有題型預(yù)測(cè)2015年高考對(duì)本節(jié)考查內(nèi)容為：利用標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)，尤其是離心率的求值及取值范圍問(wèn)題.利用已知條件求出橢圓的方程，特別是與向量結(jié)合求方程更是重點(diǎn).橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)及直線相交問(wèn)題的考查以中檔題目為主，每年高考分值大多保持在5分.知識(shí)點(diǎn)精講橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語(yǔ)言表示為：注明：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.橢圓的方程、圖形與性質(zhì)橢圓的方程、圖形與性質(zhì)所示.（如下表10-1）焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一方程參數(shù)方程第一定義到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）范圍且且頂點(diǎn)、、、、軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)對(duì)稱性關(guān)于軸、軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱焦點(diǎn)、、焦距離心率準(zhǔn)線方程（不考）點(diǎn)和橢圓的關(guān)系切線方程對(duì)于過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線方程，只需將橢圓方程中換為，換為便得切點(diǎn)弦所在的直線方程焦點(diǎn)三角形面積①為短軸的端點(diǎn)）②③焦點(diǎn)三角形中一般要用到的關(guān)系是焦半徑左焦半徑：又焦半徑：上焦半徑：下焦半徑：焦半徑最大值，最小值通徑過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦叫通徑：通徑長(zhǎng)=（最短的過(guò)焦點(diǎn)的弦）弦長(zhǎng)公式設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，,,則弦長(zhǎng)（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）題型歸納及思路提示題型136橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程思路提示（1）定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結(jié)合焦點(diǎn)位置，直接寫(xiě)出橢圓方程.（2）待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在軸還是軸上，設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件列出的方程組，解出，從而求得標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：①如果橢圓的焦點(diǎn)位置不能確定，可設(shè)方程為.②與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓可設(shè)為.③與橢圓有相同離心率的橢圓，可設(shè)為（，焦點(diǎn)在軸上）或（，焦點(diǎn)在軸上）.橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的求解動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為10，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（）A.B.C.D.解析依題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為，由，得，則橢圓方程為，故選B.變式1求焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，且過(guò)點(diǎn)的橢圓的方程.變式2已知點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為和，過(guò)點(diǎn)作長(zhǎng)軸的垂線恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求此橢圓的方程.在△，已知，動(dòng)點(diǎn)使得△的周長(zhǎng)為10，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)________.解析由題意，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓（除去左右頂點(diǎn)），即，則，則軌跡方程為變式1已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與圓相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.變式2已知一動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.變式3已知圓，圓圓，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.例10.3已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，離心率是，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.B.或C.D.或解析因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，即，所以，離心率為，則，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或.故選B變式1在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為.過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，且△的周長(zhǎng)為16，那么的方程為_(kāi)_________.變式2已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且過(guò)，則橢圓的方程為_(kāi)________.變式3經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________.橢圓方程的充要條件若方程表示橢圓，則的取值范圍是__________.解析由題意可知，解得或故的取值范圍為評(píng)注易錯(cuò)點(diǎn)：忽略.表示橢圓的充要條件為：；表示雙曲線方程的充要條件為：：表示圓方程的充要條件為：：變式1如果表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是___________.變式2“”是“方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件變式3若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.題型137離心率的值及取值范圍思路提示求離心率的本質(zhì)就是探究之間的數(shù)量關(guān)系，知道中任意兩者間的等式關(guān)系或不等關(guān)系便可求解出的值或其范圍.具體方法為方程法、不等式法和定義法.已知橢圓(1)若長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率為_(kāi)_________.(2)若長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距成等比數(shù)列，則該橢圓的離心率為_(kāi)_________.解析（1）由題設(shè)可知，且，故，即，即，所以.（2）由題設(shè)可知，且，故，即，所以可得，，解得或（舍去）所以.變式1橢圓的左右頂點(diǎn)分別是，左右焦點(diǎn)分別是.若成等差數(shù)列，則此橢圓的離心率為_(kāi)___________.變式2已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，則該橢圓的離心率是___________.例10.6過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為()A.B.C.D.解析解法一：（定義法）令，則在中，由，可知，由橢圓定義得，，所以.故選B.解法二因?yàn)?，再由，所以，得，，故所?故選B.解法三同解法二，因?yàn)?，在中，得，即，故?,所以或.故選B.評(píng)注求離心率的過(guò)程就是探求基本量的齊次式間的等量關(guān)系，常見(jiàn)的離心率公式應(yīng)熟悉：①；②（橢圓）③（雙曲線），另外，在求解離心率過(guò)程中要有以下意識(shí)：①利用定義的意識(shí)（定義中有，且）②獲得了中的任意的兩個(gè)參數(shù)間的數(shù)量關(guān)系都可以求解離心率.變式1已知正方形，以為焦點(diǎn)，且過(guò)兩點(diǎn)的橢圓的離心率為_(kāi)_____.變式2已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在橢圓上，且垂直于軸，，則橢圓的離心率等于（）A.B.C.D.變式3已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，焦距，若直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足，則橢圓的離心率等于_________.變式4設(shè)，是橢圓的兩焦點(diǎn)，以為圓心，且過(guò)橢圓中心的圓與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，若直線與圓相切，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.例10.7橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上存在點(diǎn)使，則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)________.解析解法一：由知識(shí)點(diǎn)精講中結(jié)論知，當(dāng)為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最大值，而由題意可知，若在橢圓上存在點(diǎn)使得，即，只需要焦點(diǎn)三角形的頂角最大值即可，故只需保證當(dāng)點(diǎn)落在橢圓短軸端點(diǎn)處情形時(shí)的即可，所以，又因?yàn)?，故所求的橢圓離心率的取值范圍是解法二：由橢圓的定義知，在中，，由勾股定理得，，將上式化簡(jiǎn)得，根據(jù)韋達(dá)定理，可知是方程的兩個(gè)根，則，即，又因?yàn)椋仕蟮臋E圓離心率的取值范圍是變式1已知，是橢圓的兩焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓的離心（）A.B.C.D.例10.8橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，若為其上一點(diǎn)，且，，則此橢圓離心率的取值范圍為_(kāi)___________分析根據(jù)橢圓的定義求解..解析解法一，由，得，，又，即，得，故離心率的取值范圍為.評(píng)注若橢圓上存在點(diǎn)，使得，則變式1橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，橢圓上存在使得橢圓方程可以是（）A.B.C.D.變式2已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)________.題型138焦點(diǎn)三角形思路提示焦點(diǎn)三角形的問(wèn)題常用定義與解三角形的知識(shí)來(lái)解決，對(duì)于涉及橢圓上點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)將距離問(wèn)題常用定義，即.例10.9已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若的面積為9，則_________.解析焦點(diǎn)三角形中，，故，又，則，，所以，則，故.評(píng)注若為一般三角形，則（用表示）.由余弦定理得，又，，所以，所以，，所以.本題，則，易得，故熟記橢圓焦點(diǎn)三角形的面積公式，對(duì)于求解選、填空題有著很大的優(yōu)勢(shì).變式1已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為該橢圓上一點(diǎn)，且，求的面積.變式2已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到軸的距離為_(kāi)___________.例10.10已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍；解析：（1），又故當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.所以即.（2）解法一：即又故當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.所以即.解法二：設(shè)，則.又.故評(píng)注：（1）若本題的第（1）問(wèn)只求的最大值，則使用橢圓的定義求取更為簡(jiǎn)潔；由橢圓定義知，又因?yàn)?，故有，故的最大值?.（2）通過(guò)本題的求解，可得到橢圓有以下重要結(jié)論：①②；③；④（當(dāng)且僅當(dāng)，即為橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且此時(shí)點(diǎn)對(duì)兩個(gè)焦點(diǎn)的張角最大）.以上結(jié)論在求解橢圓的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題時(shí)有重要的應(yīng)用，值得同學(xué)們熟記.變式1橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，為橢圓上任一點(diǎn)，且的最大值的取值范圍是，其中，則橢圓的離心率的取值范圍（）A. B. C. D. 變式2設(shè)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，分別是左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D. 變式3設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，是橢圓上任一點(diǎn)，若的最大值為，則此橢圓的離心率為_(kāi)___________.最有效訓(xùn)練題42（限時(shí)45分鐘）1.已知點(diǎn)，橢圓與直線交于，則的周長(zhǎng)（）A.4 B.8 C.12 D.16 2.已知為橢圓上的一點(diǎn)，分別為圓和圓上的點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D. 3.橢圓的焦點(diǎn)為，橢圓上的點(diǎn)滿足，則的面積是（）A. B. C. D. 4.如圖10-4所示，橢圓中心在原點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，直線與交于，且，則橢圓的離心率為（）FxODCBAy圖10-4A. B. C.FxODCBAy圖10-45.若橢圓的離心率，則的值為（）A. B. C. D. 6.若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（）A.2 B.3 C.6 D.8 7.已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，若線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為_(kāi)_________.8.橢圓的左，右頂點(diǎn)分別是，左、右焦點(diǎn)分別是，若成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_(kāi)___________.9.橢圓上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為，則當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.10