統(tǒng)計學(xué)課件-概率與概率分布-2

概率與概率分布····

第一節(jié)

隨機(jī)事件與樣本空間一、樣本空間二、隨機(jī)事件三、事件的關(guān)系與運(yùn)算概率與概率分布一、樣本空間

隨機(jī)試驗的每一個可能的結(jié)果，稱為基本事件。一個試驗中所有基本事件的全體稱為樣本空間，通常用字母

表示。

中的點，即基本事件，有時也稱為樣本點，常用小寫字母ω表示。···

那么，什么是隨機(jī)試驗?zāi)?？我們認(rèn)為，一個試驗如果具有下述特點或者說滿足以下條件，就稱為隨機(jī)試驗：試驗可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗可能結(jié)果可能不止一個，但試驗的所有可能結(jié)果是明確可知道的；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但在一次試驗結(jié)束之前，不能確定該次試驗的確切結(jié)果。·概率與概率分布例5.1擲一枚骰子，其點數(shù)為1,2,…,6,觀察

出現(xiàn)的點數(shù)。令i={出現(xiàn)的點數(shù)},則Ω={1,2,…,6}。例5.2觀察流水生產(chǎn)線上的產(chǎn)品是合格品還是不合格品，令ω1={合格品}，ω2={不合格品},則

Ω={ω1,ω2}。例5.3計算某電話站總機(jī)在單位時間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，令κ＝{κ次呼叫}（κ＝1，2，…)則Ω

={ωk:0,1,2,…}。例5.4測量某地的氣溫，我們自然把樣本空間取為Ω

=(-∞，+∞)或Ω

=(a，b)。概率與概率分布·二、隨機(jī)事件

有了樣本空間的概念，就可以定義隨機(jī)事件了。在隨機(jī)試驗中，人們關(guān)心的是帶有某些特征的事件是否發(fā)生。如

在例5.1中，我們可以討論：A={出現(xiàn)的點數(shù)=5}B={出現(xiàn)的點數(shù)是1、3、5}C={出現(xiàn)的點數(shù)是3、4、5、6}D={出現(xiàn)的點數(shù)＜1}E={出現(xiàn)的點數(shù)是2、4、6}

等等，這些結(jié)果是否發(fā)生？其中A是一個基本事件，而B、C、E則是由多個基本事件所組成，相對于基本事件，就稱它們

是復(fù)合事件。無論是基本事件還是復(fù)合事件，它們在試驗中發(fā)生與否，都帶有隨機(jī)性，所以都稱為隨機(jī)事件，簡稱為事件。一般常用大寫字母A,B,C等表示事件。簡而言之，隨機(jī)事件就是在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件。或者說在一定條件下并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的事件。概率與概率分布我們已經(jīng)知道樣本空間包含了所有基本事件，而隨機(jī)事件不過是有某些特征的基本事件所組成，所以從集合論的觀點來說，一個隨機(jī)事件不過是樣本空間的一個子集而已。在試驗中，如果出現(xiàn)A中所包含的某一基本事件ω，則稱作A發(fā)生。并記為ω∈A。我們把樣本空間Ω也作為一個事件，因為在每次試驗中，必然要出現(xiàn)Ω中的某一基本事件ω，即ω∈Ω，也就是在試驗中，Ω必然發(fā)生，所以常稱Ω為必然事件。類似地，在每次試驗中必然不發(fā)生的事件就稱為不可能事件，用符號Φ表示。上面的D就是不可能事件。必然事件和不可能事件的發(fā)生與否，已經(jīng)失去了“不確定性”，因而本質(zhì)上它們不是隨機(jī)事件。但為了今后研究的方便，我們還是把必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個極端情形來統(tǒng)一處理。在例5.1的討論中，隨機(jī)事件A、B、C、D、E都是Ω的子集，可以簡單地表示為A={5},B={1,3,5},C={3,4,5,6}，E={2,4,6}而D=Φ，是不可能事件。·概率與概率分布三、事件的關(guān)系與運(yùn)算·

1．包含關(guān)系。如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，或者事件A的每一個樣本點都包含在事件B中，則稱事件B包含事件A，或稱事件A含于事件B，記作或A

B或B

A?！ぁ?/p>

若A

B且B A

，則稱A與B相等，記為A=B?！と缋?.1的討論中，ＡＢ，又如對任一事件Ａ，有φ

A

Ω。BAB

A概率與概率分布2．事件的并。事件A和事件Ｂ中至少有一個發(fā)生的事件稱為事件

Ａ與事件Ｂ的并，也稱為事件Ａ與事件Ｂ的和，記為A∪B，或Ａ＋

Ｂ。如例5.1中，B∪C＝｛1,3,4,5,6｝。類似地，n個事件，A1、A2

、…An的和記為

，表示n個事件A1、A2

、…An

中至少有一個發(fā)生的事件。由事件和的定義，對于任一事件Ａ，有A∪Ω＝

Ω。BAA∪B概率與概率分布3．事件A與事件B同時發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的交。也稱為事件與事件的積，記為B∩A

或AB

。如在例5.1中，B∩Ｃ={3,5}。ABA∩B類似地，n個事件A1、A2

、…An的交記為

，表示n個事件A1、A2

、…An同時發(fā)生的事件。由事件積的定義，對于任一事件A，有A∩Ω=A,A∩φ=φ

。概率與概率分布·4．互斥事件。如果兩個事件A與B不可能同時發(fā)生,則稱事件Ａ與事件B為互斥事件。否則稱這兩個事件是相容的。顯然,事件A與事件B互斥的充分必要條件是A∩E=

φ。如例5.1的討論中，A∩E=φ,B∩E=φ

。A與E互斥，

B與E互斥。ABA

與B互不相容·

如果A1、A2

、…An中的任意兩個事件是互斥的，則稱

A1、A2

、…An互斥。概率與概率分布5．對立事件。對于事件A、B，若A∩B=φ

且A∪B=Ω，則稱事件B為事件A的對立事件，或稱事件B為事件

A的為逆事件。對立事件是相互的，一般A的逆事件記為。AA概率與概率分布6．事件的差。事件A發(fā)生，但事件B不發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的差，記為。A－B，顯然對于任一事件A，＝Ω－A。A

-

BAB概率與概率分布可以驗證一般事件的運(yùn)算滿足如下關(guān)系：(1)交換律：A∪B＝

B∪A,A∩B

=B∩A

；(2)結(jié)合律：A(Ｂ∪Ｃ)＝(A∪B)∪C；A∩(B∩C)＝(A∩B

)∩C。(3)分配律：

A∩(Ｂ∪Ｃ)＝(A∩B

)∪(A∩C)；A∪(Ｂ∩Ｃ)＝(A∪B

)∩(A∪C)。分配律可以推廣到有限或可列無窮的情形，即：，

；（4）對于有限個或可列無窮個，恒有：，

。概率與概率分布第二節(jié)

事件的概率與古典概型一、概率的統(tǒng)計定義二、概率的性質(zhì)三、古典概型試驗與古典概率的計算概率與概率分布一、概率的統(tǒng)計定義

在相同條件下隨機(jī)試驗n次，在這n次試驗中，事件A發(fā)生了nA次，則nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值Fn(A)=nA/n稱為事件發(fā)生的頻率。顯然，頻率在一定程度上反

映了事件A發(fā)生可能性的大小。一般來說，當(dāng)隨著試驗次數(shù)n增大時，事件A發(fā)生的頻率總是穩(wěn)定在某一常數(shù)p的附近,也就是說，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率Fn(A)=nA/n將圍繞常數(shù)p上下波動，并且其波動的幅度隨n的增大而

減小，趨向于穩(wěn)定。這個頻率的穩(wěn)定值p，人們稱為事件

A的概率，記為p(A)=p。

為了驗證頻率的穩(wěn)定性，歷史上，曾有不少人做過

“擲硬幣”的試驗，其中有德摩根、蒲豐、卡皮爾遜等人，下表是他們的試驗結(jié)果。從上表的數(shù)據(jù)不難看出，隨著試驗次數(shù)n的不斷增大，頻率nA/n圍繞常數(shù)p=0.5這個值上下波動，且趨向于穩(wěn)定?！?/p>

實驗概率與者·

n概率分布·

nA·

nA/n·

德摩根·4820·

1061頻率穩(wěn)定性·

0.518實1

驗表·

蒲豐·4040·8204·0690.5·

卡皮爾遜·00012·9601·0160.5·

卡皮爾遜·00024·12120·0050.5概率與概率分布【補(bǔ)充例子5.1】：某工廠為節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1000度。按照上個月的用電記錄，30天中有12天的用電量超過規(guī)定指標(biāo)，若第二個月仍沒有具體的節(jié)電措施，試問該廠第一天用電量超過指標(biāo)的概率。解：上個月30天的記錄可以看作是重復(fù)進(jìn)行了30次試驗，試驗A表示用電超過指標(biāo)出現(xiàn)了

12次。根據(jù)概率的統(tǒng)計定義有：概率與概率分布···二、概率的性質(zhì)

相比之下，頻率相對淺顯一些，概率則要深邃許多。但不難理解頻率是概率的一個近似，頻率的本質(zhì)就是概率。顯然，頻率具有下述基本性質(zhì)：非負(fù)性：即Fn(A)=nA/n≥０；規(guī)范性：即若Ω是必然事件，則Fn(Ω

)=1，因此對任意事件

A，0≤Fn(A)≤1。有限可加性：即若A、B事件互斥（AB=φ），則·

Fn(A+B

)=

Fn(A

)+

Fn(B)·頻率的這三條基本性質(zhì)和其他性質(zhì)，是概率所應(yīng)該具有的。設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為Ω，隨機(jī)事件為A，則有：1.非負(fù)性：對任意事件A，p(A)≥０；2.規(guī)范性：p(Ω

)=1，因此對任意事件A，0≤p(A)≤1；3.完全可加性：若可列無窮個事件A1，A2，…，互斥，則有概率與概率分布特別地，若事件A、B互斥，則P(A+B)＝

P(A)+

P(B)稱為概率的加法公式。P(φ)=0

；設(shè)事件A、B,若A

B,則有P(B-A)＝P(B)-P(A),且P(B)≥

P(A)；設(shè)事件A，則有p()=1-p(A)，稱為對立事件的概率公式；設(shè)任意事件A、B，則有P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)，稱為廣義的加法公式。例5.5

設(shè)事件A與B的概率分別為1/3和2/3，已知（1）A與B互斥；（2）A B

；（3）

P(AB)=1/6,求：。解：（1）因為A與B互斥，

B

，因此B

=B，所以p(B

)=p(B)=2/3（2）因為AB，B=(Ω-A)B=B-AB=B-A，所以：P(

B)=

P(B-AB)=

P(B)-

P(A)=2/3—1/3=1/3（3）因為

B=B-AB，AB

B所以：。P(

B)

=p(B-AB)=p(B)-p(AB)=2/3-1/6=1/2概率與概率分布例5.6某企業(yè)職工中有35﹪的人購買了國庫券，有20﹪的人購買了股票，有25﹪的人既買了國庫券又買了股票，求職工中任意抽取的一人至少買國庫券和股票中的一種的概率是多少？他既沒有買國庫券又沒有買股票的概率是多少？解：設(shè)A表示“購買國庫券”的事件，B表示“購買股票”的事件。那么AB就表示“即買了國庫券又買了股票”的事件，

就是“即沒有買國庫券又沒有買股票”的事件。已知p(A)=35﹪,p(B)=20﹪，p(AB)=25﹪由廣義加法公式，得到：P(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=35﹪+20﹪-25﹪=30﹪1-p(A+B)=1-30%=70%概率與概率分布三、古典概型試驗與古典概率的計算有一類最簡單的隨機(jī)試驗，它具有下述特征：（1）樣本空間只含有有限個樣本點,不妨設(shè)為ω１,ω2,,…,ωn

；·····

（2）每個樣本點發(fā)生的可能性是相等的，即p(ω１)=p(ω2)=…p(ωn)。通常稱這種數(shù)學(xué)模型為古典概型。它在概率論中有很重要的地位。一方面,因為它比較簡單,許多概念既直觀又容易理解,另一方面,它又概括了許多實際問題,有很廣泛的應(yīng)用。例5.7某夫婦生了一對雙胞胎，觀察雙胞胎老大和老二的性別。這屬于古典概型試驗,樣本空間包含4個樣本點,即：{(男、男),(女、女),(男、女),(女、男)}。并且這四類雙胞胎的每一類出生的機(jī)會都是一樣的，也就是1/4的概率。對于古典概型，設(shè)樣本空間基本事件總數(shù)為n，事件A包含的基本事件數(shù)為nA

（稱為有利事件數(shù)），那么事件A的概率p(A)=nA/n稱為古典概率。概率與概率分布·例5.8

按照國家對少數(shù)民族的生育政策，某家庭可以生兩胎。假設(shè)他們每胎只生一個孩子，試求下列事件的概率：（1）兩胎全是女孩的概率；（2）兩胎中至少有一胎是女孩的概率。我們還可以這樣去解：由（2）知,令

{兩胎中全是男孩}，解：樣本空間Ω={(男、男),(男、女),(女、女),（女、男）}（1）令事件A={兩胎全是女孩}，顯然n=4，nA=1，故p(A)nA/n=1/4。（2）令事件B={兩胎中至少有一胎是女孩}，易知n=4，nb

=3，所以P(B)=3/4?！ぁつ敲?/p>

，由對立事件的概率公式，得:·上面兩例是古典概型的簡單例子，但并不是所有古典概率的計算都這么容易。事實上，古典概型中許多概率的計算相當(dāng)困難而富有技巧，求解古典概型問題的關(guān)鍵是在尋求基本事件總數(shù)和有利事件數(shù)。在古典概率的計算中，經(jīng)常用到排列組合的知識以及加法原理與乘法原理。概率與概率分布·例5.9

100只同外型、同型號的電子元件，有40只屬于甲類，60只屬于乙類。按有放回和無放回兩種方法抽樣，求下列事件的概率：A={從100只中任意抽取3只，3只都是乙類}；···B={從100只中任意抽取3只，其中有2只屬于甲類，1只屬于乙類}。解：（1）有放回抽樣：從100只中任取3只的所有可能取法有1003種，即基本事件總數(shù)n=1003

；由于乙類元件有60只，因此抽取3只都是乙類的所有可能的取法為603

，即事件A包含的基本事件數(shù)nA=603

，按古典概率公式，得：·

P(A)=

nA

/n=

603

/

1003

=0.2163·

事件B包含的基本事件數(shù)nB=C

2×402×60，所以：3·

P(B)=

C

2×402×60

/

1003=0.288·（2）無放回抽樣：這是一個選排列問題，基本事件總數(shù)為

n=100×99×98，·

事件A包含的基本事件數(shù)nA=60×59×58，故得：·

P(A)=nA

/n

=60×59×58/100×99×98≈0.212。3·

事件B包含的基本事件數(shù)nB=C

2×40×39×60，所以：3·

P(A)=

nB

/n

=

C

2×40×39×60

/100×99×98≈0.288·

（2）該職工為煉鋼廠職工的概率某鋼鐵公司所屬企業(yè)職工人數(shù)·

工廠

·

男職概率與概率工分布工·

女職

·

合計·廠·

·煉鐵廠·軋鋼廠·煉鋼【補(bǔ)·充例4子0050.2·】某鋼1鐵80公0

司·所屬三62個00工廠的職工人數(shù)如下·表。從32該00公司·中隨1機(jī)6抽00取·1人，問48：00·（1）90該0職工·為男6性0的0

概·率1500·

合計

·

8500

·

4000

·

12500概率與概率分布解：(1)用A

表示“抽中的職工為男性”這一事件；A為全公司男職工的集合；基本空間為全公司職工的集合。則(2)用B

表示“抽中的職工為煉鋼廠職工”；B為

煉鋼廠全體職工的集合；基本空間為全體職工的集合。則概率與概率分布·

第三節(jié)條件概率與事件的獨(dú)立性·

一、條件概率的定義與性質(zhì)·

二、全概率公式與貝葉斯公式三、事件的獨(dú)立性及性質(zhì)概率與概率分布·

一、條件概率的定義與性質(zhì)·

在實際問題中，一般除了要考慮事件A的概率p(A)外，還須考慮在“事件B已發(fā)生”這一條件下，事件A發(fā)生的概

率。一般地說，后者的概率與前者的概率未必相同。為了

區(qū)別起見，我們把后者稱為條件概率記為p(A/B)，讀作在

條件B下，事件A的概率。我們先看下面的例子：例5.10某中學(xué)高一（三）班有學(xué)生50人，其中有少數(shù)民族學(xué)生20人，全班分為五個小組，第一小組有10人，其

中有少數(shù)民族學(xué)生5人。試求：（1）如果在班上任選一人

當(dāng)學(xué)生代表，那么這個代表恰好在第一小組內(nèi)的概率？（2）現(xiàn)在要在班上任選一個少數(shù)民族學(xué)生當(dāng)代表，那么這個代

表恰好在第一小組內(nèi)的概率？解：令Ａ＝{在班內(nèi)任選一個學(xué)生，該學(xué)生屬于第一小組}Ｂ＝{在班內(nèi)任選一個學(xué)生，該學(xué)生是少數(shù)民族的}·

（1）顯然有p(A)=10/50=1/5概率與概率分布·

（2）任選的一個學(xué)生必須是少數(shù)民族學(xué)生，這比（1）的問題多了一個“附加的”條件，這就是一個條件概率問題。不難得到·

而·

P(A/B)=5/20=1/4P(A/B)=1/4=(5/50)/(20/50)=p(AB)/p(B)··

顯然，這只是一個特殊的例子，但是容易驗證對一般的古典概型，只要p(B)＞0，上述等式總是成立的。從這個例子得到啟發(fā)，下面引入一般的定義。在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，如果p(B)＞0，則事件A發(fā)生的概率稱為事件A在給定事件B下的條件概率，簡稱為在條件B下，事件A的概率，記為·

P(A/B)=

p(AB)/p(B)·概率與概率分布事件

A

B及其概率P

(AB)事件B及其概率P(B)事件A

事件B一旦事件B發(fā)生概率與概率分布·

由上述定義可知，對任意兩個事件A、B,若p(B)＞0，則有·

p(AB)＝p(B)

P(A/B)稱為概率的乘法公式。更一般地,若A1,A2,…,An為n個事件,且p(A1A2…An

)＞0,則·

p(A1A2…An

)=p(A1)p(A2/A1)p(A3/A1A2)…p(An/A1A2…An-1)可以驗證條件概率P(A/B)具有概率的三條基本性質(zhì)：（1）非負(fù)性：對任意的A，P(A/B)≥0；（2）規(guī)范性：P(Ω/B)=1；（3）完全可加性：若可列無窮個事件A1,A2,…互斥，則有·

例5.11

張三、李四、王五三人只有一張觀看全國足球甲級聯(lián)賽的門票，他們抓鬮決定誰拿到這張門票。張三第一個先抓，李四，王五依次抓，求他們每個人能拿到門票的概率？概率與概率分布

解：令A(yù)={張三抓中}，B={李四抓中}，C={王五抓中}，則張三抓鬮拿到門票的概率為p(A)=1/3。李四能抓到門票，必然是張三沒有抓中與李四抓中同時發(fā)生，所以由概率的

乘法公式，李四能拿到門票的概率是:

同理，王五能抓到門票，必然是張三和李四兩人都沒有抓中而王五抓中同時發(fā)生，則王五拿到門票的概率是

即他們?nèi)嗣總€人都有1/3的相同概率拿到那張門票。例子說明，誰先抓，誰后抓與每個人抓中的概率沒有關(guān)系，這與人們的生活常識是相符的，要不然，在民間廣泛流行

的“抓鬮”就失去了它的公正性。概率與概率分布,二、全概率公式與貝葉斯公式

設(shè)Ｂ1,Ｂ2,…,Ｂn是一列互斥事件，且有p(Bi)＞0，則對任意事件A有：

這個公式稱為全概率公式，它是概率論中最重要的基本公式之一。

例5.12

某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這四條生產(chǎn)流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15﹪、20﹪、30﹪和35﹪，又這四條流水線的次品率依次為5﹪、4﹪、3﹪及2﹪?，F(xiàn)從這四條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，求恰好抽到次品的概率為多少？概率與概率分布··解：令A(yù)={任取一件,恰好抽到次品};B={任取一件,恰好抽到第條流水線生產(chǎn)的產(chǎn)品}（

i=1，2，3，4）。已知分別為5﹪、4﹪、3﹪和2﹪。于是由全概率公式得：=3.15%﹪····運(yùn)用全概率公式求解的關(guān)鍵是要確定某完備事件組。若事件組Ｂ1,Ｂ2,…,Ｂn滿足：（1）Ｂ1,Ｂ2,…,Ｂn兩兩互斥；（2）Ｂ1+Ｂ2+…+Ｂn=Ω

。且p(Bi)

＞0

,i=

1，2，…，n，則稱事件組Ｂ1,Ｂ2,…,Ｂn為完備事件組。對于任意事件A有：·概率與概率分布

例5.13

在上例中，該廠根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量管理的規(guī)定，出了次品，要查出次品大概是在哪條生產(chǎn)流水線上生產(chǎn)的。現(xiàn)從出廠產(chǎn)品中任抽一件，結(jié)果發(fā)現(xiàn)是一件次品，問這件次品由每條流水線生產(chǎn)的概率。

解：我們求的是概率p(Bi/A)（i=1，2，3，4

），由條件概率和概率的乘法公式，得到：·（i=

1，2，…，n

）·

這稱為貝葉斯公式或逆概率公式。概率與概率分布·

由這個公式可得到···

同理可得：p(B2/A)=0.254,p(B3/A)=0.286p(B4/A)=0.222。即該次品是由第三條流水線生產(chǎn)的可能性最大。按照概率論的說法，“抽檢一次產(chǎn)品”就是進(jìn)行一次實驗，那么p(Bi)是在實驗之前就已經(jīng)知道的概率，一般習(xí)慣上稱它們?yōu)橄闰灒ㄏ扔趯嶒灒└怕?。實驗結(jié)果，事件A發(fā)生，這時條件概率p(Bi/A)反映了在實驗以后對事件發(fā)生的“來源”的各種可能性的大小，通常稱作后驗概率。貝葉斯公式利用了“經(jīng)驗”的知識（先驗概

率），在醫(yī)學(xué)、通訊等許多領(lǐng)域有非常廣泛的應(yīng)用，因此這類方法有著重要的意義，受到人們普遍的重視，并稱之為貝葉斯方法。概率與概率分布··三、事件的獨(dú)立性及性質(zhì)對任意的兩個事件A、B，若p(AB)=p(A)p(B)成立，則稱事件A、B是相互獨(dú)立的，簡稱為獨(dú)立。·

一般地，對于n個事件A1,A2,…An,若對所有可能的組合1≤i＜j＜k＜…≤n有：·

P(AiAj)=

P(Ai)P(Aj)·

P(AiAjAk)=

P(Ai)P(Aj)

P(Ak)·

P(A1A2…An)=

P(A1)P(A2)…P(An)·

則稱事件A1A2…An相互獨(dú)立。·由此可知，若A1A2…An相互獨(dú)立，則其中任意兩個事件獨(dú)立，但反之卻不一定成立。關(guān)于事件的獨(dú)立性，有以下性質(zhì)：1.若事件B獨(dú)立于A，且p(A)＞0，p(B)＞0，則事件A亦獨(dú)立于B；2.若p(A)p(B)＞0，則事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件為:·

p(AB)=p(A)

·p(B)；概率與概率分布分

3.若事件A與B相互獨(dú)立，則下列三對事件：別也相互獨(dú)立；4.若事件A1A2…An相互獨(dú)立，則：。

例5.14設(shè)甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9和0.75求在一次射擊中，目標(biāo)被擊中

的概率。

解：令A(yù)={甲擊中目標(biāo)}，B={乙擊中目標(biāo)}。因而，事件A+B表示甲、乙兩人擊中目標(biāo)，但事件A,B是相容的。已知

p(A)=0.9,p(B)=0.75，因此有：P(A+B)=p(A)+p(B)-p(AB)=

p(A)+p(B)-p(A)p(B)·

=0.9+0.75-0.9×0.75=0.975根據(jù)事件的獨(dú)立性，下面再給出第二種解法：·=1-[1-p(A)][1-p(B)]=1-0.1×0.25=0.975概率與概率分布·

第四節(jié)隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的直觀意義與定義·

二、離散型隨機(jī)變量與分布三、離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征·

四、連續(xù)型隨機(jī)變量與概率分布的描述·

五、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征·

六、常用的連續(xù)型隨機(jī)型變量與分布·

七、中心極限定理概率與概率分布·

一、隨機(jī)變量的直觀意義與定義··

為了描述、處理與解決各種和隨機(jī)現(xiàn)象有關(guān)的理論和應(yīng)用問題，需要把樣本空間的點ω與數(shù)（實數(shù)或復(fù)數(shù)）聯(lián)系起來，建立起樣本空間Ω與實數(shù)（或復(fù)數(shù)）空間或其一部分的對應(yīng)關(guān)系。這樣一個對應(yīng)關(guān)系稱為定義在概率空間Ω上的隨機(jī)變量，記為X(ω)。它隨著隨機(jī)試驗的每一個可能結(jié)果，取這樣或那樣的值，事先不能預(yù)言它一定取什么值。設(shè)Ω是一個概率空間，對于ω∈Ω

，是一個取實值的單值函數(shù)，若對于任一實數(shù)χ，｛ω|X(ω)＜χ｝是一隨機(jī)事件，則稱X(ω)為定義在Ω上的隨機(jī)變量。·設(shè)Ω={某電視機(jī)廠某年第一季度出產(chǎn)的29寸平面彩電}，例5.15對ω∈Ω，令·

X(ω)=在一年中出現(xiàn)故障的次數(shù)·

例5.16設(shè)Ω={ω1,ω2},ω1={男孩}，ω2={女孩}，令·

1,

ω=ω1·

X(ω)=·0,

ω=ω2概率與概率分布二、離散型隨機(jī)變量與分布··如果隨機(jī)變量只取有限個或可列個值χ1

,χ2

,…χn,…,而且以確定的概率取這些值，即P(X=χi)=Pi，(i=1,2,…，n…)，則稱X為離散型隨機(jī)變量，稱·

P(X=χi)=

Pi，i=1,2,…

為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)或分布律，或簡稱為分布。有時寫成下列表格的形式：χ1,χ2,

…P1

,

P2，…或·X··χ1,

χ2, …,

χn

…p··P1

, P2，

…,

Pn，…概率與概率分布·

由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機(jī)變量的分布{pi}，都具有下述兩個性質(zhì)：···

（1）

pi

≥0，i=1,2,…；（2）

。下面舉出一些常用的離散隨機(jī)變量的例子。1.兩點分布或稱0—1分布。設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表：·則稱服從兩點分布。分布列也可以用概率函數(shù)的圖來描繪，如圖5.1所示·

X·01·

p

·1－

pp概率與概率分布·

2．二項分布。設(shè)隨機(jī)試驗只有兩個可能的結(jié)果：A及，并且p(A)=p,p()=1-p=q（其中0＜p＜1)，把試驗獨(dú)立地重

復(fù)n次的試驗構(gòu)成了一個試驗，這個試驗稱為n重貝努里試·驗令X表示n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X所有可能取值為0，1，2，…，n，而X取κ值的概率為·

P(X=κ)＝Cnkpkqn-k，

κ=

0，1，…，n，·

稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記為X～B(κ：n,p)。當(dāng)n=1的時候，二項分布就退化為兩點分布。··

例5.17

某市保險公司有10000人投保某種人壽保險。若一年內(nèi)，這類投保人里面每個人死亡的概率等于0.005。試求在未來一年里投保人（1）有30人死亡的概率；（2）死亡人數(shù)不超過50人的概率?！?/p>

解：這是一個貝努里概型，投保者死亡的人數(shù)服從二項分布。n=10000，p=0.005,令κ={在未來一年中投保人里死亡的人數(shù)}，則概率與概率分布·

（1）·

（2）

直接計算這些數(shù)值是非常困難的，下面給出二項分布的泊松逼近，可以利用其作二項分布的近似計算。在貝努里試驗中，以pn代表事件A在試驗中出現(xiàn)的概率，它與試驗總次數(shù)n有關(guān)，如果npn

→λ

，則當(dāng)n→∞時·

B(κ：npn)＝→

λκe-λ/κ!·

P(κ,λ)=λκe-λ/κ!,κ=0,1,2,…,稱為泊松分布，λ為參數(shù)。在運(yùn)用中,當(dāng)p很?。?＜p≤0.1）時,有近似公式：·

B(κ：n,p)≈λκe-λ/κ!概率與概率分布·

例5.18

假如生三胞胎的概率為10-4，求在100000次生育中，有0，1，2次生三胞胎的概率?！?/p>

解：這可以視為貝努里試驗，n=105

,p=0.0001,λ=np=10。用泊松近似公式計算有：·

B(κ：105

,0.0001)≈p(κ,λ)·

B(0：105

,0.0001)≈p(0,10)=0.00004540·

B(1：105

,0.0001)≈p(1,10)=0.0004540·

B(2：105

,0.0001)≈p(2,10)=0.002270·

這些計算有泊松分布數(shù)值表可供查閱。概率與概率分布·

κ·

B(κ：2,0.01)·

P(κ,λ)·

0·

1·

·2·

0．9801·

0．0198·

0．9802·

0．019·實際表0明．，00在01一般6情況下，當(dāng)p＜0.1時，這種近似是很好的，甚至不必n很大都可以。例如，當(dāng)p=0.01時，甚至n=2時，這種近似的·程度就0．已0經(jīng)00相當(dāng)好了。下表說明了這一情況，其中np=λ2=0.02。概率與概率分布···

3．泊松分布。設(shè)隨機(jī)變量X的分布律是p(X=κ)=λκe-λ/κ!,κ=0，1，2，…，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X～p(κ,λ)。在歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的。泊松分布作為大量試驗中稀有事件出現(xiàn)的頻數(shù)的概率分布的數(shù)學(xué)模型，在社會生活和物理學(xué)領(lǐng)域日益顯示其重要性。例5.19某計算中心有計算機(jī)100臺，各臺工作是相互獨(dú)立的，它們發(fā)生故障的概率均為1﹪，。假設(shè)一臺計算機(jī)故障可由一個維修員處理，問至少要配備多少維修員，才能保證計算機(jī)發(fā)生故障后不能及時維修的概率小于1﹪。概率與概率分布·解：設(shè)需要配備z人，令X表示同一時刻發(fā)生故障的計算機(jī)臺數(shù)，則X～B(100,0.01),要求解的是使p(X≤z)≥0.99的最小的ｚ值?！?/p>

由二項分布的泊松近似公式有·

λ＝np=100×0.01=1因此，應(yīng)滿足即查泊松分布表得到滿足上式的最小的是4，即至少應(yīng)配備4名維修員。概率與概率分布·

三、離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征···

隨機(jī)變量的概率分布包含了隨機(jī)變量概率性質(zhì)的一切信息，但對于一般隨機(jī)變量，要完全確定它的分布不是那么容易的。好在許多實際問題中，我們并不需要完全知道其分布，我們只需要知道隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征也就夠了。這些數(shù)字特征中應(yīng)用最廣泛的是數(shù)學(xué)期望（或期望或均值）與方差。（一）離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量X，其分布律為p(X=χi

)=pi，i=1,2,…,則·

稱為離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為E(X)或

EX或μ。概率與概率分布·X·甲·10987650p··0.50.20.1 0.1

0.05

0.05

0X·

·乙又·設(shè)g(X1)0為X的9

一個8

函數(shù)7

，則6

隨機(jī)5變量g0(X)的數(shù)學(xué)期望為：p·

·當(dāng)·g(X)=0a.+1bX時0.（1

其0.中1

a0和.1b都0是.2常數(shù)0）.2，我0.們2

有·

E(a+bX)=a+bE(X)·當(dāng)b=0時，我們有E(a)=a，即一個常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是它自身。例5.20設(shè)甲、乙兩射手在同樣的條件下射擊，其命中的環(huán)數(shù)是隨機(jī)變量。它們的分布律分別為：概率與概率分布·試比較甲、乙射手射擊技術(shù)水平的優(yōu)劣。解：E(X甲)=10×0.5+9×0.2+8×0.1+7×0.1+6×·

0.05+5×0.05+0×0=8.85（環(huán)）E(X乙)=10×0.1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×·

0.2+5×0.2+0×0.2=5.6（環(huán)）

從平均命中環(huán)數(shù)來看，甲射手的射擊水平要高于乙射手。一個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是對該隨機(jī)變量概率分布中心位置的度量，它反映了隨機(jī)變量概率分布的集中趨勢。下面給出常用的離散型分布的數(shù)學(xué)期望。概率與概率分布n·

1.二項分布數(shù)學(xué)期望：P(X=κ)＝C

kpkqn-k，κ=0，1，…，n，其中q=1-p?！ぎ?dāng)n=1時，即兩點分布，其期望值就是p。2.泊松分布的數(shù)學(xué)期望：Pκ=λκe-λ/κ!,κ=0,1,2,…,·由此看出，泊松分布的參數(shù)λ就是它的數(shù)學(xué)期望。概率與概率分布（二）離散型隨機(jī)變量的方差設(shè)離散型隨機(jī)變量X，其分布律為其分布律為p(X=χi

)=pi，i=1,2,…,數(shù)學(xué)期望為μ,則·

稱為隨機(jī)變量X的方差，記為D(X)或DX或σ2

。X的標(biāo)準(zhǔn)差記為

或σ。由方差的定義很容易得到：若a,b為常數(shù)，則·

D(a+bX)=b2D(X)特別地，當(dāng)時b=0，D(a)=0，即常數(shù)的方差等于0。

隨機(jī)變量的方差是反映隨機(jī)變量概率分布的離中趨勢的。在產(chǎn)品質(zhì)量檢驗中，常用方差來說明產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性和均衡性。概率與概率分布下面給出常用的離散分布的方差1、二項分布方差：又E(X)=np因此D(X)=E(X2)-E(X)2=npq+n2p2-(np)2=npq當(dāng)n=1時，即兩點分布，其方差為pq。概率與概率分布·

2、泊松分布方差：又E(x)=λ

，因此D(X)=E(X2)-E(X)2=λ2+λ-

λ2=λ概率與概率分布四、連續(xù)型隨機(jī)變量與概率分布的描述對于取值非離散的隨機(jī)變量，其概率分布不能用分布律來描述了，需要另外找一個合適的“工具”，這就是下面要介紹的隨機(jī)變量的密度函數(shù)和分布函數(shù)。＜∞,使隨機(jī)變量取值1、分布密度函數(shù)：若存在非負(fù)函數(shù)p(X),于任一區(qū)間的概率為則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。P(X)稱為X的分布密度函數(shù)，有時簡稱為分布密度或密度函數(shù)。同離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)一樣，對密度函數(shù)P(X),有：（1）

P(X)

≥0（2）概率與概率分布··

對于離散型與連續(xù)型的隨機(jī)變量，上面給出了它們概率分布的描述。但是除了這兩種隨機(jī)變量外，還有連續(xù)取值而非連續(xù)型的（即密度函數(shù)不存在）或混合型的。為了方便，有必要給出一種描述隨機(jī)變量分布的統(tǒng)一的方法。一個常用且較為簡單的方法就是下面的分布函數(shù)。2、分布函數(shù)：設(shè)為X一隨機(jī)變量,對任意χ∈R1,令·

F(X)=p{X<χ}稱F(X)為X的分布函數(shù)。

從上述分布函數(shù)的意義可以看出，分布函數(shù)F在χ處的取值，就是隨機(jī)變量的取值落在(-∞,χ)區(qū)間的概率。由此，立即可以得到：當(dāng)a＜b時，p{a≤X＜b}=F(b)-F(a)。對于離散型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為

。

其中求和是對所有滿足不等式χκ＜χ的指標(biāo)進(jìn)行的，如圖5.2所示。概率與概率分布概率與概率分布·

對于連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為·

χ∈R1·

則對任意的χ1,χ2(χ1＜χ2)，有

有了分布函數(shù)，無論是離散型的還是連續(xù)型的，或者混合型的，它們的概率分布都可由分布函數(shù)來確定，并且是唯一的。3、分布函數(shù)的基本性質(zhì)。（1）

F(X)為單調(diào)不降；（2）

F(X)為右連續(xù)；（3）

，

。概率與概率分布·

五、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)字特征（一）連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是一個連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(χ)，當(dāng)時，稱X的數(shù)學(xué)期望存在，且為了下面的應(yīng)用，直接給出隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：

若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p(χ)，又f(χ)是實變量χ的函數(shù)，且則有概率與概率分布（二）連續(xù)型隨機(jī)變量的方差設(shè)X是一個隨機(jī)變量，又E(X-E(X))2存在，則稱E(X-E(X))2是隨機(jī)變量X的方差，記作D(X)，并稱

是X的標(biāo)準(zhǔn)差?！?/p>

如果X的密度函數(shù)為p(X)，則有··

這一關(guān)系與離散型的情形完全相同。概率與概率分布六、常用的連續(xù)型隨機(jī)型變量與分布（一）均勻分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則稱X服從在區(qū)間[a,b]上的均勻分布。見圖5.4所示：概率與概率分布·作為例子，下面用連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的定義求區(qū)間[a,b]上均勻分布的隨機(jī)變量X的期望和方差：·

所以概率與概率分布（二）指數(shù)分布若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為·則稱服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記X～E(λ)為指數(shù)分布的期望和方差為D(X)=1/λ2·

E(X)=1/λ（三）正態(tài)分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為·

-∞＜＜∞·其中μ和σ2（σ＞0）是兩個常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布，記為X～N(μ,σ2

)。概率與概率分布·

正態(tài)分布變量X，若參數(shù)μ=0，σ2=1即密度函數(shù)為·

－∞＜＜∞，·

則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記為X～N(0,1)。見圖5.5所示：概率與概率分布·

關(guān)于正態(tài)分布參數(shù)μ和σ2的意義，很容易證明有以下的結(jié)果：（1），E(X)=μ即是正態(tài)分布的期望；（2），D(X)=σ2即是正態(tài)分布的方差。正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形如圖5.5所示。由正態(tài)分布X～N(μ,σ2)的密度函數(shù)和圖5.5可以清楚地看出，密度曲線φ(χ)關(guān)于直線χ=μ對稱，在χ=μ處達(dá)到極大，當(dāng)μ固定時，σ的值愈小，φ(χ)的圖形就愈尖、愈窄，σ的值愈大，φ(χ)的圖形就愈平、愈寬。由密度函數(shù)的意義已經(jīng)知道，如果φ(χ)在μ點附近愈尖、愈高，則隨機(jī)變量在μ點附近取值的概率就愈大。事實上，對任一服從N(0,σ2)的隨機(jī)變量X有概率與概率分布

就是說，對服從N(0,σ2)分布的隨機(jī)變量X來說，有99%以上的把握認(rèn)為|X|≤3σ。在實際工作中，這種近似的說法常稱為正態(tài)分布的“3σ”原則。

正態(tài)分布是概率論和數(shù)理統(tǒng)計中最重要也是最常用的一個分布。正態(tài)分布概率的計算是經(jīng)常遇到的。為了避免每一次都要作繁重的近似計算，便編制了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表以供查用。一般正態(tài)分布N(μ,σ2)要先變換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，然后再查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表。概率與概率分布·

設(shè)X是正態(tài)分布N(μ,σ2

)的隨機(jī)變量，則令則也是一個隨機(jī)變量，并且有概率與概率分布對上述積分作變量代換，令即得·

由此可知，U是一個服從N(0,1)分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。于是，，這就是說只要查F(χ)=P(X＜χ），只要查φ(χ)，其中要查N(0,1)分布表就可以了。因為這時有兩邊求導(dǎo)有所以一張N(0,1)分布表解決了所有N(μ,σ2

)分布的查表問題。正態(tài)分布表中，u≥0，當(dāng)u＜0時，由于φ(-u)=φ(u)，我們有φ(u)=1-φ(-u)。概率與概率分布

例5.21某市從南郊火車站乘車前往北郊機(jī)場有兩條路線可走，第一條路線要穿越市區(qū)，路程較短，但容易堵車，所需時間（單位為分）服從正態(tài)分布N(45,100),第二條路線沿外環(huán)公路走，路程較長，但意外

堵塞較少，所需時間服從正態(tài)分布N(60,16)。(1)假如有70分鐘的時間，試問應(yīng)走哪一條路線？(2)假如只有65分鐘的時間，又應(yīng)走哪條路線？

解：顯然，應(yīng)走的路線應(yīng)該是在許可的時間內(nèi)有較大概率準(zhǔn)時趕到機(jī)場的路線。若以ti（i=1，2）記走第一、第二條路線的時間，則：·

（1）··

（2）·

由以上計算可知，在第一種情況下，兩條路線都可以走。在第二中情況下應(yīng)走第一條線路。概率與概率分布七、中心極限定理

在隨機(jī)變量的一切可能分布中，正態(tài)分布占有特別重要的地位。人們常把它稱為中心分布。因此關(guān)于尋求極限分布函數(shù)在怎樣的條件下漸進(jìn)地服從正態(tài)分布的定理，統(tǒng)稱為中心極限定理。中心極限定理證明了當(dāng)樣本容量增大時，不論原來的總體是否服從正態(tài)分布，其樣本均值都將趨于正態(tài)分布。中心極限定理在抽樣推斷中起著十分重要的作用。因為在實際運(yùn)用抽樣方法時，其研究對象的總體分布不一定是正態(tài)分布，但只要樣本容量足夠大，其樣本均值就趨于正態(tài)分布，從而使之在抽樣的各種估計和檢驗中發(fā)揮重要作用。概率與概率分布·

第五節(jié)

EXCEL在概率分布中的應(yīng)用·

利用Excel中的函數(shù)工具，可以計算概率和概率分布值。例如，利用Excel的BINOMDIST函數(shù)可以計算出二項

分布的概率和累計概率。該函數(shù)有四個參數(shù)：Number_s(實驗成功的次數(shù))、Trials(實驗的總次數(shù))、

Probability_s(每次實驗成功的概率)、Cumulative(該參數(shù)是一個邏輯值，設(shè)實驗成功的次數(shù)為m，如果為True,則計算出累計分布函數(shù)的概率，即P(X≤m)；如果為False，則計算出概率密度函數(shù)的概率，即P(X=m)?！ぁぁ?/p>

例5.22

已知一批產(chǎn)品次品率為5%，現(xiàn)從中任取一個，有放回地抽取3次，求：（1）在所抽取的3個產(chǎn)品中恰好有1個次品的概率；（2）次品數(shù)為1個及1個以下的累計概率。解：（1）第一步：選擇“插入”