亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理課件

《電磁場與電磁波》第3講矢量分析（2）教師姓名：宗福建單位：山東大學(xué)微電子學(xué)院2018年3月13日《電磁場與電磁波》第3講矢量分析（2）場、數(shù)量場、梯度數(shù)量場的等值線：比如地形圖上的等高線，氣象圖上的等溫線、等壓線等。場、數(shù)量場、梯度數(shù)量場的等值線：場、數(shù)量場、梯度方向?qū)?shù)的定義設(shè)M0為數(shù)量場u=u(M)中的一點(diǎn)，從M0出發(fā)引一條射線L，在L上點(diǎn)M0的臨近取一動點(diǎn)M，記M0M的長度為ρ，若當(dāng)MM0時，的極限存在，則稱它為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M0處沿L方向的方向?qū)?shù)。場、數(shù)量場、梯度方向?qū)?shù)的定義場、數(shù)量場、梯度方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)是函數(shù)u(M)在一個點(diǎn)處沿某一方向?qū)嚯x的變化率。在直角坐標(biāo)系中，u=u(x,y,z),Cosα,Cosβ,Cosγ為L方向上的方向余弦，則場、數(shù)量場、梯度方向?qū)?shù)的定義場、數(shù)量場、梯度方向?qū)?shù)的定義場、數(shù)量場、梯度方向?qū)?shù)的定義場、數(shù)量場、梯度定義梯度場、數(shù)量場、梯度定義梯度場、數(shù)量場、梯度梯度在給定點(diǎn)處為一固定矢量。梯度在某一方向上的投影等于函數(shù)在該方向上的方向?qū)?shù)。梯度的方向就是函數(shù)方向?qū)?shù)最大的方向，其模也等于該最大變化率的數(shù)值。場、數(shù)量場、梯度梯度在給定點(diǎn)處為一固定矢量。場、數(shù)量場、梯度引入哈米頓(Hamilton)算子場、數(shù)量場、梯度引入哈米頓(Hamilton)算子梯度運(yùn)算的一些基本公式梯度運(yùn)算的一些基本公式矢量場的通量及散度通量的定義：設(shè)有矢量場A(M)，沿某一有向曲面S的曲面積分叫做矢量場A(M)正向穿過曲面S的通量。矢量場的通量及散度通量的定義：矢量場的通量及散度散度的定義：(P18-19)矢量場的通量及散度散度的定義：(P18-19)散度的公式散度的公式亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理課件§1.5矢量的環(huán)量、旋度矢量a沿閉合曲線C的線積分稱為a的環(huán)路積分（環(huán)流量）：閉合曲線C，及其包圍的面元

S

，n

為S

的右旋單位法向矢量。S

趨于0，環(huán)積分也趨于0，其比的極限為矢量a的旋度在n

上的投影。矢量場的旋度也是矢量場。如果場內(nèi)rota=0

總是成立，則該矢量場無旋?？臻g中一點(diǎn)環(huán)流狀態(tài)14§1.5矢量的環(huán)量、旋度矢量a沿閉合曲線C的線積分稱為a的環(huán)因此旋度在z軸投影（分量）：指面元法向沿z軸同理可得x,y軸分量旋度表達(dá)式：§1.5矢量的環(huán)量、旋度(P22-23)15因此旋度在z軸投影（分量）：指面元法向沿z軸同理可得x,y用哈密頓算符表示：用行列式表示：§1.5矢量的環(huán)量、旋度16用哈密頓算符表示：用行列式表示：§1.5矢量的環(huán)量、旋度16旋度的公式旋度的公式亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理課件旋度的公式旋度的公式HamiltonianOperatorHamiltonianOperator哈米頓(Hamilton)算子哈米頓(Hamilton)算子LaplacianOperatorLaplacianOperator哈米頓(Hamilton)算子哈米頓(Hamilton)算子哈米頓(Hamilton)算子哈米頓(Hamilton)算子哈米頓(Hamilton)算子哈米頓(Hamilton)算子哈米頓(Hamilton)算子哈米頓(Hamilton)算子哈米頓(Hamilton)算子哈米頓(Hamilton)算子柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系拉普拉斯運(yùn)算和格林定理符號：拉普拉斯算符標(biāo)量場u的拉普拉斯運(yùn)算：直角坐標(biāo)系中：30拉普拉斯運(yùn)算和格林定理符號：拉普拉斯算符標(biāo)量場u的拉普拉§1.8拉普拉斯運(yùn)算和格林定理球坐標(biāo)中拉普拉斯運(yùn)算：柱坐標(biāo)中拉普拉斯運(yùn)算：31§1.8拉普拉斯運(yùn)算和格林定理球坐標(biāo)中拉普拉斯運(yùn)算：柱坐§1.8拉普拉斯運(yùn)算和格林定理矢量場E的拉普拉斯運(yùn)算：在直角坐標(biāo)系中：讀證明P2832§1.8拉普拉斯運(yùn)算和格林定理矢量場E的拉普拉斯運(yùn)算：在§1.8拉普拉斯運(yùn)算和格林定理格林第一恒等式：格林第二恒等式：兩個標(biāo)量場的關(guān)系。n：S的外法向由高斯定理得到P2833§1.8拉普拉斯運(yùn)算和格林定理格林第一恒等式：格林第二恒1.6無旋場與無散場矢量場的散度和旋度分別反映了產(chǎn)生矢量場的兩種不同性質(zhì)的源，而不同性質(zhì)的源產(chǎn)生的矢量場具有不同的性質(zhì)。1.6.1無旋場如果矢量場F的旋度處處為零，即矢量場F滿足，則稱該矢量場為無旋場，這個場由散度源產(chǎn)生。重要的矢量公式標(biāo)量場梯度的旋度恒為零標(biāo)量場的梯度為無旋場無旋場總可以表示成一個標(biāo)量場u的梯度，而這個標(biāo)量u稱為無旋場的標(biāo)量位無旋場沿任意閉合回路的積分為零，其線積分與積分路徑無關(guān)，只與積分的起止點(diǎn)有關(guān)341.6無旋場與無散場矢量場的散度和旋度分別反映了產(chǎn)生1.6.2無散場無散場也稱為無源場。如果矢量場F的散度處處為零，即矢量場F滿足，則稱該矢量場為無散場(無源場)，這個場由旋渦源產(chǎn)生。重要的矢量公式矢量場旋度的散度恒為零矢量場的旋度為無散場無散場總可以表示成某個矢量場A的旋度，而這個矢量A稱為無散場的矢量位無散場通過任意閉合面的通量為零351.6.2無散場無散場也稱為無源場。如果矢量場F解：橢球族為一組同心橢球，可將其中的各個橢球表面看作為等值面，所以其表面的法向與方程u的梯度同向。例

方程給出一個橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的法向單位矢量。36解：橢球族為一組同心橢球，可將其中的各個橢球表面看作為等值面解：r對球表面的面積分為例

計(jì)算矢量r對一個球心在原點(diǎn)、半徑為a的球表面的積分，并求對球體積的積分。37解：r對球表面的面積分為例計(jì)算矢量r對一個球心在原1.7亥姆霍茲定理一、亥姆霍茲定理在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場由矢量場的散度、旋度和邊界條件（即矢量場在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是亥姆霍茲定理的內(nèi)容。二、矢量場的分類根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：

調(diào)和場若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處有：和則在該區(qū)域V內(nèi)，場為調(diào)和場。注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。381.7亥姆霍茲定理一、亥姆霍茲定理在有限區(qū)

有源無旋場若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個空間內(nèi)，有，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場為有源無旋場。結(jié)論：有源無旋場矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。有源無旋場也稱保守場。

無源有旋場若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處，但在某些位置或整個空間內(nèi)，有，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場為無源有旋場也稱管形場。討論：由于旋度為零，由斯托克斯定理說明：式中為矢量場漩渦源密度。

有源無旋場若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，處處

有源有旋場若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，在某些位置或整個空間內(nèi)，有和，則稱在該區(qū)域V內(nèi)，場為有源有旋場。有源有旋場可分解一個有源無旋場和無源有旋場的疊加，即：可表示為40

有源有旋場若矢量場在某區(qū)域V內(nèi)，在某§1.8亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：當(dāng)矢量場的散度和旋度在空間的分布和邊界條件確定后，矢量場就唯一確定了。且可表示為：其中：無旋無散41§1.8亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理：當(dāng)矢量場的散度和旋度在空亥姆霍茲定理在電磁理論中的意義：研究電磁場的一條主線。已知矢量F的通量源密度矢量F的旋度源密度場域邊界條件在電磁場中電荷密度

電流密度J場域邊界條件（矢量A唯一地確定）亥姆霍茲定理在電磁理論中的意義：研究電磁場的一條主線。已知矢并矢和張量并矢和張量并矢和張量并矢和張量并矢和張量并矢和張量并矢和張量并矢和張量并矢和張量并矢和張量并矢和張量并矢和張量張量分析張量分析張量分析張量分析泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開本章小結(jié)矢量代數(shù)規(guī)定矢量的加法、減法、和乘法法則，矢量微積分則包括矢量的微分和矢量的積分。在右手正交坐標(biāo)系中，在空間任何一點(diǎn)，三個基矢量都是兩兩互相正交的，規(guī)定基矢量叉積的循環(huán)關(guān)系，遵從右手定則。兩個矢量點(diǎn)積的結(jié)果為標(biāo)量，而兩個矢量叉積的結(jié)果為另外一個矢量。利用聯(lián)系兩個坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換關(guān)系，可以將一個坐標(biāo)系中表示的矢量，轉(zhuǎn)換到另外一個坐標(biāo)系中去表示。矢量微積分中基本的微分函數(shù)是梯度、散度和旋度。標(biāo)量函數(shù)的梯度是矢量，其幅值等于該標(biāo)量函數(shù)每單位距離最大的增長速率，其方向在沿著最大增長的方向。本章小結(jié)矢量代數(shù)規(guī)定矢量的加法、減法、和乘法法則，矢量微積分本章小結(jié)矢量場的散度是通過封閉曲面流出到封閉體之外的每單位體積的凈通量的一個測度。散度定理將矢量場的體積分，轉(zhuǎn)換成該矢量場的通量沿包圍該體積的曲面的面積分。矢量場的旋度是矢量場在每單位面積ΔS上