線代課件第二章2 4 cramer法則

2.4

克拉默法則一、逆矩陣的一個簡明表達式二、克拉默法則返回2.4克拉默法則一、逆矩陣的一個簡明表達式引理1

設(shè)A=(aij)n,n，則in

jnA

=

det

A,

i

=

j

0,

i

?

jai1Aj1

+

+

a證ina

anna

a

ain

a

an1i

11n11

ai

1

=

0i行j行in

jnA

=+

ai1

j1設(shè)i

?

j

:

a

A引理2

設(shè)A為n階矩陣，則

AA*

=

A*

A

=

(det

A)I

,其中：

An2

An1

（A的伴隨矩陣）證.

Ann

An2

An1

a2n

A12a22

an1

an2

ann

A1na1n

A11

A21A22

A2n

A11

A21A*

=

A12

A22

A1n

A2n

Ann

a11

a12AA*

=

a21=

diag

(det

A,

det

A,...,

det

A)

=

(det

A)I??引理2

設(shè)A為n階矩陣，則

AA*

=

A*

A

=

(det

A)I

,1det

AA(A*

)

=

I

,A可逆的充要條件為|A|≠0。1A*

.det

AA-1

=所以定理

1

方陣A可逆的充要條件為|A|≠0。當(dāng)A可逆時，1A*

.det

AA-1

=例1-12

1

-

3

7

A

=

2

4

-

3

-

3

7是否可逆？若可逆則求A

.解det

A

=196

?0,所以A可逆。

29

55

-19

23

17

26

2

10

196

1

51A*

=det

AA-1

=例2

設(shè)*

-1-13

1

1

1

1

A

=

1

2

1

,

求(

A

)

.11A.det

A解

AA*

=

(det

A)I

,1(det

AA-1存在，所以detA≠0，A)

A*

=

I

,1(

A*

)-1

==

det

A-1

=

2.det

A1det

A-1A

=

(

A-1

)-1

=

1

5

-

2

-1

2

0

-1

02

(

A-1

)*

=

1

-

21det

A(

A*

)-1

=

1

5

-

2

-1

A.=

2

A

=

-

2

2

0

-1

0二、克拉默法則已有定理：方陣A可逆的充要條件為AX=b有唯一解.克拉默法則.

設(shè)A可逆，則AX=b的唯一解為：det

Ajdet

Ax

=

j

, (

j

=

1,

...,

n)detAj是用b代替detA中的第j列得到的行列式.ja2na1na2na11

b1

b2

bn

an1

an,

j

-1

an,

j

+1a1,

j

+1a2,

j

+1a1,

j

-1a2,

j

-1a21A

==

b1

Aj1

+

b2

Aj

2

+

+

bn

Ajn

.說明：證解的唯一性（顯然）

x

n

x1

X

=

=

A-1b

=nnn

b

A

A

A

A

A

A

b2n1nn2

2

An1

b1

A11

A21

12

22

det

A

1

n

det

A

=

det

A

1

det

A1

為什么？例3x

+

ax

+

a2

x

=

11

2

3x1

+

x2

+

x3

=

1x

+

bx

+

b2

x

=

11

2

31

1

1

1

1

1A

=

1

a

a2

=

1

a

b1

b

b2

1

a2

b2=

(b

-

a)(b

-1)(a

-1若b

?a

,b

?1,a

?1,則A

?0.A1

=

A

,1

1

12A

=

1

1

a2

=

0

,1

=

0

,1

1

b21

1

1A3

=

1

a1

b

13211=

1

,

x

=

x

=

0

.AAx

=求一個二次多項式f

(x),使f

(1)=

0,

f

(2)=

3,

f

(-

3)=

28.解

設(shè)所求的二次多項式為f

(x)=

ax2

+

bx

+

c,得一個關(guān)于未知數(shù)a,b,c

的線性方程組,f

(1)=

a

+

b

+

c

=

0,f

(2)=

4a

+

2b

+

c=

3,f

(-

3)=

9a

-

3b

+

c

=

28,例4解方程組一般不用Gramer法則，計算量非常大，不具有實際計算意義，主要是理論上的意義（如，給出了解的表達式）。又D

=

-20

?

0,

D1