新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納29等比數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和（教師版）

專題29等比數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式一、關(guān)鍵能力1.理解等比數(shù)列的概念．2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題．4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．二、教學(xué)建議從近三年高考情況來(lái)看，本講一直是高考的熱點(diǎn)．預(yù)測(cè)2022年高考將會(huì):1．利用方程思想應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求基本量；2．等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用.3．更傾向于與等差數(shù)列或其他內(nèi)容相結(jié)合的問(wèn)題，其中涉及到方程的思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想等．從思維品質(zhì)上看更講究思維的靈活性及深刻性．三、自主梳理 1.等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q為非零常數(shù))，或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))．2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式(1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1；通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m.(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.(2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an．(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm．(4)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．【必會(huì)結(jié)論】等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(3)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比數(shù)列．(4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.(5)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(6)等比數(shù)列{an}滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1))時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1))時(shí)，{an}是遞減數(shù)列．四、高頻考點(diǎn)+重點(diǎn)題型考點(diǎn)一、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算例1.(2020·全國(guó)卷Ⅱ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，則eq\f(Sn,an)＝()A．2n－1 B．2－21－nC．2－2n－1 D．21－n－1【答案】B【解析】法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a5－a3＝a1q4－a1q2＝12，,a6－a4＝a1q5－a1q3＝24))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2，))所以Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2n－1，an＝a1qn－1＝2n－1，所以eq\f(Sn,an)＝eq\f(2n－1,2n－1)＝2－21－n，故選B.法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閑q\f(a6－a4,a5－a3)＝eq\f(a41－q2,a31－q2)＝eq\f(a4,a3)＝eq\f(24,12)＝2，所以q＝2，所以eq\f(Sn,an)＝eq\f(\f(a11－qn,1－q),a1qn－1)＝eq\f(2n－1,2n－1)＝2－21－n，故選B.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（浙江高考真題）設(shè)公比為q(q＞0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為{Sn}．若，，則q＝______________．【答案】【解析】將，兩個(gè)式子全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式子．即，兩式作差得：，即：，解之得：(舍去)對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.(2020·全國(guó)卷Ⅱ)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝()A．2 B．3C．4 D．5答案：C解析：令m＝1，則由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an，即eq\f(an＋1,an)＝a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an＝2n，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak(a1＋a2＋…＋a10)＝2k×eq\f(2×1－210,1－2)＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故選C.考點(diǎn)二、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用例2-1（項(xiàng)的性質(zhì)）已知數(shù)列{an}滿足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，則log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.答案100解析由log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以數(shù)列{an}是以a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.例2-2（前n項(xiàng)和的性質(zhì)）（2021·全國(guó)高考真題（文））記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2020·全國(guó)高三二模（理））已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比，∵，∴，∴，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故選：C.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于()A．80 B．30C．26 D．16答案B解析由題意知公比大于0，由等比數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍為等比數(shù)列．設(shè)S2n＝x，則2，x－2,14－x成等比數(shù)列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．又S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.故選B.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3.(2020·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè){an}是等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，則a6＋a7＋a8＝()A．12 B．24C．30 D．32【答案】D【解析】(1)法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，所以eq\f(a2＋a3＋a4,a1＋a2＋a3)＝eq\f(a1＋a2＋a3q,a1＋a2＋a3)＝q＝2.由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝eq\f(1,7)，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝eq\f(1,7)×(25＋26＋27)＝eq\f(1,7)×25×(1＋2＋22)＝32，故選D.法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，則bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋1＋an＋2＋an＋3,an＋an＋1＋an＋2)＝eq\f(an＋an＋1＋an＋2q,an＋an＋1＋an＋2)＝q，所以數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，由題意知b1＝1，b2＝2，所以等比數(shù)列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n－1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32，故選D?？键c(diǎn)三、等比數(shù)列證明與判定例3-1.(2021新高考八省聯(lián)考卷)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；(2)若a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．【解析】(1)證明：由an＋2＝2an＋1＋3an，得an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，所以數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列．(2)因?yàn)閍1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(3,2)，所以a2＋a1＝2.又由(1)知數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列，所以an＋1＋an＝(a2＋a1)·3n－1＝2·3n－1.于是an＋1－eq\f(1,2)×3n＝－an＋eq\f(1,2)×3n－1，又a2－eq\f(3,2)＝0，所以an－eq\f(3n－1,2)＝0，即an＝eq\f(3n－1,2)，而a1＝eq\f(1,2)也符合．于是an＝eq\f(1,2)×3n－1為所求．例3-2.在數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)證明：∵aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，∴(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，即eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝eq\f(an＋2＋1,an＋1＋1).∵a1＝2，a2＝5，∴a1＋1＝3，a2＋1＝6，∴eq\f(a2＋1,a1＋1)＝2，∴數(shù)列{an＋1}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)知，an＋1＝3·2n－1，∴an＝3·2n－1－1，∴Sn＝eq\f(31－2n,1－2)－n＝3·2n－n－3.例3-3.（2020·江蘇卷）設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______．【答案】4【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，依題意，即，通過(guò)對(duì)比系數(shù)可知，故.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2018·全國(guó)卷）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，設(shè)bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；(3)求{an}的通項(xiàng)公式．【解析】(1)由條件可得an＋1＝eq\f(2n＋1,n)an.將n＝1代入，得a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.將n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3＝12.從而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．由題設(shè)條件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2.（2021·江蘇高考真題）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【解析】（1）計(jì)算得到，得到答案.（2），得到數(shù)列通項(xiàng)公式.（3）根據(jù)分組求和法計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由，得，∴，又，∴是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列.（2），∴.（3）.考點(diǎn)四、前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用例4.（2021·江蘇南通市·高三其他模擬）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由可得出，取，由，進(jìn)而判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，若，，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．（2021·黑龍江大慶市·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三其他模擬（文））在數(shù)列中，，且，則___________.【答案】【解析】由，可得，又由，可得，所以，所以數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以.故答案為：.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2．（2021·全國(guó)高考真題（理））等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是遞增數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】由題，當(dāng)數(shù)列為時(shí)，滿足，但是不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件．若是遞增數(shù)列，則必有成立，若不成立，則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件．故選：B．考點(diǎn)五、數(shù)學(xué)文化小型應(yīng)用題例5..（2020·河北省曲陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：有一個(gè)人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，問(wèn)此人第二天走了（）A．6里 B．24里 C．48里 D．96里【答案】D【解析】根據(jù)題意，記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解可得，則；即此人第二天走的路程里數(shù)為96；故選：D．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2020·浙江杭州高三二模）我國(guó)古代著作《莊子天下篇》引用過(guò)一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”其含義是：一尺長(zhǎng)的木棍，每天截去它的一半，永遠(yuǎn)也截不完.那么，第6天截取之后，剩余木棍的長(zhǎng)度是_________尺；要使剩余木棍的長(zhǎng)度小于尺，需要經(jīng)過(guò)________次截取.【答案】【解析】記第天后剩余木棍的長(zhǎng)度，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，由得，所以的最小值為.所以第6天截取之后，剩余木棍的長(zhǎng)度是尺，要使剩余木棍的長(zhǎng)度小于尺，需要經(jīng)過(guò)次截取.故答案為：；.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2．（2017新課標(biāo)全國(guó)II理科）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞【答案】B【解析】設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，∴S7=a1(1?2解得a1=3．故選：B．鞏固訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．（2020·全國(guó)高考真題（文））記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=（）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.2．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝32n－1＋r，則r的值為()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)答案：B解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋r，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝eq\f(8,3)·9n－1，所以3＋r＝eq\f(8,3)，即r＝－eq\f(1,3)，故選B.3．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件答案：D解析：取an＝－2n，此時(shí)q＝2>1，但{an}是單調(diào)遞減數(shù)列，取an＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，因an－an－1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n>0，故{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，但q＝eq\f(1,2)<1，故“q>1”是“{an}是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，故選D.4．（2021·全國(guó)高三其他模擬（文））如圖，“數(shù)塔”的第行第個(gè)數(shù)為(其中，，且).將這些數(shù)依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，記作數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為.若，則（）A．46 B．47 C．48 D．49【答案】C【解析】根據(jù)“數(shù)塔”的規(guī)律，可知第行共有個(gè)數(shù)，利用等比數(shù)列求和公式求出第行的數(shù)字之和，再求出前行的和，即可判斷取到第幾行，再根據(jù)每行數(shù)字個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，即可求出；【詳解】解：“數(shù)塔”的第行共有個(gè)數(shù)，其和為，所以前行的和為故前行所有數(shù)學(xué)之和為，因此只需要加上第10行的前3個(gè)數(shù)字1,2,4，其和為，易知“數(shù)塔”前行共有個(gè)數(shù)，所以故選：C5．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則下列結(jié)論正確的是()A．?dāng)?shù)列{anan＋1}是公比為q的等比數(shù)列B．?dāng)?shù)列{an＋an＋1}是公比為q的等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列{an－an＋1}是公比為q的等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比為eq\f(1,q)的等比數(shù)列答案：D解析：對(duì)于A，由eq\f(anan＋1,an－1an)＝q2(n≥2)知其是公比為q2的等比數(shù)列；對(duì)于B，若q＝－1，則{an＋an＋1}項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；對(duì)于C，若q＝1，則數(shù)列{an－an＋1}項(xiàng)中有0，不是等比數(shù)列；對(duì)于D，eq\f(\f(1,an＋1),\f(1,an))＝eq\f(an,an＋1)＝eq\f(1,q)，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是公比為eq\f(1,q)的等比數(shù)列，故選D.6．若正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝22n(n∈N*)，則a6－a5的值是()A.eq\r(2) B．－16eq\r(2)C．2 D．16eq\r(2)答案：D解析：設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的公比為q>0，∵anan＋1＝22n(n∈N*)，∴eq\f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq\f(22n＋1,22n)＝4＝q2，解得q＝2，∴aeq\o\al(2,n)×2＝22n，an>0，解得an＝，則a6－a5＝－＝16eq\r(2)，故選D.二、多項(xiàng)選擇題7．（2021·江蘇高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論中正確的有（）A．是遞增數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．【答案】ACD【解析】將遞推公式兩邊同時(shí)取指數(shù)，變形得到，構(gòu)造等比數(shù)列可證為等比數(shù)列，求解出通項(xiàng)公式則可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)判斷B選項(xiàng)；根據(jù)的通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算的正負(fù)并判斷C選項(xiàng)；將的通項(xiàng)公式放縮得到，由此進(jìn)行求和并判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，從而，，所以，所以，又，是首?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，即，又因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞增，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以是遞增數(shù)列，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，所以，所以不是等比?shù)列，故B錯(cuò)誤.因?yàn)?，而，從而，于是，，故C正確.因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD.8．在等比數(shù)列{an}中，公比為q，其前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足a1＞1，a99·a100－1＞0，eq\f(a99－1,a100－1)＜0，下列選項(xiàng)中，結(jié)論正確的是()A．0＜q＜1B．a(chǎn)99·a101－1＜0C．T100的值是Tn中最大的D．使Tn＞1成立的最大自然數(shù)n等于198答案：ABD解析：對(duì)于A，∵a99a100－1＞0，∴aeq\o\al(2,1)·q197＞1，∴(a1·q98)2·q＞1.∵a1＞1，∴q＞0.又∵eq\f(a99－1,a100－1)＜0，∴a99＞1，且a100＜1.∴0＜q＜1，故A正確；對(duì)于B，∵aeq\o\al(2,100)＝a99·a101，a100<1，∴0＜a99·a101＜1，即a99·a101－1＜0，故B正確；對(duì)于C，由于T100＝T99·a100，而0＜a100＜1，故有T100＜T99，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，T198＝a1·a2·…·a198＝(a1·a198)(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)×99＞1，T199＝a1·a2·…·a199＝(a1·a199)(a2·a198)…(a99·a101)·a100＜1，故D正確．故選ABD.三、填空題9．（2021·浙江杭州市·杭州高級(jí)中學(xué)高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，則________，________．【答案】【解析】根據(jù)，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再代入求出．【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，所以，即于是是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以．所以，故答案為：；；10.如圖所示，正方形上連結(jié)著等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再連結(jié)正方形，…，如此繼續(xù)下去得到一個(gè)樹(shù)狀圖形，稱為“勾股樹(shù)”．若某勾股樹(shù)含有1023個(gè)正方形，且其最大的正方形的邊長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)，則其最小正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案：eq\f(1,32)解析：由題意，得正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)成以eq\f(\r(2),2)為首項(xiàng)，以eq\f(\r(2),2)為公比的等比數(shù)列，現(xiàn)已知共得到1023個(gè)正方形，則有1＋2＋…＋2n－1＝1023，∴n＝10，∴最小正方形的邊長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))9＝eq\f(1,32).11．已知等比數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．若不等式Sn＞kan－2對(duì)一切n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．答案：解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍n＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，所以a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，所以q＝eq\f(a3＋a2,a2＋a1)＝eq\f(18,9)＝2，所以2a1＋a1＝9，所以a1＝3．所以an＝3·2n－1，n∈N*，故Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(3（1－2n）,1－2)＝3(2n－1)，即3(2n－1)>k·3·2n－1－2，所以k<2－eq\f(1,3·2n－1)．令f(n)＝2－eq\f(1,3·2n－1)，則f(n)隨n的增大而增大，所以f(n)min＝f(1)＝2－eq\f(1,3)＝eq\f(5,3)，得k<eq\f(5,3)．12．（2020·安徽黃山?高一期末）古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問(wèn)日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的倍，已知她天共織布尺，問(wèn)這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，該女子第二天織布尺？【解析】由題意可得，該女子每天所織布的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列，設(shè)公比為，首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，由題意可得，解得，所以第二天織的布為.四、解答題13．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)an＋n（n為奇數(shù)），,an－3n（n為偶數(shù)）．))(1)是否存在實(shí)數(shù)λ，使數(shù)列{a2n－λ}是等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，求滿足Sn＞0的所有正整數(shù)n．解析：(1)設(shè)bn＝a2n－λ，因?yàn)閑q\f(bn＋1,bn)＝eq\f(a2n＋2－λ,a2n－λ)＝eq\f(\f(1,3)a2n＋1＋（2n＋1）－λ,a2n－λ)＝eq\f(\f(1,3)（a2n－6n）＋（2n＋1）－λ,a2n－λ)＝eq\f(\f(1,3)a2n＋1－λ,a2n－λ)．若數(shù)列{a2n－λ}是等比數(shù)列，則必須有eq\f(\f(1,3)a2n＋1－λ,a2n－λ)＝q(常數(shù))，即a2n＋(q－1)λ＋1＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－q＝0,（q－1）λ＋1＝0))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,3)，,λ＝\f(3,2)，))此時(shí)b1＝a2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,3)a1＋1－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,6)≠0，所以存在實(shí)數(shù)λ＝eq\f(3,2)，使數(shù)列{a2n－λ}是等比數(shù)列．(2)由(1)得{bn}是以－eq\f(1,6)為首項(xiàng)，eq\f(1,3)為公比的等比數(shù)列，故bn＝a2n－eq\f(3,2)＝－eq\f(1,6)·＝－eq\f(1,2)·，即a2n＝－eq\f(1,2)·＋eq\f(3,2)．由a2