2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題講次16 幾何證明及通過幾何證明進(jìn)行說理問題（教師版）

專題16幾何證明及通過幾何證明進(jìn)行說理問題

較之代數(shù)計(jì)算類題型，幾何證明類題型偏重于利用所學(xué)的幾何知識(shí)進(jìn)行相關(guān)證明和說理,

解題中-一般是先根據(jù)圖形間的幾何關(guān)系，利用全等、相似等性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的說理和計(jì)算.

典例剖析

例1(2020上海中考真題).如圖，△N8C中，AB=AC,□。是的外接圓，2。的延長(zhǎng)

交邊/C于點(diǎn)D

(1)求證：NBAC=2/ABD；

(2)當(dāng)△8CZ)是等腰三角形時(shí)，求N8C。的大??；

(3)當(dāng)NZ>2,CZ)=3時(shí)，求邊BC的長(zhǎng).

5F)

【答案】(1)證明見解析；(2)N8CD的值為67.5°或72°；(3)—.

2

【分析1(1)連接OA.利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可.

(2)分三種情形：①若BD=CB,則/C=/BDC=NABD+NBAC=3/ABD.②若CD=CB,貝ij

ZCBD=ZCDB=3ZABD.③若DB=DC,則D與A重合，這種情形不存在.分別利用三角

形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解即可.

ArAH2AOAE3

(3)如圖3中，作AE〃BC交BD的延長(zhǎng)線于E.則〒二二二：；■，進(jìn)而得到7===:

BCDC37OTHBH4

設(shè)OB=OA=4a,OH=3a,根據(jù)BH2=ABJAH2=OB2-OH2,構(gòu)建方程求出a即可解決問題.

詳解】解：(1)連接04如下圖1所示:

圖1

AB=AC,AB=AC，oaBC,BAO=CAO.

OA=OB,□ABD=\\BAO,BAC=2UABD.

(2)如圖2中，延長(zhǎng)40交8。于〃.

DAB=AC,□□^SC=CC,DDDBC=2ABD.

DBC+C+SZ)C=180o,8^5Z>180°,\LC=3ABD=675°.

H若CD=CB,則CBACDB=3ABD,C=4ABD.

□DDBC+口C+口CDB=180°,010DABD=180°,□匚BCD=4匚ABD=72。.

若DB=DC,則。與4重合，這種情形不存在.

綜上所述：口。的值為67.5?；?2。.

(3)如圖3中，過4點(diǎn)作交8。的延長(zhǎng)線于E.

A

-A-O-=AE=一4

OHBH3

iSOB=OA=4a,OH=3a.貝l］在放△48,和放△08,中,

BFP=AB2-AFP=OB2-OH2,U25-49a2=16a2-9a2,

。啜"乎」皿所半.故答案為:呼

【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，考查了垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角

形，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決

問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

例2(2019上海中考真題)如圖1,AD、BD分別是aABC的內(nèi)角/BAC、/ABC的平分線，

過點(diǎn)A作AE上AD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

(1)求證：ZE-yZC；

(2)如圖2,如果AE=AB,且BD：DE=2：3,求cosNABC的值；

(3)如果/ABC是銳角，且AABC與AADE相似，求NABC的度數(shù)，并直接寫出三班的

3ABC

值.

圖1圖2

sADE

【答案】(1)見解析；(2)cos/ABC的值為2：3；(3)/ABC=30°或/ABC=45°,

、ABC

的值2-a或2-6

【分析】(1)由AEJ_AD,得到NDAE=90。，/E=90。-NADE,再由AD平分/BAC,

得到NABD=；/BAC,即可解答

(2)延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F,得出空=坐，再利用三角函數(shù)即可即可

AEDE

s

(3)根據(jù)題意得出/ABC=/E=；/C,繼而可得/ABC=30。，:比=2一忘，ZABC

s

=45。，三里=2—6,即可解答

'ABC

【詳解】證明：VAE±AD,.?./DAE=90。，ZE=90°-ZADE.

：AD平分/BAC,.\ZBAD--ZBAC,同理NABD=，NBAC

22

又,/ZADE=ZBAD+ZABD,ZBAC+ZABC=180°-ZC,

AZADE--(ZBAC+ZBAC)=-(180°-ZC).

22

.\ZE=90°-—(180°-ZC)=-ZC

22

解：延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F.

E

BC

VAE=AB,.*.ZABE=ZE.

：BE平分/ABC,，/ABE=/CBE,AZCBE=ZE.；.AE〃BC.

BFBD

.../AFB=/FAE=90°,

~AE~~DE

BFBFBD

XVBD:DE=2：3cosZABC

AB~^E~^E

.?.cosNABC的值為2:3.

(3)解：z^ABC與AADE相似，且/DAE=90。,

.'.△ABC中必有一個(gè)內(nèi)角等于90°.

,/ABC是銳角，NABC，90。.

若/BAC=NDAE=90°,

11

VZE=—ZC,.,.ZABC=ZE=—ZC

22

s

,：ZABC+ZC=90°,；./ABC=30°.這時(shí)—=2一夜

)ABC

s

綜上所述，/ABC=30?；?ABC=45。，的值2-夜或2-G

3ABC

【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線

例3.(2020閔行二模)如圖，已知圓。是正六邊形/8COE尸外接圓，直徑8E=8,點(diǎn)G、

，分別在射線C。、EF上(點(diǎn)G不與點(diǎn)C、。重合)，且NG8，=60。，設(shè)CG=x,EH=y.

(1)如圖①，當(dāng)直線8G經(jīng)過弧8的中點(diǎn)。時(shí)，求NC8G的度數(shù)：

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)G在邊8上時(shí)，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(3)聯(lián)結(jié)/"、EG,如果與△DEG相似，求CG的長(zhǎng).

【整體分析】

（1）連接。。根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)和內(nèi)角和求出NE8C=60°然后通過弧之間的關(guān)系得出

NBOQ=NEOQ=90。，又因?yàn)?0=00,得出N080=4800=45。，最后利用

ZCBG=ZEBC-ZOBQ即可求出答案；

（2）在8E上截取連接MW首先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得出口￡”〃是等邊三角

形，則有EM=HE=HM=y,NHME=60。,從而有NC=NHMB=120。,然后通過等量代換得

C'C'4x

出NGBC=NHBE,由此可證明△5CGsZ\BM〃，則有——=——，即^—=-,則y關(guān)于

BMMH8-yy/

x的函數(shù)關(guān)系式可求，因?yàn)辄c(diǎn)Q在邊CD上，則x的取值范圍可求；

（3）分兩種情況:①當(dāng)點(diǎn)G在邊CD上時(shí)：又分當(dāng)”時(shí)和當(dāng)空=要時(shí)兩種情況;

EDLXJDGDE

②當(dāng)點(diǎn)G在8的延長(zhǎng)線上時(shí)，同樣分當(dāng)空==時(shí)和當(dāng)空=毀時(shí)兩種情況，分別建

EDDGDGDE

立方程求解并檢驗(yàn)即可得出答案.

【詳解】解：（1）如圖，連接O。.

*.,六邊形/8CZJM是正六邊形，:.BC=DE,ZABC=\20°.

1

,,,存C=法，ZEBC=-ZABC=60°.

;點(diǎn)。是CD的中點(diǎn)，:,CQ=DQ.：.BC+CQ^QD+DE,

即BQ=EQ.：.NBOQ=/EOQ,

又；ZBOQ+AEOQ=\^°,NB0Q=NE0Q=9。。.

又?：BO=OQ,：.ZOBQ=ZBQO=45°,AZCBG=60°-45°=15°.

(2)如圖，在8￡上截取連接“A/.

?.?六邊形,48CZ)EF是正六邊形，直徑BE=8,

1

：.BO=OE=BC=4,ZC=ZFED=\20°,:.NFEB=-NFED=60°.

2

?：EM=HE,：.UEHM是等邊三角形，

：.EM=HE=HM=y,NHME=60。,：.ZC=ZHMB=12O°.

,/NEBC=NGBH=60°,：.NEBC-NGBE=NGBH—NGBE,

即NG8C=N〃5及：?4BCGs叢BMH,：.——=——.

BMMH

XVCG=x,BE=8,BC=4,

4XQv

與x的函數(shù)關(guān)系式為"有<0<x<4).

(3)如圖，當(dāng)點(diǎn)G在邊CO上時(shí).

由于且/CZ)￡=NZ尸E=120°,

?+AFFH1

①當(dāng)一=—時(shí),

EDDG

Qy

":AF=ED,:.FH=DG,CG=EH,即：x=y=----,解分式方程得x=4.

x+4

經(jīng)檢驗(yàn)x=4是原方程的解，但不符合題意舍去.

AFFH44-v

②當(dāng)絲=色時(shí)，即：二一=土上解分式方程得x=12.

DGDE4-x4

經(jīng)檢驗(yàn)x=12是原方程的解，但不符合題意舍去.

如圖，當(dāng)點(diǎn)G在CD延長(zhǎng)線上時(shí).

H

由于且/E0G=NN"/=6O。,

?：AF=ED,：.FH=DG,：.CG=EH,

Q

即：x=y=r3,解分式方程得x=4.

經(jīng)檢驗(yàn)X=4是原方程的解，但不符合題意舍去.

ApFH4v-4

②當(dāng)蕓=/時(shí)，即：-4=rF-解分式方程得無=12.

DGDEx-44

經(jīng)檢驗(yàn)x=12是原方程的解，且符合題意.

綜上所述，如果■與△OEG相似，那么CG的長(zhǎng)為12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及

性質(zhì)，解分式方程，做出輔助線并分情況討論是解題的關(guān)鍵.

例4.（2020奉賢區(qū)一模）.如圖，已知平行四邊形ABCD中，4）=逐，A8=5,tanA=2,

點(diǎn)E在射線A。上，過點(diǎn)E作垂足為點(diǎn)E,交射線AB于點(diǎn)尸，交射線CB于

點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)CE,CF,設(shè)AE=m.

（1）當(dāng)點(diǎn)E在邊AO上時(shí)，

①求ACEF的面積；（用含〃，的代數(shù)式表示）

②當(dāng)邑“芯=45兇用時(shí)，求AE:ED值;

(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊AO的延長(zhǎng)線上時(shí)，如果"EF與ACFG相似，求利的值.

【整體分析】

(1)①作EMJ_AB,DNLAB,由5皿，即可求解;

S”=(變)2=(5-后找I

②易證：AAEF-ABGF,得:，即：SBGF=n?—2s[5m+5)

S\AEFA/7(V5//?)'

結(jié)合—=5—舊m，SADCE=4%FG，即可得到答案;

⑵由/AEF=NFGC=90。，\AEF與\CFG相似，分兩種情況討論:①當(dāng)A4ER?APGC時(shí),

②當(dāng)AAEF?ACG尸時(shí)，分別求出答案，即可.

【滿分解答】

(I)①作EM_LAB,DN1AB,如圖1,

'：tanA=2,AEM：AM:AE=2:I：亞,DN:AN:AD=2:I:后

*.*AE=m,?*.EM=x2=?亞m,

DN=—=x2=2,

V55A/5

EF

*/EF±AD,/.tanA=-----=2,即：EF=2m,AF=^5m,

AE

**?S'CEF=SAFCD-S^EF—^MX:E=—(V5m+5)x2—xmx2m—x5x(2------in),

2225

即：SACEF~―加？+145m

②;在平行四邊形ABC。中，AD〃BC,???AAEF?ABGF,

:_（BF）2_（5_Rny

72

SqAEFA/（\/5/7?）

（5-鬲）22

2_5m-10y/5m+25_2

?q—2y[^m+5,

*'°~\BGF2m----------------------------m

（V5m）5

,**S^CE=；x5x（2-^^加）=5-6

n，

3

2

，當(dāng)5Aoe￡=4%9時(shí)，5-\/5/77-4x（m-2底n+5），解得：町逐，色=石（舍）

331

.*.AE=-V5,DE=A/5-->/5=->/5,：.AE:ED=3：1；

444

⑵?.?/AEF=NFGC=90°,

AAA￡F與bCFG相似，分兩種情況討論：

①當(dāng)A4EF?AEGC時(shí)，如圖1,；./AFE=NFCG,

VZAFE+ZGBF=90°,AZFCG+ZGBF=90°,.,.ZBFC=90°,

；.BF：CF：BC=1:2：75?；BC=AD=6.\BF=1,

，AF=AB+BF=5+1=6,

VAE：EF：AF=1：2：6，；.AE=6+而=g石，即：m=：后;

②當(dāng)A4EF?ACGF時(shí)，如圖3,；./AFE=NCFG,

在ABFG和ACFG中，

NAFE=NCFG

■：G：.ABFG=ACFG(ASA),BG=CG=-CD=—,

\F=GF22

ZBGF=ZCGF

r-5515

VBG:GF:BF=1:2:J5,.，.BF=y,.\AF=5+y=y,

VAE:EF:AF=1:2:器,二AE=*&=|'6,即:m=|■氐

綜上所述：m=]6或

圖3

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理，根據(jù)題意，進(jìn)行分類討論，畫出圖形，

是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想?

壓軸精練

1.(2020松江區(qū)一模).已知tan/MCW=2,矩形488的邊AB在射線OM±,AD=2,AB=m,

CF1ON,垂足為點(diǎn)?

(1)如圖(1),作/ELCW,垂足為點(diǎn)E.當(dāng)m=2時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)度；

N

圖⑴

(2)如圖(2),聯(lián)結(jié)OC,當(dāng)陽=2,且C。平分/尸CO時(shí)，求/CO尸的正弦值;

圖⑵

(3)如圖(3),當(dāng)△ZED與△CQF相似時(shí)，求機(jī)的值.

N.

M

圖(3)

【整體分析】

(1)如圖1,延長(zhǎng)FC交0M于點(diǎn)G,證/BCG=NMON,在RQAOE中，設(shè)OE=a,可

求得OA,OG,OF的長(zhǎng)，則EF=O尸-?！?竿；

(2)如圖2,延長(zhǎng)FC交0M于點(diǎn)G,由(1)得CG=2日推出CO=CG=25,在Rt

△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的長(zhǎng)，可求出cosZCOF的值，進(jìn)一步推出sin

ZCOF的值；

(3)需分情況討論：當(dāng)D在NMON內(nèi)部時(shí)，Z\FDAsaFDC時(shí)，此時(shí)CD=AD=2,m=2;

當(dāng)△FDAsaCDF時(shí)，延長(zhǎng)CD交ON于點(diǎn)Q,過F作FPLCQ于P,可利用三角函數(shù)求出

m的值；當(dāng)D在/MON外部時(shí)，可利用相似的性質(zhì)等求出m的值.

【滿分解答】解：(1)如圖1,

圖1

延長(zhǎng)FC交。例于點(diǎn)G

ZBCG+NCGB=90°,AMON+NCGB=90°,ZBCG=乙MON,

則tanNBCG=tan4MON=2,;.BG=2BC=4,CG=也BC=245,

在RtAAOE中，設(shè)OE=a,由tan/MON=2,

可得=則。G=&〃+6,OF=-^=OG=a+^^-,

EF=OF-OE=—;

5

（2）如圖2,

延長(zhǎng)FC交。M于點(diǎn)G,由⑴得CG=2右，

CD平分ZFCO,ZFCD=ZDCO,

■:CDHOM,2FCD=NCGO,NDCO=NCOG,

NCGO=ZCOG,CO=CG=245,

在RtACOB中，BC2+BO2=OC2,得2?+（氐+2）2=（2府,

AZH翁土、石

26后/2辨ni-,6^58

解得q=——（舍去），a2=—^~,OF=a+-^-=—^-

OF43

cosZCOF=—=一，..sinZCOF=-

OC55

(3)當(dāng)。在NMON內(nèi)部時(shí)，①如圖3-1,

N

圖3-1

△FDASAFDC時(shí)，此時(shí)CO=A￡>=2,，，"=2；

②當(dāng)AFD4sACDF時(shí)，如圖3-2,

圖3-2

延長(zhǎng)C。交ON于點(diǎn)Q,過產(chǎn)作CC。于「，

貝IjNFDC=NFDA=135°,NFDP=45°,

?:PC=FPZtanZPFC=FPJLanAMON=2FP=2DP=CD+DP,

:.FP=PD=CD=m,：.FD3m,

CD

\FDA^/^CDF,,AFD=4AD[￡D=際,后=歷m，，機(jī)=1

DAFD

當(dāng)。在NMON外部時(shí)，Z.ADF>90°,ZDFC>90°,

:.ZADF=ZDFC9:.ZDFI=ZFDI9ID=IF,

如圖3-3,

R

O(A)

圖3-3

△FD4sADFC時(shí)，此時(shí)AFDA=\DFC,CF=AD=2,

?;NDAF=NFCD=NFHD,.-.A,。重合，延長(zhǎng)BC交ON于R,

FR=2CF=4,CR=2#),BR=2+2有，；m=CD=AB=]R=1+石;

如圖3—4,

AFDASAC時(shí)，設(shè)CF=26O>O),延長(zhǎng)BC交ON于R,過/作FSLCO于s,

\DFC=\FDH,DH=FC,ID=IF=^CF=45t,

IS=t,FS=2t,CS=4t,DS=(>/5+l)r,DH=FC=2后,

4)DF

\FDA^\CFD,DF2=AD^FC=2DH=46，

DFFC

-：DF1=DS2+FS2,4亞t=4t2+(逐+1)2?,

解得，4=為」，t2=o(舍去)，.?.￡>H=26f=5—6>2=A￡>,矛盾，

綜上所述：加=1或m=2,或加=1+6.

【點(diǎn)睛】本題考查了解背角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題

關(guān)鍵是注意分類討論思想的運(yùn)用.

2.(2020徐匯區(qū)一模).如圖，在A4BC中，A6=AC=5,BC=6,點(diǎn)。是邊AB上的

動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)AB重合)，點(diǎn)G在邊A8的延長(zhǎng)線上，NCDE=ZA,NGBE=ZABC,

DE與邊BC交于點(diǎn)F.

(1)求cosA的值；

(2)當(dāng)NA=2NAC。時(shí)，求A。的長(zhǎng)；

(3)點(diǎn)。在邊A3上運(yùn)動(dòng)的過程中，AO:BE的值是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變化，請(qǐng)求

的值；如果變化，請(qǐng)說明理由.

【整體分析】

(1)作AHLBC于H,BMJ_AC于M.解直角三角形求出BM,AM即可解決問題.

(2)設(shè)AH交CD于K.首先證明AK=CK,設(shè)AK=CK=x,在Rt^CHK中，理由勾股定

理求出x,再證明△ADKs^CDA,理由相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程組即可解決問題.

(3)結(jié)論：AD：BE=5：6值不變.證明△ACDs/\BCE,可得——=——=-

BEBC6

【湖分解答】(1)作AHLBC于H,BMJ_AC于M.

VAB=AC,AH1BC,/.BH=CH=3,:,AH7AB?—BH?=552.32=4,

.c1Air1Anii/f.=BC,AH24

*.*人的=一,BC?AH=一?AC,BM,BM------------=—

"22AC5

(2)設(shè)AH交CD于K.

VZBAC=2ZACD,ZBAH=ZCAH,/.ZCAK=ZACK,

；.CK=AK,設(shè)CK=AK=x,

2525

在"△CKH中,則有x2=(4-x)2+32,解得x=—，???AK=CK=—,

88

VZADK=ZADC,ZDAK=ZACD,AAADK^ACDA,

AD_AK_DK25_5

CO-7C->設(shè)AD=m,DK=n,

5

m5

25=8

n+——125625125

則有《8，解得機(jī)=關(guān)，〃=案..?.AD=M.

25

n-\---

8

(3)結(jié)論：AD:BE=5:6值不變.

理由：VZGBE=ZABC,ZBAC+2ZABC=180°,ZGBE+ZEBC+ZABC=180°,

.,.ZEBC=ZBAC,VZEDC=ZBAC,AZEBC=ZEDC,

AD,B,E,C四點(diǎn)共圓，...NEDB=/ECB,

VZEDB+ZEDC=ZACD+ZDAC,ZEDC=ZDAC,ZEDB=ZACD,

ADAC5

AZECB=ZACD,AAACD^ABCE,——=——=一.

BEBC6

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的

判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解

決問題.

3.(2020松江二模)如圖，己知梯形”88中，AD//BC,ABLBC,AD<BC,AB=BC=\,

￡是邊上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE.

(1)如果CE=C￡>,求證：AD=AE；

(2)聯(lián)結(jié)OE,如果存在點(diǎn)E,使得△/￡>￡、△BCE和△<:￡)￡兩兩相似，求力。的長(zhǎng)；

2

(3)設(shè)點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)為N,如果/。=孑，

DN

且M在直線上時(shí)’求說的值.

解(1)過C點(diǎn)作/。垂線，垂足為F.....................................1分

'：AD//BC,ABLBC,AB=BC

：.四邊形ABCF是正方形,："B=BC=CF="

又\'CE=CD,：.ACBE冬4CFD.................................................1分

：.BE=FD.................................................................1分

：.AD=AE.................................................................1分

(2)Nl、N2、/3、N4、N5、/6如圖所示,

①若/E￡>C=90”時(shí)，

若△/￡)￡'、△BCE和△(?￡>￡■兩兩相似

那么N4=N5=N6=60°,N1=/2=N3=3O°..............1分

在△C8E中，：BC=\,：.BE=N=B、CE=^^

由33

AE=l—@=^^

33

人口=即=舟2呈=坦3='\1分

33

此時(shí)空=2AE

CE2BE

△CDE與AADE、△8CE不相似

②若25=90°時(shí),

VZ1+ZJ=Z4+Z5,N5=N/=90°.".Z1=Z4,：./\ADE^/\BEC.\Z6=Z3

若△CDE與△/￡>￡1相似

'：AB與CD不平行,；.N6與NEDC不相等

/.Z6=Z2=Z3......................................................................................1分

???若△CQE與△力0￡\△BCE相似

.....AEDEBE

那么---=----=、??AE=BE,

B~CECBC

1

'：AB=\,：.AE=BE=-1分

2

1

：.AD=-1分

4

(3)令EM交CD于Q,DN交CE于P,

￡關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)。關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)為M

在ACDP與ACEQ中，丫NCPD=NCQE=90",NPCD=NQCE

:ACDPs^CEQ................................................................1分

.DPDC

1分

~EQ~~CE

2

'JAD//BC,ABLBC,AD=~,AB=BC=\,

3

,?CD垂直平分EM,：.DE=DM,CE=CM

又,：CB=CF,/CBE=/CFM=90°，:.ACBE咨LCFM：.BE=FM,

4jj

設(shè)8E=x,KiJFM=x,\'ED=DM,A(l-x)2+-=<-+^)2解得x=^,

CE=—.....................................................1分

2

.Z)C_Vio2_272

CE3753

■:DN=2DP,EM=2EQ

,DN2DPDC2V2，八

??——=...................????????］夕)

EM2EQCE3

4.(2020嘉定二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中(如圖7),已知經(jīng)過點(diǎn)4-3,0)的拋物線

丫=/+26-3與y軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)8與點(diǎn)力關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，。為該拋物線

的頂點(diǎn).

(1)直接寫出該拋物線的對(duì)稱軸以及點(diǎn)2的坐標(biāo)、點(diǎn)C的坐標(biāo)、點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)聯(lián)結(jié)DC.CB,求四邊形力8CO的面積；

(3)聯(lián)結(jié)/C如果點(diǎn)E在該拋物線上，過點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為H,線段E”交線段

NC于點(diǎn)￡當(dāng)所=2￡修時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

-3-2-1O1x

-1

-2

因7

解：（1）該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-l......................................1分

點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,0）.....................................................1分

點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-3）.....................................................1分

點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-1,-4）....................................................1分

（2）過點(diǎn)。作￡）M_LA3,垂足為M,易得：OM=\,DM=4,AM=2,OB=1.

SFDM=gAM-DM=-^x2x4=4,..........................................1分

i17

S^OCDM=-（OC+DM）.OM=-Q+4）xl=-,..................................1分

一、

=73

所以S四邊形A8CD=S&DW+S梯形0c9+S&3C4+—+—=9

(3)設(shè)直線4C的表達(dá)式為丫=履+匕，???4-3,0),C(0,-3)在直線y="+b上,

0=一弘+上解得］=T,故直線AC的表達(dá)式為y=_x-3.......................................］分

b=-3o=-3

方法1」.?點(diǎn)尸在直線y=-x-3上，所以可設(shè)尸(x,—x—3).

:EH上AB,點(diǎn)、尸在線段EHh,S.EF=2HF,可得E(x,-3x-9).................................1分

：E(x,-3x-9)y=x2+2x-3±,A-3x-9=x2+2x-3...................................1分

整理，得/+5》+6=0.解得a=-2，”2=_3(不符合題意，應(yīng)舍去)?

5(2020黃浦二模)在邊長(zhǎng)為2的菱形俶刀中，￡是邊4〃的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G、〃分別在邊AB、

BC.CD上,且尸G_L￡EEHVEF.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸是邊46中點(diǎn)時(shí)，求證：四邊形舒倒是矩形；

(2)如圖2,當(dāng)黑=4■時(shí)，求轉(zhuǎn)■值；

GC2EH

（3）當(dāng)cosN〃=卷，且四邊形砂第是矩形時(shí)（點(diǎn)尸不與4?中點(diǎn)重合），求4戶的長(zhǎng).

圖2等用圖

【整體分析】

（1）連接/GBD,由菱形的性質(zhì)及三角形的中位線定理證得小'〃外GF=EH,從而可知四

邊形分訓(xùn)是平行四邊形，再由有一個(gè)角為直角的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；

（2）連接班,由菱形