2021年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：20 相似三角形問(wèn)題（解析版）

2021年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：專題20相似三角形問(wèn)題

一、比例

1.成比例線段（簡(jiǎn)稱比例線段）：對(duì)于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段

的長(zhǎng)度的比相等，即且=￡（或a：b=c：d）,那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。如果作

bd

為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即0=2或a：b=b：c,那么線段b叫做線段a,c的比例中項(xiàng)。

bc

2.黃金分割：用一點(diǎn)P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長(zhǎng)度之比等于大段與全長(zhǎng)之

比，則可得出這一比值等于0?618…。這種分割稱為黃金分割，分割點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，較長(zhǎng)

線段叫做較短線段與全線段的比例中項(xiàng)。

3.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

4.兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

5.平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

二、相似、相似三角形及其基本的理論

1.相似：相同形狀的圖形叫相似圖形。相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、大小無(wú)關(guān)。

2.相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相

似比。

3.三角形相似的判定方法

（1）定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊延長(zhǎng)線）相交，構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

（3）兩個(gè)三角形相似的判定定理

判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)述

為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角

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形相似，可簡(jiǎn)述為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。

判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡(jiǎn)

述為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

4.直角三角形相似判定定理：

①以上各種判定方法均適用

②定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那

么這兩個(gè)直角三角形相似。

③垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。

5.相似三角形的性質(zhì)：

（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例

（2）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比

（3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比

（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

【例題1】（2020?河北）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點(diǎn)。為位似中心，四邊形4?（力的位似圖形是（）

A.四邊形A陽(yáng)&B.四邊形八叼依C.四邊形AW呢D.四邊形A/席

【答案】A

【分析】由以點(diǎn)。為位似中心，確定出點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)M設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,則陣巡，OM

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=2遙，0D=y[2,0B=V10,OA=V13,OR=遍，OQ=2y/2,OP=2同,OH=35flV=2V13,由一=2,

oc

得點(diǎn)〃對(duì)應(yīng)點(diǎn)0,點(diǎn)6對(duì)應(yīng)點(diǎn)。，點(diǎn)4對(duì)應(yīng)點(diǎn)N,即可得出結(jié)果.

【解析】???以點(diǎn)。為位似中心，

...點(diǎn)。對(duì)應(yīng)點(diǎn)施

設(shè)網(wǎng)格中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,

則0C=V22+I2=V5,0M=V42+22=2遙，OD=y[2,0B=V32+I2=VlO,04=V32+22=V13,0R=

V22+l2=V5,0g2近,0P=V62+22=2V10,0H=V62+32=3V5,0N=V62+42=2^13,

,OC_V5j'

.?.點(diǎn)。對(duì)應(yīng)點(diǎn)0,點(diǎn)6對(duì)應(yīng)點(diǎn)2點(diǎn)4對(duì)應(yīng)點(diǎn)M

.??以點(diǎn)。為位似中心，四邊形/靦的位似圖形是四邊形A冏心。

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】(2019廣西北海)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△力加的三個(gè)頂點(diǎn)分別為/(-1,1),B(-

4,1),C(-2,3).

(1)畫出關(guān)于點(diǎn)0成中心對(duì)稱的△45G；

(2)以點(diǎn)/為位似中心，將放大為原來(lái)的2倍得到△4SG,請(qǐng)?jiān)诘诙笙迌?nèi)畫出△45G；

(3)直接寫出以點(diǎn)4,B、,。為頂點(diǎn)，以45為的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)〃的坐標(biāo).

【答案】見解析。

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【解析】（1）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)特征寫出爾B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)4、A、G的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)

即可.如圖，△4AG為所作.

（2）延長(zhǎng)47到與使4區(qū)=249,延長(zhǎng)4C到C使/G=244連接氏G,則與G滿足條件.第四個(gè)頂點(diǎn)〃的

坐標(biāo)為（-1,-3）或（5,-3）.

（3）另一條平行四邊形的性質(zhì)，把G點(diǎn)向左或右平移3個(gè)單位得到。點(diǎn)坐標(biāo).

第四個(gè)頂點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（-1，-3）或（5,-3）.

【例題2】（2019?廣西賀州）如圖，在△48C中，D,￡分別是/C邊上的點(diǎn)，DE//BC,若

AIA2,AB=3,DE=4,則a'等于（）

D.8

【答案】B

【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵.由平行線

得出得出對(duì)應(yīng)邊成比例坦=1旦，即可得出結(jié)果.

ABBC

，：DE//BC,

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:.XADESXABC,

.AD=DE

"ABBC"

即2=_￡,

3BC

解得：BC=6

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019年內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，D、￡分別是△48C邊48,4。上的點(diǎn)，NADE=N.ACB,若AD=

2,AB=6,AC=4,則/￡的長(zhǎng)是（）

C.3D.4

【答案】C

【解析】VAADE=ZACB,N/=N4

:.XADEsXACB,

?AD_AE即2—AE

,*AC-AB"'1丁

解得，AE=3

【點(diǎn)撥】證明△/1應(yīng)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

【例題3】（2020?山東泰安模擬）如圖，矩形四切中，AB=3巫,6612,￡為4?中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn),

將△/旗沿旗折疊后，點(diǎn)4恰好落到CF上的點(diǎn)G處，則折痕"的長(zhǎng)是.

B

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【答案】2標(biāo).

【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能夠作出適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線，連接四，構(gòu)造相似三角形，最終利用相似的性質(zhì)求出結(jié)果.

連接利用矩形的性質(zhì)，求出￡6,應(yīng)'的長(zhǎng)度，證明星平分/比過(guò)再證/用7=90°,最后證△儂'sa

EDC,利用相似的性質(zhì)即可求出旗的長(zhǎng)度.

如圖，連接a1,

?四邊形ABCD為矩形,

.?.//=/左90°,BC=AD=\2,DC=AB=3氓,

■:E為血中點(diǎn),

:.AE=DE=LAD=6

2

由翻折知，日慢△6XE

:.AE=GE=6,ZAEF=ZGEF,NEGF=NEAP=9Q°=ZA

：.GE=DE,

:.EC平令4DCG,

:./DCE=/GCE,

'：￡GEC=W-AGCE,/DEC=9Q°-ZDCE,

:"GEg/DEC,

:.NFEC=NFE&rNGEC=Lx\80°=90°,

2

:.NFEC=/D=9G,

又.：/DCE=4GCE,

：.l\FEC<^/\EDC,

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?.F?EzEzC,

DEDC

￡，=VF環(huán)商=舊石鬲^=3板，

.FESVTU

??7=~，

63^/6

:.FE=2底

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】2019黑龍江省龍東地區(qū)）一張直角三角形紙片4%；/力電90°,力6=10,力仁6,點(diǎn)。為

1%邊上的任一點(diǎn)，沿過(guò)點(diǎn)。的直線折疊，使直角頂點(diǎn)。落在斜邊上的點(diǎn)￡處，當(dāng)△頌是直角三角形時(shí)，

則切的長(zhǎng)為一

【答案】3或半24

【解析】在ABDE中，/B是銳角，.?.有兩種可能，/DEB或/EDB是直角，由此畫出示意圖，逐步求解即可.

如下圖，NDEB是直角時(shí)，VZJfl?=90°,16=10,AC=<o,

：.BC=>/102-62=8,設(shè)CD=x,則BD=8-x,

由折疊知CD=ED=x,VZ^=ZDEB=90°,

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...△BEDsZ\BCA,...AC上C=D々F，即6？=」r—，解得x=3;

AHDB108-x

如下圖，NEDB是直角時(shí)，ED〃AC,

...△BEDsaBAC,，必AC二F士D，即6？=^二r，解得x=2—4，

CBDB88-x7

綜上，CD的長(zhǎng)為3或m24.

【點(diǎn)撥】在ABDE中，NB是銳角，有兩種可能，/DEB或/EDB是直角，由此畫出示意圖，逐步求解即可.

【例題4】（2020?杭州）如圖，在中，點(diǎn)僅E,尸分別在陽(yáng)BC,水?邊上，DE//AC,EF//AB.

（1）求證：XBDEsXEFC.

"F1

（2）設(shè)一=

FC2

①若a'=12,求線段應(yīng)?的長(zhǎng)；

②若的面積是20,求△48C的面積.

【解析】見解析。

【分析】（D由平行線的性質(zhì)得出/頌=/座4DBE=/FEC,即可得出結(jié)論;

BEAF1

（2）①由平行線的性質(zhì)得出工7=—=即可得出結(jié)果；

ECFC2

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FC2

②先求出77=大易證△掰C,由相似三角形的面積比等于相似比的平方即可得出結(jié)果.

AC3

【解答】（1）證明：???〃￡〃〃；

：?4DEB=/FCE,

?:EF"AB,

：.ADBE=4FEC,

:.△BDESXEFO,

（2）解：①T：EF〃AB,

.BEAF1

EC~FC~2

■:EC=BC-BE=\2-BE,

?BE_1

^12-BE-2

解得：BE=4；

AF1

②：—=一，

FC2

.FC_2

??~~~~=~,

AC3

"：EF"AB,

:.XEFCSXBAC,

...^￡=（%）2=（2）2=4

S^ABCAC39

QQ

心?=]4,8ew=/4x20—45.

【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】（2019?四川省涼山州）如圖，NABD=/BCD=90：DB平■分乙ADC,過(guò)點(diǎn)、B作網(wǎng)〃CD交AD于

M.連接CV交應(yīng)于正

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(1)求證：Blf=AD>CD；

(2)若36,AD=8,求,卿的長(zhǎng).

【答案】見解析。

【解析】證明：(1)通過(guò)證明可得包_理，可得結(jié)論；

BDCD

■:DB平■分4ADC,

二/物，且/板=/及力=90°,

：./\ABD^l\BCD

?.?-A-DZ：-B-D-

BDCD

:.B4=AD>CD

(2)由平行線的性質(zhì)可證乙敗即可證4y=必=就?=4,由*和勾股定理可求加1的長(zhǎng),

通過(guò)證明△必歷叨，可得二HN上,即可求助v的長(zhǎng).-：BM//CD

CDCN3

^MBD=ABDC

：.NADB=AMBD,且NABD=90°

：.BM=MD,NMAB=/MBA

：.BM=MD=AM=^

'：BET=AD*CD,且折6,AD=8,

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.,屈=48,

:.Bd=Ba-5=12

:.MG=M^+BC=28

:.MC=25

'：BM//CD

：.4MNBs/\CND

...現(xiàn)乳￡上，且比'=2夜

CDCN3

【點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求."的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵.

專題點(diǎn)對(duì)點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練

一、選擇題

1.（2020?重慶）如圖，與△姐'位似，點(diǎn)。為位似中心.已知如：勿=1：2,則△48。與△叱的面

積比為（）

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A.1：2B.1：3C.1：4D.1：5

【答案】C

【解析】根據(jù)位似圖形的概念求出△/歐與的相似比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可.

?.?△4%與如是位似圖形，0A-.01）=1：2,

與△%T7的位似比是1：2.

與△應(yīng)F的相似比為1：2,

...△被7與△龐尸的面積比為1：4?

2.（2020浙江紹興）如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2：5,且三角板的

一邊長(zhǎng)為8cm.則投影三角板的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為（）

A.20anB.10cmC.8cmD.3.2cm

【答案】A

【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【解答】解：設(shè)投影三角尺的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)為xc/力，

?.?三角尺與投影三角尺相似,

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**?8：x=2：5,

解得x=20.

3.（2020?遂寧）如圖，在平行四邊形能力中，NA%的平分線交力。于點(diǎn)反交AD于點(diǎn)尸,交切的延長(zhǎng)線

BE

于點(diǎn)G,若AF=2FD,則77的值為（)

EG

G

1123

A-B--D-

2334

【答案】C

【分析】由4尸=2%；可以假設(shè)〃/7=在，則4b=24,AD=3k,證明AB=AF=2k,DF=DG=k,再利用平行線

分線段成比例定理即可解決問(wèn)題.

【解析】EtlAF=2DF,可以假設(shè)%=h則力尸=2〃,AD=3k,

,/四邊形力靦是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

:./AFB=/FBC=/DFG,4ABF=4G,

■:BE①分/ABC,

:?/ABF=/CBG,

：.ZASF=ZAFB=4DFG=4G,

：.AB=CD=2kfDF=DG=k,

:.CG=C/DG=3k,

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，：AB//DG,

：./\ABE^i\CGE,

.BEAB2k2

'"EG—CG―3k—3°

4.（2020?遂寧）如圖，在正方形/時(shí)中，點(diǎn)6是邊8c的中點(diǎn)，連接力￡、DE,分別交他、/C于點(diǎn)只Q,

過(guò)點(diǎn)H乍必:L/f￡'交位的延長(zhǎng)線于尸，下列結(jié)論：

①NAE訃NEA。NEDB=9Q。,

?AP^FP,

③力氏邛■AO,

④若四邊形。項(xiàng)的面積為4,則該正方形4%?的面積為36,

⑤CE'EF=ESDE.

其中正確的結(jié)論有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

【答案】B

【分析】①正確.證明/斂?=/￡宦'=45°,再利用三角形的外角的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.

②正確.利用四點(diǎn)共圓證明8A45°即可.

③正確.選BE=EC=a,求出4?,勿即可解決問(wèn)題.

④錯(cuò)誤，通過(guò)計(jì)算正方形46位的面積為48.

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⑤正確.利用相似三角形的性質(zhì)證明即可.

【解析】如圖，連接

???四邊形/題是正方形，

：.ACLBD,OA=OC=OB=OD,

：.ZBOC=90°,

、：BE=EC,

:"E0B=2E0C=45°,

■:/EOB=/EDB+/OED,/EOC=/EAC+/AEO,

:"AEM/EAC+/EDg/EAC+/AES/0E步/EDB=9G,故①正確,

連接"：

■:PFLAE,

:?NAPF=/ABF=90°,

：.A9P,B,一四點(diǎn)共圓,

：?NAFP=NABP=45°,

：.ZPAF=ZPFA=45°,

:?PA=PF,故②正確，

設(shè)BE=EC=a,貝lj力氏遍a,OA=OC=OB=OD=y[2a,

，些=等="即g孥/0,故③正確，

AOyJ2a22

根據(jù)對(duì)稱性可知，△OPE^XOQE,

Sk陽(yáng)外:S四邊形OPEQ—2,

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'：OB=OD,BE=EC,

：、CD=20E,0E〃CD,

.EQOE1

=△。園s/\09Q,

9DQ~CD2

???SAW=/1,S^cw=8,

S^CtK)=12,

?，?S正方形ABCD=48，故④錯(cuò)誤,

?：/EPF=/DCE=9/,4PEF=/DEC,

:NPFSAECD,

,EFPE

?.=,

EDEC

YEgPE,

:?CE/EF=E6DE,故⑤正確，

故選：B.

DE1

5.（2020?濰坊）如圖，點(diǎn)￡是口4?口的邊力。上的一點(diǎn)，旦一=一，連接應(yīng)'并延長(zhǎng)交切的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

AE2

若DE=3,DF=4,則口力順的周長(zhǎng)為（）

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E

D

----------------------fC

A.21B.28C.34D.42

【答案】C

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得力#〃切，再由平行線得相似三角形，根據(jù)相似三角形求得力反AE,進(jìn)

而根據(jù)平行四邊形的周長(zhǎng)公式求得結(jié)果.

【解析】??,四邊形Z曾是平行四邊形，

:?AB〃CF,AB=CD,

:.△ABESXDFE,

?"FD1

AE~AB~2

,:DE=3,DF=4,

：.AE=6,AB=89

???/!〃=44龐=6+3=9,

???平行四邊形力靦的周長(zhǎng)為：（8+9）義2=34.

故選：C.

6.（2020?天水）如圖所示，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用標(biāo)桿跖測(cè)量建筑物的高度，已知標(biāo)桿必高1.5力，測(cè)得

AB=L2m,BC=12.8/zz,則建筑物切的高是（）

AR

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A.17.5/nB.17nlC.16.5/nD.18ffl

【答案】A

【分析】根據(jù)題意和圖形，利用三角形相似，可以計(jì)算出切的長(zhǎng)，從而可以解答本題.

【解析】"：EBLAC,DCVAC,

：.EB//DC,

:.XABES/\ACD,

.ABBE

??,

ACCD

BE=1.5m,AB—1.2nuBC=12.8/n,

：.AC=AB+BC=14m1

.L21.5

??=,

14DC

解得，4c=17.5,

即建筑物切的高是17.5m,

7.（2019?海南?。┤鐖D，在應(yīng)中，/C=90°,48=5,BC=4.點(diǎn)尸是邊〃'上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作A?

〃/18交加'于點(diǎn)。，〃為線段制的中點(diǎn)，當(dāng)初平分N4a'時(shí)，尸的長(zhǎng)度為（）

旦B.15_C.至D.絲

A.13131313

【答案】B.

【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

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根據(jù)勾股定理求出〃,，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到/幽=/砌0,得到。6=如根據(jù)相似

三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

VZC=90°,AB=5,BC=4,

AJ6'=VAB2-BC2=3,

'：PQ//AB,

：.AABD=ZBDQ,又4ABD=4QBD,

：.4QBg乙BDQ,

/.QB=QD,

:?QP=2QB,

?:PQ"AB,

:.△CPgXCAB,

.CP=CQ=PQ即CP_4YB_2QB

“CACBAB'、345

解得，（T=24,

13

：.AP=CA-CP=^~

13

二、填空題

2

8.（2020?郴州）在平面直角坐標(biāo)系中，將△?!仍以點(diǎn)。為位似中心，,為位似比作位似變換，得到△外加,

已知力（2,3）,則點(diǎn)4的坐標(biāo)是.

第19頁(yè)共37頁(yè)

4

【解析】2）.

【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)進(jìn)而得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即可.

2

【解析】???將△力仍以點(diǎn)。為位似中心，,為位似比作位似變換，得到仍I,A（2,3）,

22

???點(diǎn)4的坐標(biāo)是：（-X2,-X3）,

33

4

即A\（一,2）.

3

9.（2020?樂(lè)山）把兩個(gè)含30°角的直角三角板按如圖所示拼接在一起，點(diǎn)后為力〃的中點(diǎn)，連結(jié)緲交力。

AF

于點(diǎn)凡則77=-

【解析】|.

【分析】連接CE,解直角三角形，用AD表示AB,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，用表示CE,再證明CE//AB

AFAF

舄XABFsXCEF,由相似三角形的性質(zhì)得,，進(jìn)而得）便可.

CFAC

【解析】連接密???/。片30°,ZAC/）=90°,￡是/〃的中點(diǎn)，

：.AC=^-AD,CE=^AD=AE9

：.ZACE=ZCAE=30°

9：ZBAC=30°,N力80=90°,

：.AB=^AC=/BAC=/ACE,

：.AB//CE,

第20頁(yè)共37頁(yè)

：./\ABF<^/\CEF,

3

AFAB3

CF~CE~-AD―2

2

AF_3

AC~5

10.（2020?綏化）在平面直角坐標(biāo)系中，△45C和△48C的相似比等于點(diǎn)并且是關(guān)于原點(diǎn)。的位似圖形，

若點(diǎn)/的坐標(biāo)為（2,4）,則其對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)是.

【解析】（4,8）或（-4,-8）.

【分析】利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，把/點(diǎn)橫縱坐標(biāo)分別乘以2或-2得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo).

1

【解析】???△/優(yōu)和△484的相似比等于5,并且是關(guān)于原點(diǎn)。的位似圖形，

而點(diǎn)力的坐標(biāo)為（2,4）,

二點(diǎn)4對(duì)應(yīng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2X2,2X4）或（-2X2,-2X4）,

即（4,8）或（-4,-8）.

三、解答題

11.（2020?泰安）小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖

形，與/皿恰好為對(duì)頂角，/ABC=NCDE=90°,連接弧AB=BD,點(diǎn)尸是線段磔上一點(diǎn).

探究發(fā)現(xiàn)：

（1）當(dāng)點(diǎn)尸為線段綏的中點(diǎn)時(shí)，連接加■（如圖（2））,小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：及讓凱你認(rèn)為此結(jié)論

第21頁(yè)共37頁(yè)

是否成立？.(填“是”或“否”)

拓展延伸：

(2)將(1)中的條件與結(jié)論互換，即：BDVDF,則點(diǎn)尸為線段四的中點(diǎn).請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立.若成

立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題解決：

(3)若48=6,CE=9,求的長(zhǎng).

【答案】見解析。

【分析】(1)證明/必仆心=90°可得結(jié)論.

(2)結(jié)論成立：利用等角的余角相等證明/￡=/班推出跖=刈，再證明外=和即可解決問(wèn)題.

(3)如圖3中，取比■的中點(diǎn)G,連接S則。J_劭.利用(1)中即可以及相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即

可.

【解析】(1)如圖(2)中，

第22頁(yè)共37頁(yè)

E

圖(2)

VZfi9C=90°,EF=CF,

：.DF=CF9

FCD=/FDC,

TN45c=90。,

.\Z/+ZJ6?=90°,

?:BA=BD,

:?/A=/ADB,

???AACB=AFCD=/FDC,

:?/AD卅/FDC=9。。,

:?/FDB=90°,

：.BDLDF.

故答案為是.

(2)結(jié)論成立：

理由：YBDIDF,EDLAD,

BDC+/CDF=9C,物=90°,

???ZBDC=ZEDF,

第23頁(yè)共37頁(yè)

'：AB=BD,

：.ZA=ZBDQ

：.ZA=ZEDF,

u：ZA+ZACB=90°,N母N夕但90°,4ACB=/ECD,

：.NA=NE,

：2E=/EDF,

：.EF=FD,

???N母/9=90°,/EDF+/FDC=9G0,

：.AFCD=^FDQ

:.FD=FC,

：.EF=FQ

???點(diǎn)￡是用的中點(diǎn).

(3)如圖3中，取用的中點(diǎn)G,連接。.則應(yīng)46〃

19

：.DG=^EC=^

■:BD=AB=6,

第24頁(yè)共37頁(yè)

在Rt△劭G中，BG=7DG2+BD2=J（/+62=號(hào),

15Q

?,?％=號(hào)-23,

在RtZX/%中，e7AB2+BC2=抬+32=3倔

?：/ACB=4ECD,/ABC=4EDC,

:.XABCslXEDC,

.ACBC

??—,

ECCD

?越_A

?.—,

9CD

：.CD=誓，

：.AD=AC+CD=3y[S+竽=^fl-

12.（2020?達(dá)州）如圖，在梯形四（力中，AB//CD,/6=90°,AB=6cm,CD^2cm.P為線段比上的一動(dòng)

點(diǎn)，且和8、。不重合，連接為，過(guò)點(diǎn)戶作必工處交射線切于點(diǎn)發(fā)聰聰根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)這個(gè)問(wèn)

題進(jìn)行了研究：

（1）通過(guò)推理，他發(fā)現(xiàn)請(qǐng)你幫他完成證明.

（2）利用幾何畫板，他改變隙的長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)點(diǎn)R得到不同位置時(shí)，CE、9的長(zhǎng)度的對(duì)應(yīng)值：

當(dāng)BC=6an時(shí),得表1：

BP/cm???12345???

CE/cm???0.831.331.501.330.83???

當(dāng)比=8cm時(shí),得表2：

BP/cm…1234567???

第25頁(yè)共37頁(yè)

CE/cm…1.172.002.502.672.502.001.17…

這說(shuō)明，點(diǎn)尸在線段比1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，要保證點(diǎn)￡總在線段切上，的長(zhǎng)度應(yīng)有一定的限制.

①填空：根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在外和龍的長(zhǎng)度這兩個(gè)變量中，BP的長(zhǎng)度為自變量,

層」的長(zhǎng)度為因變量；

②沒(méi)Bgmcm,當(dāng)點(diǎn)p在線段附上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)6總在線段切上，求0的取值范圍.

【解析】見解析。

【分析】（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似證明即可.

（2）①根據(jù)函數(shù)的定義判斷即可.

②設(shè).BP=xcm,CE=ycm.利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值即可

解決問(wèn)題.

【解答】（1）證明：'：AB//CD,

班NC=90°,

：/6=90°,

...N6=/C=90°,

,:APIPE,

90°,

:.NAP階NEPC=9Q°,

?：4EPC+NPEC=9Q°,

第26頁(yè)共37頁(yè)

:?/APB=/PEC,

：./\ABP^/\PCE.

（2）解：①根據(jù)函數(shù)的定義，我們可以確定，在即和B的長(zhǎng)度這兩個(gè)變量中，鰭的長(zhǎng)度為自變量，酸的

長(zhǎng)度為因變量，

故答案為：BP,EC.

②設(shè)BP=xcm,CE=ycm.

■：l\ABP^l\PCE,

ABBP

PC~CE'

6X

m-xy

.?.尸（X_加）2+m2

藥

,?*-T

6

im2

???后已加時(shí)，y有最大值—，

/24

???點(diǎn)《在線段⑦上，CD=2cm,

m2

—<2,

24

???辰4同

：?0＜足4回

第27頁(yè)共37頁(yè)

13.(2020?棗莊)在。中，龍=90°,切是中線，AC=BC,一個(gè)以點(diǎn)〃為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)〃旋轉(zhuǎn),

使角的兩邊分別與4Ga'的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)區(qū)F,DF與4c交于點(diǎn)、M,DE與BC交于前N.

(1)如圖1,若CE=CF,求證：DE=DF；

(2)如圖2,在/叱繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試證明”=367；'恒成立；

(3)若32,CF=V2,求ZW的長(zhǎng).

【解析】見解析。

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到時(shí)=45°,證明根據(jù)全等三角形的

對(duì)應(yīng)邊相等證明結(jié)論；

(2)證明△比瓦根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，整理即可證明結(jié)論；

(3)作〃61比；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出〃G,由(2)的結(jié)論求出第證明△以9S4〃A，G,根據(jù)相

似三角形的性質(zhì)求出M；,根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案.

【解答】(1)證明：4s=90°,AC=BC,G9是中線，

=/閱9=45°,NACF=NBCE=90°,

:.NDCF=NDCE=\35°,

在△&方和△灰方中，

CF=CE

Z.DCF=乙DCE,

.DC=DC

:NC阻XDCE〈SAS)

第28頁(yè)共37頁(yè)

:?DE=DF；

(2)證明：?.?N〃gl35°,

???/a/如'=45°,

???/月定=45°,

：.ZCDE+ZCDF=45°,

：.ZF=ZCDE,

*：4DCF=4DCE,4F=4CDE,

:ZCDSXDCE,

.CFCD

??=,

CDCE

:.C『CE+CF；

(3)解：過(guò)點(diǎn)〃作〃GL優(yōu)1于G,

■:NDCB=45°,

:.GC=GD=專CD=a,

由(2)可知，CI}=CE、CF,

rr)2

CE==2或,

Cr

?：NECN=4DGN,4ENC=4DNG,

:?/\ENCsXDNG,

CNCEarty[2-NG2^2

----=------,即-----------=一

NGDGNGV2

解得，M三考，

第29頁(yè)共37頁(yè)

由勾股定理得，DN=7DG2+NG2=竽.

圖2

14.（2020?上海）已知：如圖，在菱形/時(shí)中，點(diǎn)反廠分別在邊力氏上，BE=DF,位的延長(zhǎng)線交物的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,?！觥⒌难娱L(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

（1）求證：叢BECs

（2）如果以'=/及/笈求證：AG=DF.

【解析】見解析。

【分析】（1）想辦法證明/8但/〃即可解決問(wèn)題.

（2）利用平行線分線段成比例定理結(jié)合已知條件解決問(wèn)題即可.

【解答】（1）證明：：四邊形力靦是菱形，

C.CD^CB,/g/B,CD//AB,

'：DF=BE,

:.叢CDFQCBE（SIS）,

4DCF=NBCE,

第30頁(yè)共37頁(yè)

CD//BH,

：?4H=4DCF,

：.ABCE=N〃，

,:/B=/B,

:、△BECSXBCH.

(2)證明：°:B^=AB*AE,

,BEAE

??=>

ABEB

■:AG//BC,

,AEAG

?.=,

BEBC

?BEAG

??—i

ABBC

°：DF=BE,BC=AB,

:.BE=AG=DF,

即AG=DF.

15.(2020?甘孜州)如圖，力5是。。的直徑，。為。。上一點(diǎn)，力〃和過(guò)點(diǎn)。的切線互相垂直，垂足為〃

(1)求證：ACAD=ACAB^

402

(2)若一=AC=2yf6,求切的長(zhǎng).

AB3

第31頁(yè)共37頁(yè)

【答案】見解析。

【分析】(1)連接0C,根據(jù)切線的性質(zhì)，判斷出再應(yīng)用平行線的性質(zhì)，即可推得4c平分/%民

(2)如圖2,連接5G設(shè)A9=2x,AB=3x,根據(jù)圓周角定理得到//==N/〃C=90°,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】(1)證明：如圖1,連接8，

號(hào)

圖1,

:如是切線，；.紇1切.

"：ADLCD,：.AD//OC,；.N1=N4.

?：OA=OC,.-.Z2=Z4,.\Z1=Z2,平分NZM6；

(2)解:如圖2,

三圖2

連接BC,

..絲_2

?二—，

AB3

工設(shè)力〃=2%AB=3xf

是。。的直徑，：.ZACB=ZADC=9Q°,

第32頁(yè)共37頁(yè)

ZDAC^ZCAB,，/\ABC,

eADAC.2x276

,??就=而‘‘南=寶’

，x=2(負(fù)值舍去)，

：.AD=\,

：.CD=y/AC2-AD2=2VI

16.(2020?寧波)【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,在△46C中，〃為46上一點(diǎn)，NAg4B.求證：AC=A1AAB.

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,在或中，E為BC上一點(diǎn),尸為必延長(zhǎng)線上一點(diǎn),NBFE=4A.若BF=4,BE=3,求4〃

的長(zhǎng).

【拓展提高】

(3)如圖3,在菱形4版中，￡是49上一點(diǎn)，尸是△49C內(nèi)一點(diǎn)，EF//AC,AC=2EF,NED』g/BAD,AE

=2,DF=5,求菱形4%》的邊長(zhǎng).