2021年中考數(shù)學(xué)21 菱形（解析版）

專題21菱形

專題常識(shí)回顧

1.菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

2.菱形的性質(zhì)：（1）菱形的四條邊都相等；（2）菱形的兩條對(duì)角線彼此垂直，并且每一條對(duì)角線平分

一組對(duì)角。

3.菱形的判斷定理：

（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形：（2）對(duì)角線彼此垂直的平行四邊形是菱形；

（3）四條邊相等的四邊形是菱形。

4.菱形的面積:S^=底邊長(zhǎng)*高=兩條對(duì)角線乘積的一半

專題典型題考法及解析

【例題1】（2021內(nèi)蒙古赤峰）如圖，菱形48CD周長(zhǎng)為20,對(duì)角線4C、BD訂交于點(diǎn)。，E是CD

的中點(diǎn)，則OE的長(zhǎng)是（）

D

A.2.5B.3C.4D.5

【答案解析】A

【試題解答】???四邊形488為菱形，

:.CD=BC=詈=5,且。為BD的中點(diǎn)，

■:E為CD的中點(diǎn)，

：.OE為△8CO的中位線，

：.OE=^CB=2.5

【例題2】（2021廣西梧州）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,N/MZ）=60。，將菱形繞點(diǎn)A逆

時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)得到菱形AEFG,點(diǎn)E在AC上，EF與CD交于點(diǎn)P,則0P的長(zhǎng)是.

G

D.

【答案解析】拒-1

【試題解答】毗鄰必交AC于O,如圖所示：

?.?四邊形ABCD是菱形，

：.CD=AB=2,NBCD=NBAD=60°,ZACD=ZBAC=-ZBAD=30°,OA=OC,AC1.BD.

2

:.OB=-AB=\,

2

:.OA=gOB=￡,

AC=2y/3,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE=AB=2,N￡4G=NR4Z)=60。，

:.CE=AC-AE=243-2,

?.?四邊形A￡FG是菱形，:.EFHAG,

NCEP=NE4G=60。，

.?.ZC￡P(guān)+ZACD=90°,:.ZCPE=90°.

:.PE=-CE=y/3-\,PC=CPE=3-6

2

/.DP=CD-PC=2-(3-^)=73-1

專題典型練習(xí)題

一、挑選題

1.（2021四川瀘州）一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為6,面積為28,則該菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和為（）

A.8B.12C.16D.32

【答案解析】

【試題解答】如圖所示:

:.AO=CO=DO=BO=ACLBD,

?.?面積為28,

1-

???菱形的邊長(zhǎng)為6,

：.OD2+OA2=36（2）,

由①②兩式可得：（OO+AO）2=0。2+042+20。.40=36+28=64.

：.OD+AO=8,

A2（OD+AO）=16,即該菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和為16.

2.（2021?四川省綿陽市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形0ABe為菱形，。（0,0）,A（4,0）,

ZAOC=60。，則對(duì)角線交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）

D.（3,我

【答案解析】D

［試題解答］過點(diǎn)E作EFLx軸于點(diǎn)F,

?四邊形OA8C為菱形，NAOG60。,

:.Z.AOE=:ZT4OC=30°,ZFAE=60°,

VA(4,0),

：.OA=4,

/.AE=-AO=Ix4=2,

22

AF="AE=1,EF=/A爐—幺產(chǎn)=\/22—l2=x/3,

姝

二。尸=40/尸=4/=3,

:.E（3,4）.

3.（2021?四川省廣安市）如圖，在邊長(zhǎng)為的菱形A8CD中，ZB=30°5過點(diǎn)A作AE_LBC于

點(diǎn)E，現(xiàn)將△ABE沿直線AE翻折至△AFE的位置，AF與CD交于點(diǎn)G則CG等于（）

BECF

[T1y/3

A.6-1B.lC.-D,—

【答案解析】A

【試題解答】因?yàn)閆B=30°,AB=HAE1BC,

所以所以改=百-3,

22

則CF=3-B

又因?yàn)镃G//AB,

所以生="

ABBF

所以CG-V3-1.

4.（2021四川省雅安市）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,AC、BD是對(duì)角線，E、F、G、H

分別為AD、BD、BC、AC的中點(diǎn)，毗鄰EF、FG、GH、HE,則四邊形EFGH的形狀是（）

A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形

【答案解析】C

【試題解答】由點(diǎn)E、尸、G、”分別為隨意率性四邊形A8C3中A。、BD、BC、CA的中點(diǎn)，根

據(jù)三角形中位線性質(zhì)，得EF=GH=^AB,EH=FG=LCD.又由AB=CD,得EF=FG=GH=EH時(shí),

22

四邊形EFGH是菱形.

\?點(diǎn)E、F、G、，分別為隨意率性四邊形ABCO中A。、BD、BC、C4的中點(diǎn)，：.EF=GH=^.AB,

2

EH=FG=LCD,VAB=CD,；.EF=FG=GH=EH時(shí),四邊形EFGH是菱形，故選C.

2

5.（2021?貴州安順）如圖，在菱形ABC。中，按以下步驟作圖：

①分別以點(diǎn)C和點(diǎn)。為圓心，大于*CZ）的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧訂交于M、N兩點(diǎn);

②作直線MN,且MN恰好經(jīng)由點(diǎn)A,與CD交于點(diǎn)E,毗鄰8E.

B.S^ABE=2S^ADE

D.sinZCBE=^^-

C.若A8=4,貝l]8E=4聽

14

【答案解析】C

［試題解答】由作法得AE垂直平分CD.即CE=DE,AE1CD.

:四邊形A8CZ）為菱形,

：.AD=CD=2DE,AB〃DE,

在RdADE中,““。=墮=1_,

AD2

.,.ZD=60°,

ZABC=60°,所以4選項(xiàng)的結(jié)論正確；

SMBE=—AB'AE,SMDE=—DE'AE,

22

而AB=2OE,

?'?SAASE=2SAADE,所以8選項(xiàng)的結(jié)論正確；

若A8=4,貝l]OE=2,

.".AE=2y[2,

22=2

在RAABE中，BE=^4+(2A/3)^,所以。選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤;

作E4J_BC交BC的耽誤線于凡如圖，

設(shè)A8=4a,則CE=2a,BC=4a,BE=2\fla,

在△CHE中，ZECH=ZD=60°,

.'.CH=a,EH=\[yi,

；.s加NCBE=旦旦=1土=返1,所以。選項(xiàng)的結(jié)論正確.

BE277a14

6.（2021?貴州貴陽）如圖所示，菱形ABCD的周長(zhǎng)是4cvn,ZABC=60°,那么這個(gè)菱形的對(duì)角線AC

的長(zhǎng)是（）

A.\cmB.2cmC,3cmD.4cm

【答案解析】A

【試題解答】因?yàn)樗倪呅蜛BC。是菱形，AC是對(duì)角線，根據(jù)NA8C=60。,而AB=8C,易證△B4C

是等邊三角形，從而可求AC的長(zhǎng).

???四邊形ABC。是菱形，4c是對(duì)角線，

：.AB=BC=CD=AD,

ZABC=60°,

??.△ABC是等邊三角形，

：.AB=BC^AC,

:菱形ABCQ的周長(zhǎng)是4cm,

***AB=BC=AC=1cm.

7.（2021?貴州省銅仁市）如圖，四邊形ABC。為菱形，AB=2,ZDAB=60°,點(diǎn)、E、尸分別在邊DC、

BC上，且CE=LC￡>,CF^kcB,貝USACEF=（）

33

A.返B.返C.返D.立

2349

【答案解析】D.

【解答】：四邊形48co為菱形，AB=2,ZDAB=60°

：.AB=BC=CD=2,ZDCB=60°

?；CE=LCD,CF=LCB

33

/.CE=CF=—

3

:.ACEF為等邊三角形

:.S&CEF=?X由2=與

4、39

8.(2021?河北省)如圖，菱形ABCQ中，ZD=150°,則Nl=()

D

C

B

A.30°B.25°C.20°D.15°

【答案解析】D.

【解答】???四邊形48co是菱形，ZD=150°,

J.AB//CD,ZBAD=2Z1,

.?.ZBAD+ZD=180°,

.,.ZBAD=180°-150°=30°,

二、填空題

9.（2021廣西北部灣）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交與點(diǎn)O,過點(diǎn)A作AHLBC于點(diǎn)

H,已知BO=4,S/ABCD=24,則AH=.

【答案解析】—.

5

【試題解答】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理以及菱形面積公式，根據(jù)菱形面積=對(duì)角線積的一半可

求AC,再根據(jù)勾股定理求出BC,然后由菱形的面積即可得出成果.

:四邊形ABCD是菱形，

.".BO=DO=4,AO=CO,AC±BD,

；.BD=8.

11

?S菱形ABCD=-ACxBD=24,..AC=6,..OC=-AC=3,

22

：.BC=ylOB2+OC2=5,

24

S知ABCD=BCXAH=24,；.AH=一.

5

10.（2021內(nèi)蒙古通遼）如圖，在邊長(zhǎng)為3的菱形中，NA=60°,M是A。邊上的一點(diǎn)，且

AM=LADN是48邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿所在直線翻折得到AA'MN,毗鄰A'C.則

3

A'C長(zhǎng)度的最小值是.

【答案解析】V19-?

［試題解答］過點(diǎn)M作MHLCD交CD耽誤線于點(diǎn)H,毗鄰CM

3

：.AM=\,MD=2

?：CD〃AB、

???N”O(jiān)M=NA=6（r

，HD=^MD=1,HM=MHD=M

：.CH=4

'A/C=VMH2+CH2=疝

:將△AMN沿MN所在直線翻折得到△%'MN,

.\AM=A'M=\,

點(diǎn)4在以例為圓心，AM為半徑的圓上，

二當(dāng)點(diǎn)4在線段MC上時(shí)，4c長(zhǎng)度有最小值

.,.AC長(zhǎng)度的最小值=MC-M4=SW-1

11.（2021湖南常德）規(guī)定：參加一個(gè)四邊形有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四

邊形為廣義菱形.根據(jù)規(guī)定判斷下面四個(gè)結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊

形是廣義菱形；③對(duì)角線彼此垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N

的坐標(biāo)分別為（0,1）,（0,-1）,P是二次函數(shù)的圖象上在第一象限內(nèi)的隨意率性

4

點(diǎn)，PQ垂直直線y=-1于點(diǎn)Q,則四邊形PMNQ是廣義菱形.其中對(duì)的是.（填

序號(hào)）

【答案解析】①②④.

【試題解答】①根據(jù)廣義菱形的定義，正方形和菱形都有一組對(duì)邊平行，一組鄰邊相等，①正確；

②平行四邊形有一組對(duì)邊平行，沒有一組鄰邊相等，②錯(cuò)誤；

③由給出前提無法得到一組對(duì)邊平行，③錯(cuò)誤；

④設(shè)點(diǎn)上加），則。（肛-1）,

4

-'-MP=y/w2+（j-n,2-l）2=l1m2+lI，心和2+1,

?.?點(diǎn)尸在第一象限,

/n>09

得31，

:.MP=PQ,

又,：MN〃PQ,

四邊形PMNQ是廣義菱形.

④正確；

故答案為①②④.

12.（2021湖北十堰）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線4C,BD交于點(diǎn)O,E為8C的中點(diǎn)，若OE=

3,則菱形的周長(zhǎng)為.

【答案解析】24

【試題解答】???四邊形ABCO是菱形,

：.AB=BC=CD=AD,BO=DO,

?.?點(diǎn)E是8c的中點(diǎn)，

.?.OE是△BCD的中位線，

：.CD=2OE=2X.3=6,

...菱形ABC。的周長(zhǎng)=4義6=24

13.（2021北京市）把圖1中的菱形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)直角三角形分別拼

成如圖2,圖3所示的正方形，則圖1中菱形的面積為.

【答案解析】12

【試題解答】設(shè)圖1中小直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b（a>b）；

[a+b=5[a=3

則由圖2和圖3列得方程組人,,由加減消元法得L°,

二菱形的面積S=4x；ab=4xgx3x2=12.故填12.

14.（2021遼寧撫順）如圖，菱形ABCZ）的邊長(zhǎng)為4MZA=60°,3。是以點(diǎn)A為圓心，48長(zhǎng)為

半徑的弧，CO是以點(diǎn)8為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的弧，則陰影部分的面積為cm2.

D

【答案解析】4M.

【試題解答】毗鄰BD,判斷出△48。是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得ZABD=60°,再

求出NC8/）=60°,然后求出陰影部分的面積計(jì)算即可得解.

如圖，毗鄰8Q,

???四邊形48co是菱形，

：.AB=AD,

,.,ZA=60o,

.?.△AB。是等邊三角形，

AZABD=60°,

又,菱形的對(duì)邊4O〃8C,

二NA8c=180°-60°=120°,

：.ZCBD=\20°-60°=60°,

S陰影=S域形BDC-（S扁形ABD-SAABD）

-S^ABD,

15.(2021湖南岳陽)如圖，在菱形ABC。中，點(diǎn)E、F分別為A。、CD邊上的點(diǎn)，DE=DF,

求證：Z1=Z2.

【答案解析】見解析.

【試題解答】證明：???四邊形ABC。是菱形,

：.AD=CD,

'AD=CD

在△AOF和△(?￡＞《中，＜ND=ND,

DF=DE

/.(SAS),

/.Z1=Z2.

16.(2021?海南省)如圖，在邊長(zhǎng)為/的正方形ABC。中，E是邊C。的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AO上一

點(diǎn)(與點(diǎn)A、。不重合)，射線PE與8c的耽誤線交于點(diǎn)Q.

(1)求證：APOE絲

(2)過點(diǎn)、E作EF〃BC交PB于點(diǎn)F,連結(jié)AF,當(dāng)PB=PQ時(shí)，

①求證：四邊形AFEP是平行四邊形；

②請(qǐng)判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明來由.

D

口。

【試題解答】(1)由四邊形48。。是正方形知/￡>=NECQ=90。，由E是CO的中點(diǎn)知?！?CE,聯(lián)

合NDEP=NCEQ即可得證；

(2)①由P8=P。知/P8Q=NQ,聯(lián)合A￡>〃BC得/4P8=/尸8Q=/Q=NEP￡>,由△PDEg4

QCE知PE=QE,再由EF//BQ知PF=BF*根據(jù)RtAPAB中AF=尸尸=8尸知乙4?尸=NE4尸，從而得

/如F=NEPD據(jù)此即可證得PE//AF,從而得證；

②設(shè)AP=x,則PD=l-x,若四邊形4FEP是菱形，則PE=F=x,由P/A/jgWpF得關(guān)于工的

方程，解之求得x的值，從而得出四邊形AFE尸為菱形的情況.

【解答】(1)???四邊形ABCO是正方形，NO=/ECQ=90。，

是CO的中點(diǎn)，：.DE=CE,

又,：NDEP=NCEQ,

：./\PDE^^QCE(ASA)；

(2)@'：PB=PQ,:"PBQ=NQ,

\'AD//BC,

:.NAPB=NPBQ=NQ=NEPD,

'：△PDE絲△QCE,:.PE=QE,

,JEF//BQ,：.PF=BF,

...在中，AF=PF=BF,

：.ZAPF=ZPAF,

：.ZPAF^ZEPD,

：.PE//AF,

,JEF//BQ//AD,

四邊形AFEP是平行四邊形；

②當(dāng)AP=5時(shí)，四邊形AFEP是菱形.