五年級奧數(shù)專題二十：多邊形的面積

五年級奧數(shù)專題二十：多邊形的面積在前面的課程中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何計(jì)算三角形、正方形、長方形、平行四邊形、梯形、圓和扇形等基本圖形的面積。這些圖形的面積計(jì)算公式如下：正方形面積=邊長×邊長=a2，長方形面積=長×寬=ab，平行四邊形面積=底×高=ah，圓面積=半徑×半徑×π=πr2，扇形面積=半徑×半徑×π×圓心角的度數(shù)÷360°。然而，在實(shí)際問題中，我們通常會遇到由基本圖形組合、拼湊成的組合圖形，這些組合圖形的面積不能直接用公式計(jì)算。在本課程和后面的兩個課程中，我們將學(xué)習(xí)如何計(jì)算這些組合圖形的面積。例1在下圖中，小正方形DG的邊長為4厘米，組合圖形的周長為52厘米。我們需要計(jì)算陰影部分的面積。首先，我們需要計(jì)算出兩個正方形的邊長之和。由于組合圖形的周長并不等于兩個正方形的周長之和，因?yàn)镃G部分重合了，所以我們需要用組合圖形的周長減去DG，得到大、小正方形邊長之和的三倍，即（52-4）÷3=16（厘米）。由于兩個正方形的邊長之差為4厘米，我們可以計(jì)算出大正方形的邊長為（16+4）÷2=10（厘米），小正方形的邊長為（16-4）÷2=6（厘米）。最后，我們可以計(jì)算出陰影部分的面積。兩個正方形的面積之和減去三角形ABD與三角形BEF的面積，即：102+62-（10×10÷2）-（10+6）×6÷2=38（厘米2）。例2在下圖中，四邊形ABCD與DEFG都是平行四邊形。我們需要證明它們的面積相等。為了證明這個結(jié)論，我們添加一條輔助線CE（見右上圖），將兩個平行四邊形聯(lián)系在一起。通過三角形DCE，我們可以得出平行四邊形ABCD和DEFG的面積都是三角形DCE的兩倍。因此，它們的面積相等。例3在下圖中，一個腰長是20厘米的等腰三角形的面積是140厘米2。底邊上任意取一點(diǎn)P，連接PA和PB，并且垂直于底邊。設(shè)AP的長度為a厘米，BP的長度為b厘米。我們需要計(jì)算a+b的長度。根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，我們可以得出底邊的長度為40厘米。因此，三角形PAB的面積為（20×a÷2）+（20×b÷2）=10a+10b。另一方面，三角形PAB也是三角形PBC的一半。因此，三角形PBC的面積為（10a+10b）÷2=5a+5b。最后，根據(jù)勾股定理，我們可以得出：a2+（20÷2）2=P2，b2+（20÷2）2=P2，其中P為三角形PBC的斜邊長度。將上述兩個等式相減，得到：a2-b2=（20÷2）2=100。因此，（a+b）×（a-b）=100。由于a和b都是正數(shù)，因此a+b大于a-b。因此，我們可以將上式改寫為：a+b=100÷（a-b）。至此，我們已經(jīng)求出了a+b的值。三角形面積與a、b的關(guān)系可以通過連結(jié)等腰三角形的頂點(diǎn)和底邊上的點(diǎn)來解決。將等腰三角形分為兩個小三角形，它們的底都是20厘米，高分別為a厘米和b厘米。根據(jù)三角形的面積公式，兩個小三角形的面積分別為20×a÷2和20×b÷2。因?yàn)檫@兩個小三角形的面積之和等于原等腰三角形的面積，所以得到a+b=14（厘米）。在例2、例3中，通過添加輔助線使圖形間的關(guān)系更清晰，進(jìn)而解決問題。例如，在例4中，將三角形ABC的面積是10厘米2的圖形與三角形DEF聯(lián)系起來。通過連結(jié)FB，可以得出三角形ADF的面積是20（厘米2），同理可知，三角形BDE與三角形CEF的面積都等于20厘米2。因此，三角形DEF的面積等于70（厘米2）。在例5中，通過將已知條件畫成圖形，可以解決問題。將正方形的一邊截去15厘米，另一邊截去10厘米，得到一個長方形。該長方形的面積比原正方形的面積減少了1725厘米2。因此，原正方形的邊長等于75（厘米），剩下的長方形的面積等于3900（厘米2）。在例6中，通過已知的紅、黃、綠三塊同樣大小的正方形紙片的面積，可以求出正方形盒子底部的面積。將這三個紙片放在正方形盒的底部，它們之間互相疊合。已知露在外面的部分中，紅色面積是20，黃色面積是14，綠色面積是10。因此，正方形盒子底部的面積為44（厘米2）。1.等腰直角三角形的面積為20平方厘米，求其中最大的正方形的面積。解：設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為a，則其面積為a2/2=20，解得a=4√5。最大正方形的邊長為a/2=2√5，面積為20。2.平行四邊形ABCD的周長為75厘米，以BC為底的高為14厘米，以CD為底的高為16厘米。求平行四邊形ABCD的面積。解：設(shè)AB=x，AD=y，則周長為2(x+y)=75，解得x+y=37.5。平行四邊形的面積為底乘高，即S=(BC+AD)×h/2=(x+y)×h/2=(14+16)×37.5/2=375平方厘米。3.在一個正方形水池的周圍，環(huán)繞著一條寬2米的小路，小路的面積是80平方米，正方形水池的面積是多少平方米？解：設(shè)正方形水池的邊長為x，則小路的外邊長為x+4，小路的面積為(x+4)2-x2=80，解得x=6。正方形水池的面積為x2=36平方米。4.一個長方形被一線段分成三角形和梯形兩部分，它們的面積差是28平方厘米，梯形的上底長是多少厘米？解：設(shè)長方形的長為a，寬為b，線段的長度為x。則三角形的面積為ax/2，梯形的面積為(x+b)(a-x)/2，它們的面積差為(ax/2)-(x+b)(a-x)/2=28?；喌脁2-(a+b)x+28=0，解得x=4或7。當(dāng)x=7時，梯形的上底長為a-x=5厘米。5.在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。若三角形EDF的面積是1，則三角形ABC的面積是多少？解：連接AE、CD，設(shè)BC=a，AC=b，則AE=EC=(a+b)/3，CD=2(a+b)/3。由三角形面積公式可得ED=2/3×DF=2/3×(a+b)/3，EF=2/3×BE=2/3×(2a+b)/3。三角形EDF的面積為1，代入可得DF=(a+b)/2，BE=(2a+b)/2。由三角形面積公式可得ABC的面積為1/2×AC×BD=(a+b)2/18。6.一個長方形的周長是28厘米，如果它的長、寬都分別增加3厘米，那么得到的新長方形比原長方形的面積增加了多少平方