線性代數(shù)第一章

線性代數(shù)第1章行列式1.1排列1.2行列式的概念1.3行列式的性質(zhì)及其運(yùn)用1.4行列式的展開(kāi)1.5克萊姆法則1.6應(yīng)用實(shí)例——行列式在解析幾何中的應(yīng)用1.1排列由正整數(shù)組成1,2,3,…,n的一個(gè)沒(méi)用重復(fù)數(shù)字的n元有序數(shù)組，稱為一個(gè)n級(jí)排列，簡(jiǎn)稱排列，記作i1i2…in。n個(gè)不同元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，稱為排列數(shù)。將數(shù)字按從小到大順序排列構(gòu)成的n級(jí)排列1234…n，稱為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)排列或自然排列。定義1n級(jí)排列的排列數(shù)為n！定義2在一個(gè)n級(jí)排列i1i2…it…is…in中，如果有較大的數(shù)it排在較小的數(shù)is的前面（it>is），則稱與構(gòu)成一個(gè)逆序。一個(gè)n級(jí)排列中逆序的總數(shù)，稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記作(i1i2…in)。逆序數(shù)的求法：設(shè)在一個(gè)n級(jí)排列i1i2…in中，所有比ik（k=1,2,…,n）大且排在ik前面的數(shù)共有tk個(gè)，則ik的逆序數(shù)個(gè)數(shù)為tk．該排列中所有自然數(shù)的逆序數(shù)個(gè)數(shù)之和就是這個(gè)排列的逆序數(shù)，即例1求下列排列的逆序數(shù)．（1）63724581；（2）n(n-1)…321.解：（1）；（2）定義3若排列i1i2…in的逆序數(shù)

(i1i2…in)是奇數(shù)，則此排列稱為奇排列；若

(i1i2…in)逆序數(shù)是偶數(shù)，則此排列稱為偶排列。定義4在一個(gè)n級(jí)排列i1…is…it…in中，如果將其中某兩個(gè)數(shù)is與it對(duì)調(diào)位置，其余各數(shù)位置不變，得到一個(gè)新的n級(jí)排列，這樣的變換稱為一次對(duì)換，記作(is,it)。將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，稱為相鄰對(duì)換，簡(jiǎn)稱鄰換。三個(gè)定理定理1任一排列經(jīng)過(guò)一次對(duì)換后，排列的奇偶性會(huì)發(fā)生改變。定理2在所有的n級(jí)排列中（n…2），奇排列與偶排列的個(gè)數(shù)相等，各為個(gè)。定理3

任一n級(jí)排列i1i2…in都可以通過(guò)一系列對(duì)換調(diào)成自然排列12…n，且奇排列調(diào)成自然排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成自然排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)。三個(gè)定理1.2行列式的概念1.2.1二階行列式1.2.1二階行列式定義1其中數(shù)aij稱為行列式的元素，元素aij的第一個(gè)下標(biāo)i稱為行標(biāo)，表示這個(gè)元素所在的行數(shù)；第二個(gè)下標(biāo)j稱為列標(biāo)，表示這個(gè)元素所在的列數(shù)。1.2.1二階行列式定義11.2.1二階行列式例題1.2.1二階行列式例題1.2.2三階行列式定義21.2.2三階行列式計(jì)算1.2.2三階行列式計(jì)算1.2.2三階行列式例題1.2.2三階行列式例題1.2.2三階行列式例題1.2.3n階行列式定義31.2.3n階行列式例題1.2.3n階行列式例題1.2.3n階行列式例題1.2.4特殊行列式下面給出經(jīng)常會(huì)碰到的一些特殊行列式:1.2.4特殊行列式定義41.2.4特殊行列式定義41.3行列式的性質(zhì)及其運(yùn)用1.3.1行列式的性質(zhì)定義11.3.1行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1

行列D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT的值相等。性質(zhì)2交換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。推論1如果行列式中有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式的值等于零。推論2如果行列式中有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零。1.3.1行列式的性質(zhì)性質(zhì)1.3.1行列式的性質(zhì)性質(zhì)1.3.1行列式的性質(zhì)性質(zhì)1.3.1行列式的性質(zhì)性質(zhì)1.3.1行列式的性質(zhì)例題1.3.2行列式性質(zhì)的運(yùn)用例題

理論上，可以利用行列式的性質(zhì)將行列式化為三角行列式（上、下三角行列式），再通過(guò)三角行列式計(jì)算出行列式的值。1.3.2行列式性質(zhì)的運(yùn)用例題1.3.2行列式性質(zhì)的運(yùn)用例題1.3.2行列式性質(zhì)的運(yùn)用例題1.3.2行列式性質(zhì)的運(yùn)用例題1.4行列式的展開(kāi)1.4.1余子式與代數(shù)余子式定義11.4.1余子式與代數(shù)余子式例題1.4.2行列式的展開(kāi)定理定理1——展開(kāi)定理1.4.2行列式的展開(kāi)定理推論1行列式計(jì)算的核心思想為“造零”“降階”．1.4.3行列式展開(kāi)定理的運(yùn)用例題1.4.3行列式展開(kāi)定理的運(yùn)用例題1.4.3行列式展開(kāi)定理的運(yùn)用例題1.4.3行列式展開(kāi)定理的運(yùn)用例題1.4.3行列式展開(kāi)定理的運(yùn)用例題1.4.3行列式展開(kāi)定理的運(yùn)用例題1.4.3行列式展開(kāi)定理的運(yùn)用例題拓展閱讀1.4.3行列式展開(kāi)定理的運(yùn)用例題1.4.3行列式展開(kāi)定理的運(yùn)用例題1.5克萊姆法則