概率統(tǒng)計(jì)講課稿第二章(第一,二,三節(jié))

1第二章隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)隨機(jī)變量為了更深入地研究隨機(jī)事件及其果數(shù)量化(或數(shù)值化，數(shù)字化).為此,先考察幾個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的例子.E:投擲一枚勻稱的硬幣,觀察它哪X=〈,10,當(dāng)e=反面則X是定義在S上的函數(shù),用函數(shù)X取面或反面的出現(xiàn)是隨機(jī)1的,所以X=1或X=0也是隨機(jī)取到的,因而稱此1X2E:甲乙兩人下一盤棋,觀察比賽E是則X是定義在S上的函數(shù),用函數(shù)X的E：記錄某電話交換2臺(tái)在一天內(nèi)接叫次數(shù)，試驗(yàn)E的樣本空間是，試驗(yàn)E的樣本空間是S={t|t40}={e}，我們從上4面幾個(gè)例子看到,用數(shù)量來描述試驗(yàn)的全部結(jié)果,對(duì)我們研究隨機(jī)試驗(yàn)是方便的.因此,有必要把隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果都轉(zhuǎn)化成數(shù)量來表示.這就有必要引入一個(gè)重要概念--隨機(jī)變量.3定義1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為如果對(duì)于每一個(gè)樣本點(diǎn)eS，都有并且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，(即要求X(e)是可測(cè)函數(shù))，{Xx}有確定的概率，則稱這樣的實(shí)值變量X=X(e)為隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為X。通常用大寫英文字母例如，上述分別定義于樣本空間E,E,E,E上的函數(shù)X,X,X,X都是隨4樣本空間S={e}上的一個(gè)可測(cè)函數(shù)。4由于e在試驗(yàn)E中出現(xiàn)是隨機(jī)的，所以實(shí)數(shù)X(e)的取值相對(duì)于試驗(yàn)E來說注意定義在樣本空間S={e}上的任一個(gè)函數(shù)，未必是隨機(jī)變量。如在試驗(yàn)E中，則隨機(jī)事件A,B,C可分別表示如A={X20}；B={X>8}；的概率問題就轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量取值的我們今后學(xué)習(xí)研究的主要對(duì)象。5不可測(cè)事件存在性的社會(huì)學(xué)證明：“深(神)不可測(cè)”，“高深莫測(cè)”，場(chǎng)景。我們通常遇到的大都是可測(cè)的。外延，就能理解“隨機(jī)變量”。第二節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)研究隨機(jī)變量X，不但要知道它取6述它取值的概率規(guī)律就成為我們下面道了，那么對(duì)X取值于一切有限，無限能用概率的性質(zhì)計(jì)算出來。定義2設(shè)X為隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，令稱F(x)為隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù),簡(jiǎn)稱分布函數(shù),記為X~F(x).就是說,隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)在任意實(shí)數(shù)x處的值等于X在區(qū)間e考生”={e}，X(e)表示考生的總分?jǐn)?shù)，制定錄取線，報(bào)志愿時(shí)7對(duì)一切實(shí)數(shù)x對(duì)一切實(shí)數(shù)xF(x)=P{Xx}。分布函數(shù)F(x)具有以下基本性質(zhì)：(1)取值范圍:0F(x)1,且x+(2)單調(diào)不減,對(duì)于x<x,有F(x)F(x);12(由于{Xx1}仁{X2x},F(x)=P{X1x}P{X2x}=F(x))122(3)右連續(xù),F(x+)=limF(x)=F(x),00xx+00.00(記號(hào):右極限f(x+)=limf(x))xxxx+0反之，若定義在(,+)上的實(shí)8則F(x)一定是某隨機(jī)變量的的分布分布函數(shù)F(x)還具有下列一些性(4)對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,a<b,事實(shí)上,P{a<Xb}=P({Xb}{Xa})=P{Xb}P{Xa}0xx00分布函數(shù)舉例出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).令(0,當(dāng)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)X=〈,1,當(dāng)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)則X是一個(gè)隨機(jī)變量.求X的分布函9數(shù).數(shù)且根據(jù)題意,P{X=0}=,P{X=1}=222于是得到隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為.例2已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為Fx=〈-x,Fx=〈-x,x)+wx)+wx)0+x)0+Fxx;11=1-=,設(shè)射擊一定中靶,且擊中靶上任一與圓靶同心的圓盤的概率與該圓靶的面積成正比.以X表示彈著點(diǎn)至靶心的距離,試求機(jī)變量X的分布函數(shù).解根據(jù)題意,X可能取[0,1]上的任何實(shí)數(shù).總上所述,即得X的分布函數(shù)為||顯然,F(x)是一個(gè)連續(xù)函數(shù).當(dāng)分布函數(shù)在點(diǎn)x=a處連續(xù)時(shí),x)a+x)a-由上面例題的實(shí)際情況,{X=a}是有可這一事實(shí)告訴我們,P(A)=0,未必隨機(jī)變量按其取值不同,可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量及其它類隨機(jī)變量.我們只討論離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量.第三節(jié)離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義3若隨機(jī)變量X只可能取有X取各個(gè)可能值的概率ij稱為離k散型隨機(jī)k變量X概率分布(或分布律,或分布列).離散型隨機(jī)變量例子例如,從一批產(chǎn)品中抽取n件,抽到對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊,直到擊中目標(biāo)為止,記X為所需射擊次數(shù),X只能取可是離散型隨機(jī)變量X的分布律.離散型隨機(jī)變量X的分布律的表示方法:(1)公式法,(2)列表法或矩陣kkXxx…x…12kPpp…p…12k或用矩陣表示.離散型隨機(jī)變量X的分布律具有kkkk事實(shí)上,因?yàn)閤,x,...,x,...是隨機(jī)變所以{X=x}=S,kk且{X=x},{X=x},...,{X=x},...是kk利用概率的可加性即有1=P{S}=P({X=x})kk=P{X=x}=p.kkkk上式中，當(dāng)X取得有限個(gè)可能值時(shí)，反之，可以證明,任意一個(gè)具有(1)和(2)兩條性質(zhì)的一串?dāng)?shù)p,p,...,p,...一分布律和分布函數(shù)可互相確定的方分布律P{X=x}=p,k=1,2^,則F(x)=P{Xx}=p,x;k:xx(事實(shí)上,F(x)={Xx}=P({X=x})kkxxk=P{X=x}=p)kkxxxx(2)對(duì)任k意區(qū)間I,有kP{XI}=P{X=x}=p;kxIk從分布函數(shù)kkxIkkF(x)=P{Xx},x,可以確定分布律p=P{X=x}=F(x)F(x),kkkkkkxxk由此可見,離散型隨機(jī)變量X的分布律不但具有分布函數(shù)的相同作用,而且它比分布函數(shù)更直接且簡(jiǎn)便地描述了隨機(jī)變量的取值規(guī)律.所以,今后我們用分布律來描述離散型隨機(jī)變量的取值規(guī)律.得白球?yàn)橹?，求取球次?shù)X的概率分設(shè)A=第i次取球時(shí)得白球,iP(A)P(A)=,P(A)=,i5i5根據(jù)題意,事件{X=k}表示“前(k1)次取出的球都是黑球，第k次才取出白球”=A...AA；如果每次取出的球總立,所以X的分布律k1k=(=()k1,55(k=1,2,3,…)入編號(hào)為1，2，3，4的四只盒中(每盒容納球的個(gè)數(shù)不限)。設(shè)X為有球的(1)隨機(jī)變量X的分布律與分布函(2)P{|X|2}。P{X=1}=13=1；43646464即隨機(jī)變量X的分布律為XX1234P17X的分布函數(shù)為1781=+==.盒容納球的個(gè)數(shù)不限)，以X表示有球律與分布函數(shù).解根據(jù)題意知，隨機(jī)變量X可能P{X=3}=13=1,27P{X=2}=2313=7,7即隨機(jī)變量X的分布律為XP12731X的分布函數(shù)為例4某射手欲對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊,每次一發(fā)子彈.設(shè)他每次射中記X為停止射擊時(shí),射手所消耗的子彈數(shù)目,求隨機(jī)變量X的分布律.解根據(jù)題意知，隨機(jī)變量X可能A=第i次射擊時(shí)射中目標(biāo),123123341234{X=5}=