第三章廣義反演法

第三章廣義反演法第1頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容1、廣義逆矩陣的概念;2、奇異值分解（SVD）和自然逆;3、廣義反演法；4、數(shù)據(jù)分辨矩陣；5、參數(shù)分辨矩陣；6、特征值的應(yīng)用；7、分辨力高低和方差大小的測度；8、最佳折衷解；第2頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1、廣義逆矩陣的概念前面我們討論了解線性反演問題的長度法，無疑還可以定義其他各式各樣的長度，比如范數(shù)等。但是，由于其他范數(shù)解的應(yīng)用并非如此廣泛，因而，沒有必要在這里進一步加以論述了。

這里我們將從另一個角度，即廣義逆矩陣的角度討論線性反演問題，并稱基于廣義逆矩陣建立起來的線性反演法叫廣義反演法（Gener-alizedInversion），或廣義線性反演法（GeneralizedLinearInversion，縮寫為GLI）。第3頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)線性反演問題：如果把G看成一個映射算子，那么正演問題就是將模型空間中的m模型通過算子G映射到數(shù)據(jù)空間中的觀測數(shù)據(jù)d通過映射到模型空間中的模型m的一種運算。第4頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由矩陣?yán)碚摽芍鬐是非奇異矩陣，那么。這里是G的逆矩陣，且有：第6頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月在G是奇異矩陣的情況下，G的逆并不存在，故我們稱為矩陣G的廣義逆。所謂廣義逆是矩陣G在常規(guī)意義下的逆之推廣。普通逆矩陣只是廣義逆矩陣的一種特殊形式。顯然，在奇異矩陣情況下，：第7頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2、奇異值分解（SVD）和自然逆為了更好地了解在線性反演中應(yīng)用相當(dāng)普遍的奇異矩陣的奇異值分解（SingularValueDecomposition,縮寫為SVD），我們先從矩陣分解講起。

第8頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月-----實對稱矩陣的正交分解;任何一個實對稱矩陣G均可分解為三個矩陣之連乘積，第一和第三個矩陣分別為G的特征向量矩陣U和它的轉(zhuǎn)置，而第二個矩陣則是G的特征值構(gòu)成的對角線矩陣。第9頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月------非奇異且非對稱矩陣的分解;第10頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月-----Lanczos的奇異值分解;

（3.25）任何一個MxN階的矩陣G，均可分解為(3.25）式，即可分解為三個矩陣之乘積。第11頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月?。海?.29）為矩陣G的逆算子，它被Lanczos稱為“自然逆”（naturalinverse）。Jackson又稱它為Lanczos逆。爾后，大多數(shù)學(xué)者（如Aki），包括Penros在內(nèi)都把它稱為廣義逆。而把基于（3.29）式建立起來的解線性反演問題的方法統(tǒng)稱為廣義反演法.第12頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月因而Gm=d的解為：可以證明（3.29）式定義的自然逆滿足Penros給出的四個條件。第13頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月3、廣義反演法；在這節(jié)里，我們只涉及基于Lanczos自然逆而建立起來的廣義反演法，而不討論基于一般廣義逆（即不全部滿足Penros定義的四個條件的逆）的所謂廣義反演法。第14頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月3、廣義反演法；在這節(jié)里，我們只涉及基于Lanczos自然逆而建立起來的廣義反演法，而不討論基于一般廣義逆（即不全部滿足Penros定義的四個條件的逆）的所謂廣義反演法。第15頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)線性反演問題為：Gm=d根據(jù)自然逆的定義，有：下面，我們分如下四種情況分別討論。第16頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）當(dāng)M=N=r時，和均不存在，即和均不存在，即和都是標(biāo)準(zhǔn)的正交矩陣且：因此，第17頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）當(dāng)時，Gm=d是超定方程。不復(fù)存在，但存在，此時是正交矩陣，即：而U，是半正交矩陣，即：第18頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，在這種情況下，廣義反演法的解為：第19頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）當(dāng)時，Gm=d是欠定方程。此時，不復(fù)存在，而存在。是正交矩陣，且：而是半正交矩陣，即：第20頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，廣義反演法的解為：這就是欠定問題的最小長度解，而且解是惟一的。第21頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）當(dāng)時，和都存在。因此，可以把廣義反演解看成是同時在U空間極小和在V空間極小的結(jié)果。為了幫助大家理解奇異值分解和廣義逆的意義，現(xiàn)在分析兩個簡單的例子。例1:例2:第22頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月4、數(shù)據(jù)分辨矩陣；用廣義反演法解線性反演問題，不但可以求得一個擬合觀測數(shù)據(jù)的模型m，而且可以獲得一些與觀測數(shù)據(jù)d和模型參數(shù)m有關(guān)的輔助信息，例如，數(shù)據(jù)分辨矩陣（dataresolutionmatrix）等。第23頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月假定已經(jīng)求得模型，即：這里，用表示用廣義反演法構(gòu)制的模型，以示和真實模型m之區(qū)別。試問，能擬合觀測數(shù)據(jù)嗎？也就是說，把代入線性方程D=Gm能獲得與d相同的重建數(shù)據(jù)嗎？第24頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月若用表示重建數(shù)據(jù)，則有：式中：是階方陣，叫數(shù)據(jù)分辨矩陣（dataresolutionmatrix）或信息密度矩陣（informationdensitymatrix）。它是擬合觀測數(shù)據(jù)好壞程度的標(biāo)志，第25頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示，矩陣F的第i行中諸要素越接近于1，則越接近于，即分辨力越高，因為：第26頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由于數(shù)據(jù)分辨矩陣F主對角線要素表明接近的程度，因此又定義F的對角線矩陣，即：為重要性（importance）矩陣。第27頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月5、參數(shù)分辨矩陣；由廣義反演法構(gòu)制出來的模型是真正的模型m嗎？為回答這一問題，可先將代入上式，則得：式中：R為階方陣，R稱之為參數(shù)分辨矩陣（parameterresolutionmatrix）或模型分辨矩陣（modelresolutionmatrix）。它是用廣義反演法構(gòu)制的模型和真正地球物理模型m接近程度的一種重要標(biāo)志。第28頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時，。當(dāng)時，即在純超定情況下，，才有。這時R的分辨力最高。當(dāng)存在時，。所以。的每一個要素,均可視為m各要素加權(quán)的結(jié)果，這是因為：第29頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月如果，雖有峰值，但變化比較緩慢，或者其峰值不在R的主對角線上，則R的分辨力不高。分辨力越低，說明模型參數(shù)之間越存在相關(guān)。和數(shù)據(jù)分辨矩陣相似，參數(shù)分辨矩陣也只是數(shù)據(jù)核G和反演時所加先驗信息的函數(shù)，而與觀測數(shù)據(jù)d無關(guān)，因此，R矩陣也是實驗設(shè)計的重要依據(jù)。同樣，可以定義：為分辨核。越小，R矩陣的分辨能力越高。一般取其倒數(shù)作為分辨能力的（欲稱分辨力）的定量度量。第30頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月6、特征值的應(yīng)用；在這一節(jié)中，將要論述利用廣義反演提供了一些有用的、重要的輔助信息——從特征值所獲取的輔助信息。第31頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月1.特征值對觀測數(shù)據(jù)和模型參數(shù)的影響將數(shù)據(jù)核矩陣G作奇異值分解，并代入數(shù)據(jù)方程得：如用求和形式書寫，則有：特征值越大，其對重建觀測數(shù)據(jù)的貢獻越大；相反越小，則對的貢獻也越小。當(dāng)反演中大小特征值相差非常懸殊時，小特征值對重建觀測數(shù)據(jù)幾乎毫無作用，甚至將它們?nèi)サ粢膊粫绊懹^測數(shù)據(jù)的重建精度。第32頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月另一方面，有：其求和形式為：其結(jié)論和完全相反，即特征值越小，它對構(gòu)制的模型參數(shù)影響越大。第33頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月2.解的方差如果，觀測數(shù)據(jù)具有誤差，當(dāng)然用廣義反演法所得的結(jié)果也有誤差，且滿足：因此，解的協(xié)方差矩陣：

第34頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月如果觀測數(shù)據(jù)是統(tǒng)計且獨立的，并有相同的方差，則：故單位協(xié)方差矩陣為：

第35頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月例

解如下聯(lián)立方程：

第36頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，這是三個未知數(shù)三個方程式聯(lián)立方程。其中：只與第一式有關(guān)，各有無限多解，而與第二、第三式有關(guān)，它們卻是矛盾方程，無一般意義下的解，現(xiàn)在用廣義反演法解之，并分析由此而獲得的一些輔助信息，如數(shù)據(jù)分辨矩陣、參數(shù)分辯矩陣和解的方差等。若將上式寫成矩陣。即：

第37頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月因此有：第38頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由于和的特征值完全相同，不難求得它們分別為2，2。顯然，此時是一個混定問題。因此，矩陣G之奇異值分別是：

第39頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月與對稱矩陣和相對應(yīng)的特征向量U和V分別是：第40頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，這是一個混定問題，即。此時，由于矩陣和的秩都是2。據(jù)此：第41頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)奇異值分解，可得：第42頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月因而有：能擬合觀測數(shù)據(jù)嗎？將代入數(shù)據(jù)方程，可得：第43頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，與d并不完全相同，這是因為數(shù)據(jù)分辨矩陣：即F不是單位矩陣，所以由：第44頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月表明，與真值相差甚遠。與真實的模型相差多大？可將d=Gm代入：中進行分析，式中：第45頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月可得：這就說明，，而。由此看來，根據(jù)廣義反演法，可以惟一地確定，而不能惟一地確定和的數(shù)值大小，只能求得它們的平均值。第46頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月至于m的協(xié)方差：第47頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月7、分辨力高低和方差大小的測度；前面討論了利用觀測數(shù)據(jù)的方差和模型的長度為最小這一原則求取線性反演問題的長度解，下面將定義一種利用數(shù)據(jù)分辨矩陣F，參數(shù)分辨矩陣R和協(xié)方差矩陣計算模型參數(shù)的辦法。第48頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月由于分辯矩陣（F，R）接近單位矩陣時，說明其分辨力最高，因此一種最好辦法是利用非對角線元素之大?。ɑ蚱湔股烨闆r）來描述分辯力之高低?，F(xiàn)以英文Spread表示展伸系數(shù)，則有：第49頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月這種展伸準(zhǔn)則有時也叫狄里西萊準(zhǔn)則。第50頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月把目標(biāo)函數(shù)寫為：并極小之，可以得到模型的最佳解，式中，為相應(yīng)項的加權(quán)系數(shù)。第51頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月8、最佳折衷解在大多數(shù)地球物理反演問題中，矩陣G的條件數(shù)都很差，最大與最小奇異值有時相差幾十個級次。我們知道，小的奇異值會引起模型參數(shù)的最大誤差，卻能保證模型參數(shù)的高分辨能力。分辨率和方差是一對矛盾，分辨率高必然方差大；反之，分辨率低、方差也小，二者不可兼得，只能取其折衷。或者以犧牲一些分辨率為代價換取較低的方差；或者以較大的方差為代價，獲得較高的分辨率。第52頁，課件共58頁，創(chuàng)作于2023年2月Wiggins和Jockson（1972）建議，用廣義反演法求解時，設(shè)一個最大允許方差t，使即可截斷或摒棄小于的特征值。這里t為“方差門檻”值。若特征值按大小順序排列，即其中僅保留k個大特征值，而截斷個小特征值。顯然，應(yīng)按以下方法計算觀測數(shù)據(jù)的有效自由度q，即有：

第53頁，課件共58頁，創(chuàng)作于20