第三章廣義反演法

第三章廣義反演法第1頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容1、廣義逆矩陣的概念;2、奇異值分解（SVD）和自然逆;3、廣義反演法；4、數(shù)據(jù)分辨矩陣；5、參數(shù)分辨矩陣；6、特征值的應(yīng)用；7、分辨力高低和方差大小的測(cè)度；8、最佳折衷解；第2頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1、廣義逆矩陣的概念前面我們討論了解線性反演問(wèn)題的長(zhǎng)度法，無(wú)疑還可以定義其他各式各樣的長(zhǎng)度，比如范數(shù)等。但是，由于其他范數(shù)解的應(yīng)用并非如此廣泛，因而，沒(méi)有必要在這里進(jìn)一步加以論述了。

這里我們將從另一個(gè)角度，即廣義逆矩陣的角度討論線性反演問(wèn)題，并稱基于廣義逆矩陣建立起來(lái)的線性反演法叫廣義反演法（Gener-alizedInversion），或廣義線性反演法（GeneralizedLinearInversion，縮寫(xiě)為GLI）。第3頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)線性反演問(wèn)題：如果把G看成一個(gè)映射算子，那么正演問(wèn)題就是將模型空間中的m模型通過(guò)算子G映射到數(shù)據(jù)空間中的觀測(cè)數(shù)據(jù)d通過(guò)映射到模型空間中的模型m的一種運(yùn)算。第4頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第5頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由矩陣?yán)碚摽芍?，若G是非奇異矩陣，那么。這里是G的逆矩陣，且有：第6頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在G是奇異矩陣的情況下，G的逆并不存在，故我們稱為矩陣G的廣義逆。所謂廣義逆是矩陣G在常規(guī)意義下的逆之推廣。普通逆矩陣只是廣義逆矩陣的一種特殊形式。顯然，在奇異矩陣情況下，：第7頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、奇異值分解（SVD）和自然逆為了更好地了解在線性反演中應(yīng)用相當(dāng)普遍的奇異矩陣的奇異值分解（SingularValueDecomposition,縮寫(xiě)為SVD），我們先從矩陣分解講起。

第8頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月-----實(shí)對(duì)稱矩陣的正交分解;任何一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣G均可分解為三個(gè)矩陣之連乘積，第一和第三個(gè)矩陣分別為G的特征向量矩陣U和它的轉(zhuǎn)置，而第二個(gè)矩陣則是G的特征值構(gòu)成的對(duì)角線矩陣。第9頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月------非奇異且非對(duì)稱矩陣的分解;第10頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月-----Lanczos的奇異值分解;

（3.25）任何一個(gè)MxN階的矩陣G，均可分解為(3.25）式，即可分解為三個(gè)矩陣之乘積。第11頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月?。海?.29）為矩陣G的逆算子，它被Lanczos稱為“自然逆”（naturalinverse）。Jackson又稱它為L(zhǎng)anczos逆。爾后，大多數(shù)學(xué)者（如Aki），包括Penros在內(nèi)都把它稱為廣義逆。而把基于（3.29）式建立起來(lái)的解線性反演問(wèn)題的方法統(tǒng)稱為廣義反演法.第12頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因而Gm=d的解為：可以證明（3.29）式定義的自然逆滿足Penros給出的四個(gè)條件。第13頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、廣義反演法；在這節(jié)里，我們只涉及基于Lanczos自然逆而建立起來(lái)的廣義反演法，而不討論基于一般廣義逆（即不全部滿足Penros定義的四個(gè)條件的逆）的所謂廣義反演法。第14頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3、廣義反演法；在這節(jié)里，我們只涉及基于Lanczos自然逆而建立起來(lái)的廣義反演法，而不討論基于一般廣義逆（即不全部滿足Penros定義的四個(gè)條件的逆）的所謂廣義反演法。第15頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)線性反演問(wèn)題為：Gm=d根據(jù)自然逆的定義，有：下面，我們分如下四種情況分別討論。第16頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）當(dāng)M=N=r時(shí)，和均不存在，即和均不存在，即和都是標(biāo)準(zhǔn)的正交矩陣且：因此，第17頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）當(dāng)時(shí)，Gm=d是超定方程。不復(fù)存在，但存在，此時(shí)是正交矩陣，即：而U，是半正交矩陣，即：第18頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此，在這種情況下，廣義反演法的解為：第19頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）當(dāng)時(shí)，Gm=d是欠定方程。此時(shí)，不復(fù)存在，而存在。是正交矩陣，且：而是半正交矩陣，即：第20頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此，廣義反演法的解為：這就是欠定問(wèn)題的最小長(zhǎng)度解，而且解是惟一的。第21頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（4）當(dāng)時(shí)，和都存在。因此，可以把廣義反演解看成是同時(shí)在U空間極小和在V空間極小的結(jié)果。為了幫助大家理解奇異值分解和廣義逆的意義，現(xiàn)在分析兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子。例1:例2:第22頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4、數(shù)據(jù)分辨矩陣；用廣義反演法解線性反演問(wèn)題，不但可以求得一個(gè)擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的模型m，而且可以獲得一些與觀測(cè)數(shù)據(jù)d和模型參數(shù)m有關(guān)的輔助信息，例如，數(shù)據(jù)分辨矩陣（dataresolutionmatrix）等。第23頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月假定已經(jīng)求得模型，即：這里，用表示用廣義反演法構(gòu)制的模型，以示和真實(shí)模型m之區(qū)別。試問(wèn)，能擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)嗎？也就是說(shuō)，把代入線性方程D=Gm能獲得與d相同的重建數(shù)據(jù)嗎？第24頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若用表示重建數(shù)據(jù)，則有：式中：是階方陣，叫數(shù)據(jù)分辨矩陣（dataresolutionmatrix）或信息密度矩陣（informationdensitymatrix）。它是擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)好壞程度的標(biāo)志，第25頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示，矩陣F的第i行中諸要素越接近于1，則越接近于，即分辨力越高，因?yàn)椋旱?6頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于數(shù)據(jù)分辨矩陣F主對(duì)角線要素表明接近的程度，因此又定義F的對(duì)角線矩陣，即：為重要性（importance）矩陣。第27頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5、參數(shù)分辨矩陣；由廣義反演法構(gòu)制出來(lái)的模型是真正的模型m嗎？為回答這一問(wèn)題，可先將代入上式，則得：式中：R為階方陣，R稱之為參數(shù)分辨矩陣（parameterresolutionmatrix）或模型分辨矩陣（modelresolutionmatrix）。它是用廣義反演法構(gòu)制的模型和真正地球物理模型m接近程度的一種重要標(biāo)志。第28頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，即在純超定情況下，，才有。這時(shí)R的分辨力最高。當(dāng)存在時(shí)，。所以。的每一個(gè)要素,均可視為m各要素加權(quán)的結(jié)果，這是因?yàn)椋旱?9頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果，雖有峰值，但變化比較緩慢，或者其峰值不在R的主對(duì)角線上，則R的分辨力不高。分辨力越低，說(shuō)明模型參數(shù)之間越存在相關(guān)。和數(shù)據(jù)分辨矩陣相似，參數(shù)分辨矩陣也只是數(shù)據(jù)核G和反演時(shí)所加先驗(yàn)信息的函數(shù)，而與觀測(cè)數(shù)據(jù)d無(wú)關(guān)，因此，R矩陣也是實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。同樣，可以定義：為分辨核。越小，R矩陣的分辨能力越高。一般取其倒數(shù)作為分辨能力的（欲稱分辨力）的定量度量。第30頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6、特征值的應(yīng)用；在這一節(jié)中，將要論述利用廣義反演提供了一些有用的、重要的輔助信息——從特征值所獲取的輔助信息。第31頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.特征值對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)和模型參數(shù)的影響將數(shù)據(jù)核矩陣G作奇異值分解，并代入數(shù)據(jù)方程得：如用求和形式書(shū)寫(xiě)，則有：特征值越大，其對(duì)重建觀測(cè)數(shù)據(jù)的貢獻(xiàn)越大；相反越小，則對(duì)的貢獻(xiàn)也越小。當(dāng)反演中大小特征值相差非常懸殊時(shí)，小特征值對(duì)重建觀測(cè)數(shù)據(jù)幾乎毫無(wú)作用，甚至將它們?nèi)サ粢膊粫?huì)影響觀測(cè)數(shù)據(jù)的重建精度。第32頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月另一方面，有：其求和形式為：其結(jié)論和完全相反，即特征值越小，它對(duì)構(gòu)制的模型參數(shù)影響越大。第33頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.解的方差如果，觀測(cè)數(shù)據(jù)具有誤差，當(dāng)然用廣義反演法所得的結(jié)果也有誤差，且滿足：因此，解的協(xié)方差矩陣：

第34頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果觀測(cè)數(shù)據(jù)是統(tǒng)計(jì)且獨(dú)立的，并有相同的方差，則：故單位協(xié)方差矩陣為：

第35頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例

解如下聯(lián)立方程：

第36頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月顯然，這是三個(gè)未知數(shù)三個(gè)方程式聯(lián)立方程。其中：只與第一式有關(guān)，各有無(wú)限多解，而與第二、第三式有關(guān)，它們卻是矛盾方程，無(wú)一般意義下的解，現(xiàn)在用廣義反演法解之，并分析由此而獲得的一些輔助信息，如數(shù)據(jù)分辨矩陣、參數(shù)分辯矩陣和解的方差等。若將上式寫(xiě)成矩陣。即：

第37頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因此有：第38頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于和的特征值完全相同，不難求得它們分別為2，2。顯然，此時(shí)是一個(gè)混定問(wèn)題。因此，矩陣G之奇異值分別是：

第39頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月與對(duì)稱矩陣和相對(duì)應(yīng)的特征向量U和V分別是：第40頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月顯然，這是一個(gè)混定問(wèn)題，即。此時(shí)，由于矩陣和的秩都是2。據(jù)此：第41頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)奇異值分解，可得：第42頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因而有：能擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)嗎？將代入數(shù)據(jù)方程，可得：第43頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月顯然，與d并不完全相同，這是因?yàn)閿?shù)據(jù)分辨矩陣：即F不是單位矩陣，所以由：第44頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表明，與真值相差甚遠(yuǎn)。與真實(shí)的模型相差多大？可將d=Gm代入：中進(jìn)行分析，式中：第45頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可得：這就說(shuō)明，，而。由此看來(lái)，根據(jù)廣義反演法，可以惟一地確定，而不能惟一地確定和的數(shù)值大小，只能求得它們的平均值。第46頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月至于m的協(xié)方差：第47頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7、分辨力高低和方差大小的測(cè)度；前面討論了利用觀測(cè)數(shù)據(jù)的方差和模型的長(zhǎng)度為最小這一原則求取線性反演問(wèn)題的長(zhǎng)度解，下面將定義一種利用數(shù)據(jù)分辨矩陣F，參數(shù)分辨矩陣R和協(xié)方差矩陣計(jì)算模型參數(shù)的辦法。第48頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于分辯矩陣（F，R）接近單位矩陣時(shí)，說(shuō)明其分辨力最高，因此一種最好辦法是利用非對(duì)角線元素之大?。ɑ蚱湔股烨闆r）來(lái)描述分辯力之高低。現(xiàn)以英文Spread表示展伸系數(shù)，則有：第49頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這種展伸準(zhǔn)則有時(shí)也叫狄里西萊準(zhǔn)則。第50頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把目標(biāo)函數(shù)寫(xiě)為：并極小之，可以得到模型的最佳解，式中，為相應(yīng)項(xiàng)的加權(quán)系數(shù)。第51頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月8、最佳折衷解在大多數(shù)地球物理反演問(wèn)題中，矩陣G的條件數(shù)都很差，最大與最小奇異值有時(shí)相差幾十個(gè)級(jí)次。我們知道，小的奇異值會(huì)引起模型參數(shù)的最大誤差，卻能保證模型參數(shù)的高分辨能力。分辨率和方差是一對(duì)矛盾，分辨率高必然方差大；反之，分辨率低、方差也小，二者不可兼得，只能取其折衷?；蛘咭誀奚恍┓直媛蕿榇鷥r(jià)換取較低的方差；或者以較大的方差為代價(jià)，獲得較高的分辨率。第52頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Wiggins和Jockson（1972）建議，用廣義反演法求解時(shí)，設(shè)一個(gè)最大允許方差t，使即可截?cái)嗷蜣饤壭∮诘奶卣髦?。這里t為“方差門(mén)檻”值。若特征值按大小順序排列，即其中僅保留k個(gè)大特征值，而截?cái)鄠€(gè)小特征值。顯然，應(yīng)按以下方法計(jì)算觀測(cè)數(shù)據(jù)的有效自由度q，即有：

第53頁(yè)，課件共58頁(yè)，創(chuàng)作于20