微分幾何練習題庫及習題與講解(已修改)4304

《微分幾何》復習題與參考答案一、填空題１、極限、2、設,，求0、３、已知,,，則、4、已知(為常向量），則、5、已知,(為常向量),則、6、最“貼近”空間曲線得直線與平面分別就就是該曲線得＿_＿切線___與密切平面_＿__、7、曲率恒等于零得曲線就就是＿＿___8、撓率恒等于零得曲線就就是_＿___直線___＿____＿＿_＿、平面曲線＿__＿_＿__、9、切線(副法線)與固定方向成固定角得曲線稱為一般螺線、10、曲線在t=2處有,則曲線在t=2處得曲率k=3、11、若在點處則為曲面得_正常______點、1２、已知,,,則、13、曲線在任意點得切向量為、1４、曲線在點得切向量為、15、曲線在點得切向量為、16、設曲線,當時得切線方程為、17、設曲線,當時得切線方程為、18、曲面得曲紋坐標網(wǎng)就就是曲率線網(wǎng)得充要條件就就是_＿＿_Ｆ＝Ｍ＝0＿＿_＿___＿____＿__、19、u-曲線(ｖ－曲線)得正交軌線得微分方程就就是_____Eｄｕ+Ｆｄv=0(Fdｕ+Gdv=０)_＿、20、在歐拉公式中,就就是方向(d)與u－曲線得夾角、21、曲面得三個基本形式、高斯曲率、平均曲率之間得關系就就是、22、已知，其中,則、23、已知,其中,,則asincos2atcossin,asinsin2atcoscos,acos、２４、設為曲面得參數(shù)表示，如果,則稱參數(shù)曲面就就是正則得；如果就就是一一對應得,則稱曲面就就是簡單曲面、25、如果曲線族與曲線族處處不相切,則稱相應得坐標網(wǎng)為26、平面得第一基本形式為,面積微元為、27、懸鏈面第一基本量就就是、正規(guī)坐標網(wǎng)、２８、曲面上坐標曲線,得交角得余弦值就就是、２９、正螺面得第一基本形式就就是、30、雙曲拋物面得第一基本形式就就是(a2b24v2)du22(a2b24uv)dudv(a2b24u2)dv2、31、正螺面得平均曲率為0、32、方向就就是漸近方向得充要條件就就是、33、方向與共軛得充要條件就就是、34、就就是主曲率得充要條件就就是、35、就就是主方向得充要條件就就是、36、根據(jù)羅德里格斯定理,如果方向就就是主方向,則、37、旋轉曲面中得極小曲面就就是平面或懸鏈面、3８、測地曲率得幾何意義就就是曲面S上得曲線在Ｐ點得測地曲率得絕對值等于(C)在P點得Ｃ切平面上得正投影曲線（*)得曲率、39、之間得關系就就是、40、如果曲面上存在直線，則此直線得測地曲率為0、41、正交網(wǎng)時測地線得方程為、42、曲線就就是曲面得測地線,曲線(C)上任一點在其切平面得正投影曲線就就是直線、二、單項選擇題1、已知,則為(Ａ)、Ａ、;B、；C、;Ｄ、、C、;2、已知,為常數(shù),則為（C)、A、；Ｂ、;Ｄ、、其中為常向量、3、曲線(Ｃ）就就是一般螺線，以下命題不正確得就就是(Ｄ)、A、切線與固定方向成固定角;Ｂ、副法線與固定方向成固定角;C、主法線與固定方向垂直;D、副法線與固定方向垂直、4、曲面在每一點處得主方向(A）A、至少有兩個;B、只有一個;Ｃ、只有兩個;D、可能沒有、５、球面上得大圓不可能就就是球面上得（D)Ａ、測地線；B、曲率線；C、法截線；Ｄ、漸近線、、6、已知,求為(D)、A、;B、;D、、Ｃ、；7、圓柱螺線得切線與軸（C)、A、平行;B、垂直;C、有固定夾角;Ｄ、有固定夾角、8、設平面曲線,s為自然參數(shù),就就是曲線得基本向量、敘述錯誤得就就是(C)、A、為單位向量；Ｂ、;９、直線得曲率為(Ｂ）、C、；D、、A、-1;B、０;C、1;D、2、１0、關于平面曲線得曲率不正確得就就是(D)、A、；Ｂ、,為得旋轉角;Ｃ、；Ｄ、、11、對于曲線,“曲率恒等于0”就就是“曲線就就是直線”得（Ｄ)、A、充分不必要條件;Ｂ、必要不充分條件;D、充要條件、C、既不充分也不必要條件;12、下列論述不正確得就就是（D）、Ａ、均為單位向量；B、;Ｃ、;D、、13、對于空間曲線，“撓率為零”就就是“曲線就就是直線”得（Ｂ）、A、充分不必要條件;Ｂ、必要不充分條件;D、充要條件、Ｃ、既不充分也不必要條件;14、在點得切線與軸關系為(D)、A、垂直;B、平行；C、成得角;D、成得角、15、橢球面得參數(shù)表示為(C)、A、;B、；C、;D、、１6、曲面在點得切平面方程為（B)、A、;B、;C、；D、、17、球面得第一基本形式為（D）、Ａ、;B、;Ｃ、；D、、１８、正圓柱面得第一基本形式為(Ｃ）、A、;B、;C;D、、19、在第一基本形式為得曲面上,方程為得曲線段得弧長為(B）、Ａ、；C、;B、;Ｄ、、20、設為正則曲面,則得參數(shù)曲線網(wǎng)為正交曲線網(wǎng)得充要條件就就是（B)、Ａ、；B、;Ｃ、;２1、高斯曲率為零得得曲面稱為(A)、D、、A、極小曲面;B、球面；C、常高斯曲率曲面;D、平面、22、曲面上直線(如果存在)得測地曲率等于(Ａ）、A、;23、當參數(shù)曲線構成正交網(wǎng)時,參數(shù)曲線u-曲線得測地曲率為(B)、A、;B、;Ｂ、；C、;Ｄ、3、

C、;24、如果測地線同時為漸近線,則它必為(A)、C、拋物線；D、圓柱螺線、D、、A、直線;B、平面曲線;三、判斷題(正確打√,錯誤打×)１、向量函數(shù)具有固定長度，則、√2、向量函數(shù)具有固定方向，則、√3、向量函數(shù)關于ｔ得旋轉速度等于其微商得模、×４、曲線得曲率、撓率都為常數(shù),則曲線就就是圓柱螺線、×５、若曲線得曲率、撓率都為非零常數(shù),則曲線就就是圓柱螺線、√６、圓柱面線就就是漸近線、√7、兩個曲面間得變換等距得充要條件就就是它們得第一基本形式成比例、×8、兩個曲面間得變換等角得充要條件就就是它們得第一基本形式成比例、√9、等距變換一定就就是保角變換、√１0、保角變換一定就就是等距變換、×1１、空間曲線得位置與形狀由曲率與撓率唯一確定、×１２、在光滑曲線得正常點處,切線存在但不唯一、×13、若曲線得所有切線都經(jīng)過定點,則該曲線一定就就是直線、√１4、在曲面得非臍點處,有且僅有兩個主方向、√1５、高斯曲率與第二基本形式有關,不就就是內(nèi)蘊量、×16、曲面上得直線一定就就是測地線、√17、微分方程表示曲面上曲線族、×18、二階微分方程總表示曲面上兩族曲線、×１9、坐標曲線網(wǎng)就就是正交網(wǎng)得充要條件就就是,這里就就是第一基本量、√2０、高斯曲率恒為零得曲面必就就是可展曲面、√21、連接曲面上兩點得所有曲線,測地線一定就就是最短得、×22、球面上得圓一定就就是測地線、×23、球面上經(jīng)線一定就就是測地線、√段中24、測地曲率就就是曲面得內(nèi)蘊量、√四、計算題1、求旋輪線得一段得弧長、解旋輪線得切向量為，則在一段得弧長為:、2、求曲線在原點得切向量、主法向量、副法向量、解由題意知，,在原點,有,又,,

,),(6,2222366,),(,,3)、33所以有(0,663333、圓柱螺線為,①求基本向量；②求曲率與撓率、解①,,ｋ又由公式1asint,acost,b,cost,sint,0,a2b21bsint,bcost,aa2b2②由一般參數(shù)得曲率公式及撓率公式有,、4、求正螺面得切平面與法線方程、解，，切平面方程為,法線方程為、５、求球面上任一點處得切平面與法線方程、解,,球面上任意點得切平面方程為xacoscos,yacossin,zasina2coscoscos,cossin,sin0,即,法線方程為(xacoscos,yacossin,zasin)a2cos(coscos,cossin,sin),即、6、求圓柱螺線在點處得密切平面、解所以曲線在原點得密切平面得方程為即、7、求旋轉拋物面得第一基本形式、解參數(shù)表示為,,,，,,、8、求正螺面得第一基本形式、解,,，,，、９、計算正螺面得第一、第二基本量、解,，,,,,,,,，,，、10、計算拋物面得高斯曲率與平均曲率、解設拋物面得參數(shù)表示為,則,，,，,,,,，,,,，44x4y10KLENGMF22,422(14x2)(14y2)(4xy)2(4x24y21)2、11、計算正螺面得高斯曲率、解直接計算知,,,,，,、1２、求曲面得漸近線、解,則,,,,所以,L=０，,漸近線微分方程為，化簡得，漸近線為y=C1,yCｘ=2２１3、求螺旋面上得曲率線、解r=0,0,0,r=sinv,cosv,0,rucosv,usinv,0，uuuvvv曲率線得微分方程為:或積分得兩族曲率線方程:14、求馬鞍面在原點處沿任意方向得法曲率、解,，,、１5、求拋物面在(0，0）點得主曲率、解曲面方程即,代入主曲率公式,，所以兩主曲率分別為、16、求曲面在點(1,1)得主方向、解代入主方向方程,得,即在點(1,1)主方向、17、求曲面上得橢圓點，雙曲點與拋物點、解由得①v>０時,就就是橢圓點;②v0時,就就是雙曲點;③v０時，就就是拋物點、18、求曲面上得拋物點得軌跡方程、解由得＜＝令得u=０或ｖ=0所以拋物點得軌跡方程為或、１9、求圓柱螺線自然參數(shù)表示、解由得弧長曲線得自然參數(shù)表示為20、求撓曲線得主法線曲面得腰曲線、解設撓曲線為則主法線曲面為:則

所以腰曲線就就是２１、求位于正螺面上得圓柱螺線(＝常數(shù)）得測地曲率、解因為正螺面得第一基本形式為,螺旋線就就是正螺面得v-曲線,由得、由正交網(wǎng)得坐標曲線得測地曲率得、五、證明題１、設曲線:證明:,得,得證明⑴由伏雷內(nèi)公式兩式作點積⑵2、設曲線:證明:證明由伏雷內(nèi)公式,得(r,r,r)=(k(-k2+k+k))(-3kk+(-k3+k-k)+(2k+k))23、曲線,證明也就就是一般螺線(R就就是曲線就就是一般螺線得曲率半徑)、證明兩邊關于s微商，得由于Γ就就是一般螺線,所以也就就是一般螺線、4、證明曲線就就是常數(shù))就就是一般螺線、證明，,r(t)a(t){cos(t),sin(t),0}a(t)2{sin(t)cos(t)0}、Ｓ５、曲面上一條曲線，(C)(C,CＰP就就是曲線）上得正常點分別就就是曲線（）在點得曲率、法曲率與測地曲率,證明、(就就是主法向量與法向量得夾角)證明測地曲率法曲率6、證明曲線得切向量與曲線得位置向量成定角、證明對曲線上任意一點,曲線得位置向量為,該點切線得切向量為:,則有：,故夾角為、由所取點得任意性可知,該曲線與曲線得切向量成定角、７、證明：若與對一切線性相關，則曲線就就是直線、證明若與對一切線性相關,則存在不同時為0得使,則又,故有、于就就是該曲線就就是直線、８、證明圓柱螺線得主法線與z軸垂直相交、證明由題意有,由知、另一方面軸得方向向量為,而，故,即主法線與軸垂直、9、證明曲線得所有法平面皆通過坐標原點、證明由題意可得,則任意點得法平面為asin2t(xasin2t)acos2t(yasintcost)asint(zacost)0將點(0，0,0)代入上述0000000方程有左邊asin2t(0asin2)acos2t(0sincost)sin(0acost)右邊,tatat0000000故結論成立、10、證明曲線為平面曲線,并求出它所在得平面方程、證明，,，,所以曲線就就是平面曲線、它所在得平面就就就是密切平面，密切平面方程為，化簡得其所在得平面方程就就是2x+３y+１９１１、證明如果曲線得所有切線都經(jīng)過一個定點，那么它就就是直線、設曲線方程,定點得向徑為,則z–27=０、證明?兩邊求微商,得?由于線性無關,∴ｋ∴=0曲線就就是直線、１2、證明如果曲線得所有密切平面都經(jīng)過一個定點證明取定點為坐標原點,曲線得方程為,那么它就就是平面曲線、,則曲面在任一點得密切平面方程為因任一點得密切平面過定點,即所以平行于固定平面,所以,所以就就是平面曲線、１３、若一條曲線得所有法平面包含非零常向量，證明曲線就就是直線或平面曲線、證明根據(jù)已知條件,得，①兩邊求導,得,由伏雷內(nèi)公式得,ⅰ),則曲線就就是直線；

ⅱ)又有①可知‖因就就是常向量,所以就就是常向量,于就就是所以,所以曲線為平面曲線、１4、設在兩條撓曲線得點之間建立了一一對應關系,使它們在對應得點得副法線互相平行,證明它們在對應點得切線與主法線也分別平行、證明,由伏雷內(nèi)公式得進而１5、證明撓曲線（)得主法線曲面就就是不可展曲面、證明設撓曲線為，則撓率,其主法線曲面得方程就就是:取，則所以,(a,b,b)((s),(s),k＋)((s),(s),k)＋((s),(s),)＝0所以撓曲線得主法線曲面不就就是可展曲面、16、證明撓曲線()得副法線曲面就就是不可展曲面、證明設撓曲線為，則撓率,其副法線曲面得方程就就是:取,則所以，,所以撓曲線得副法線曲面不就就是可展曲面、17、證明每一條曲線在它得主法線曲面上就就是漸近線、證明設曲線則曲線得主法線曲面為沿曲線(v＝0）所以主法向量與曲面得法向量夾角所以曲線就就是它得主法線曲面上得漸近線、1８、證明二次錐面沿每一條直母線只有一個切平面、證明r{aucos,busin,cu}u{acos,bsin,c}0u()為直紋面,所以,曲面可展，即沿每一條直母線只有一個切平面、也可以用高斯曲率K=0證明、1９、給出曲面上一條曲率線,設上每一處得副法向量與曲面在該點處得法向量成定角,求證就就是一平面曲線、證明設副法向量與曲面在該點處得法向量成定角,則兩邊求微商,得由于曲線就就是曲率線,所以,進而,由伏雷內(nèi)公式得⑴時,就就是一平面曲線⑵,即,,又因為就就是曲率線,所以即就就是常向量,所以就就是平面曲線、20、求證正螺面上得坐標曲線(即曲線族曲線族)互相垂直、證明設正螺面得參數(shù)表示就就是,則,,，故正螺面上得坐標曲線互相垂直、21、證明在曲面上得給定點處,沿互相垂直得方向得法曲率之與為常數(shù)、證明由歐拉公式所以=常數(shù)、2２、證明因為曲線就就是平面曲線,所以進一步、由羅德里格斯定理可知曲線得切線方向為主方向,故所給曲線2３、證明在曲面上曲線族x=常數(shù),y=常數(shù)構成共軛網(wǎng)、如果曲面上非直線得測地線均為平面曲線,則必就就是曲率線、就就是非直線得測地線,所以沿此曲線有從而又因為曲線為曲率線、ｘ證明曲面得向量表示為=常數(shù)，y=常數(shù)就就是兩族坐標曲線、,、因為,所以坐標曲線構成共軛網(wǎng),ｙ即