例說新課程理念下的數(shù)學(xué)探究教學(xué)概要

#例說新課程理念下的數(shù)學(xué)探究教學(xué)東山一中林輝清關(guān)鍵詞：新課程 數(shù)學(xué)探究內(nèi)容提要：數(shù)學(xué)探究是新高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式， 是改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生探究創(chuàng)新的能力的一條有效途徑。 數(shù)學(xué)探究可以以課堂教學(xué)為載體通過在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境， 營造合作的氛圍進行探究， 重新展示知識的形成、發(fā)展過程；也可以利用課外時間對實際生活和生產(chǎn)中的問題進行探究。1、數(shù)學(xué)探究的概念和要求數(shù)學(xué)探究的概念：數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。這個過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探究適當?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明。《課標》要求：數(shù)學(xué)探究是新高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式， 《課程標準》要求將數(shù)學(xué)探究貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程中， 改革傳統(tǒng)的教學(xué)模式， 著眼于學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)過程和親身體驗。2、數(shù)學(xué)探究的開展2.1課堂上的數(shù)學(xué)探究2.1課堂上的數(shù)學(xué)探究高中學(xué)生的大多數(shù)學(xué)習(xí)時間在課堂，載體，選擇教材中的知識點為探究課題，合作氛圍進行探究， 重新展現(xiàn)知識的形成過程。理、公式、法則，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)、檢驗、論證，甚至推廣，讓學(xué)生親身經(jīng)歷因此課堂教學(xué)應(yīng)是數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的主要通過在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境， 營造探究內(nèi)容可以選擇某些定義、 定知識的形成過程。有些數(shù)學(xué)結(jié)論、 規(guī)律在教材沒明確提出，握的或者說屬于考試范疇的，需要老師在課堂上拓寬引申的，但又屬于學(xué)生應(yīng)該掌可作為探究性課題。知識的形成過程。有些數(shù)學(xué)結(jié)論、 規(guī)律在教材沒明確提出，握的或者說屬于考試范疇的，需要老師在課堂上拓寬引申的，但又屬于學(xué)生應(yīng)該掌可作為探究性課題。課例1課例1探究拋物線的標準方程IMFI與M,一個定點F,一條定直線IMFI與M,一個定點F,一條定直線IMFI與IMNI。我們開始操作，請大家IMNI保持相等，口出了M點的軌跡。l,定學(xué)生：不可能！因為雙曲線的點到定點（焦點）距離大于它到定直線（相應(yīng)準線）的距離教師：很好！我們將這條曲線叫拋物線,現(xiàn)在我們能不能給拋物線下個定義呢？學(xué)生：平面內(nèi)，到定點的距離等于到定直線的距離的動點的軌跡叫拋物線教師：很好！類比橢圓和雙曲線第二定義，這個定點叫拋物線的焦點， 這條定直線叫拋物線的準線， 同學(xué)們，剛才我們得出了拋物線的定義， 接下來干什么呢？學(xué)生：求出拋物線的方程，研究拋物線的幾何性質(zhì)教師：同學(xué)們回想一下，求曲線方程的步驟是什么？學(xué)生：□□□□□□□□□；□□□ x,y）表示曲線上任一點的坐標；③尋找動點滿足的幾何條件； ④化簡方程。教師：很好！，求曲線方程的步驟，簡單講就是建系、設(shè)點、列式、化簡這四個步驟。如何建立直角坐標系呢？前面我們接觸過建立直角坐標系的問題，我們曾研究過，建立直角坐標系要遵循簡單、和諧的原則，即使已知點的坐標、已知直線的方程表達簡單化，要充分注意利用圖形的對稱性。下面請同學(xué)們討論如何建立直角坐標系？（學(xué)生討論）學(xué)生 1：過點 F作KF口1,垂足為 K,以直線KF為x軸，以 K□□□□□□□□面直角坐標系學(xué)生 2：我也這樣選定 x軸,但我認為可以選 F為坐標原點學(xué)生3：□□□□□□□□□,□□ KF的中點也在拋物線上，考慮到數(shù)學(xué)的對□,□□□□□□□ KF的中點為坐標原點（老師在黑板上分別畫出這三種坐標系）教師：以上三位同學(xué)的回答都很好, 都遵循了建立直角坐標系簡單、 和諧的原則,那么, 選擇哪個坐標系能使拋物線方程更加簡潔呢？下面我們分組實踐一下, 一組用第一種方法, 二組用第二種方法, 三組用第三種方法, 四組隨便選擇一種方□□□□,□□□□□□ F到準線1的距離為p（p為常數(shù)，p口0）（做完后,各小組推選一名代表,將結(jié)果寫在黑板上）教師：同學(xué)們請看,哪種建系方法好？學(xué)生：第三種方法最好！師；□□□□□ 產(chǎn)二2px（p0）□□□□□□ x□□□□□□□□□□□□□A，焦點 F（p,0）,準線方程為 x=—p□□□□□□□ p□□□□□ 2 2焦點到準線的距離。 同學(xué)們, 通過剛才的不同坐標系下得出拋物線方程的體驗?zāi)阌惺裁大w會？學(xué)生：不同的建系方法, 不僅計算結(jié)果不同, 而且對計算過程及計算結(jié)果的簡潔性有一定影響, 所以, 在做題時應(yīng)考慮建立恰當?shù)淖鴺讼? 平日要積累這方面的經(jīng)驗。評注： 在當前的高中數(shù)學(xué)課堂中, 教師舍不得在概念、 定義的發(fā)生發(fā)展過程中花時間, 認為這樣太虛, 不如讓學(xué)生多做幾道題目實在, 因而概念教學(xué)常常用 “一個定義三項注意”的方式, 告訴定義的內(nèi)容, 強調(diào)幾個注意事項, 然后就講例題,做練習(xí)。實踐表明這樣做得不償失。 《課程標準》要求教師在課堂教學(xué)中應(yīng)設(shè)法激發(fā)學(xué)生的積極性和主動性, 要求教師向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會, 幫助他們在自主探究和合作學(xué)習(xí)交流中掌握基本的數(shù)學(xué)技能、 思想和方法, 獲取廣泛的活動經(jīng)驗。 本節(jié)課對拋物線標準方程的得出, 讓學(xué)生充分動手動腦, 始終注

□□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□ □□□ □□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ 2 □□□□t=<1+x+ 口□□□ 1：口1 1口口口口口口口口口口 12=2+2J1-x2□□□ 0<J1—x2<1□□ 2<t2<4□□t□□□□□□ -2,-&]u[江2]□：□□□□□□□□□□□□ 1：口■口 t>0口■為 [72,2□：□□□ t>0□□ t□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□口口2：(口□2)□口口(<1+x)2+(<1-I)2=2,□□□□□□□□□0，”t=&cosa+走sina=2sin(a+：)□□□:<a+4<：，30，”t=&cosa+走sina=2sin(a+：)□□□:<a+4<：，3<Sin(Y)<1，□t□□□□□□ ”,2□:□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ -1<x<1□□□□□□□□□□□□口口2 ：口口2,□□□□□□x=cos0口口口TOC\o"1-5"\h\z——TT ，——TT 0 0t=<1+cos0+11-cos0=、；2cos20+%：2sin20=\；2(lcosI+1sinI)21 ^2□：□□□□□□□□□□□□□0 0□ 3：口 0e[0,兀]□□□xecos0e[-1,1]□□□ t=<'2(cos-+sin-)□□□2 2□ 2□□□, 「兀兀r□：□□□□□□ □□x=sin①口中e[——，一]口□□□□□□□□ □□□□□□22□□□□□□□□□□□□□□a<1+<1+x=u,<1—x=v□□口X1口u2+v2=2□□□□□□□□□□□□□u+v=tIu2+v2=20<u<立,0<v<2條□□□□□□□□ t□□□□□□□□□□u+v=t[□口 u2+v2=2(0<u<<2,0<v<、J2)□□□□□□ □t□□□□□□□□□□□□□□□□口教師：太好了！數(shù)形結(jié)合的方法是重要的數(shù)學(xué)方法，它開闊我們的思路，大家想一想還有其他方法嗎？比如數(shù)列方法、向量方法？TOC\o"1-5"\h\z學(xué)生5：（方法四）變t的表達式為<1+x+%1—x=2x2,可知Ji+x,—,11-x2 2\o"CurrentDocument"一、.……、一.t■ t 12成等差數(shù)列。設(shè)<1+x=_-d,J1-x=一+d，消去x得2=一+2d2,12=4-4d2,2 2 2以下就好解了教師：學(xué)生5,根據(jù)你的表達式，你能得出t的取值范圍［點,2］嗎？學(xué)生5：由d2>0知—2=4-4d2<4，得t<2，但t>旌我無法得到教師：這仍然決定于d的取值范圍，誰能得出d的取值范圍？是否能從 與廠的取值范圍考慮？學(xué)生6：老師，我想好了，由于\；irx與的最大值、最小值分別為、/2，0,可知-%■■,2<2d<\/2既-或<d<m，所以2=上+2d2<上+2xl,12>2從而有2 2 2 2 2、遼<t<2學(xué)生7：（方法五）：我用向量的方法解，設(shè)向量p=（1,1）,q=G./1+I,<1-7），兩向量的夾角為P，貝11=pq=<1+1V（1+x）+（1-x）cosP=2cosP，可知t的最大值為2,但我無法求其最小值教師：誰能幫幫他？學(xué)生8：我覺得還應(yīng)該從兩向量的坐標非負入手，它們對應(yīng)的點都在第一象限，用數(shù)形結(jié)合的方法可知，當點（\；一，。=工）位于坐標軸上時，cosP取最小值，從而t值取最小值。故令<1-x=0，既x=1,得t=<2,令<1+x=0,即x=-1,也得t=<2。教師：你們講得很好。上述五種方法有一個共同特點,都是從函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征出發(fā),或變更形式,或巧妙換元,或數(shù)形結(jié)合,或構(gòu)造向量,都是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的應(yīng)用。但對比五種方法,不難看出,方法一最為簡潔,究其原因,仍是平方后的結(jié)構(gòu)簡潔的特點所致,因此,函數(shù)結(jié)構(gòu)特征決定求解方法。評注：①本節(jié)課注意引導(dǎo)對數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，如：數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、換元等數(shù)學(xué)思想方法。在例題的深化中,充分發(fā)揮這些數(shù)學(xué)思想對解題途徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法對解題的指導(dǎo)作用②引導(dǎo)學(xué)生從不同角度來觀察問題、分析問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的變通性、靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)新能力，老師為學(xué)生搭建了一個自主學(xué)習(xí)的平臺，學(xué)生通過交流，根據(jù)已有的知識，相互研究，共同提高。以上兩例是純數(shù)學(xué)問題的探究，當然，還可選擇高中生實際生活密切相關(guān)的數(shù)學(xué)探究課題。比如：課例3： 探究酒杯中的解析幾何問題1：張華同學(xué)家中有兩種酒杯，一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形，稱之為直角酒杯，另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線，杯口寬4cm,杯深8cm,稱之為拋物線酒杯。一次，張華在游戲中注意到一個現(xiàn)象，若將一些大小不等的玻璃球依次放進直角酒杯中,則任何玻璃球都不能觸及酒杯的杯底,但若將這些玻璃球放進拋物線酒杯中,則有些小玻璃球能觸及酒杯的杯底,張華想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識研究一下，當玻璃球的半徑r多大時，玻璃球一定會觸及酒杯的杯底，你能幫張華解決一下這個問題嗎？問題2：張華在酒店里又見到了一種軸截面近似橢圓的橢圓酒杯,測量后得知杯口寬4cm，杯深9cm，中間最寬處距杯底5cm，，請你幫張華一下，如果將一個玻璃球放入杯中，玻璃球的半徑r多大時，玻璃球一定觸及這種橢圓酒杯的杯底？問題3：設(shè)想在張華家中的拋物線酒杯中，放入一根粗細均勻、長度為2的細棒，假設(shè)細棒的端點與酒杯之間的摩擦可以忽略不計，那么當細棒最后達到平衡狀態(tài)時，細棒在酒杯中的位置如何？，如果細棒的長度為1，那么對于不同的l值，細棒的平衡狀態(tài)有差異嗎？問題4：在直角酒杯中和橢圓酒杯中各放入一根粗細均勻、長度為1的細棒，假設(shè)細棒的端點與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計，那么當細棒最后達到平衡時，細棒在酒杯中的位置如何？評注：選擇這樣的課題接近學(xué)生生活實際，定能激起學(xué)生的興趣，不僅培養(yǎng)學(xué)生對問題深層次的認識，而且增進學(xué)生的反思意識和自控能力，提高學(xué)習(xí)效果。2.2課外的數(shù)學(xué)探究這種探究主要是利用課外的時間對某一數(shù)學(xué)問題進行探究,個人獨立或小組合作地開展探究活動，用幾周或幾月完成。這種探究教師應(yīng)為學(xué)生提供豐富的背景材料，幫助和引導(dǎo)學(xué)生提出探究課題，成立課題組，指導(dǎo)學(xué)生收集信息、分析

材料、探究結(jié)果，幫助學(xué)生完成探究報告或論文并進行交流。課例4 涂色問題探究（1）課題背景某城市在中心廣場建造花圃，花圃為6個部份（如圖2—1），現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種，且相鄰部分不能栽種同一種顏色的花，不同的栽種方法有多少種？圖2—1（2）提出問題請同學(xué)生們到閱覽室查找資料，或上網(wǎng)查詢有關(guān)涂色問題（3）收集信息并分類處理查閱資料時教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生解決涂色問題的數(shù)學(xué)知識是排列組合，因此可以在目錄或索引中查找排列組合的應(yīng)用。學(xué)生用一周時間發(fā)現(xiàn)了很多涂色問題，最后歸類，提出了以下問題：問題1：如圖（如圖2—2），某地區(qū)共有四個行政區(qū)域，畫地圖時要給四個行政區(qū)域涂上顏色加以區(qū)分，先給定五種顏色，相鄰區(qū)域不能涂同種顏色，問有多少種不同的涂色方案。圖2—2 問題2：如圖（2—3）：兩條對角線把矩形分為四部分，有5種不同顏色可用來涂色，相鄰區(qū)域不能涂同種顏色，問有多少種不同的涂色方案。圖2—3若區(qū)域作如下變化，結(jié)果如何？問題3：用5種不同顏色給圖2—4中五塊區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域不能涂同種顏色，共有多少種不同的涂色方案