2021 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（北京卷）第頁(yè)（共7頁(yè)）2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)本試卷共7頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則（A） （B）（C） （D）（2）若復(fù)數(shù)z滿足，則z=（A）-1-I （B）-1+i（C）1-i （D）1+i（3）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閇0,1]，則“在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增”是“在區(qū)間[0,1]上的最大值為”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（4）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為A.B.C.D.（5）若雙曲線，的離心率為2，且過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的方程為（A） （B）2（C） （D）（6）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)（單位：cm）成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的寬為（單位：cm），且長(zhǎng)與寬之比都相等．已知，，，則=（A）64 （B）96（C）128 （D）160（7）函數(shù)是（A）奇函數(shù)，且最大值為2 （B）偶函數(shù)，且最大值為2（C）奇函數(shù)，且最大值為 （D）偶函數(shù)，且最大值為（8）某一時(shí)段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個(gè)時(shí)段的降雨量（單位：mm）．24h降雨量的等級(jí)劃分如下：等級(jí)24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器．若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨量的等級(jí)是（A）小雨 （B）中雨（C）大雨 （D）暴雨（9）已知直線（m為常數(shù)）與圓交于點(diǎn)M,N．當(dāng)k變化時(shí)，若|MN|的最小值為2，則m=（A） （B）（C） （D）（10）已知是各項(xiàng)均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且．若，則n的最大值為（A）9 （B）10（C）11 （D）12

第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)______．（用數(shù)字作答）（12）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線上，MN垂直x軸于點(diǎn)N．若，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為_(kāi)______；△MNF的面積為_(kāi)______．（13）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則(a+b)·c=_______；a·b=_______．（14）若點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則的一個(gè)取值為_(kāi)______．（15）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)k，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)k，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)k，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題13分）在△ABC中，，.（I）求；（II）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上中線的長(zhǎng)．條件①：；條件②：△ABC的周長(zhǎng)為；條件③：△ABC的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（17）（本小題14分）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)，與平面CDE交于點(diǎn)F．（Ⅰ）求證：F為的中點(diǎn)；（Ⅱ）若M是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．（18）（本小題13分）在核酸檢測(cè)中，“k合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測(cè)，如果這k個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)束；如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè)，得到每人的檢測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束．現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確．（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè)．（?。┤绻腥拘鹿诓《镜?人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù)；（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX．（Ⅱ）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)Y是檢測(cè)的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望EY與（Ⅰ）中EX的大小．（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；（Ⅱ）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，并求其最大值與最小值．（20）（本小題15分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A(0,2)，以橢圓E的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積為．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P(0,-3)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B,C，直線AB,AC分別與直線交于點(diǎn)M,N．當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍．

（21）（本小題15分）設(shè)p為實(shí)數(shù)．若無(wú)窮數(shù)列滿足如下三個(gè)性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②；③．（Ⅰ）如果數(shù)列的前四項(xiàng)為2,-2,-2,-1，那么是否可能為數(shù)列？說(shuō)明理由；（Ⅱ）若數(shù)列是數(shù)列，求；（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為．是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說(shuō)明理由．（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B （2）D （3）A （4）A （5）B（6）C （7）D （8）B （9）C （10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）-4 （12）5 （13）0 3 （14）（答案不唯一）（15）①②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及，得.因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所?（Ⅱ）選條件②：△ABC的周長(zhǎng)為．由（Ⅰ）知，.所以△ABC是頂角為，底角為的等腰三角形．所以．由題設(shè)，(2+)a=4+2．所以a=2．設(shè)BC邊上中線的長(zhǎng)為d．由余弦定理得.所以.故．選條件③：△ABC的面積為由（Ⅰ）知，.所以△ABC是頂角為，底角為的等腰三角形．所以a=b．由題設(shè)，.所以．設(shè)BC邊上中線的長(zhǎng)為d．由余弦定理得所以.故.（17）（共14分）解：（Ⅰ）在正方體中，因?yàn)镃D//，且平面，所以CD//平面．因?yàn)槠矫嫫矫妫訡D//EF．所以//EF．因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以F為的中點(diǎn)．（Ⅱ）不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，C(0,2,0)，F(xiàn)(1,2,2)．所以(0,2,0)，=(1,0,2).設(shè)平面CDE的法向量為m=(x1,y1,z1)，則 即.令，則，.于是m=(-2,0,1)．由題設(shè)，存在，使得所以．所以.設(shè)平面MFC的法向量為，則 即令，則.于是.由題設(shè)，，所以.所以.（18）（共13分）解：（Ⅰ）（?。┮李}意，如果感染新冠病毒的2人在同一組，則該組需要檢測(cè)11次，其他9個(gè)組都只需要檢測(cè)1次，所以檢測(cè)總次數(shù)為20．（ⅱ）由（?。┲?，當(dāng)感染新冠病毒的2人分在同一組時(shí)，檢測(cè)的總次數(shù)是20．當(dāng)感染新冠病毒的2人分在不同組時(shí)，可以求得檢測(cè)的總次數(shù)是30．所以隨機(jī)變量X的可能取值為20,30．因?yàn)楦腥拘鹿诓《镜?人分在同一組的概率為所以感染新冠病毒的2人分在不同組的概率為．所以隨機(jī)變量X的分布列為：X 20 30P

故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.（Ⅱ）．（19）（共15分）解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，.所以=1，．所以曲線在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為，即．（Ⅱ）由得.由題意知，所以.故.當(dāng)時(shí)，，.與的情況如下：x (-,-1)-1 (-1,4) 4 (4,+)

+ 0 - 0 +↗ 1 ↘ ↗因此，的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,-1)和(4,+)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,4)．所以在區(qū)間(-,4]上的最大值是．又因?yàn)楫?dāng)(4,+)時(shí)，<0，所以是的最大值．同理可知，是的最小值.（20）（共15分）解：（I）.所以.所以橢圓E的方程為.（Ⅱ）直線BC的方程為．由得.由，得.設(shè)，，則.直線AB的方程為.令，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.同理可得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為.由題設(shè)，，所以.所以同號(hào).所以.由題設(shè)，5|k|≤15．所以1<|k|≤3．所以k的取值范圍是．（21）（本小題15分）解：（I）數(shù)列不可能為數(shù)列.理由如下：因?yàn)?，所以?因?yàn)?所以數(shù)列不滿足性質(zhì)③.（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的定義，可知滿足：；；或.或，以及，可知.所以.由或或，以及，可知.由或，以及，可知.（III）假設(shè)數(shù)列是滿足“恒成立”的數(shù)列.因?yàn)榛颍?，所?由，可知.從而或.又因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所?又因?yàn)椋?/p>