中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題題型（十）折疊問(wèn)題

（2017貴州安順第7題）如圖，矩形紙片ABCD中，AD=4cm，把紙片沿直線(xiàn)AC折疊，點(diǎn)B落在E處，AE交DC于點(diǎn)O，若AO=5cm，則AB的長(zhǎng)為（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】C．（2017江蘇無(wú)錫第10題）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折得到△AED，連CE，則線(xiàn)段CE的長(zhǎng)等于（D）A．2 B． C． D．（2017新疆烏魯木齊第9題）如圖，在矩形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，把這個(gè)矩形沿折疊后，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，若矩形面積為且，則折痕的長(zhǎng)為（C）A．B．C.D．（2017重慶A卷第18題）如圖，正方形ABCD中，AD=4，點(diǎn)E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連接DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，得到△EFM，連接DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，則△EMN的周長(zhǎng)是．(2017河南第15題)如圖，在中，，，，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，沿所在的直線(xiàn)折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)始終落在邊為直角三角形，則的長(zhǎng)為．【答案】1或.（2017江蘇蘇州第18題）如圖，在矩形中，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后，的對(duì)應(yīng)邊交邊于點(diǎn)．連接、，若，，，則（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】.（2017海南第17題）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，點(diǎn)E在DC上，將矩形ABCD沿AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，那么cos∠EFC的值是．【答案】.（2016·黑龍江齊齊哈爾·3分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，連接MC，將菱形ABCD翻折，使點(diǎn)A落在線(xiàn)段CM上的點(diǎn)E處，折痕交AB于點(diǎn)N，則線(xiàn)段EC的長(zhǎng)為﹣1．（2016·吉林·3分）在三角形紙片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，點(diǎn)D（不與B，C重合）是BC上任意一點(diǎn)，將此三角形紙片按下列方式折疊，若EF的長(zhǎng)度為a，則△DEF的周長(zhǎng)為3a（用含a的式子表示）．（2016河南）如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，點(diǎn)E為射線(xiàn)BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，過(guò)點(diǎn)B′作AD的垂線(xiàn)，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N．當(dāng)點(diǎn)B′為線(xiàn)段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，BE的長(zhǎng)為或．（2017甘肅蘭州第26題）如圖，1，將一張矩形紙片沿著對(duì)角線(xiàn)向上折疊，頂點(diǎn)落到點(diǎn)處，交于點(diǎn).(1)求證：是等腰三角形；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn).①判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；②若，，求的長(zhǎng).【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)．【解析】試題分析:（1）根據(jù)兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等及折疊特性判斷；（2）①根據(jù)已知矩形性質(zhì)及第一問(wèn)證得鄰邊相等判斷；②根據(jù)折疊特性設(shè)未知邊，構(gòu)造勾股定理列方程求解．試題解析：（1）證明：如圖1，根據(jù)折疊，∠DBC=∠DBE，又AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∴∠DBE=∠ADB，∴DF=BF，∴△BDF是等腰三角形；（2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴FD∥BG，又∵FD∥BG，∴四邊形BFDG是平行四邊形，∵DF=BF，∴四邊形BFDG是菱形；②∵AB=6，AD=8，∴BD=10．∴OB=BD=5．假設(shè)DF=BF=x，∴AF=AD﹣DF=8﹣x．∴在直角△ABF中，AB2+A2=BF2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=，即BF=，∴FO==，∴FG=2FO=．(2017浙江金華第23題)如圖1，將紙片沿中位線(xiàn)折疊，使點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)落在邊上，再將紙片分別沿等腰和等腰的底邊上的高線(xiàn)，折疊，折疊后的三個(gè)三角形拼合形成一個(gè)矩形，類(lèi)似地，對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形，這樣的矩形稱(chēng)為疊合矩形．(1)將紙片按圖2的方式折疊成一個(gè)疊合矩形，則操作形成的折痕分別是線(xiàn)段_____，_____；______.(2)紙片還可以按圖3的方式折疊成一個(gè)疊合矩形，若，，求的長(zhǎng)．(3)如圖4，四邊形紙片滿(mǎn)足．小明把該紙片折疊，得到疊合正方形．請(qǐng)你幫助畫(huà)出疊合正方形的示意圖，并求出的長(zhǎng)．【答案】（1）（1）AE；GF；1:2；（2）13；（3）按圖1的折法，則AD=1，BC=7；按圖2的折法，則AD=,BC=.【解析】試題分析：（1）由圖2觀察可得出答案為AE,GF,由折疊的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)可得出答案為1：2；（2）由EF和EH的長(zhǎng)度根據(jù)勾股定理可求出FH的長(zhǎng)度，再由折疊的軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)易證△AEH≌△CGF；再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出AD的長(zhǎng)度；（3）由折疊的圖可分別求出AD和BC的長(zhǎng)度.

（3）解：本題有以下兩種基本折法，如圖1，圖2所示.

按圖1的折法，則AD=1，BC=7.

按圖2的折法，則AD=,BC=.（2015年河南3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是16，點(diǎn)E在邊AB上，AE=3，點(diǎn)F是邊BC上不與點(diǎn)B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△EBF沿EF折疊，點(diǎn)B落在B′處，若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長(zhǎng)為▲．【答案】16或.（2015年江蘇泰州3分）如圖，矩形中，AB=8，BC=6，P為AD上一點(diǎn)，將△ABP沿BP翻折至△EBP，PE與CD相交于點(diǎn)O，且OE=OD，則AP的長(zhǎng)為▲．【答案】.（2015湖北鄂州第8題3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接FC，則sin∠ECF=（）A． B． C． D．【答案】D.（2015?四川自貢,第10題4分）如圖，在矩形中，,是邊的中點(diǎn)，是線(xiàn)段邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△沿所在直線(xiàn)折疊得到△,連接,則的最小值是 （A）A.B.6C.D.4（2015?綿陽(yáng)第12題，3分）如圖，D是等邊△ABC邊AB上的一點(diǎn)，且AD：DB=1：2，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC和BC上，則CE：CF=（B） A． B． C． D． （2015?四川省內(nèi)江市，第14題，5分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E為CD上一點(diǎn)，分別以EA，EB為折痕將兩個(gè)角（∠D，∠C）向內(nèi)折疊，點(diǎn)C，