數(shù)學(xué)人教A版（2023）選擇性必修第一冊1.2空間向量基本定理（共24張ppt）

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1.2空間向量基本定理

第一章空間向量與立體幾何

人教A版2023選修第一冊

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解空間向量基本定理及其意義；

2.掌握空間向量的正交分解；

3.能夠用空間三個不共面的向量作為基底表示其他向量。

01復(fù)習(xí)回顧

PARTONE

復(fù)習(xí)回顧

（1）向量共線

對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb

（2）向量共面

三個向量共面的充要條件：向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb

我們所在的教室即是一個三維立體圖,如果以教室的一個墻角為始點(diǎn),沿著三條墻縫作向量可以得到三個空間向量.

思考：這三個空間向量是不共面的,那么如何用這三個向量表示空間中任意的向量呢？

情景導(dǎo)入

02空間向量基本定理

PARTONE

空間向量基本定理

觀察右圖并回答以下問題，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為4，在AB，AD，AD1上分別取單位向量e1，e2，e3.

問題1：e1，e2，e3共面嗎？

不共面

問題2：試用e1，e2，e3表示

問題3：若，M為A1B1的中點(diǎn)試用e1，e2，e3表示

空間向量基本定理

因此，如果是空間三個兩兩垂直的向量，那么對于任意一個空間向量p存在唯一有序?qū)崝?shù)組（x,y,z），使得p=xi+。

如圖，設(shè)是空間中三個兩兩垂直的向量，且表示他們的有向線段有公共起點(diǎn)O，對于任意一個空間向量設(shè)為在所確定的平面上的投影向量，則=+,又向量，共線，因此存在唯一實(shí)數(shù)z，使得，從而=+，

而在所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（x,y），使得=xi+.從而，=+=xi+.

我們稱xi,分別為向量p在上的分向量。

空間向量基本定理

如果三個向量,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=x+yb+zc.

空間向量基本定理

基底

我們把定理中的叫做空間的一個基底,,b,c都叫做基向量.

空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底.

空間向量基本定理

如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,且長度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底,常用表示.

由空間向量基本定理可知,對空間中的任意向量,均可以分解為三個向量xi,yj,zk,

使a=xi+yj+zk,像這樣,把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

單位正交基底

空間向量基本定理

思考1：基底中能否有零向量？

不能，因?yàn)榱阆蛄颗c任意一個非零向量共線，與任意兩個非零向量共面.

思考2：空間向量的基底唯一嗎？

不唯一，只要三個向量不共面，這三個向量就可以組成空間的一個基底。

思考3：基底選定后，空間中的所有向量均可由該基底唯一表示嗎？不同基底下，同一個向量的表達(dá)式都相同嗎？

基底選定后，空間中的所有向量均可由該基底唯一表示，不一定相同，不同基底下，同一個向量的表達(dá)式也有可能不同.

空間向量基本定理

思考4：基底與基向量的概念有什么不同？

一個基底是指一個向量組，一個基向量是指基底中的某一個向量.

二者是相關(guān)聯(lián)的不同概念.

平移向量a，b，c，p使它們共起點(diǎn)，如圖所示，以p為體對角線，

在a，b，c方向上作平行六面體，易知這個平行六面體是唯一的，

因此p在a，b，c方向上的分解是唯一的，即x，y，z是唯一的．

思考5：為什么空間向量基本定理中x，y，z是唯一的？

03空間向量基本定理的應(yīng)用

PARTONE

基底的辨析

1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.

(1)空間向量的基底是唯一的.()

(2)若a,b,c是空間向量的一個基底,則a,b,c均為非零向量.()

(3)已知A,B,M,N是空間四點(diǎn),若,,不能構(gòu)成空間的一個基底,則A,B,M,N共面.()

(4)若{a,b,c}是空間的一個基底,且存在實(shí)數(shù)x,y,z使得xa+yb+zc=0,則有x=y=z=0.()

×

√

√

√

基底的辨析

2.已知向量{a，b，c}是空間的一個基底，則可以和向量p＝a＋b，q＝a－b構(gòu)成基底的向量是()

A．a(chǎn)B．bC．a(chǎn)＋2bD．a(chǎn)＋2c

解析：能與p，q構(gòu)成基底，則與p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝，∴A、B、C都不合題意，由于{a，b，c}構(gòu)成基底，∴a＋2c與p，q不共面，可構(gòu)成基底．

答案：D

基底的辨析

3.已知{e1，e2，e3}是空間的一個基底，且＝e1＋2e2－e3＝－3e1＋e2＋2e3，

＝e1＋e2－e3，試判斷{，，}能否作為空間的一個基底

基底的辨析

判斷三個空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不共面，則能構(gòu)成基底．

方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個向量可以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底．

②假設(shè)a＝λb＋μc，運(yùn)用空間向量基本定理，建立λ，μ的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無解，則不共面，能作為基底．

方法總結(jié)

4.設(shè)x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個基底,給出下列向量組:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作為空間一個基底的向量組有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

C

基底的辨析

用基底表示向量

1.如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC和BD的交點(diǎn)，若＝a，＝b，＝c，則＝________.

解析：＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.

－a＋b－c

用基底表示向量時(shí)，

若基底確定，要充分利用向量加法、減法的三角形法則和平