三角形和勾股定理

專題三角形和勾股定理精選考點專項突破卷（一）考試范圍：三角形和勾股定理；考試時間：90分鐘；總分：120分一、單選題（每小題3分，共30分)1．（2017·江蘇中考真題）三角形的重心是（）A．三角形三條邊上中線的交點B．三角形三條邊上高線的交點C．三角形三條邊垂直平分線的交點D．三角形三條內角平行線的交點2．（2019·江蘇中考真題）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．，， B．，，12 C．，， D．，，3．（2019·山東中考真題）如圖，是上一點，交于點，，，若，，則的長是（）A． B．1 C． D．24．（2019·吉林中考真題）如圖，在中，為鈍角．用直尺和圓規(guī)在邊上確定一點．使，則符合要求的作圖痕跡是（）A． B．C． D．5．（2019·湖南中考真題）如圖，在中，，，，BD平分，則點D到AB的距離等于（）A．4 B．3 C．2 D．1（2018·浙江中考真題）如圖，AD，CE分別是△ABC的中線和角平分線．若AB=AC，∠CAD=20°，則∠ACE的度數(shù)是（）A．20° B．35° C．40° D．70°7．（2015·貴州中考真題）下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)作為三角形的邊長,其中能構成直角三角形的是（）A． B．1,C．6,7,8 D．2,3,48．（2019·湖南中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點，作直線MN，交BC于點D，連接AD，則∠CAD的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．45° D．60°9．（2012·黑龍江中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長為（）A．20 B．12 C．14 D．1310．（2019·廣西中考真題）如圖，為等邊三角形，點從A出發(fā)，沿作勻速運動，則線段的長度y與運動時間x之間的函數(shù)關系大致是（）A． B．C． D．二、填空題（每小題4分，共28分)11．（2019·沭陽縣修遠中學中考模擬）如圖，A、B、C分別是線段A1B、B1C、C1A的中點，若△ABC的面積是1，那么△A1B1C1的面積為____.12．（2019·山東中考模擬）如圖，在線段AD，AE，AF中，△ABC的高是線段________.13．（2019·北京中考模擬）如圖，在△ABC中，射線AD交BC于點D，BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，請補充一個條件，使△BED≌△CFD，你補充的條件是______（填出一個即可）．14．（2019·北京中考模擬）當三角形中的一個內角α是另一個內角β的一半時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的“特征角”為直角三角形，則這個“特征角”的度數(shù)為______．15．（2019·遼寧中考模擬）如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點，若AB=8，CF=5，則BD=_______．16．（2018·安徽中考模擬）如圖,在矩形ABCD中,AB=5,BC=7,點E是AD上的一個動點,把△BAE沿BE向矩形內部折疊,當點A的對應點A1恰好落在∠BCD的平分線上時,CA1的長為__.

17．（2019·雙柏縣雨龍中學中考模擬）已知三角形的兩邊長分別是7和10，則第三邊長a的取值范圍是_____．三、解答題一（每小題6分，共30分)18．（2014·江蘇中考真題）如圖，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，D、E分別是AB、AC邊上的點，且BD=CE．求證：MD=ME．19．（2015·浙江中考真題）如圖，已知△ABC，∠C=90°，AC<BC，D為BC上一點，且到A，B兩點的距離相等．（1）用直尺和圓規(guī)，作出點D的位置（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）連結AD，若∠B=37°，求∠CAD的度數(shù)．20．（2013·浙江中考真題）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB，于點E（1）求證：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的長．21．（2019·重慶中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，連結AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F．（1）若∠C=36°，求∠BAD的度數(shù)．（2）若點E在邊AB上，EF//AC叫AD的延長線于點F．求證：FB=FE．22．（2019·四川中考真題）如圖，等腰直角三角板如圖放置．直角頂點C在直線m上，分別過點A、B作AE⊥直線m于點E，BD⊥直線m于點D．①求證：；②若設△AEC三邊分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．四、解答題二（每小題8分，共32分)23．（2017·江蘇中考真題）如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)．24．（2018·山東中考真題）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D為BC的中點．（1）如圖①，若點E、F分別為AB、AC上的點，且DE⊥DF，求證：BE=AF；（2）若點E、F分別為AB、CA延長線上的點，且DE⊥DF，那么BE=AF嗎？請利用圖②說明理由．25．（2015·廣西中考真題）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=AD．（1）作∠A的平分線交CD于E；（2）過B作CD的垂線，垂足為F；（3）請寫出圖中兩對全等三角形（不添加任何字母），并選擇其中一對加以證明．26．（2019·山東中考真題）在中，，，于點．（1）如圖1，點，分別在，上，且，當，時，求線段的長；（2）如圖2，點，分別在，上，且，求證：；（3）如圖3，點在的延長線上，點在上，且，求證：．三角形和勾股定理精選考點專項突破卷（一）參考答案1．A【解析】三角形的重心是三條中線的交點，故選A．2．D【解析】根據(jù)三角形三邊關系，看其中較小兩邊的和是否大于最長邊即可判斷各個選項中的三條線段是否能組成三角形．【詳解】，，，不能組成三角形，故選項A錯誤，，，，不能組成三角形，故選項B錯誤，，，，不能組成三角形，故選項C錯誤，，，，能組成三角形，故選項D正確，故選D．【點睛】本題考查了三角形三邊關系，解答本題的關鍵是明確三角形兩邊之和大于第三邊．3．B【解析】根據(jù)平行線的性質，得出，，根據(jù)全等三角形的判定，得出，根據(jù)全等三角形的性質，得出，根據(jù)，，即可求線段的長．【詳解】∵，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴.故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質的應用，能判定是解此題的關鍵．4．B【解析】由且知，據(jù)此得，由線段的中垂線的性質可得答案．【詳解】解：∵且，∴，∴，∴點是線段中垂線與的交點，故選B【點睛】考核知識點：線段垂直平分線.理解線段垂直平分線性質是關鍵.5．C【解析】如圖，過點D作于E，根據(jù)已知求出CD的長，再根據(jù)角平分線的性質進行求解即可.【詳解】如圖，過點D作于E，，，，，BD平分，，即點D到AB的距離為2，故選C．【點睛】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解題的關鍵.6．B【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形內角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．再利用角平分線定義即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【詳解】∵AD是△ABC的中線，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°-∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE=∠ACB=35°．故選B．【點睛】本題考查了等腰三角形的兩個底角相等的性質，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合的性質，三角形內角和定理以及角平分線定義，求出∠ACB=70°是解題的關鍵．7．B【解析】試題解析：A．（）2+（）2≠（）2，故該選項錯誤；B．12+（）2=（）2,故該選項正確；C．62+72≠82，故該選項錯誤；D．22+32≠42，故該選項錯誤.故選B.考點：勾股定理.8．B【解析】根據(jù)內角和定理求得∠BAC=60°，由中垂線性質知DA=DB，即∠DAB=∠B=30°，從而得出答案．【詳解】在△ABC中，∵∠B=30°，∠C=90°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，由作圖可知MN為AB的中垂線，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=30°，∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=30°，故選B．【點睛】本題主要考查作圖-基本作圖，熟練掌握中垂線的作圖和性質是解題的關鍵．9．C【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，∵點E為AC的中點，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE的周長=CD+DE+CE=4+5+5=14．故選C．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形三線合一的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．10．B【解析】根據(jù)題意可知點P從點A運動到點B時以及從點C運動到點A時是一條線段，故可排除選項C與D；點P從點B運動到點C時，y是x的二次函數(shù)，并且有最小值，故選項B符合題意，選項A不合題意．【詳解】根據(jù)題意得，點從點運動到點時以及從點運動到點時是一條線段，故選項C與選項D不合題意；點從點運動到點時，是的二次函數(shù)，并且有最小值，∴選項B符合題意，選項A不合題意．故選B．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象：通過分類討論，利用三角形面積公式得到y(tǒng)與x的函數(shù)關系，然后根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象與性質解決問題．11．7【解析】如下圖，連接A1C，B1A，C1B，，因B是線段B1C的中點，所以B1B=BC.△A1B1A和△AB1B等底同高，根據(jù)等底同高的兩個三角形面積相等可得S△B1AB=S△ABC=1；同理可得S△A1B1A=S△AB1B=1；所以=S△A1B1A+S△AB1B=1+1=2；同理可得S△C1CB1=2，S△C1AA1=2.S△A1B1C1=S△A1BB1+S△C1CB1+S△C1AA1+S△ABC=2+2+2+1=7.考點：等底同高的兩個三角形面積相等.12．AF【解析】從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．【詳解】∵AF⊥BC于F，∴AF是△ABC的高線，故答案為：AF．【點睛】本題主要考查了三角形的高線，銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，三條高所在直線相交于三角形外一點．13．答案不唯一，如BD=DC【解析】根據(jù)全等三角形的判定定理AAS判定△BED≌△CFD．【詳解】解：可以添加條件：BD=DC．理由：∵BD=CD；又∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠E=∠CFD=90°；∴在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS）．故答案是：答案不唯一，如BD=DC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．14．45°或30°【解析】分①“特征角”的2倍是直角時，根據(jù)“特征角”的定義列式計算即可得解；②“特征角”的2倍與“特征角”都不是直角，根據(jù)直角三角形兩銳角互余列方程求解即可．【詳解】解：①“特征角”的2倍是直角時，“特征角”=×90°=45°；②“特征角”的2倍與“特征角”都不是直角時，設“特征角是x”，由題意得，x+2x=90°，解得x=30°，所以，“特征角”是30°，綜上所述，這個“特征角”的度數(shù)為45°或30°．故答案為：45°或30°．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，主要利用了直角三角形兩銳角互余的性質，讀懂題目信息，理解“特征角”的定義是解題的關鍵．15．3【解析】∵AB//CF，∴∠A=∠FCE，∠ADE=∠F，又∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF=5，∵AB=8，∴BD=AB-AD=8-5=3，故答案為3.16．或【解析】過點A1作A1M⊥BC于點M.由A1C是角平分線可知∠A1CM=45°，可證明A1M=CM，可知△AMC是等腰直角三角形，設CM=A1M=x，在Rt△A1MB中利用勾股定理列方程求出x的值，根據(jù)△AMC是等腰直角三角形即可求出答案.【詳解】過點A1作A1M⊥BC于點M.∵點A的對應點A1恰落在∠BCD的平分線上，∠BCD=90°，∴∠A1CM=45°，即△AMC是等腰直角三角形，∴設CM=A1M=x,則BM=7-x.又由折疊的性質知AB=A1B=5，∴在直角△A1MB中，由勾股定理得A1M2=A1B2-BM2=25-(7-x)2，∴25-(7-x)2=x2,解得x1=3，x2=4，∵在等腰Rt△A1CM中,CA1=A1M，∴CA1=3或4.【點睛】本題考查折疊性質及解直角三角形，圖形折疊后對應邊相等，對應角相等，熟練掌握折疊的性質是解題關鍵.17．3＜a＜17．【解析】根據(jù)三角形的第三邊大于兩邊之差，小于兩邊之和，即可解決問題．【詳解】解：∵三角形的兩邊長分別是10和7，∴第三邊長a的取值范圍是3＜a＜17．故答案為3＜a＜17．【點睛】本題考查三角形三邊關系的運用，熟記三角形的第三邊大于兩邊之差，小于兩邊之和是解題的關鍵．18．證明見解析.【解析】試題分析：根據(jù)等腰三角形的性質可證∠DBM=∠ECM，可證△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解題．試題解析：證明：△ABC中，∵AB=AC，∴∠DBM=∠ECM.∵M是BC的中點，∴BM=CM.在△BDM和△CEM中，∵，∴△BDM≌△CEM（SAS）.∴MD=ME．考點：1.等腰三角形的性質；2.全等三角形的判定與性質.19．（1）點D的位置如圖所示（D為AB中垂線與BC的交點）．（2）16°．【解析】（1）根據(jù)到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，作出AB的中垂線．（2）要求∠CAD的度數(shù)，只需求出∠CAD，而由（1）可知：∠CAD=2∠B【詳解】解：（1）點D的位置如圖所示（D為AB中垂線與BC的交點）．（2）∵在Rt△ABC中，∠B=37°，∴∠CAB=53°．又∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=37°．∴∠CAD=53°—37°=16°．考點：尺規(guī)作圖，直角三角形兩銳角互余、垂直平分線的性質．20．（1）見解析（2）BD=2【解析】解：（1）證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．∵在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED，CD=1，∴DC=DE=1．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．（1）根據(jù)角平分線性質求出CD=DE，根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可．（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根據(jù)含30度角的直角三角形性質求出即可．21．（1）；（2）見解析.【解析】（1）利用等腰三角形的三線合一的性質證明∠ADB=90°，再利用等腰三角形的性質求出∠ABC即可解決問題.（2）只要證明∠FBE=∠FEB即可解決問題.【詳解】解：（1）D為BC的中點，（2）BE平分又【點睛】本題考查等腰三角形的性質，平行線的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.22．①證明見解析；②見解析.【解析】①通過AAS證得，根據(jù)全等三角形的對應邊相等證得結論；②利用等面積法證得勾股定理．【詳解】①證明：∵，∴．∵，∴．在△AEC與△BCD中，∴．∴；②解：由①知：∴．又∵．∴．整理，得．【點睛】主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性質，勾股定理的證明，解本題的關鍵是判斷兩三角形全等．23．（1）證明見解析；（2）112.5°．【解析】根據(jù)同角的余角相等可得到結合條件，再加上可證得結論；

根據(jù)得到根據(jù)等腰三角形的性質得到由平角的定義得到【詳解】證明：在△ABC和△DEC中，，（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．24．（1）證明見解析；（2）BE=AF，證明見解析.【解析】分析：（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△BDE≌△ADF（ASA），再根據(jù)全等三角形的性質即可證出BE=AF；（2）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質及等角的補角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△EDB≌△FDA（ASA），再根據(jù)全等三角形的性質即可得出BE=AF．詳（1）證明：連接AD，如圖①所示．∵∠A=90°，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形，∠EBD=45°．∵點D為BC的中點，∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF；（2）BE=AF，證明如下：連接AD，如圖②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°，∴∠EBD=∠FAD=135°．∵∠EDB+∠BDF=