北京市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)定位考試數(shù)學(xué)試卷（PDF版含答案）

第第頁(yè)北京市2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)定位考試數(shù)學(xué)試卷（PDF版含答案）2023—2024學(xué)年北京市新高三入學(xué)定位考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。考

試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

（1）已知集合A{x|3x1},B{x|2x4}，則AB

（A）(3,2)（B）(2,1)

（C）(1,4)（D）(3,4]

（2）已知復(fù)數(shù)z的共軛為z，若zz2，則z的實(shí)部為

（A）1（B）1

（C）i（D）i

（3）在(ax)3的展開式中，x的系數(shù)為12，則實(shí)數(shù)a的值為

（A）1（B）2

（C）3（D）4

22

（4）直線yx1被圓(x2)(y3)1所截得的弦長(zhǎng)為

（A）1（B）3

（C）2（D）3

（5）下列函數(shù)中，沒(méi)有對(duì)稱中心的是

1

（A）3f(x)（B）f(x)x

x1

（C）f(x)tanx（D）f(x)2|x|

π

（6）已知函數(shù)f(x)12sin2x，則f()的值為

8

12

（A）（B）

22

3

（C）（D）1

2

（7）等差數(shù)列{an}的其前n項(xiàng)和為Sn.若a11，S4a2a31，則{an}的公差為

1

（A）2或2（B）2或

2

1

（C）2或（D）3或2

2

數(shù)學(xué)試卷第1頁(yè)（共4頁(yè)）

{#{ABLYoEogggQgBAABgCVgCgEQkBECCIgOBAAMMAABSAFABAA=}#}

（8）已知不共線的兩個(gè)非零向量a,b，則“ab與ab所成角為鈍角”是“|a|<|b|”的

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（9）拋物線W:y22px的焦點(diǎn)為F.點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A.若以F為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與W

的兩個(gè)交點(diǎn)為B,C，則下面結(jié)論正確的是

（A）△一定是鈍角三角形（B）△可能是銳角三角形

（C）△一定是鈍角三角形（D）△可能是銳角三角形

D1

（10）棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDACDC11B1C1D1中，點(diǎn)P在棱上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在

A1B1

側(cè)面ADD1A1上運(yùn)動(dòng)，滿足B1Q平面AD1P，則線段PQ的最小值為

Q

P

6DC

（A）（B）1

3AB

（C）2（D）3

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

（11）函數(shù)f(x)lg(1x)x的定義域?yàn)開_______．

x2y2

（12）過(guò)雙曲線W:1的右焦點(diǎn)F作x軸的垂線，與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為A,B，若△為等

a2b2

邊三角形，則W的漸近線方程為________，W的離心率為________．

π

（13）在△中，b3，且sinB3sinA,C，則a________，c________．

6

x2a,xa,

（14）函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則a的一個(gè)值為________；a的最大值為________．

xa,xa

（15）已知數(shù)列{a}的前n項(xiàng)和為S，且aSknb，其中k,bnnnn不同時(shí)為0.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)k0時(shí)，{an}為等比數(shù)列；

②當(dāng)k0時(shí)，{an}一定不是等差數(shù)列；

③當(dāng)kb時(shí)，{an}為常數(shù)列；

④當(dāng)kb時(shí)，{an}是單調(diào)遞增數(shù)列.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_________．

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。

（16）（本小題13分）

數(shù)學(xué)試卷第2頁(yè)（共4頁(yè)）

{#{ABLYoEogggQgBAABgCVgCgEQkBECCIgOBAAMMAABSAFABAA=}#}

如圖，在長(zhǎng)方體ABCDABCD中，側(cè)面ABBA是正方形，且111111AF1D1

AB22，AD4，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在直線A上.BC1D111

A

（Ⅰ）若CCFD1F平面AA，求證：平面；1EAA1E

B

C

（Ⅱ）求二面角AA的余弦值．E1ED1

（17）（本小題13分）

π

已知f(x)sin(x)acosx，其中||.

2

π2

（Ⅰ）若f()，求的值；

22

（Ⅱ）從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

條件①：a3,；

3

條件②：a1,．

6

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

（18）（本小題14分）

為了解員工每日健步走的情況，某單位工會(huì)隨機(jī)抽取了300名

員工，借助計(jì)步小程序統(tǒng)計(jì)了他們每日健步走的步數(shù)(均不低于4千

步，不超過(guò)20千步)，按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示．

（Ⅰ）試估計(jì)該單位全體員工日行步數(shù)（單位：千步）的平均數(shù)(每組

數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)；

（Ⅱ）單位工會(huì)從全體員工中隨機(jī)選取3人，記表示3人中每日健

步數(shù)在14千步以上的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和期望；

（Ⅲ）假設(shè)單位員工甲、乙、丙三人某日健步走的步數(shù)分別為a,b,c，且a4,10，b10,16，c16,20，

則三人當(dāng)日健步走的步數(shù)的方差s2最小時(shí)，寫出a,b,c的一組值(不要求證明)．（單位：千步）

211

注：s=[(x1x)

2(x2x)

2(xnx)

2]，其中xx1x2xn.

nn

（19）（本小題15分）

xb

已知函數(shù)f(x)ax．曲線yf(x)在(0,f(0))的切線為yx1.

ex

數(shù)學(xué)試卷第3頁(yè)（共4頁(yè)）

{#{ABLYoEogggQgBAABgCVgCgEQkBECCIgOBAAMMAABSAFABAA=}#}

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）求證：函數(shù)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增；

（Ⅲ）求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

（20）（本小題15分）

x2y22

已知橢圓C:1的離心率為．

2b22

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）直線l:ykx1與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為P（點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上），點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，經(jīng)過(guò)

2

點(diǎn)Q且斜率為的直線與l交于點(diǎn)M，點(diǎn)N滿足PNx軸，MNx軸，求證：點(diǎn)N在直線

2

2

yx1上.

2

（21）（本小題15分）

給定正整數(shù)k,m，其中2mk，如果有限數(shù)列{a}同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱{a}為(k,m)數(shù)nn

列.記(k,m)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最小值為G(k,m).

條件①：{a}的每一項(xiàng)都屬于集合{1,2,3,...,k};n

條件②：從集合{1,2,3,...,k}中任取個(gè)不同的數(shù)排成一列，得到的數(shù)列都是{a}的子數(shù)列.n

注：從{a}中選取第i項(xiàng)、第i項(xiàng)、…、第項(xiàng)（其中n12isii...i）形成的新數(shù)列a，a，...，12si1ia2is

稱為{a的一個(gè)子數(shù)列．n}

（Ⅰ）分別判斷下面兩個(gè)數(shù)列是否為(3,3)數(shù)列，并說(shuō)明理由：

數(shù)列A:1,2,3,1,2,3,1,2,3；1

數(shù)列A:1,2,3,2,1,3,1；2

（Ⅱ）求證:G(k,2)2k1；

（Ⅲ）求G(4,4)的值.

（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效）

數(shù)學(xué)試卷第4頁(yè)（共4頁(yè)）

{#{ABLYoEogggQgBAABgCVgCgEQkBECCIgOBAAMMAABSAFABAA=}#}絕密★啟用前

2023年高三開學(xué)測(cè)試

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

（1）D（2）A（3）B（4）C（5）D

（6）B（7）B（8）C（9）A（10）A

二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

323

（11）[0,1)（12）yx，

33

（13）1，1（14）1（答案不唯一），1（15）①③④

說(shuō)明：第（12）（13）（14）第一空3分，第二個(gè)空2分，

第（15）題，選擇一個(gè)正確的給3分，兩個(gè)正確的給4分，三個(gè)正確的給5分，有

錯(cuò)誤選項(xiàng)的給零分.

三、解答題（共6小題，共85分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）因?yàn)锳BCDA1B1C1D1為長(zhǎng)方體，所以AACC．．．．．．1分11

所以CC平面AAE．．．．．．2分11

又C1F平面AAE，CCCFC．．．．．．3分1111

所以平面CCF平面1AA1E．．．．．．5分

又CF面CCF，1

所以CF平面AAE．．．．．．6分1

（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)BDA1，

z．．．．．．7分

AF1D1

則A(0,0,0)，E(22,2,0)，A1(0,0,22)，D1(0,4,22)

B1C1

設(shè)二面角AA1ED的平面角為1

A

Dy

因?yàn)锳E(22,2,0),AA(10,0,22)，

B

EC

x

A1E(22,2,22),A()1D10,4，0

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第1頁(yè)（共8頁(yè)）

{#{ABLYoEogggQgBAABgCVgCgEQkBECCIgOBAAMMAABSAFABAA=}#}

(,,)

BD2240,

AEBD0

所以

AA1BD0

所以平面AA1E的法向量為BD(22,4,0),

設(shè)平面AED的法向量為n(x,y,z)11

AEn22x2y22z0

所以

A1D1n4y0

令n(1,0,1)

BDn

所以|cos||cos

6

BD,n|||

|BD||n|6

6

所以二面角AA1ED余弦值為．．．．．．．13分1

6

（17）（共13分）

解：

π2πππ

（Ⅰ）因?yàn)槿鬴()，f(x)sin()acossin()cos．．．．．．４分

22222

2

所以cos

2

πππ

因?yàn)閨|，所以或．．．．．．６分

244

（Ⅱ）選條件①

π

因?yàn)閒(x)sin(x)3cosx

3

ππ

所以f(x)sinxcoscosxsin3cosx．．．．．．８分

33

1313

sinxcosx3cosxsinxcosx

2222

π

sin(x)．．．．．．1０分

3

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第2頁(yè)（共8頁(yè)）

{#{ABLYoEogggQgBAABgCVgCgEQkBECCIgOBAAMMAABSAFABAA=}#}

πππ5ππ

當(dāng)2kπx2kπ時(shí)，2kπx2kπ

23266

5ππ

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ,2kπ,kZ．．．．．．13分

66

選條件②

π

由f(x)sin(x)cosx

6

ππ

所以f(x)sinxcoscosxsincosx．．．．．．８分

66

3131

sinxcosxcosxsinxcosx

2222

π

sin(x)．．．．．．1０分

6

ππππ2π

當(dāng)2kπx2kπ時(shí)，2kπx2kπ

26233

π2π

所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kπ,2kπ,kZ．．．．．．13分

33

（18）（共14分）

解：（Ⅰ）根據(jù)題意，該單位工會(huì)月的人均健步步數(shù)估計(jì)為：

50.0170.0190.08110.58130.22150.06170.03190.01

11.68（千步）．．．．．．4分

（Ⅱ）的所有可能值為0,1,2,3．．．．．．5分

9372919243P(0)()，P(1)C1()2，

310100010101000

2192711P(2)C3()

2．P(3)()3．．．．．．9分

10101000101000

所以的分布列為

0123

729243271

P

1000100010001000

7292432713

故的期望E()0123．．．．．．．12分

100010001000100010

（Ⅱ）a9.999,b12.999,c16.000（或a9.999,b13.000,c16.000）

．．．．．．14分

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第3頁(yè)（共8頁(yè)）

{#{ABLYoEogggQgBAABgCVgCgEQkBECCIgOBAAMMAABSAFABAA=}#}

（19）（共15分）

xb1xb

解：（Ⅰ）因?yàn)閒(x)ax,所以f(x)a．．．．．．2分

exex

因?yàn)閥f(x)在(0,f(0))的切線為yx1

0b

所以f(0)01，．．．．．．3分

e0

10b

f(0)aa1b1．．．．．．4分

e0

所以b1,a1，．．．．．．6分

x12xexx2

（Ⅱ）因?yàn)閒(x)x，f(x)1

exexex

令h(x)exx2，所以h'(x)ex+1．．．．．．８分

當(dāng)

x1時(shí)，h'(x)0，

所以h(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增，又h(1)0

所以h(x)0對(duì)x(1,)成立．．．．．．10分

所以f(x)0對(duì)x(1,)成立

所以f(x)在區(qū)間(1,)上單調(diào)遞增．．．．．．11分

1x

（Ⅲ）法１：f(x)x

ex

1x

當(dāng)x0時(shí)，因?yàn)?e

x1，所以1x

ex

x11x

所以f(x)xxx1x0．．．．．．12分

exex

1x1x

當(dāng)0x1時(shí)，x0,0，所以f(x)x0．．．．．．13分

exex

當(dāng)x1由（Ⅱ）f(x)f(1)0．．．．．．14分

f(x)0

所以成立，所以函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)．．．．．．15分

1xxex1x

法2：f(x)xxxee

令g(x)xex1xx(ex1)1，

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第4頁(yè)（共8頁(yè)）

{#{ABLYoEogggQgBAABgCVgCgEQkBECCIgOBAAMMAABSAFABAA=}#}

x

當(dāng)x0時(shí)，e10，所以x(ex1)10

當(dāng)x0時(shí)，e

x10，所以x(ex1)10

所以f(x)0成立，所以函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)．．．．．．15分

1xxex1x

法3：f(x)x

exex

令g(x)xex1xx(ex1)1，所以g'(x)(x1)ex1

令h(x)g'(x)，所以h'(x)(x2)ex

當(dāng)x2時(shí)，h'(x)0，當(dāng)x2時(shí)，h'(x)0

所以h(x)在(,2)上單調(diào)遞減，在(2,)上單調(diào)遞增，

而x1時(shí)，h(x)0，且h(0)0

所以h(x)0對(duì)x0成立，h(x)0對(duì)x0成立

所以g(x)在(,0)上單調(diào)遞減，在(0,)上單調(diào)遞增，

即g(x)在x0時(shí)取得唯一一個(gè)極小值，而g(0)10

所以g(x)0成立，所以函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)．．．．．．15分

（20）（共15分）

解：（Ⅰ）由題設(shè)，得a2．．．．．．．1分

c2

又e，所以c1．．．．．．．3分

a2

所以b2a2c21．．．．．．4分

x2

所以橢圓C的方程為y21．．．．．．5分

2

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第5頁(yè)（共8頁(yè)）

{#{ABLYoEogggQgBAABgCVgCgEQkBECCIgOBAAMMAABSAFABAA=}#}

（Ⅱ）依題意，設(shè)P(xP,yP)，Q(xQ,yQ),M(xM,yM),N(x,y.NN)

因?yàn)橹本€l的方程為ykx1

ykx1,

由，得(12k

2)x24kx0．．．．．．７分

2

x2y

220

2

4k4k2k1

所以x，所以yk1．．．．．．9分P2P2212k12k12k

4k12k2

所以Q(,)．．．．．．10分

12k212k2

24k12k2

所以直線QM的方程為y(x)．．．．．．11分

212k212k2

24k12k2

y(x)

所以212k212k2

ykx1

22

所以x．．．．．．13分M

12k2

222k21

所以N(,)．．．．．．14分

12k212k2

2222k21

在直線方程yx1中，令x，得y，

2212k212k

2

即點(diǎn)N在直線yx1上．．．．．．15分

2

（21）（共15分）

（Ⅰ）A是，因?yàn)橄旅?個(gè)數(shù)列：1

1，2，3；1，3，2；2，1，3；

2，3，1；3，1，2；3，2，1都是A1的子數(shù)列；

A2不是，因?yàn)?，1，2不是A2的子數(shù)列.．．．．．．4分

數(shù)學(xué)（測(cè)試卷）參考答案第6頁(yè)（共8頁(yè)）

{#{ABLYoEogggQgBAABgCVgCgEQkBECCIgOBAAMMAABSAFABAA=}#}

（Ⅱ）G(k,2)2k1，構(gòu)造數(shù)列：1,2,3,...,k1,k,k1,k2,...,2,1，

檢驗(yàn)可知，這個(gè)數(shù)列是(k,2)數(shù)列．．．．．．5分

假設(shè)存在數(shù)列{a}是(k,2)數(shù)列，且{a}的項(xiàng)數(shù)2k2，nn

由于{an}的每一項(xiàng)都屬于{1,2,3,...,k}，

所以1,2,3,...,k中一定存在一個(gè)數(shù)在{a}中至多出現(xiàn)1次.n

根據(jù)條件②，1,2,3,...,k中每一個(gè)數(shù)在{a}中至少出現(xiàn)1次，n

故不妨設(shè)k在