【高中數(shù)學(xué)】等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課件 2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

第2章

一元二次函數(shù)、方程和不等式2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【素養(yǎng)目標(biāo)】1．了解現(xiàn)實世界和日常生活中的等量關(guān)系與不等關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象)2．了解不等式(組)的實際背景，會用不等式(組)表示不等關(guān)系．(數(shù)學(xué)建模)3．掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用．(邏輯推理)4．會用作差法(或作商法)比較兩個實數(shù)或代數(shù)式值的大小．(數(shù)學(xué)運算)5．能運用等式的性質(zhì)或不等式的性質(zhì)解決相關(guān)問題．(邏輯推理)【學(xué)法解讀】

在相等關(guān)系與不等關(guān)系的學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過類比學(xué)過的等式與不等式的性質(zhì)，進一步探索等式與不等式的共性與差異．

在現(xiàn)實世界和日常生活中，大量存在著相等關(guān)系和不等關(guān)系，例如多與少、大與小、長與短、高與矮、遠與近、快與慢、漲與跌、輕與重、不超過或不少于等．類似于這樣的問題，反映在數(shù)量關(guān)系上，就是相等與不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．【等式】指的是用等號“=”連接起來的式子.【不等式】指的是用不等號“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”連接起來的式子【問題1】你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？

問題1：不等關(guān)系及其表示（3）三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；（4）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.設(shè)P是直線AB外任意一點，PQ是P到AB的垂線段，C是直線AB上任意一點，則PC≥PQ.ABCPQ你能寫出其他的可能情況

嗎？【問題1】你能用不等式或不等式組表示下列問題中的不等關(guān)系嗎？

【問題2】某種雜志原本以每本2.5元的價格出售，可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，雜志的單價每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本.如何定價才能使?jié)q價后的總收入不低于20萬元?

所以用不等式表示為：問題1：不等關(guān)系及其表示問題2：不等式的性質(zhì)

實際上，在初中我們已經(jīng)通過具體實例歸納了一些不等式的性質(zhì)．那么，這些性質(zhì)為什么是正確的？還有其他不等式的性質(zhì)嗎？回答這些問題要用到關(guān)于兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實．

由于數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，所以可以利用數(shù)軸上點的位置關(guān)系來規(guī)定實數(shù)的大小關(guān)系：如圖，設(shè)a,b是兩個實數(shù)，它們在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別是A,B,當(dāng)點A在點B的左邊時，a<b;當(dāng)點A在點B的右邊時，a>b.

問題3：比較大小關(guān)于實數(shù)a,b大小的比較，有以下基本事實：如果a-b是正數(shù)，那么a>b;如果a-b等于0,那么a=b;如果a-b是負數(shù)，那么a<b.反過來也對.從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小．比較大小的基本方法【作差法】用符號表示為①

?????>?????>??②

?????<?????<??③

?????=?????=??0是正數(shù)與負數(shù)的分界點，它為實數(shù)比較大小提供了“標(biāo)桿”

【解】運用作差法：

0是正數(shù)與負數(shù)的分界線，它為比較實數(shù)的大小提供了標(biāo)桿.如圖是根據(jù)第24屆國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)設(shè)計的，會標(biāo)靈感來源于中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，圖中有什么不等關(guān)系？很顯然趙爽弦圖是我們在初中研究勾股定理時的模型，我們把它抽象成如圖所示的圖形.

問題4：一個重要不等式

事實上，利用完全平方公式也可以得到這個不等式：

因此，由兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實，我們得到：

問題4：一個重要不等式★性質(zhì)1【對稱性】★性質(zhì)2【傳遞性】★性質(zhì)3【加減性】★性質(zhì)4【同乘性】★性質(zhì)5【同除性】

思考

請你先梳理等式的基本性質(zhì)，再觀察它們的共性．你能歸納一下發(fā)現(xiàn)等式基本性質(zhì)的方法嗎？

可以發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)1，2反映了相等關(guān)系自身的特性，性質(zhì)3，4，5是從運算的角度提出的，反映了等式在運算中保持的不變性．問題5：等式有什么性質(zhì)★性質(zhì)1【對稱性】★性質(zhì)2【傳遞性】

我們來證明性質(zhì)2：

類比等式的性質(zhì)1，2，我們可以猜想不等式有如下性質(zhì)：問題6：不等式有什么性質(zhì)★性質(zhì)3【可加性】★性質(zhì)4【可乘性】★性質(zhì)5【同向可加性】

不等式兩邊同時加上一個數(shù)，不變號不等式兩邊同時乘上一個正數(shù)，不變號；

不等式兩邊同時乘上一個負數(shù)，要變號.

問題6：不等式有什么性質(zhì)類比等式的性質(zhì)3~5，可以猜想不等式還有如下性質(zhì)：★性質(zhì)6【同向同正可乘性】★性質(zhì)7【同正可乘方性】

等式不等式問題6：不等式有什么性質(zhì)我的等號左右能對應(yīng)加減乘除(除數(shù)不為0)，你行嗎？我只有同向可加性，同向可乘還必須保證是正數(shù)！

＞＜＜＜習(xí)題2.1（第42頁）2．某市環(huán)保局為增加城市的綠地面積，提出兩個投資方案：方案A為一次性投資500萬元；方案B為第一年投資100萬元，以后每年投資10萬元．列出不等式表示“經(jīng)過n年之后，方案B的投入不少于方案A的投入”．4．一個大于50且小于60的兩位數(shù)，其個位數(shù)字比十位數(shù)字大2．試用不等式表示上述關(guān)系，并求這個兩位數(shù)（用a和b分別表示這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字）．B9．證明：圓的面積大于與它具有相同周長的正方形的面積．并據(jù)此說明，人們通常把自來水管的橫截面制成圓形，而不是正方形的原因．所以圓的面積更大原因：自來水管的橫截面是圓形的，可以最大面積地使水通過，減少阻力．12．火車站有某公司代運的甲種貨物1530，乙種貨物1150．現(xiàn)計劃用A，B兩種型號的貨廂共50節(jié)運送這批貨物．已知35甲種貨物和15乙種貨物可裝滿一節(jié)A型貨廂，25甲種貨物和35乙種貨物可裝滿一節(jié)B型貨廂，據(jù)此安排A，B兩種貨廂的節(jié)數(shù)，共有幾種方案？若每節(jié)A型貨廂的運費是0