專題3 以楊輝三角為背景的題組訓(xùn)練（解析版）

【高中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)文化鑒賞與學(xué)習(xí)】專題3楊輝三角（以楊輝三角為背景的高中數(shù)學(xué)考題題組訓(xùn)練）一、單選題1．如圖，楊輝三角出現(xiàn)于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》中，它揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．由此可得圖中第10行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和為（

）A．256 B．512 C．1024 D．1023【答案】B【解析】【分析】由圖形以及二項(xiàng)式系數(shù)和的有關(guān)性質(zhì)可得.【詳解】由圖知，第10行的所有數(shù)字之和為，由二項(xiàng)式系數(shù)和的性質(zhì)知，第10行排在偶數(shù)位置的所有數(shù)字之和為．故選：B2．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中（如圖），記第2行的第3個(gè)數(shù)字為，第3行的第3個(gè)數(shù)字為，……，第行的第3個(gè)數(shù)字為則（

）A．165 B．120 C．220 D．96【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由楊輝三角可得，再由組合數(shù)的性質(zhì)可求得答案【詳解】由題意得，，則，故選：A3．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就在楊輝三角中，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……則此數(shù)列的前46項(xiàng)和為（

）A．4080 B．2060 C．2048 D．2037【答案】D【解析】【分析】根據(jù)規(guī)律得出楊輝三角中每一行的和，每一行的數(shù)的個(gè)數(shù)，這樣可確定題中數(shù)列前46項(xiàng)，正好包含楊輝三角中前11行，加上第12行的第2個(gè)數(shù)11，由此可得結(jié)論．【詳解】楊輝三角的第n行的和為，故前n行的和為，每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，…，可看成以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，則，當(dāng)時(shí)，，去除兩端的1可得，則此數(shù)列的前46項(xiàng)的和為：．故選：D4．如圖所示是一個(gè)類似楊輝三角的遞推式，則第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為（

）A．2n B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定數(shù)陣，觀察首尾兩個(gè)數(shù)的特征，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解作答.【詳解】依題意，每一行第一個(gè)數(shù)依次排成一列為：1，3，5，7，9，…，它們成等差數(shù)列，通項(xiàng)為，所以第n行的首尾兩個(gè)數(shù)均為.故選：B5．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，第n行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為（

）A．2060 B．2038 C．4084 D．4108【答案】C【解析】【分析】將所求數(shù)列之和，轉(zhuǎn)化為楊輝三角每一行對(duì)應(yīng)數(shù)之和，再結(jié)合楊輝三角每一行的和為，即可求得結(jié)果.【詳解】去除所有為1的項(xiàng)后，剩下的每一行的個(gè)數(shù)為，對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，則前行數(shù)字個(gè)數(shù)之和為，當(dāng)時(shí)，，故該數(shù)列前56項(xiàng)和表示：楊輝三角中前12行數(shù)字之和，減去所有23個(gè)1，再加上楊輝三角中第13行第二個(gè)數(shù)字12即可，故所求數(shù)列的前項(xiàng)和為：.故選：C.6．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中，若第n行中從左至右只有第12個(gè)數(shù)為該行中的最大值，則n=（

）A．21 B．22 C．23 D．24【答案】B【解析】【分析】由題意可知，第n行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，再利用二項(xiàng)式的系數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，第n行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).因?yàn)橹挥械?2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，解得，故選：B7．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)，則的值為（

）A．1225 B．1275 C．1326 D．1362【答案】B【解析】【分析】觀察前4項(xiàng)可得，從而可求得結(jié)果【詳解】由題意可得，……，觀察規(guī)律可得，所以，故選：B8．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中虛線上的數(shù)，，，，…構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)楊輝三角可得數(shù)列的遞推公式，結(jié)合累加法可得數(shù)列的通項(xiàng)公式與.【詳解】由已知可得數(shù)列的遞推公式為，且，且，故，，，，，等式左右兩邊分別相加得，，故選：B.9．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個(gè)數(shù)是（

）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A．21 B．28 C．36 D．56【答案】B【解析】【分析】由題意知第8行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，可得第8行，第3個(gè)數(shù)是為，即可求解．【詳解】解：由題意知第8行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，故第8行，第3個(gè)數(shù)是為．故選：B．10．下表出現(xiàn)在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝的著作《詳解九章算法》中，稱之為“楊輝三角”，該表中第10行第7個(gè)數(shù)是（

）A．120 B．210 C．84 D．36【答案】C【解析】【分析】由題意第九行的數(shù)就是的展開式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)可得答案.【詳解】由題意，第九行的數(shù)就是的展開式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，所以第10行第7個(gè)數(shù)是．故選：C.11．將三項(xiàng)式展開，得到下列等式：廣義楊輝三角形第0行

1第1行

1

1

1第2行

1

2

3

2

1第3行

1

3

6

7

6

3

1第4行

1

4

10

16

19

16

10

4

1觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個(gè)數(shù)是它正上方與左右兩肩上的3個(gè)數(shù)（不足3個(gè)數(shù)時(shí)，缺少的數(shù)以0計(jì)）之和，第行共有個(gè)數(shù).則關(guān)于的多項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)的展開式的各項(xiàng)的系數(shù)符合廣義楊輝三角形的規(guī)律，得到的展開式的各項(xiàng)的系數(shù)求解.【詳解】解：由題意得：的展開式的各項(xiàng)的系數(shù)符合廣義楊輝三角形的規(guī)律：第0行為1，以下各行每個(gè)數(shù)是它正上方與左右兩肩上的3個(gè)數(shù)（不足3個(gè)數(shù)，缺少的數(shù)以0計(jì)）之和，第k行共有2k+1個(gè)數(shù)，根據(jù)廣義楊輝三角形的規(guī)律，的展開式的各項(xiàng)的系數(shù)為1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，則，其展開式中含有的項(xiàng)為，則，所以項(xiàng)的系數(shù)為，故選：D12．如圖所示，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，…，記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則等于(

)A．144 B．146 C．164 D．461【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)，利用分組求和法即可求.【詳解】由題圖知，數(shù)列中的首項(xiàng)是，第2項(xiàng)是，第3項(xiàng)是，第4項(xiàng)是，……，第15項(xiàng)是，第16項(xiàng)是．∴．故選：C．13．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年.在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中（如圖），記第2行的第3個(gè)數(shù)字為，第3行的第3個(gè)數(shù)字為，…，第行的第3個(gè)數(shù)字為，則（

）第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1…

…

…

…A．220 B．186 C．120 D．96【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系及組合數(shù)性質(zhì)可解.【詳解】.故選：A.14．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大的成就，如圖所示，在“楊輝三角”中，前n行的數(shù)字總和記作．設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項(xiàng)依次組成新的數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和記作，則的值為（

）A．6067 B．5052 C．3048 D．1518【答案】D【解析】【分析】利用等比數(shù)列的求和公式求出，進(jìn)而求出，再根據(jù)為整數(shù)分析可知，數(shù)列是由從開始的不是的倍數(shù)的正整數(shù)組成的，由此求出，即可得解.【詳解】由楊輝三角可得，所以，若，為正整數(shù)，則不是正整數(shù)，不合題意；若，為正整數(shù)，則是正整數(shù)，符合題意；若，為正整數(shù)，則是正整數(shù)，符合題意，所以數(shù)列是由從開始的不是的倍數(shù)的正整數(shù)組成的，所以，所以.故選：D15．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早出現(xiàn)在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中，法國數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律.“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示.則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（

）A．B．在第2022行中第1011個(gè)數(shù)最大C．第6行的第7個(gè)數(shù)、第7行的第7個(gè)數(shù)及第8行的第7個(gè)數(shù)之和等于9行的第8個(gè)數(shù)D．第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為2：3【答案】C【解析】【分析】A選項(xiàng)由及即可判斷；B選項(xiàng)由二項(xiàng)式系數(shù)的增減性即可判斷；C選項(xiàng)由及即可判斷；D選項(xiàng)直接計(jì)算比值即可判斷.【詳解】由可得，故A錯(cuò)誤；第2022行中第1011個(gè)數(shù)為，故B錯(cuò)誤；，故C正確；第34行中第15個(gè)數(shù)與第16個(gè)數(shù)之比為，故D錯(cuò)誤.故選：C.16．“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如圖所示的是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…構(gòu)成數(shù)列，記為該數(shù)列的第n項(xiàng)，則（

）A．2016 B．4032 C．2020 D．4040【答案】A【解析】【分析】設(shè)第個(gè)數(shù)為，觀察圖中的數(shù)據(jù)可得，，，利用累加法可求，從而可求的值．【詳解】解：設(shè)第個(gè)數(shù)為，則，，，，，累加可得，，，，故選：A17．將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，可得到如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為“萊布尼茨三角形”，從萊布尼茨三角形可以看出，存在使得，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，可得，再根據(jù)組合數(shù)得計(jì)算，計(jì)算即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可得，，所以.故選：C18．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的前35項(xiàng)和為（

）A．994 B．995 C．1003 D．1004【答案】B【解析】【分析】沒有去掉“1”之前，可得每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，可求出其前項(xiàng)和為，每一行的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而可求出前項(xiàng)總個(gè)數(shù)為，由此可計(jì)算出第10行去掉“1”后的最后一個(gè)數(shù)為第36個(gè)數(shù)，從而可求出前35項(xiàng)和。【詳解】沒有去掉“1”之前，第1行的和為，第2行的和為，第3行的和為，以此類推，即每一行數(shù)字和為首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則前項(xiàng)和為．每一行的個(gè)數(shù)為1，2，3，4，…，可以看成構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則前項(xiàng)總個(gè)數(shù)為．當(dāng)時(shí)，，去掉兩端“1”，可得，則去掉兩端“1”后此數(shù)列的前36項(xiàng)和為，所以第36項(xiàng)為第10行去掉“1”后的最后一個(gè)數(shù)為，所以該數(shù)列的前35項(xiàng)和為．故選：B.19．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)，引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為1，1，2，3，5，8，13，，則下列選項(xiàng)不正確的是（

）A．在第9條斜線上，各數(shù)之和為55B．在第條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小C．在第條斜線上，共有個(gè)數(shù)D．在第11條斜線上，最大的數(shù)是【答案】A【解析】【分析】根據(jù)從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，…，得到數(shù)列規(guī)律為判斷A選項(xiàng)，再根據(jù)楊輝三角得到第n條斜線上的數(shù)為：，進(jìn)而判斷BCD.【詳解】從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，，其規(guī)律是，所以第9條斜線上各數(shù)之和為13+21=34，故A錯(cuò)誤；第1條斜線上的數(shù)：，第2條斜線上的數(shù)：；第3條斜線上的數(shù)：，第4條斜線上的數(shù)：，第5條斜線上的數(shù)：，第6條斜線的數(shù)：，……，依此規(guī)律，第n條斜線上的數(shù)為：，在第11條斜線上的數(shù)為，最大的數(shù)是，由上面的規(guī)律可知：n為奇數(shù)時(shí)，第n條斜線上共有個(gè)數(shù)；n為偶數(shù)時(shí)，第n條斜線上共有共有個(gè)數(shù)，所以第n條斜線上共，故C正確；由上述每條斜線的變化規(guī)律可知：在第條斜線上，各數(shù)自左往右先增大后減小，故B正確.故選：A.20．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中首次提出“楊輝三角”，如圖所示，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大的成就.在“楊輝三角”中，已知每一行的數(shù)字之和構(gòu)成的數(shù)列為等比數(shù)列且記該數(shù)列前項(xiàng)和為，設(shè)，將數(shù)列中的整數(shù)項(xiàng)組成新的數(shù)列，則的值為（

）A．5043 B．5047 C．5048 D．5052【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合“楊輝三角”的性質(zhì)求出，進(jìn)而得到數(shù)列，根據(jù)數(shù)列中整數(shù)項(xiàng)的規(guī)律，求出，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，結(jié)合“楊輝三角”的性質(zhì)，知，因此，由題意得，此數(shù)列的整數(shù)項(xiàng)為2，3，7，8，12，13，，其規(guī)律為各項(xiàng)之間以+1，+4，+1，+4，+1，+4，，遞增，因此數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以5為公差，2為首項(xiàng)的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以5為公差，3為首項(xiàng)的等差數(shù)列，即，故.故選：D.二、填空題21．楊輝三角在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中被記載．它的開頭幾行如圖所示，它包含了很多有趣的組合數(shù)性質(zhì)，如果將楊輝三角從第1行開始的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，得到的三角形稱為“萊布尼茨三角形”，萊布尼茨由它得到了很多定理，甚至影響到了微積分的創(chuàng)立，請(qǐng)問“萊布尼茨三角形”第9行第4個(gè)數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)楊輝三角形的特征可得第9行第4個(gè)數(shù)為，結(jié)合“萊布尼茨三角形”的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闂钶x三角的第9行第4個(gè)數(shù)為，所以“萊布尼茨三角形”第9行第4個(gè)數(shù)是．故答案為：22．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)杰出的研究成果之一.如圖所示，由楊輝三角的左腰上的各數(shù)出發(fā)引一組平行線，從上往下每條線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，…，則第10條斜線上，各數(shù)之和為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)字之間的關(guān)系找到規(guī)律，然后進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閺纳贤旅織l線上各數(shù)之和依次為：1，1，2，3，5，8，13，…，所以可以判斷從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)是它前兩個(gè)數(shù)的和，所以可得：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，因此第10條斜線上，各數(shù)之和為，故答案為：23．“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其“肩上”的兩個(gè)數(shù)之和，例如第4行的6為第3行中兩個(gè)3的和．若在“楊輝三角”中從第二行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所指的數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則在該數(shù)列中，第35項(xiàng)是______．【答案】171【解析】【分析】根據(jù)楊輝三角，總結(jié)出規(guī)律，確定其第行的第三個(gè)數(shù)的通項(xiàng)，再確定第35項(xiàng)是第19行的第三個(gè)數(shù)，由通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果【詳解】由楊輝三角可得，第2行的第三個(gè)數(shù)為1；第3行的第三個(gè)數(shù)為；第4行的第三個(gè)數(shù)為；第5行的第三個(gè)數(shù)為；……因此第行的第三個(gè)數(shù)為；而該數(shù)列的第35項(xiàng)是第19行的第三個(gè)數(shù)，所以第35項(xiàng)是故答案為：17124．楊輝是我國南宋的一位杰出的數(shù)學(xué)家，在他所著的《詳解九章算法》一書中，畫的一張表示二項(xiàng)式展開后的系數(shù)構(gòu)成的三角圖形，稱為“開方做法本源”．現(xiàn)在簡稱為“楊輝三角”．下圖是，當(dāng)時(shí)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)表示形式．按這個(gè)規(guī)律，第9行第8個(gè)數(shù)為________．【答案】36【解析】【分析】由“楊輝三角”歸納出結(jié)論．【詳解】由“楊輝三角”知其第9行第8個(gè)數(shù)．故答案為：3625．習(xí)近平總書記在“十九大”報(bào)告中指出：堅(jiān)定文化自信，推動(dòng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化．“楊輝三角”揭示了二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列規(guī)律，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．“楊輝三角”是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就，激發(fā)起一批又一批數(shù)學(xué)愛好者的探究欲望．如圖所示，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角中，第10行第8個(gè)數(shù)是______．【答案】120【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式系數(shù)的相關(guān)知識(shí)即可求解.【詳解】因?yàn)?，二?xiàng)式展開式第項(xiàng)的系數(shù)為，所以，第10行第8個(gè)數(shù)是.故答案為：12026．楊輝三角是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，它把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合.如圖所示的楊輝三角中，從第3行開始，每一行除1以外，其他每一個(gè)數(shù)字都是其上一行的左、右兩個(gè)數(shù)字之和，若在楊輝三角中存在某一行，滿足該行中有三個(gè)相鄰的數(shù)字之比為4∶5∶6，則這一行是第__________行.第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1第6行1

6

15

20

15

6

1【答案】98【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用二項(xiàng)式系數(shù)列出方程組，結(jié)合組合數(shù)公式求解作答.【詳解】依題意，，第n行各數(shù)從左到右均滿足：，設(shè)第n行的相鄰三個(gè)數(shù)為：，于是得，即，整理得：，解得：，所以這一行是第98行.故答案為：9827．將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成，就得到一個(gè)如圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，令，則_______.【答案】【解析】【分析】分析可得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】因?yàn)?，所以?故答案為：.28．楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中用如圖所示的三角形解釋二項(xiàng)式乘方展開式的系數(shù)規(guī)律．現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，