高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系第2課時用空間向量研究直線平面的垂直關(guān)系課件新人教版選修1

1.4.1

用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系第2課時

用空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系課前·基礎(chǔ)認(rèn)知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標(biāo)定位隨堂訓(xùn)練素養(yǎng)?目標(biāo)定位目標(biāo)素養(yǎng)1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.2.會用直線的方向向量及平面的法向量證明直線與直線、直線與平面及平面與平面的垂直問題.3.通過本節(jié)課學(xué)習(xí),提升學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象以及邏輯推理的核心素養(yǎng).知識概覽課前·基礎(chǔ)認(rèn)知空間中直線、平面的垂直

答案:C解析:∵平面α⊥平面β,∴n·m=0.將選項代入驗證,可知C滿足.故選C.課堂·重難突破一

證明線線垂直典例剖析1.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1,M是BC的中點,N是CC1上的點,且

.求證:AB1⊥MN.規(guī)律總結(jié)利用空間向量證明兩條直線垂直的常用方法及步驟:(1)基向量法①選取三個不共面的已知向量(通常是它們的模及其兩兩夾角為已知)為空間的一個基底;②把兩條直線的方向向量用基底表示;③利用向量的數(shù)量積運(yùn)算,計算出兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,得到方向向量垂直;④由方向向量垂直得到兩條直線垂直.(2)坐標(biāo)法①根據(jù)已知條件和圖形特征,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,正確地寫出各點的坐標(biāo);②根據(jù)所求出的點的坐標(biāo)求出兩條直線的方向向量的坐標(biāo);③計算出兩條直線的方向向量的數(shù)量積為0,得到方向向量垂直;④由方向向量垂直得到兩條直線垂直.學(xué)以致用1.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,求證:AC⊥BC1.證明:在△ABC中,∵AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC.又在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,∴AC,BC,C1C兩兩互相垂直.如圖,以C為原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),二

證明線面垂直典例剖析2.如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1的中點.求證:AB1⊥平面A1BD.證明:如圖,取BC的中點O,連接AO.因為△ABC為正三角形,所以AO⊥BC.又在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,平面ABC∩平面BCC1B1=BC,AO?平面ABC,所以AO⊥平面BCC1B1.如圖,以O(shè)為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,互動探究(變問法)本例條件不變,試問:在線段A1B1上,是否存在點P,使得AP⊥平面A1B1D?若存在,說明點P的位置;若不存在,說明理由.規(guī)律總結(jié)用坐標(biāo)法證明線面垂直的方法及步驟方法一:(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線,并用坐標(biāo)表示它們的方向向量.(4)分別計算兩組向量的數(shù)量積,由數(shù)量積為0,得到線線垂直.(5)利用線面垂直的判定定理,得到線面垂直.方法二:(1)建立空間直角坐標(biāo)系.(2)將直線的方向向量用坐標(biāo)表示.(3)求出平面的法向量.(4)根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量共線,得到線面垂直.學(xué)以致用2.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,P為DD1的中點.求證:PB1⊥平面PAC.證明:如圖,以D為原點,DC,DA,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(1,0,0),A(0,1,0),P(0,0,1),B1(1,1,2),三

證明面面垂直典例剖析3.三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=

,AB=AC=2A1C1=2,D為BC的中點.求證:平面A1AD⊥平面BCC1B1.證明:如圖,以A為原點,AB,AC,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,規(guī)律總結(jié)向量法證明:面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明:的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.學(xué)以致用3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BB1,CD的中點.(1)求證:平面AED⊥平面A1FD1;(2)在線段AE上求一點M,使得A1M⊥平面AED.(1)證明:如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2,則D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),令y=1,則z=-2.所以n1=(0,1,-2)為平面AED的一個法向量.同理,n2=(0,2,1)為平面A1FD1的一個法向量.因為n1·n2=0+2-2=0,所以n1⊥n2,所以平面AED⊥平面A1FD1.隨堂訓(xùn)練1.(多選題)已知兩條直線的方向向量分別為a,b,則下列選項能使這兩條直線垂直的為(

)A.a=(1,0,0),b=(0,-3,0)B.a=(0,1,0),b=(1,0,1)C.a=(0,1,-1),b=(0,-1,1)D.a=(1,0,1),b=(-1,0,1)答案:ABD2.若直線l的一個方向向量為a=(1,0,2),平面α的一個法向量為n=(-2,0,-4),則(

)A.l∥α B.l⊥αC.l?α D.l與α斜交答案:B解析:由題意可知,a∥n,故l⊥α.3.已知平面α的一個法向量為m=(1,2,0),平面β的一個法向量為n=(2,-1,0),則平面α與平面β的位置關(guān)系是(

)A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.不能確定答案:C解析:∵m·n=0,∴m⊥n,∴α⊥β.4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E為A1C1的中點,則直線CE垂直于(

)A.AC B.BD

C.A1D D.A1A答案:B解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,5.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點.(1)求證:EF⊥CD;(2)在平面PAD內(nèi)求一點G