2023年中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型全歸納(全國(guó)通用版)：專題16 圖形變換中的重要模型之旋轉(zhuǎn)模型（原卷版）

專題16圖形變換中的重要模型之旋轉(zhuǎn)模型幾何變換中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題是歷年中考考查頻率高且考查難度較高，綜合性強(qiáng)，通常有線段、三角形、（特殊）平行四邊形的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題。在解決此類問(wèn)題時(shí)，要牢牢把握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，再結(jié)合幾何圖形本身的性質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中變化的量和不變的量，運(yùn)用三角形全等或相似的有關(guān)知識(shí)，求解有關(guān)角、線段及面積問(wèn)題。模型1.三角形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2020·四川綿陽(yáng)·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝2，AD＝2，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得△，當(dāng)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，△CD為等腰三角形，若B＝2，則A＝（）A． B．2 C． D．變式1．（2022·山西·中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在Rt△ABC斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點(diǎn)M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線段CN的長(zhǎng)；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AM=AN時(shí)，直接寫(xiě)出線段AN的長(zhǎng)．2）最值（范圍）型例1．（2022·江蘇常州·一模）如圖，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠BAC＝∠DCE＝90°，AB＝AC＝4，CD＝CE＝2，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，則線段AF的最小值是______．變式1．（2021·四川成都·中考真題）在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)M，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接，直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3）綜合證明型例1．（2021·黑龍江·中考真題）在等腰中，，是直角三角形，，，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．（1）當(dāng)，點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖①所示，求證：．（2）當(dāng)，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)B落在邊AD上時(shí)，如圖②所示，當(dāng)，點(diǎn)B在邊AE上時(shí)，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段和又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想，不需證明．變式1．（2021·山東濰坊·中考真題）如圖1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D為△ABC內(nèi)部的一動(dòng)點(diǎn)（不在邊上），連接BD，將線段BD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)F的位置；將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)E的位置，連接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求證：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值為；②當(dāng)CD+DF+FE取得最小值時(shí)，求證：AD∥BF．（3）如圖2，M，N，P分別是DF，AF，AE的中點(diǎn)，連接MP，NP，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷∠MPN的大小是否為定值．若是，求出其度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．模型2.平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2022·浙江寧波·一模）如圖，一副三角板如圖1放置，，頂點(diǎn)重合，將繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)，連接，，此時(shí)四邊形的面積是________．變式1．（2022·廣東廣州·一模）如圖，將?ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?AB′C′D′的位置，使點(diǎn)B′落在BC上，B′C′與CD交于點(diǎn)E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)__．2）最值（范圍）型例1．（2022·廣東·深圳九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，∠ABC＝45°，點(diǎn)E為射線AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE，將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BF，連接AF，則AF的最小值是_____．變式1．（2022·河南洛陽(yáng)·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)（含B、C兩點(diǎn)）．連接AE，以點(diǎn)A為中心，將線段AE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AF，連接DF，則線段DF長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．3）分類討論型例1．（2022·江西·尋烏縣二模）如圖，在平行四邊形中，，，．點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．若點(diǎn)恰好落在平行四邊形的邊所在的直線上，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____________．變式1．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝10，高AH＝4，點(diǎn)E是邊AD上任意一點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)B繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在平行四邊形的邊上，則AE＝______．4）綜合證明型例1．（2022·廣西·九年級(jí)期中）如圖，在中，，將繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，此時(shí)點(diǎn)D在上，連接，線段分別交于點(diǎn)H、K，則下列四個(gè)結(jié)論中：①；②是等邊三角形；③；④當(dāng)時(shí)，；正確的是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③變式1．（2022·山西陽(yáng)泉·一模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題背景】如圖1，平行四邊形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，AD＝8．點(diǎn)E、G分別是AD和DC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E、G分別作DC和AD的平行線，兩線交于點(diǎn)F，顯然，四邊形DEFG是平行四邊形．【獨(dú)立思考】(1)線段AE和線段CG的數(shù)量關(guān)系是：______．(2)將平行四邊形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE落在DC邊上時(shí)，如圖2，連接AE和CG．①求AE的長(zhǎng)；②猜想AE與CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；【問(wèn)題解決】(3)將平行四邊形DEFG繼續(xù)繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖3），AE與CG交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CG的長(zhǎng)和∠APC的度數(shù)．模型3.菱形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2022·安徽黃山·二模）如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，OD＝2，將BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到BE，交CD于點(diǎn)F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，則CF＝___．變式1．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為3的菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到菱形的位置，使點(diǎn)落在上，與交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．2）最值（范圍）型例1．（2022·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式1．（2022·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，∠ABC＝60°，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為直線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE，將線段EC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BCD的角度后得到對(duì)應(yīng)的線段CF（即∠ECF＝∠BCD），DF長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)________．3）綜合證明型例1．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，正方形ABCD兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，正方形與正方形ABCD的邊長(zhǎng)相等，在正方形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，邊交邊AB于點(diǎn)M，邊交邊BC于點(diǎn)N．①線段BM、BN、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是________；②四邊形OMBN與正方形ABCD的面積關(guān)系是________；【類比探究】(2)如圖2，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“含60°的菱形ABCD”，即，且菱形與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等．當(dāng)菱形繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，保持邊交邊AB于點(diǎn)M，邊交邊BC于點(diǎn)N．請(qǐng)猜想：①線段BM、BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系是_________________；②菱形OMBN與菱形ABCD的面積關(guān)系是________；請(qǐng)你證明其中的一個(gè)猜想．【拓展延伸】(3)如圖3，把（2）中的條件“”改為“”，其他條件不變，則①________；（用含α的式子表示）②________．（用含α的式子表示）變式1．（2022·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在菱形和菱形中，點(diǎn)，，在同一條直線上，是線段的中點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，探究與的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（2）如圖1，若，，求菱形的面積．（3）如圖2，將圖1中的菱形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的邊恰好與菱形的邊在同一條直線上，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系．模型4.矩形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2022·江西·統(tǒng)考三模）如圖，矩形ABCD中，，，將矩形ABCD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AFGE，當(dāng)點(diǎn)F落在邊CD上時(shí)，連接BF、DE，則（

）A． B． C． D．變式1．（2022·江蘇無(wú)錫·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，AB′交CD于點(diǎn)E，且DE＝B′E，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)____．2）最值（范圍）型例1．（2022·廣東廣州·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP'，連接PP'，CP'．當(dāng)點(diǎn)P'落在邊BC上時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為_(kāi)_______；當(dāng)線段CP'的長(zhǎng)度最小時(shí)，∠PP'C的度數(shù)為_(kāi)_______變式1．（2022·江蘇·江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)一模）如圖，在矩形ABCD中，，，點(diǎn)P為邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP，點(diǎn)P繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使，以CP、CE為鄰邊作矩形PCEF，連接DE、DF，則和面積之和的最小值為_(kāi)_____．3）分類討論型例1．（2022·江蘇·一模）如圖，將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°≤θ≤360°），得到矩形AEFG．（1）當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，求證：AF∥BD；（2）當(dāng)GC＝GB時(shí)，求θ；（3）當(dāng)AB＝10，BG＝BC＝13時(shí)，求點(diǎn)G到直線CD的距離．4）綜合證明型例1．（2022·重慶·一模）矩形ABCD中．∠ADB＝30°，△AEF中，∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，AEBD．連接EC，點(diǎn)G是EC中點(diǎn)．將△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°）．(1)如圖1，若A恰好在線段CE延長(zhǎng)線上，CD＝2，連接FG，求FG的長(zhǎng)度；(2)如圖2，若點(diǎn)F恰好落在線段EC上，連接BG．證明：2（GC﹣GB）DC；(3)如圖3，若點(diǎn)F恰好落在線段BA延長(zhǎng)線上，M是線段BC上一點(diǎn)，3BM＝CM，P是平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足∠MPC＝∠DCE，連接PF，已知CD＝2，求線段PF的取值范圍．變式1．（2022·四川·眉山市東坡區(qū)模擬預(yù)測(cè)）如圖，Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AHD，過(guò)D作DC⊥BE交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接BH并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F，連接DE交BF于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①DE平分∠HDC；②DO=OE；③H是BF的中點(diǎn)；④BC-CF=2CE；⑤CD=HF，其中正確的有（

）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)模型5.正方形中的旋轉(zhuǎn)模型1）常規(guī)計(jì)算型例1．（2022·河南·平頂山市模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)B在原點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，4），將AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，DE⊥BB′于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．變式1．（2022·遼寧遼寧·中考真題）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，連接EF，點(diǎn)H為EF的中點(diǎn)．連接OH，則的值為_(kāi)______．2）最值（范圍）型例1．（2022·江蘇揚(yáng)州·三模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED，將ED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到EF，連接DF，CF，則DF＋CF的最小值是（

）A．4 B．4 C．5 D．2變式1．（2022·安徽合肥·二模）正方形中，，點(diǎn)E為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），將繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，過(guò)E作交于點(diǎn)G．則的最小值為（

）．A．2 B． C． D．33）路徑（軌跡）型例1．（2022·浙江·九年級(jí)期末）如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至EF，連結(jié)BF，取BF的中點(diǎn)M，若點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，則點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．4變式1．（2022·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)O為正方形的中心，點(diǎn)F為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)G為線段AF上一動(dòng)點(diǎn)，直線GO交CD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)G從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．4）分類討論型例1．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，大正方形中，，小正方形中，，在小正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)為_(kāi)______．變式1．（2022·湖北模擬預(yù)測(cè)）如圖，以AB為邊作邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD，動(dòng)點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ＝8，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q只能在線段AD上運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)為_(kāi)____．5）綜合證明型例1．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ECF為等腰直角三角形，∠ECF＝90°，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)F在CD上，P為EF中點(diǎn)，連接AF，G為AF中點(diǎn)，連接PG，DG，將Rt△ECF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α≤360°）．(1)如圖1，當(dāng)α＝0°時(shí)，DG與PG的關(guān)系為；(2)如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)①求證：△AGD≌△FGM；②（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．變式1．（2022·南充·中考真題）如圖，正方形邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊上（不與A，B重合），將沿直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，連接，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)P是直線上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為；④當(dāng)時(shí)，的面積．其中正確的結(jié)論是_________．（填寫(xiě)序號(hào)）課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)落在線段上，在線段BE上取點(diǎn)，使，連結(jié)，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．2．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形OBCD中，OB=1，相鄰兩內(nèi)角之比為1：2，將菱形OBCD繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到菱形OB′C′D′，則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（）A．（，） B．（，-） C．（，-） D．（，）4．（2022·山東·滕州市一模）在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E為AD的中點(diǎn)，一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與E重合，將三角板繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交AB、BC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，設(shè)∠AEM

=α（0°＜α＜90°），給出四個(gè)結(jié)論：①AM＝CN

②∠AME＝∠BNE

③BN－AM＝2

④.上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．45．（2020·湖北孝感·中考真題）如圖，點(diǎn)在正方形的邊上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，與交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．6．（2022·四川眉山·中考真題）如圖，四邊形為正方形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，點(diǎn)，，在同一直線上，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2022·江蘇揚(yáng)州·三模）如圖，在等邊△ABC和等邊△CDE中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．若將△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，則線段AF的最小值是______．8．（2022·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在□ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠A＝60°，E是邊AD上且AE＝2DE，F(xiàn)是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、DG，則BG－DG的最大值為_(kāi)_______．9．（2022·江蘇·南京市花園中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）中，，，，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在AD上處，點(diǎn)C落在處，交AD于點(diǎn)P，則的面積是___________．10．（2022·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，AB＝12，∠ABC＝60°，點(diǎn)E在AB邊上，且BE＝2AE，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，連接PE，將線段PE繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段PF，連接AF，則線段AF長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__．11．（2022·新疆·中考真題）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在邊AB上，以點(diǎn)D為中心將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與恰好完全重合，連接EF交DC于點(diǎn)P，連接AC交EF于點(diǎn)Q，連接BQ，若，則______．12．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知正方形ABCD與正方形AEFG，正方形AEFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖①，連接BG、CF，求的值；(2)當(dāng)正方形AEFG旋轉(zhuǎn)至圖②位置時(shí)，連接CF、BE，分別取CF、BE的中點(diǎn)M、N，連接MN、試探究：MN與BE的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)連接BE、BF，分別取BE、BF的中點(diǎn)N、Q，連接QN，AE=6，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段QN掃過(guò)的面積．13．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，矩形中，，點(diǎn)E在折線上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角等于，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，作，垂足為M，求證；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)連接，點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過(guò)程中，試探究的最小值．14．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)是以數(shù)量關(guān)系和空間形式為主要研究對(duì)象的科學(xué)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有利于我們?cè)趫D形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)其中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，讓我們?cè)趯W(xué)習(xí)與探索中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體會(huì)數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)帶給我們的樂(lè)趣．如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別為邊BC、AB、AD的中點(diǎn)，連接EF、DF，H為DF的中點(diǎn)，連接GH．將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，線段DF、GH和CE的位置和長(zhǎng)度也隨之變化．當(dāng)△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)圖②中，AB=BC，此時(shí)點(diǎn)E落在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F落在線段BC上，連接AF，猜想GH與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(2)圖③中，AB=2，BC=3，則；(3)當(dāng)AB=m,BC=n時(shí)．．(4)在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對(duì)角線AC，并沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得△ABC（如圖④)．點(diǎn)M、N分別在AC、BC上，連接MN，將△CM