2022～2023學(xué)年高一上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2022?2023學(xué)年高一上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題

一、選擇題(本大題共12小題，共60.0分)

1.已知集合4={T0,l,2},集合B={y∣y=2x-3,x64},則力nB=()

?.{-‰04}B.{-1,1}C.{-1,1,2)D.{0,1,2}

A=1-1,0,1,2},集合B={yIy=2x-3,x∈-4)=(-5,-3,-1,1},則4∏B={_1,1}.故選B.

f(x~?=，＜°，

2.函數(shù)八，一1/一2與x≥0,則f(f(-2018)=().

C.2018D.-2018

【分析】

由題意可得：f(-2018)=l,f(f(-2018))=/(1)代入即可求解

【詳解】由題意可得：/(-2018)=1

.?√(∕(-2018))=/(1)=1-2=-1

故選8

本題主要考查了分段函數(shù)的函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題。

3.下列運算中正確的是()

A.ɑ2?ɑ?=a6B.(-o2)3=(→3)2

C.(√α-l)°=lD.(-α2)5=-α1°

【分析】

根據(jù)整數(shù)基的運算規(guī)則分別檢驗即可.

【詳解】。2°3=。5,故A錯(一。2)3=-06羊(_/)2,故B錯.當α=l時，雨—1)°無意義，故

C錯.(-ɑ2)5=-(ɑ2)5=-ɑ10,故選D.

本題考察指數(shù)累的運算規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.

fr√>=∫(1-3α)x+ι°a-(x≤7)

.已知函數(shù)八町一X

4IO-7,Q>7)是定義域R上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

B.葡D.（治

B

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進行求解.

【詳解】若f（X）是定義域（-8,+8）上的減函數(shù),

,O<a<l

I1-3a<0

則滿足17（1-3a）+10Q≥a,-7=ι

0<a<l

1

a>-

3

616

a<—-<a<—

即(一11，整理得311.故選：B

本題考查了分段函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)建立不等式是解決本題的關(guān)鍵.

【分析】

Jloga(x+1),x≥0

?口,AIxI+1)=l°g(?χ?+1)=∣∕o[-(x-l)],X<°再由函數(shù)/(X)=/。9厘是增函數(shù)知,

先導(dǎo)出a5a

a>l.再由對數(shù)函數(shù)的圖象進行判斷.

(log(x+1),x≥O

【詳解IL因+D={'°gα［n-0-i)hχ<°

由函數(shù)f(x)='°9/是增函數(shù)知，a>l.

故選B.

本小題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及分析問題和解決問題的能力.這類試題經(jīng)常

出現(xiàn)，要高度重視.

f(α)f(b)f(c)

6.若函數(shù)/(")='°先0+1),且a>6>c>O,則α、b、C的大小關(guān)系是

()

f(α)/(b)KC)f(c)Kb)f(α)

A.a>b>cB.c>b>a

Kb)/(ɑ)f(c)f(ɑ)/(Of(b)

C.b>a>cD.a>c>b

B

【分析】

/(α)f(b)f(c)

把丁,丁,丁分別看作函數(shù)f(x)=log2(x+l)圖象上的點(a,f(a)),(b,f(b)),

(c,f(b))與原點連線的斜率，對照圖象可得答案.

f(α)/S)f(c)

【詳解】由題意可得，丁,丁,丁分別看作函數(shù)f(X)

=Iog2(x+l)圖象上的點(a,f(a)),(b,f(b)),(c,f(b))與原點連線的斜率,

f(c)f的f(a)

結(jié)合圖象可知當a>b>c>O時，c〉b〉a.

故選：B.

本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，利用單調(diào)性比較大小，轉(zhuǎn)化

化歸的思想方法.

7.已知函數(shù)/O)為定義在L3t-2］上的偶函數(shù)，且在［-3,0］上單調(diào)遞減，則滿足

f(——+2x—3)<f(/H—)

5,的X的取值范圍()

A.(l,+∞)B,(0,l]C.(1，曲D.[0.√2]

C

【分析】

先根據(jù)偶函數(shù)定義求得t,再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)以及單調(diào)性化簡不等式，最后解一元二次不等

式組得結(jié)果.

【詳解】因為函數(shù)f(x)為定義在［-3,t-2］上的偶函數(shù)，所以-3+t-2=0,t=5,

因為函數(shù)f(x)為定義在［-3,3］上的偶函數(shù)，且在［-3,0］上單調(diào)遞減，

所以51等價于f(-χ2+2χ-3)<f(-χ2-i),

即0≥-,+2x-3>-χ2-i≥-3,l<x≤λ^,選c

解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為/(9(x))>f(h(x))的形式，然后根據(jù)函數(shù)

的單調(diào)性去掉“產(chǎn),轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意9(乃與公乃的取值應(yīng)在外層函數(shù)

的定義域內(nèi).

B

分析：先化簡函數(shù)的解析式，函數(shù)中含有絕對值，故可先去絕對值討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性及定義域、對稱性，即可選出答案.

1

?x-l?-In-=0

詳解:y

1

Λf(x)=(e)∣χ-ι

11

其定義域為R,當X21時，f(X)=(工)X-1,因為0<二?vi,故為減函數(shù),

又因為f（χ）的圖象關(guān)于X=I軸對稱，

對照選項，只有B正確.

故選：B.

點睛：本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象問題、考查識圖能力，屬于基礎(chǔ)題.一般給出函數(shù)表達式求

函數(shù)圖像的問題，可以從函數(shù)的定義域入手，值域入手，檢驗式子和圖像是否一致，也可以

考查函數(shù)的對稱性和特殊點.

9.根據(jù)下表，用二分法求函數(shù)f（x）=--3x+l在區(qū)間（1,2）上的零點的近似值（精確度0.1）

是（）

ΛD=-1/(2)=3/(1.5)=-0.125

/(1.75)=1.109375/(1.625)=0.41601562/(1.5625)=0.12719726

A.1.75B.1625C.0.12719726D.1.5625

D

/(1.5)=-0.125<0/(1.5625)=0.12719726>0,函數(shù)V=/㈤在區(qū)間。2)上的零點為區(qū)間

[1.5,1.5625]上的任何—?個值，

故選D

10.某地的水電資源豐富，并且得到了較好的開發(fā)，電力充足.某供電公司為了鼓勵居民用電,

y采用分段計費的方法來計算電費.月用電量χ（度）與相應(yīng)電費y（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖

所示.當月用電量為300度時,應(yīng)交電費

A.130τtB.140元C.150元D.160元

D

【分析】

根據(jù)圖象確定函數(shù)解析式，再計算用電量為300度時應(yīng)交電費.

110-60、1

y=-------（zX-100）+60=T+10

【詳解】當?shù)凇?0°時，200-1002

1

V=-X300+10=160

所以當先=300時,2選D.

本題考查函數(shù)解析式，考查待定系數(shù)法以及基本求解能力.

IL如圖，點P在邊長為1的正方形的邊上運動，M是CC的中點，則當P沿運

動時，點P經(jīng)過的路程X與A4PM的面積y的函數(shù)y=於）的圖像的形狀大致是下圖中的（）.

A

【分析】

隨著點P位置的不同，討論三種情形，得到函數(shù)/（》）的解析式，畫出圖象，即可得到答案.

【詳解】由點P在邊長為1的正方形邊上運動，M是CD的中點，則當P沿4一B-C-M運動時,

點P經(jīng)過的路程X與A4PM的面積的函數(shù)，

1

,-xfi<X<1

3X

fg=>≤χ<2

515

———X2≤X≤一

可得【42'-2,畫出分段函數(shù)的圖象，

如圖所示,

本題主要考查了分段函數(shù)的解析式與分段函數(shù)的圖象問題，其中解答中正確理解題意，得出

分段函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.

(e(x+%≤O

的=x+?>0

12.已知函數(shù)?",函數(shù)V=f(x)-α有四個不同的零點，從小到大依次為

XiM2,Λ?,%4則+第3+*4的取值范圍為()

A.(4,4+e)B,[4,4+e)C.[4,+∞)D.(-∞4]

?

【分析】

2

由函數(shù)可知e°+D關(guān)于X=T對稱，所以勺+々=_2,且_2≤%l<-1,_1VΛ?≤O,

4

X4-----3=a,?

令X,則有公9-(3+α)κ+4=0,所以叼+%=3+l%再由圖可知αc(l,e],可求

解.

【詳解】根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，畫出函數(shù)的圖像，

可知要使函數(shù)V=外町一α有四個不同的零點，則有α€(1閭，

并且有為I+*2=-2,且-2≤%<-l,-l<X2≤O,可得χ∣=-2-如-l<?≤0,

xx2

12~-2茲-電?=-(χ2+1)+1>在-l<xzWO遞減，可得的范圍為[0,1).

4

XH-----3=Q

令K,則有x9'-(3+α)x+4=0,

從而有叼+久4=3+%所以有3+ae(4,3+e],

所以XlX2+λ?+*4e(4,4+e),故選A.

本題利用數(shù)形結(jié)合思想綜合考查分段函數(shù)零點問題與函數(shù)對稱問題，考查了二次函數(shù)韋達定

理的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題（本大題共4小題，共20.O分）

13.集合4={0,ex],B={-l,0.1},若AuB=B,則X=.

0.

【分析】

由AUB=B得集合A與B之間的關(guān)系，得/的值，解出X

【詳解】因為AUB=B,所以4UB,又因為e*>0,所以e*=l,x=0

本題考查由集合間的關(guān)系反映出集合的元素之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題

14.已知嘉函數(shù)/（久）的圖象經(jīng)過點（2,但），則/"（4）的值為

2

【分析】

設(shè)基函數(shù)fM=Xa,由塞函數(shù)f（X）過點（2,口），列出關(guān)于ɑ的方程，求解即可得到

f（X）的解析式，再將x=4代入，即可求得答案.

【詳解】設(shè)幕函數(shù)f（幻=<

???南函數(shù)f（X）的圖象經(jīng)過點（（2,必,

_1

Λ√2=2≈,

故f(x)=x2,.?.f(4)=42=2..

即答案為2.

題考查暴函數(shù)的定義.屬于基礎(chǔ)題.

15.已知/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，且當χ≥o時，*“)一中，若對任意實數(shù),eyZ,都

有Kt+α)-∕(t-l)>0恒成立，則實數(shù)α的取值范圍是.

(-8,-3)U(0,+8)

f(x)=------=1----------??/(%)

試題分析：當尤>0時，％+1第+1在(0,+8)上單調(diào)遞增，由

f(t+α)-∕(t-l)>。得，Kt+d)>f("l)又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，

/(∣t+α∣)>∕(∣t-l∣),則∣t+α∣>∣tT∣,兩邊平方得(2α+2)t+<√一ι>。：對任意實數(shù)

11

t∈[-21,t∈[-,21

2都有/z。+。)一/(，-1)>0恒成立，二對任意實數(shù)2都有(2。+2)￡+。72_1>0恒成

22

?α+2)+α-l>0?j2ɑ+α>0?；颉?lt;一3

立，則∣2(2α+2)+α2-i>o+4α+3>0,則實數(shù)α的取值范圍是

(→O,-3)U(O,-HX>)

考點：恒成立問題

【思路點睛】利用奇偶性、單調(diào)性綜合解題，尤其要重視利用偶函數(shù)(軸對稱函數(shù))與單調(diào)

性綜合街函數(shù)不等式和比較大小.本題中，函數(shù)為偶函數(shù)，且給出了當XNO時的解析式，從

而可以判斷出單調(diào)性，然后利用函數(shù)的偶函數(shù)的性質(zhì)/(一乃=/(*),即可得到一個不等式組，

解不等式組即可得到所求答案.

4?log2x?f0<x<2

/(x)=L2-5%+i2,χ≥2'

16.已知函數(shù)(2若存在實數(shù)α,b,c,d滿足

f(α)=f(b)=/(c)=f(d),其中d>c>b>α>O,貝IJabCd的取值范圍是

(16,24)

【分析】

畫出函數(shù)人乃的圖象，結(jié)合圖象可得0<α<l,l<b<2,2<c<4,又由題意可得

ab=l,c+d=O,故可將abed轉(zhuǎn)化為關(guān)于C的二次函數(shù)，最后根據(jù)求二次函數(shù)最值的方法求解

可得結(jié)果.

【詳解】畫出函數(shù)y=f(町的圖象，如下圖所示，

由圖象可得O<a<l,l<b<2,

4la4lob

則f(a)=?°92?=-4?a,f⑤=?92?=^og2b^

??"(a)=f(b),

???-Iog2Ci=log2b

.,.ab=1,

12L

令5,即公-10%+24=0,解得％=4或犬=6,

12L

y=-Xz-5x+12

而二次函數(shù)2的圖象的對稱軸為直線X=5,

由圖象知，2<C<4,

1210

「,一y=-x-----X+8

點(c∕(c))和點(d∕(d))均在二次函數(shù),33的圖象上,

.?.d=10-c,

.?.abed=IXCd=Cd=c(10-c)=-c2+IOc=-(c-5)2+25,

2<c<4,

[16<—(c—5)2+25<24,

即16<abed<24.

.?.abed的取值范圍是(16,24).

本題考查函數(shù)圖象的畫法及函數(shù)圖象的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵有兩個，一是根據(jù)圖象得到a，瓦。的

取值范圍，而是將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于C的二次函數(shù)的問題處理.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化思想在解

題中的應(yīng)用，考考查了分析解決問題的能力.

三、解答題（本大題共6小題，共70.O分）

17.化簡求值：

Jβ∣+jζ∣+√0.0625+(^τ)0-2-1

7

⑵314-2%+國7-018

13+3√6

(1)4；⑵0.

【分析】

（1）利用指數(shù)運算的法則進行計算可得答案;

（2）利用對數(shù)運算的法則進行計算可得答案；

53√6113+3亞

=—I-------F0.25+1—=------------

【詳解】解：（1）原式2424

,14×7,

二Ig不------=Igl=0

（2）原式口×18

本題主要考察有理數(shù)指數(shù)幕的化筒求值，對數(shù)的運算性質(zhì)，熟練掌握指數(shù)運算和對數(shù)運算的

性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

18.己知集合P={x∣α+1≤x≤2α+1},(2={x∣l≤2x+5<15}

(1)已知α=3,求(CRP)CQ

(2)若PUQ=Q,求實數(shù)α的取值范圍.

⑴(CRP)CQ={x∣-2≤x<4}；(2)α≤2o

分析：(1)先求CRP和Q,再求(CRP)CQ.(2)對a分類討論，再根據(jù)子集的概念得到a的

不等式，解不等式即得a的取值范圍.

詳解：(1)當α=3時,P={x∣4≤x≤7)rCRP={*<4或%>7},

??Q={x?l<2x+5<15},

ΛQ={X∣-2≤X≤5),

(CRP)∩Q={X∣-2≤X<4}

⑵?.?PuQ=Q,

.?.PuQ,

當α+l>2α+l時，即α<0時P=0,PUQ成立，

當α≥O時，P片0,

?.?PUQ,

∫α+1≥—2

貝日2?+1≤5,

.?.0<α≤2,

綜上ɑ的取值范圍是{0α≤2}.

點睛：(1)本題主要考查集合的交、并、補運算，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水

平和分析推理能力.(2)本題是一道易錯題，第2問容易漏掉α+l>2α+l,即漏掉集合P=0

的情況.解答集合運算時，不要漏掉了空集的情況.

19.(1)函數(shù)丫='°92(久一D的圖象是由y=/。氏》的圖象如何變化得到的？

(2)在下邊的坐標系中作出y=g%(X-I)I的圖象.

(3)設(shè)函數(shù),=M與函數(shù)V=附比(X-I)I的圖象的兩個交點的橫坐標分別為∕*2,設(shè)

M=X1X2-2(X1+x2)+4j請判斷M的符號.

(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.

【分析】

(1)由函數(shù)平移的性質(zhì)易得答案；

(2)利用函數(shù)的圖像變換可得V=僅°兆5-Dl的圖象；

(3)由已知條件可得用=￥/2-2(/+6+4=(*1-2)ɑ2-2),可得M的取值.

【詳解】解：(1)函數(shù)丫='°先。-1)的圖象是由丁='。先》的圖象向右平移1個單位得到

的.

(2)在下邊的坐標系中作出，=1092(X-I)I的圖象，如圖所示;

Di的圖象的兩個交點的橫坐標分別為

?M—X1X2-2(x1+々)+4=(x1-2)(X2-2)<O

本題主要考察指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，及函數(shù)圖像的變換與作圖，屬于中檔題型.

f(x)=a-------

20.設(shè)函數(shù)2+1.

(1)求證：不論。為何實數(shù)f(x)總為增函數(shù);

(2)確定。的值，使/O)為奇函數(shù)；

(3)在(2)的條件下求f(")的值域.

-?(?)=1--?--

(1)見解析；⑵2*+1

(3)/(x)為奇函數(shù)時，其值域為(-LD?

(1)先設(shè)x∣<x2,欲證明不論a為何實數(shù)f(X)總是為增函數(shù)，只須證明：f(x∣)-

f(X2)<0,即可；

(2)根據(jù)f(x)為奇函數(shù)，利用定義得出f(-x)=-f(X)恒成立，從而求得a值即可.

11

f(%)=-----------

(3)由(2)知22z+l,利用指數(shù)函數(shù)y=2x的性質(zhì)結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得

f(X)的值域.

(Df(X)的定義域為R,設(shè)為ι*2eR,且。<叼，

222?(21-22)

/(x1)-∕(x2)=α--———Q+—---------------------------—

則21+122÷1=(1+21)(1+22),

vxx122

ι<2f???2-2<0,(1÷2*i)(l+2)>0,???/(Xi)-Z(X2)<。，

即f(%ι)</(々),所以不論α為何實數(shù)/(%)總為增函數(shù).................5分

22

Q------------=-CLH----------

χx

⑵??"(x)為奇函數(shù)，=(T)=一f(x),即2-+l2+lι

(a—2)2*+a_—a.2"+2-a

整理得1+2"l+2x,

(a—2=—a

則Ia=2-a,解得：a=l.

???fix)=i--?--

2z+1...............10分

f(x)=i---—

(4)由(2)知2x+l

1

.?.0<--------<1

???2z+1>1，2z+1，

22

-2<----------<0,二一IVl-----------VL即一IVfa)Vl

2”+12x+l

故當/O）為奇函數(shù)時，其值域為（一1，11................................14分

K×）=1---—

另解：由（2）知2x+l

2

y=1----------

由2x+l,得（y-l）2"=-y-l,

當y=ι時，得。=一2,矛盾，所以y7i；

-y-l

2xy=—-

故有yτ.

-y-1

Y——>0

當尤6R時，2x>0,所以y-l,解得一l<y<l.

故當f（x）為奇函數(shù)時，其值域為（一1,1）.........................14分

21.某工廠在政府的幫扶下，準備轉(zhuǎn)型生產(chǎn)一種特殊機器，生產(chǎn)需要投入固定成本500萬元，

生產(chǎn)與銷售均己百臺計數(shù)，且每生產(chǎn)loo臺，還需增加可變成本IooO萬元，若市場對該產(chǎn)品

的年需求量為50。臺，每生產(chǎn)小百臺的實際銷售收入近似滿足函數(shù)

R(m)=5000m—500m2(0≤m<5,m∈N).

(1)試寫出第一年的銷售利潤y(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量支(單位：百臺，XW5,尤CN+)的函

數(shù)關(guān)系式：(說明：銷售利潤=實際銷售收入-成本)

(2)因技術(shù)等原因，第一年的年生產(chǎn)量不能超過300臺，若第一年的年支出費用我(X)(萬元)

與年產(chǎn)量X(百臺)的關(guān)系滿足MX)=500x+500(x≤3(XeN+),問年產(chǎn)量X為多少百臺時，

工廠所得純利潤最大？

2

(l)y=-5OOx+4000x-500(xM57x∈N*),

(2)X=3.

分析：(1)根據(jù)銷售利潤=實際銷售收入-成本寫出第一年的銷售利潤丫(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量

X的函數(shù)關(guān)系式.(2)利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)求工廠所得純利潤最大值.

詳解：(1)由題意可得，y=5000x-500χ2-500-1000%

2

即y=-5OOx+4000%-500,(X≤5jx∈N*).

(2)設(shè)工廠所得純利潤為江》)，則

∕ι(x)=-500X2+4000x-500-u(x)

=-500x2+3500x-1000

7

=-500^x--j2+5125(x≤3,xeN,)

.?.當X=3時，函數(shù)MX)取得最大值M3)=5000.

當年產(chǎn)量為3百臺時，工廠所得純利潤最大，最大利潤為5000萬元.

點睛：(1)本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用，考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些

基礎(chǔ)知識的掌握水平和解決實際問題的能力.(2)二次函數(shù)是初中和高中一種比較重要的函數(shù),

對于它的圖像和性質(zhì)要理解掌握并靈活運用.

22.已知函數(shù)g(x)=α∕-2"+l+b