高中數(shù)學第二章平面向量2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義課件新人教A版必修

2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義目標導(dǎo)航課標要求1.掌握向量的數(shù)乘運算及其幾何意義.2.掌握向量共線定理的應(yīng)用.3.掌握向量數(shù)乘運算律并會進行有關(guān)運算.素養(yǎng)達成1.通過數(shù)乘運算及其幾何意義的學習,促使學生養(yǎng)成數(shù)學抽象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng).2.掌握向量共線定理,提升邏輯推理及直觀想象的核心素養(yǎng).3.利用向量數(shù)乘運算律并會進行有關(guān)運算,增強學生數(shù)學運算的能力.新知導(dǎo)學課堂探究(1)向量的數(shù)乘運算的概念:實數(shù)λ與向量a的積是一個

,這種運算叫做

,記作λa,其長度與方向規(guī)定如下:①|(zhì)λa|=

;向量新知導(dǎo)學·素養(yǎng)養(yǎng)成向量的數(shù)乘|λ||a|λ>0λ<000(2)向量數(shù)乘的運算律:①λ(μa)=

;②(λ+μ)a=

;③λ(a+b)=

.(3)向量的線性運算:向量的

運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量a,b,以及任意實數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=

.(λμ)aλa+μaλa+λb加、減、數(shù)乘λμ1a±λμ2b思考1:若λa=0,則λ=0對嗎?提示:a=0時,λ=0或a=0.向量a(a≠0)與b共線,當且僅當有唯一一個實數(shù)λ,使得

.b=λa思考2:若a與b共線,一定有a=λb嗎?提示:b=0,a=0時,λ有無數(shù)個值;當b=0,a≠0時,λ無解;只有當b≠0時,才有a=λb.思考3:與非零向量a共線的單位向量是什么?名師點津(1)從數(shù)、形兩個角度看向量的數(shù)乘①代數(shù)角度:λ是實數(shù),a是向量,它們的積仍是向量;另外,λa=0的條件是λ=0或a=0.②幾何角度:對于向量的長度而言,①當|λ|>1時,有|λa|>|a|,這意味著表示向量a的有向線段在原方向(λ>1)或反方向(λ<-1)上伸長到|a|的|λ|倍;②當0<|λ|<1時,有|λa|<|a|,這意味著表示向量a的有向線段在原方向(0<λ<1)或反方向(-1<λ<0)上縮短到|a|的|λ|倍.(2)對向量共線定理的理解①定理本身包含了正、反兩個方面:若存在一個實數(shù)λ,使b=λa(a≠0),則a與b共線;反之,若a與b共線(a≠0),則必存在一個實數(shù)λ,使a=λb.②定理中,之所以限定a≠0是由于若a=b=0,雖然λ仍然存在,可是λ不唯一,定理的正、反兩個方面不成立.③若a,b不共線,且λa=μb,則必有λ=μ=0.課堂探究·素養(yǎng)提升題型一向量的線性運算解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.(3)2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.解:(3)原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.方法技巧向量的線性運算類似于實數(shù)的運算,其化簡的方法與代數(shù)式的化簡類似,可以運用去括號、移項、合并同類項等變形手段.[備用例1]已知向量a,b,x,且(x-a)-(b-x)=x-(a+b),則x=

.

解析:因為(x-a)-(b-x)=x-(a+b),所以2x-a-b=x-a-b,即x=0.答案:0(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共線,試確定實數(shù)k的值.方法技巧(1)本題充分利用了向量共線定理,即b與a(a≠0)共線?b=λa,因此用它既可以證明共線問題,也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.(2)向量共線的判斷(證明)是把兩向量用共同的已知向量來表示,進而互相表示,從而判斷共線.互動探究:在本例中,若將非零不共線向量e1,e2改為共線向量e1,e2,在(1)題中其他條件不變,試判斷A,B,D三點是否共線?方法技巧用已知向量表示待求向量的兩個常用方法:(1)直接法(2)方程法當直接表示比較困難時,可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系,然后解關(guān)于所求向量的方程.糾錯:點C在線段AB的延長線上,并沒有講清楚A,B,C位置關(guān)系,實際有兩種:(1)點C在靠近B點的位置;(2)點C在靠近A點的位置,應(yīng)該分情況討論.學霸經(jīng)驗分享區(qū)(1)實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算,但不能進行加減運算,例如λ+a,λ-a是沒有意義的.(3)共線向量定理是證明三點共線的重要工具,即三點共線問題通常轉(zhuǎn)化為向量共線問題.課堂達標C解析:向量的數(shù)乘運算結(jié)果仍為向量,顯然只有|3a|不是向量.2.下列計算正確的個數(shù)是(

)①(-3)·2a=-6a;②2(a+b)-(2b-a)=3a;③(a+2b)-(2b+a)=0.(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:因為(-3)·2a=-6a故①正確;②中左邊=2a+2b-2b+a=3a成立,故②正確;③中左邊=