高中：3 習(xí)題課一　運動的合成與分解的兩類模型

習(xí)題課一運動的合成與分解的兩類模型分類講解?舉一反三?典題分類▼分類講解?舉一反三?類型1小船渡河模型【核心深化】.小船參與的兩個分運動(1)船對地的運動(即船在靜水中的運動)，它的方向與船頭的指向相同.(2)船隨水漂流的運動，它的方向與河岸平行..兩類最值問題⑴渡河時間最短問題水流速度始終沿河道方向，不能提供指向河對岸的分速度.因此若要渡河時間最短，只要使船頭垂直于河岸航行即可.由圖甲可知…此時船渡河的位移工=總，位移方向滿足tanO=*sin</ (，水(2)渡河位移最短問題乙乙情況一：。水〈V船最短的位移為河寬d,此時渡河所用時間，=」飛，船頭與上游河岸夾角。PmiSin8滿足0船cos水，B|Jcos<9=—,如圖乙所示.%情況二：。木船丙丙.如圖所示，一鐵球用細線懸掛于天花板上，靜止垂在桌子的邊緣，懸線穿過一光盤的中間孔，手推光盤在桌面上平移，光盤帶動懸線緊貼著桌子的邊緣以速度。沿水平方向勻速運動，當(dāng)光盤由A位置運動到圖中虛線所示的B位置時，懸線與豎直方向的夾角為仇此時鐵球（）A.豎直方向速度大小為ocosS.豎直方向速度大小為osin。C.豎直方向速度大小為man。D.相對于地面速度大小為。解析：選B.將光盤的速度在沿繩和垂直于繩的方向分解，如圖所示，沿繩方向的分量"=osin。，這就是桌面以上繩子變長的速度，也等于鐵球上升的速度,B正確，A、C錯誤；由題意可知鐵球在水平方向上速度與光盤相同，豎直方向速度為osina可得鐵球相對于地面速度大小為vyj1+sin2^,D錯誤.8.如圖所示,一條小船位于200m寬的河的正中A點處,從這里向下游1005m處有一危險區(qū)，當(dāng)時水流速度為4m/s,為了使小船避開危險區(qū)沿直線到達對岸，小船在靜水中的速度至少是（）Az一8仍，A.-m/s B.-m/sD.4m/sC.2m/sD.4m/s解析：選C.恰使小船避開危險區(qū)，小船應(yīng)沿直線人3到達對岸，如圖所示,則有tane=4^=W，所以8=30°.當(dāng)船頭與A8垂直時，小船在靜水中的速度最/IUD小.最小速度為oi=U2sin9=4sin3()°m/s=2m/s,故C正確.9.(202()?內(nèi)蒙古赤峰期末)一條筆直的河流沿東西走向，兩岸平行，各處的寬度均為d=8()m,水流的速度均為v水=3m/s,船在靜水中的速度恒為v脂=5m/s,則()A.渡河的最短時間為20sB.渡河的最短位移為90mC.保持船頭沿南北方向到達對岸，渡河位移最短D.船能夠沿南北方向的直線渡到正對岸解析：選D.當(dāng)。鉛方向與河岸垂直時，渡河時間最短，f="=16s,故A錯誤；當(dāng)小船合速度的方向與河岸的方向垂直時，渡河位移最短，設(shè)此時船頭的方向與河岸的夾角為仇cos6>=—=7，船渡河的位移為河寬d=80m,船能夠沿南北方向的直線渡到正對岸，故B、C錯誤，D正確.CBA10.如圖所示為一條河流，河水流速為一只船從A點先后兩次渡河到對岸，船在靜水中行駛的速度為〃.第一次船頭向著43方向行駛，渡河時間小船的位移si；第二次船頭向著AC方向行駛，渡河時間d船的位移S2.若AB、AC與河岸的垂線的夾角相等，則有()A./|>/2,51<52 B.Zl</2,51>52C.ri=/2, D.ri=/2,s\>s2解析：選D.由于AB、AC與河岸的垂線方向的夾角相等，則船在垂直于河岸方向上的分速度相等，渡河時間/=",所以兩次渡河時間相等，船頭向著A8方辦向行駛時，沿河岸方向的分速度D//=〃cos夕+。，船頭向著AC方向行駛時，沿河岸方向行駛的分速度。'//=〃COS夕一。，水平方向上的位移X1>X2,根據(jù)平行四邊形定則，51>S2?故D正確.二、多項選擇題II.（2020?云南昆明期末）如圖所示，水平向右沿直線行駛的小車通過細繩和定滑輪將重物以速率。豎直向上勻速提升，在此過程中，不計細繩與滑輪間的摩擦，下列說法正確的是（）A.小車做加速運動B.小車做減速運動C.細繩對小車的拉力逐漸變大D.細繩對小車的拉力大小不變V解析：選BD.將小車的速度分解，如圖，由平行四邊形定則可知。年=工1則隨著小車向右運動，。減小，。率減小，即小車做減速運動，A錯誤，B正確；因物塊勻速上升，可知繩子對物塊的拉力不變，即繩子的張力不變，繩子對小車的拉力大小不變，C錯誤，D正確.12.小河寬80m,河中各點水流速度與各點到較近河岸邊的距離關(guān)系為。水=日（火=0.1s「），一小船以4m/s速度垂直于河岸渡河，則下列說法中正確的是（）A.小船渡河時的軌跡為直線B.小船渡河時的軌跡為曲線C.小船到達距河對岸20m處，船的渡河速度為4#m/sD.小船到達距河對岸50m處，船的渡河速度為5m/s解析：選BD.小船同時參與了兩個分運動：一個是垂直于河岸相對于水的勻速運動，另一個是隨水流向下游方向的變速運動，故其實際運動的初速度與加速度一定不共線，A錯誤，B正確；小船到達距對岸20m時，所在處水流速度。水=2m/s,此時船的渡河速度為。2?+42m/s=2小m/s,C錯誤；同理，小船到達距河岸對岸50m處即距出發(fā)點所在岸30m時水流速度為3m/s,船的渡河速度為5m/s,D正確.13.（202（）?江西南昌高一檢測）如圖所示，將質(zhì)量為2根的重物懸掛在輕繩的一端，輕繩的另一端系一質(zhì)量為例的小環(huán)，小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上，光滑定滑輪與直桿的距離為".現(xiàn)將小環(huán)從與定滑輪等高的A處由靜止釋放，當(dāng)小環(huán)沿直桿下滑距離也為d時（圖中3處），下列說法正確的是（重力加速度為g）（）A.小環(huán)剛釋放時輕繩中的張力一定大于2〃%B.小環(huán)到達8處時，重物上升的高度為（地一1）4c.小環(huán)在8處的速度與重物上升的速度大小之比等于坐D.小環(huán)在8處的速度與重物上升的速度大小之比等于也解析：選ABD.小環(huán)釋放后，其下落速度O增大，繩與豎直桿間的夾角9減小，而ui=vcos0,故增大，由此可知小環(huán)剛釋放時重物具有向上的加速度，繩中張力一定大于2mg,A正確；小環(huán)到達3處時，繩與直桿間的夾角為45°,重物上升的高度〃5=（g一l）d,B正確；如圖所示，將小環(huán)速度。進行正交分解，。i=ocos45°=p,所以小環(huán)在B處的速度與重物上升的速度大小之比等于色，C錯誤，D正確.14.甲、乙兩船在同一河流中同時開始渡河，河水流速為。o,船在靜水中的速率均為小甲、乙兩船船頭均與河岸成。角，如圖所示，已知甲船恰能垂直到達河正對岸的A點，乙船到達河對岸的B點，A、B之間的距離為乙則下列判斷正確的是（）A.乙船先到達對岸B.若僅是河水流速。o增大，則兩船的渡河時間都不變C.不論河水流速出如何改變，只要適當(dāng)改變。角，甲船總能到達正對岸的A點D.若僅是河水流速加增大，則兩船到達對岸時，兩船之間的距離仍然為L解析：選BD.將小船的運動分解到平行于河岸和垂直于河岸兩個方向，由分運動和合運動具有等時性，知甲乙兩船到達對岸的時間相等.渡河的時間t=故A錯誤；若僅是河水流速。o增大，渡河的時間與河水流速無cJ111v/ C/dillv/關(guān)，則兩船的渡河時間都不變，故B正確；只有甲船速度大于水流速度時，不論水流速伙）如何改變，甲船都可能到達河的正對岸A點，故C錯誤；若僅是河水流速00增大，則兩船到達對岸時間不變，根據(jù)速度的分解，船在水平方向的分速度的差值仍不變，則兩船之間的距離仍然為L,故D正確.合速度不可能垂直于河岸，無法垂直渡河.確定方法如下：如圖丙所示，以。水矢量的末端為圓心，以。船的大小為半徑畫圓弧，當(dāng)合速度的方向與圓相切時,合速度的方向與河岸的夾角最大(設(shè)為。)，此時航程最短.由圖可知sin0水最短航程為尸七==%此時船頭指向應(yīng)與上游河岸成夕角，且cos。'=詈.sinav(i］。水【典題例析】浦TT(2020?山東臨沂高一檢測)小船要橫渡一條200m寬的河，水流速度為3m/s,船在靜水中的航速是5m/s.(1)當(dāng)小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？(2)要使小船到達河的正對岸，應(yīng)如何行駛？多長時間能到達對岸？(sin37°=0.6)(3)如果水流速度變?yōu)?0m/s,要使小船航程最短，應(yīng)如何航行？［思路點撥］求解小船渡河問題應(yīng)理清以下問題：(1)船頭指向是小船在靜水中的速度的方向；(2)小船實際運動的方向是合速度的方向；(3)。水船時，小船不能垂直于河岸渡河.I解析］(1)因為小船垂直于河岸的速度即小船在靜水中的行駛速度，且在這一方向上，小船做勻速運動，故渡河時間/="=挈s=40s,小船沿河流方向的位移x=v木/=3義40m=120m,即小船經(jīng)過40s,在正對岸下游120m處靠岸.要使小船到達河的正對岸，則。豕、。船的合運動。含應(yīng)垂直于河岸，如圖甲所則v合=y/vii—vi=4m/s,經(jīng)歷時間 s=50s.又cose=*=±=0.6,即船頭指向與河岸的上游所成角度為53°.如果水流速度變?yōu)?0m/s,如圖乙所示，應(yīng)使u合的方向垂直于。器，故船頭應(yīng)偏向上游，與河岸成夕角，有cos0f=—=1,解得夕=60°,即船頭指向與岸的上游成600角.［答案］（l）40s正對岸下游120m處（2）船頭指向與岸的上游成如果水流速度變?yōu)?0m/s,如圖乙所示，應(yīng)使u合的方向垂直于。器，故船頭應(yīng)偏向上游，與河岸成夕角，有cos0f=—=1,解得夕=60°,即船頭指向與岸的上游成600角.［答案］（l）40s正對岸下游120m處（2）船頭指向與岸的上游成53°角50s（3）船頭指向與岸的上游成60°角研究小船渡河問題的思路渡河時間最短（船頭垂直于河岸時）、三模型渡河位移最小（”粕＞力的情況）渡河位移最?。ā╲%的情況）建模型兩方案正交分解（沿河岸、垂直于河岸）矢量三角形（常用于分析最值）【針對訓(xùn)練】I.已知河水的流速為5,小船在靜水中的速度為。2,且。2＞加，下面用小箭頭表示小船及船頭的指向，則能正確反映小船在最短時間內(nèi)渡河、最短位移渡河的情景圖示依次是（）②0，’下游

③A.①②：X山’下游④B.一，’下游①⑤C.④⑤D.②③解析：選C.小船以最短時間渡河時，因河流寬度一定，就要求小船在垂直于河岸方向上的分速度最大，即小船相對于靜水的航行方向也即船頭的指向須始終垂直于河岸，則此時小船的實際運動方向必偏向于下游，應(yīng)選④.當(dāng)小船以最短的位移渡河時，由于。2＞。1,小船可垂直到達河對岸，此時船頭的指向應(yīng)偏向于河上游，對應(yīng)于圖⑤，故C正確.2.（多選）一條機動船載客渡河，若其在靜水中的速度一定，河水的流速也不變，且0加＞。水，則（）A.船垂直到達對岸，渡河最省時B.使船身方向垂直于河岸，渡河最省時C.船沿垂直于河岸的軌跡航行，渡河位移最短D.使船身方向垂直于河岸，渡河位移最短解析：選BC.因河流寬度是一定的，當(dāng)船沿垂直于河岸方向上的速度最大時，渡河時間最短；當(dāng)船身方向（即船的靜水速度方向，也即船相對于水流的速度方向）垂直于河岸時，垂直于河岸方向上的速度等于船在靜水中的速度且最大，渡河時間最短，但船會隨水流向下游漂移，合位移大小大于河的寬度，不是最短的渡河位移；由于船在靜水中速度大于水流速度，根據(jù)平行四邊形定則，當(dāng)船身指向偏向上游合適的角度時，合速度的方向可以與河岸垂直，船可以垂直到達對岸，此時位移最小.但垂直于河岸的速度小于船在靜水中的速度，故渡河時間不是最短，可見，B、C正確，A、D錯誤.類型2“關(guān)聯(lián)”速度【核心深化】.“關(guān)聯(lián)”速度問題：物體斜著拉繩（桿）或繩（桿）斜著拉物體時，兩端所連接物體的速度關(guān)系問題.2.“關(guān)聯(lián)”速度的分解規(guī)律（1）分解依據(jù)①物體的實際運動是合運動.②由于繩（桿）不可伸長，所以繩（桿）兩端所連物體的速度沿著繩（桿）方向的分速度大小相同.（2）分解方法：將物體的實際速度分解為垂直于繩（桿）和沿繩（桿）的兩個分量.⑶常見的速度分解情形MS如圖所示，將楔形木塊B放在光滑水平面上靠墻邊處并用手扶著，然后在木塊和墻面之間放入一個小球A,楔形木塊的傾角為亂放手讓小球和木塊同時由靜止開始運動，某時刻二者速度分別為內(nèi)和加，則()VA?VB=1:Iva*UB=sin0:cos0v\:ub=cos0:sin0pa:UB=sin9：tan9［思路點撥］解答本題應(yīng)注意以下兩點：(1)由于一切接觸面均光滑，讓小球和木塊同時由靜止開始運動的過程中，將二者的運動按照實際運動效果分解；(2)兩者在垂直于斜面方向的速度是相等的.|解析］將DA分解到沿斜面和垂直于斜面兩個方向，如圖甲所示，則有：V2=PACOS仇將PB分解到沿斜面和垂直于斜面兩個方向，如圖乙所示，則有S=OBSin仇因為小球和木塊總是相互接觸的，所以小球的速度0A和木塊的速度DB在垂直于接觸面的方向上的投影相等，即：oacos9=OBsin仇即iM：OB=sin。：cos3,B正確.甲6?3乙甲6?3乙［答案IB囪圈國國解答“關(guān)聯(lián)”速度的分解問題的兩個關(guān)鍵（1）弄清合運動與分運動：物體的實際運動是合運動.（2）繩（桿）兩端所連物體的速度沿著繩（桿）方向的分速度大小相等.【針對訓(xùn)練】.（2020?黑龍江牡丹江期末）如圖所示，汽車通過滑輪拉重物A,汽車沿水平方向向右勻速運動，滑輪與繩的摩擦不計，則物體的運動情況是（）A.勻速上升 B.加速上升C.先加速后減速 D,減速上升解析：選B.設(shè)繩子與水平方向的夾角為0,將小車的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向的兩個分量，沿繩子方向的速度等于A的速度，根據(jù)平行四邊形定則，oa=ucos仇車子在勻速向右的運動過程中，繩子與水平方向的夾角減小，所以A的速度增大，A做加速上升運動，故B正確..（多選）如圖所示，一個長直輕桿兩端分別固定小球A和小球B,豎直放置,兩球質(zhì)量均為〃?，兩球半徑忽略不計，桿的長度為乙由于微小的擾動，A球沿豎直滑槽向下運動，B球沿水平滑槽向右運動，當(dāng)桿與蛻直方向的夾角為。時（圖中未標(biāo)出），關(guān)于兩球速度內(nèi)與。b的關(guān)系，下列說法正確的是（）A.若。=30°,則A、B兩球的速度大小相等B.若9=45°,則A、B兩球的速度大小相等yA=UBtan0PA=yBsinG解析：選BC.當(dāng)桿與豎直方向的夾角為夕時，根據(jù)運動的分解可知（如圖所示）,沿桿方向兩分速度相等，vacos^=VBsin9,即以=0Btan6.當(dāng)6=45°時，ua=ub.（建議用時：40分鐘）一、單項選擇題1.小船以一定的速率垂直于河岸向?qū)Π秳澣?，?dāng)水流勻速時，它渡河的時間、發(fā)生的位移與水速的關(guān)系是（）A.水速大時，位移大，但時間不變B.水速大時，位移大，時間也大C.水速小時，位移小，時間也小D.位移、時間大小與水速大小無關(guān)解析：選A.將小船的運動分解為沿河岸方向和垂直于河岸方向，水流的運動不影響垂直于河岸方向上的運動，在垂直于河岸方向上，喝,船的靜水速不變,所以過河的時間不變.水速的大小影響船沿河岸方向上的位移，x=v時間不變，水速越大，沿河岸方向上的位移越大，根據(jù)運動的合成，發(fā)生的位移越大，故A正確，B、C、D錯誤.（2020?黑龍江牡丹江期末）船在靜水中的速度為ui,水流的速度為。2,河寬為4,當(dāng)船頭垂直于河岸航行時（）A.實際航程最短B.水速減小時渡河時間變長C.過河時間最短D.水速增大時渡河時間變長解析：選C.如果水流速度為s,船渡河過程被沖到下游的距離為：工=如=/d,實際航程不是最短，A錯誤；船渡河的時間與水流速度無關(guān)，B錯誤；河寬為d,船垂直于河岸的速度為ui,過河最短時間為：，=’,C正確；船渡河的時間v\與水流速度無關(guān)，D錯誤.（2020?北京四中期中考試）如圖所示，在不計滑輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下,當(dāng)小車以速度。勻速向右運動時，物體P的速度為（）A.vC A.vC cos0D.ycos20解析：選B.將繩兩端所連物體速度分別沿繩的方向和垂直于繩的方向進行分解，根據(jù)沿繩方向的分速度相等可得。p=ocosaB正確.水流方向4.小船橫渡一條河，