數(shù)學(xué)模型第三版(高等教育出版社)課后習(xí)題答案

《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第七章（2008年１２月4日)1．對(duì)于7.１節(jié)蛛網(wǎng)模型討論下列問(wèn)題：(1）因?yàn)橐粋€(gè)時(shí)段上市的商品不能立即售完，其數(shù)量也會(huì)影響到下一時(shí)段的價(jià)格,所以第k1時(shí)段的價(jià)格k1和第k時(shí)段的數(shù)量和y由第x決定x仍只取決,如果仍設(shè)xk1k1k1k于y，給出穩(wěn)定平衡的條件，并與7．1節(jié)的結(jié)果進(jìn)行比較．k（2)若除了k1y由和決定之外，也由前兩個(gè)時(shí)段的價(jià)格xk1y和y確定．試分kk1xk1xk析穩(wěn)定平衡的條件是否還會(huì)放寬.解：（１）由題設(shè)條件可得需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)分別為：xk)xf(k12yk1xk1h(y)k在P(x,y)點(diǎn)附近用直線來(lái)近似曲線f,h，得到000x(xx),00(1)yyk1k2k100(2)x(yy),xk10k0(3)x0(yy)k10由（2)得xk2xxxx(代入(３）得k2kx)0k1（１）2002xxx2x2xkk2k1002對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為2()28特征根為41,2當(dāng)8時(shí),則有特征根在單位圓外，設(shè),則8第一章作業(yè)解答第1頁(yè)共35頁(yè)()24()281,24221,221即平衡穩(wěn)定的條件為與的結(jié)果一致．2P207P(x,y)處附近的（２）此時(shí)需求函數(shù)、供應(yīng)函數(shù)在直線近似表達(dá)式分別為：000xxx),0(4)0yy(k1k2k10yy0(5)xx(k1y),k2k1002(xx)β(yyyy)(6)由(5）得,k30k20k10將(４）代入(6),得xxxx2(xx)(k1x)(kx)0k2k122k300x4x4xk04xk3x2xk2k10320(7)4特征方程為2對(duì)應(yīng)齊次方程的4不是（７)的根.設(shè)（7)的三個(gè)非零根分別為7)無(wú)正實(shí)根,且,αβ,代數(shù)方程（2,,，則312341221223311234對(duì)(7）作變換:,則12pq0,3223223)61),q1(8p(2其中4124123第一章作業(yè)解答第2頁(yè)共35頁(yè)3q(q)2(p)33q(q)2(p)32322321w3q(q)2(p)3w23q(q)2(p)3用卡丹公式:22322323w23q(q)2(p)3w3q(q)2(p)3223223其中w1i3,2求出，從而得到，于是得到所有特征根1,,,,的條件.1231232．已知某商品在k時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為x和y，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生kkyf(x)和xg(yyk1)．試建立產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為k2k1kk關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型,并討論穩(wěn)定平衡條件．yf(x)和xg(yy解:已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為kk1)．2k1kk設(shè)曲線f和g相交于點(diǎn)P(x,y),在點(diǎn)P附近可以用直線來(lái)近似表示曲線f和g：0000(xx),0yyk－－-------－-----－---－－－(１)---－－-－－--------－---（2)0k0yyxx(y),00kk12k10從上述兩式中消去y可得kx2(1)x,k1,2,,－----－---－－（3)k02xk2xk1上述(3）式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求P點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件，我們考慮（３）對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程：0022容易算出其特征根為()281,2---－---－--－----(4）4當(dāng)8時(shí),顯然有第一章作業(yè)解答第3頁(yè)共35頁(yè)()282--------－-－（5)44從而8，由(5)式可以算出1,22,在單位圓外．下面設(shè)222要使特征根均在單位圓內(nèi)，即1，必須2．1,2故P點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為2．03.已知某商品在k時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為x和y，其中1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生產(chǎn)kkyf(xx)和xg(y).試建立周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為k1k2k1k1k關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型，并討論穩(wěn)定平衡條件．yf(xx)和xg(y).解:已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為k1k2k1k1k設(shè)曲線f和g相交于點(diǎn)P(x,y),在點(diǎn)P附近可以用直線來(lái)近似表示曲線f和g：0000xxkx),00yy(k1-----－---－-------－-－(1)2k100x(yy),kx------－--－－-----－--（2)-－－－------------－-－-(3）k100xx(yy)k1由(２）得k200xxk1（1)代入(３）,可得xx(kx)02k20x2x2x,k1,2,，－－---------－－-(４）02xk2xk1k0上述(４)式是我們所建立的差分方程模型，且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求P點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件,我們考慮(4）對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程:0022容易算出其特征根為()281,2-------------－-（4）4當(dāng)8時(shí),顯然有第一章作業(yè)解答第4頁(yè)共35頁(yè)()282--------－-－(5)448.下面設(shè),由(５）式可以算出1,2從而2,在單位圓外22212要使特征根均在單位圓內(nèi)，即，必須．1,22故P點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為.0《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第八章(２008年12月９日)1．證明8．１節(jié)層次分析模型中定義的n階一致陣A有下列性質(zhì):（1)A的秩為１，唯一非零特征根為n;（2)A的任一列向量都是對(duì)應(yīng)于n的特征向量.證明：(１)由一致陣的定義知：A滿足aaa,i,j,k1,2,,nijjkik.即列與列對(duì)應(yīng)分量成比例.a于是對(duì)于任意兩列i,j，有a,k1,2,,nijikaijjk從而對(duì)A作初等行變換可得:bbb11121n000A初等行變換Ｂ000這里B0.秩B1,從而秩A1個(gè)可逆陣P,使PAB,于是再根據(jù)初等行變換與初等矩陣的關(guān)系知:存在一cc11c112n000PAP1BP1C000c(只有一,0,,0易知C的特征根為11個(gè)非零特征根).第一章作業(yè)解答第5頁(yè)共35頁(yè)又A~C，Ac與C有相同的特征根,從而A的非零特征根為，又對(duì)于任意矩11TrAa陣有aa1122nn111n.故Ａ的唯一非零12n特征根為n.(2)對(duì)于A的任一列向量aa,k1,2,,n,,,aT1k2knk有nna1jajka1knaj1j11knnna,a,,aTnaAa,a,,aaa2jaTjk2k2k1k2knk1k2knkj1j1nannaaanknjjknkj1j1A的任一列向量nT都是對(duì)應(yīng)于的特征向量.a,a,,a1k2knk7．右下圖是5位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結(jié)果，作為競(jìng)賽圖,它是雙向連通的嗎?找出幾條完全路徑，用適當(dāng)方法排出5位選手的名次．解:這個(gè)5階競(jìng)賽圖是一個(gè)5階有向Ｈａmiｌｔoｎ圖.其一2個(gè)有向Hａmｉlton圈為314523.所以此競(jìng)賽圖是雙向連通的.451235312431452等都是完全路徑.2453113此競(jìng)賽圖的鄰接矩陣為010105400110A100000010111100令e1,1,1,1,1T,各級(jí)得分向量為12AS1SAe2,2,1,2,3T,S4,3,2,4,5T，第一章作業(yè)解答第6頁(yè)共35頁(yè)S3AS27,6,4,7,9T,S4AS313,11,7,13,17T由此得名次為５，1（4),2，3（選手1和４名次相同).注：給5位網(wǎng)球選手排名次也可由計(jì)算A的最大特征根和對(duì)應(yīng)特征向量S得到：1.8393S0.2137,0.1794,0.1162,0.2137,0.2769，T數(shù)學(xué)模型作業(yè)(１2月１6日)解答1.基于省時(shí)、收入、岸間商業(yè)、當(dāng)?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項(xiàng)因素,擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設(shè)渡輪這三個(gè)方案中選一個(gè)，畫(huà)出目標(biāo)為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益”的層次結(jié)構(gòu)圖.解:目標(biāo)層越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益準(zhǔn)則層方案層省收岸間當(dāng)?shù)亟ㄖr(shí)入商業(yè)商業(yè)就業(yè)建橋梁修隧道設(shè)渡輪2.簡(jiǎn)述層次分析法的基本步驟.問(wèn)對(duì)于一個(gè)3個(gè)層次？具體內(nèi)容分別是什么:(1).建立層次結(jié)構(gòu)模型；(2)．構(gòu)造成對(duì)比較陣;(3）．計(jì)算權(quán)(4）.計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn).對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大決策問(wèn)題，用層次分析法一般可分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3.目標(biāo)層是選擇工作崗位,方案層是工作崗位1、工作2、工作崗位３等,準(zhǔn)則層一般為貢獻(xiàn)、收入、發(fā)展、聲譽(yù)、關(guān)系、位置等.３.用層次分析法時(shí)，一般可將決策問(wèn)題分解3個(gè)層次A為一致陣的充要條件．答:用層次分析法時(shí),一般可將決策問(wèn)題分解為目標(biāo)層、7頁(yè)共35頁(yè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問(wèn)題分要成哪?答：層次分析法的基本步驟為向量并做一致性檢驗(yàn)；學(xué)生選擇工作崗位的個(gè)層次崗位成哪?試給出一致性指標(biāo)的定義以及n階正負(fù)反陣準(zhǔn)則層和方案層這3個(gè)層次;一致性第一章作業(yè)解答第n指標(biāo)的定義為:CIn1．ｎ階正互反陣A是一致陣的充要條件為:A的最大特征根=n.第九章(２00８年12月18日）1．在9.1節(jié)傳送帶效率模型中，設(shè)工人數(shù)固定不變.若想提高傳送帶效率D,一種簡(jiǎn)單的方n法是增加一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)工作臺(tái)的鉤子數(shù)m,比如增加一倍,其它條件不變.另一種方法是在原來(lái)放置一只鉤子的地方放置兩只鉤子,其它條件不變,于是每個(gè)工人在任何時(shí)刻可以同時(shí)觸到兩只鉤子，只要其中一只是空的,他就可以掛上產(chǎn)品,這種辦法用的鉤子數(shù)量與第一種辦法一樣.試推導(dǎo)這種情況下傳送帶效率的公式,從數(shù)量關(guān)系上說(shuō)明這種辦法比第一種辦法好.解：兩種情況的鉤子數(shù)均為2m.第一種辦法是個(gè)位置，單鉤放置個(gè)鉤子；第二種2m2m辦法是m個(gè)位置,成對(duì)放置2m個(gè)鉤子．9.1①由節(jié)的傳送帶效率公式，第一種辦法的效率公式為D2m111nm2nn當(dāng)較小,n1時(shí)，有2mn14mD112m1nn11n2m8m2D1E,En4m②下面推導(dǎo)第二種辦法的傳送帶效率公式:對(duì)于m個(gè)位置,每個(gè)位置放置的兩只鉤子稱為一個(gè)鉤對(duì)，考慮一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的m個(gè)鉤對(duì)．1任一只鉤對(duì)被一名工人接觸到的概率是;m11任一只鉤對(duì)不被一名工人接觸到的概率是；m,q111記p．由工人生產(chǎn)的獨(dú)立性及事件的互不相容性．得，任一鉤對(duì)為空的mm概率為qn,其空鉤的數(shù)為2m;任一鉤對(duì)上只掛上１件產(chǎn)品的概率為npqn1,其空鉤數(shù)為第一章作業(yè)解答第8頁(yè)共35頁(yè)m．所以一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的2m個(gè)鉤子中,空鉤的平均數(shù)為2mqnmnpqn1m2qnnpqn1,于是帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是2mm2qnnpqn1)未帶走產(chǎn)品的平均數(shù)是n2mm2qnnpqn1此時(shí)傳送帶效率公式為D'2mm2qnnpqn11n1nn1m2211mnnmm③近似效率公式：nnn11nn1n211n11由于26mmm2m31n1n1n21n1112mmm2n1n2D'16m2當(dāng)n1時(shí)，并令E'1D',則E'6nm22④兩種辦法的比較：由上知:En,E'n24m6m2'/2n2n1E'E.，EE，當(dāng)mn時(shí)，3m3m所以第二種辦法比第一種辦法好．《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第九章（2008年1２月２3日)一報(bào)童每天從郵局訂購(gòu)一種報(bào)紙,沿街叫賣(mài).已知每100份報(bào)紙報(bào)童全部賣(mài)出可獲利７元.如果當(dāng)天賣(mài)不掉,第二天削價(jià)可以全部賣(mài)出,但報(bào)童每100份報(bào)紙要賠4元.報(bào)童每天售出的報(bào)紙數(shù)r是一隨機(jī)變量,其概率分布如下表:售出報(bào)紙數(shù)r（百份)012345第一章作業(yè)解答第9頁(yè)共35頁(yè)P(yáng)(r)概率０.050.10.25０0.15.350．1(訂購(gòu)量必須是100的倍數(shù))？n百份紙，則收益函數(shù)為試問(wèn)報(bào)童每天訂購(gòu)多少份報(bào)紙最佳解:設(shè)每天訂購(gòu)f(r)7r(4)(nr)rn7nrnn(114)()7nP(r)rnPr＋收益的期望值為G(n)=r0rn1現(xiàn)分別求出n=0,1,2,3,4,5時(shí)的收益期望值.4G（0）＝０；G(1)=×0.05＋7×0．１＋7×（０．25+0.35+0.15＋0.1)=6.45；G（2)=(80.0530.1140.25)14(0.350.150.1)11.8；Ｇ(３)=(120.0510.1100.25210.35)21(0.150.1)14.4160.0550.160.25170.35280.15）280.113.15Ｇ（4）＝（Ｇ(5）＝200.0590.120.25130.35240.15350.110.25當(dāng)報(bào)童每天訂30０份時(shí),收益的期望值最大．?dāng)?shù)模復(fù)習(xí)資料第一章1.原型與模型原型就是實(shí)際對(duì)象.模型就是原型的替代物.所謂模型,按北京師范大學(xué)劉來(lái)福教授的觀點(diǎn)：模型就是人們?yōu)橐欢ǖ哪康膶?duì)原型進(jìn)行的一個(gè)抽象.如航空模型、城市交通模型等.直觀模型如玩具、照片等形象模型物理模型如某一試驗(yàn)裝置思維模型如某一操作模型抽象模型符號(hào)模型如地圖、電路圖數(shù)學(xué)模型2．?dāng)?shù)學(xué)模型對(duì)某一實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和方法,通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)等對(duì)這一實(shí)際問(wèn)題近似刻劃所得的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),稱為此實(shí)際問(wèn)題的一個(gè)數(shù)學(xué)模型．例如力學(xué)中著名的牛頓第二定律使用公式Fmd2x來(lái)描2dt第一章作業(yè)解答第10頁(yè)共35頁(yè)Ntt.或又如描述人口隨時(shí)間自由增長(zhǎng)過(guò)程的微分述受力物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就是一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型方程dtdNtrNt．3.數(shù)學(xué)建模所謂數(shù)學(xué)建模是指根據(jù)需要針對(duì)實(shí)際問(wèn)題組建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程.更具體地說(shuō),數(shù)學(xué)建模是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定系統(tǒng)或特定問(wèn)題,為了一個(gè)特定的目的，運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法,通過(guò)抽象和簡(jiǎn)化,建立一個(gè)近似描述這個(gè)系統(tǒng)或問(wèn)題的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)(數(shù)學(xué)模型),運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具以及計(jì)算機(jī)技術(shù)來(lái)解模型，最后將其結(jié)果接受實(shí)際的檢驗(yàn)，并反復(fù)修改和完善.數(shù)學(xué)建模過(guò)程流程圖為：數(shù)學(xué)地、數(shù)值地求解模型實(shí)際抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)歸結(jié)?數(shù)學(xué)模問(wèn)題確定變量、參數(shù)型估計(jì)參數(shù)否?(用實(shí)例或有關(guān)知識(shí))檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪窃u(píng)價(jià)、推廣并交付使用符合否?產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益4.數(shù)學(xué)建模的步驟依次為:模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型構(gòu)成、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)、模型應(yīng)用5.數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類,常見(jiàn)的有:人口模型交通模型環(huán)境模型（污染模型）應(yīng)用領(lǐng)域分類數(shù)學(xué)模型生態(tài)模型a.?按模型的城鎮(zhèn)規(guī)劃模型水資源模型再生資源利用模型b．?按建模的數(shù)學(xué)方法分類第一章作業(yè)解答第11頁(yè)共35頁(yè)初等數(shù)學(xué)模型幾何模型微分方程模型圖論模型數(shù)學(xué)模型組合數(shù)學(xué)模型概率模型規(guī)劃論模型描述模型分析模型預(yù)報(bào)模型c.?按建模目的來(lái)分類數(shù)學(xué)模型優(yōu)化模型決策模型控制模型d．層次分析法的基本步驟：1.建立層次結(jié)構(gòu)模型2.構(gòu)造成對(duì)比較陣3.計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)4．計(jì)算組合權(quán)向量并作組合一致性檢驗(yàn)e.n階正互反正A是一致陣的充要條件為A的最大特征值為ｎf.正互反陣最大特征根和特征向量的實(shí)用算法：冪法、和法、根法４．在“椅子擺放問(wèn)題”的假設(shè)條件中,將四腳的連線呈正方形改為呈長(zhǎng)方形，其余條件不變.試構(gòu)造模型并求解.解:設(shè)椅子四腳連線呈長(zhǎng)方形ABCD.ＡＢ與CD的對(duì)稱軸為x軸,用中心點(diǎn)的轉(zhuǎn)角f();Ｃ、Ｄ與地面距離之和記位置.將相鄰兩腳A、B與地面距離之和記為表示椅子的．于是，設(shè)f(0)0,g(0)0,就得到g().并旋轉(zhuǎn)180g0,f0．為0,有數(shù)學(xué)模型:設(shè)f、0,2g是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)．若0,2fg0,且g00,f00,g0,f0,則0,2,使00．0fg0h()f()g().就有h(0)0,h()f()g()0g()0.模型求解:令hg的連續(xù)性,得到h是一個(gè)連續(xù)函數(shù)．從而是上的連續(xù)函0,再由f,,使0,0.即0,數(shù)．由連續(xù)函數(shù)的介值定理：,使h000第一章作業(yè)解答第12頁(yè)共35頁(yè)

0.0fg0g0.又因?yàn)?,2,有fg0.故f009．(１)某甲早8:０0從山下旅店出發(fā),沿一條路徑上山,下午５：00到達(dá)山頂并留宿.次日早8：00沿同一路徑下山,下午5：00回到旅店.某乙說(shuō)，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn).為什么？（２）37支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭(zhēng)奪賽，每輪比賽中出場(chǎng)的每?jī)芍蜿?duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪，直至比賽結(jié)束.問(wèn)共需進(jìn)行多少場(chǎng)比賽，共需進(jìn)行多少輪比賽.如果是n支球隊(duì)比賽呢?解:(1)方法一：以時(shí)間t為橫坐標(biāo),以沿上山路徑從山下旅店到山頂?shù)男谐蘹為縱坐標(biāo),第一天的行程x(t)可用曲線（）表示,第二天的行程x(t)可用曲線()表示，（（)）是連續(xù)曲線必有交點(diǎn)p(t,d),000兩天都在t時(shí)刻經(jīng)過(guò)d地點(diǎn).ｘ00d方()法二:設(shè)想有兩個(gè)人,一人上山,一人下山，同一天同p0()時(shí)出發(fā),沿同一路徑,必定相遇.d0t早8t晚50方法三：我以們山下旅店為始點(diǎn)記路程,設(shè)從山下旅店到山頂?shù)穆烦毯瘮?shù)為f(t)（即ｔ時(shí)刻走的路程為f(t)),同樣設(shè)從山頂?shù)缴较侣玫甑穆泛瘮?shù)為g(t),并設(shè)山下旅店到山頂?shù)木嚯x為a(a>0).由題意知:f(8)0,f(17)a,g(8)a,g(17)0.令h(t)f(t)g(t),則有h(8)f(8)g(8)a0,h(17)f(17)g(17)a0,由于f(t),g(t)都是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),因此h(t)也是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理,t[8,17],0使h(t)0,即f(t)g(t).000第一章作業(yè)解答第13頁(yè)共35頁(yè)(2）36場(chǎng)比賽，因?yàn)槌谲婈?duì)外,每隊(duì)都負(fù)一場(chǎng);6輪比賽，因?yàn)?隊(duì)賽１輪，４隊(duì)賽２輪，3２隊(duì)賽5輪.n隊(duì)需賽n1場(chǎng),若2k1n2k，則需賽輪．k２.已知某商品在k時(shí)段的數(shù)量和價(jià)格分別為x和y，其中１個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品的一個(gè)生kkyf(xx)和xg(y).試建產(chǎn)周期.設(shè)該商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為k1k2k1k1k立關(guān)于商品數(shù)量的差分方程模型,并討論穩(wěn)定平衡條件.yf(xx)和xg(y).k1k解:已知商品的需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別為k1k2k1設(shè)曲線f和g相交于點(diǎn)P(x,y)，在點(diǎn)P附近可以用直線來(lái)近似表示曲線f和g：0000xxkx),0－－-----－----－－------（1）0yy(k12k100x(yy),kxk1--－－－-－----------－-（２)00xx(yy)由(２)得-－------－-－－--－-－-－-（３)k20k10xxk1(1）代入(3),可得xx(kx)02k20x2x2x,k1,2,,02xk2xk1--－－－----－---－k0(4）上述（４)式是我們所建立的差分方程模型,且為二階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為了尋求P點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件,我們考慮（４）對(duì)應(yīng)的齊次差分方程的特征方程:0022容易算出其特征根為()281,2------－--------（5)4當(dāng)8時(shí),顯然有()282-－-----－-－－(6）44從而8，由(5)式可以算出1,22，在單位圓外.下面設(shè)222第一章作業(yè)解答第14頁(yè)共35頁(yè)12要使特征根均在單位圓內(nèi),即,必須.1,22故P點(diǎn)穩(wěn)定平衡條件為.0dx(t)t漁場(chǎng)中魚(yú)的數(shù)量）的自然增長(zhǎng)規(guī)律為：rx(1x)dtx(t)(時(shí)刻３.設(shè)某漁場(chǎng)魚(yú)量N其中r為固有增長(zhǎng)率，N`為環(huán)境容許的最大魚(yú)量．而單位時(shí)間捕撈量為常數(shù)h.（1).求漁場(chǎng)魚(yú)量的平衡點(diǎn),并討論其穩(wěn)定性；(2）．試確定捕撈強(qiáng)度mE,使?jié)O場(chǎng)單位時(shí)間內(nèi)具有最大持續(xù)產(chǎn)量Q,并求此時(shí)漁場(chǎng)魚(yú)量水平mx*.0x(t)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為dx(t)rx(1x)hN解：(1).dt記f(x)rx(1x)h,令rx(1x)h0rx2rxh0-－--，即NNNN14hNrN2r2r(r4h)4rh（1),(1）的解為：xNN1,2①當(dāng)0時(shí)，（１)無(wú)實(shí)根N②當(dāng)0(1)有兩個(gè)相等的實(shí)根,平衡點(diǎn)為.x20,此時(shí)無(wú)平衡點(diǎn)；時(shí)，2rxf'(x)r(1x)rxrNN,f'(x)00不能斷定其穩(wěn)定性．NxrNxx均有f(x)rx(1)0dx，即不穩(wěn)定;但xx及00x4dt0N00③當(dāng)時(shí),得到兩個(gè)平衡點(diǎn)：NN14hrN2NN14hrN2x1，x2NN,xfx，fx2'()0'()0易知x12221平衡點(diǎn)1x不穩(wěn)定x穩(wěn)定,平衡點(diǎn).2maxh(2）．最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為：?s.t.f(x)0即maxhrx(1x),易得x*NhrNx*N2這個(gè)平衡點(diǎn)不此時(shí),但N0240穩(wěn)定.第一章作業(yè)解答第15頁(yè)共35頁(yè)NNN,應(yīng)使?jié)O場(chǎng)魚(yú)量,且盡量接近，但不能等于.x222要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量5.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每件產(chǎn)品需要原材料、能源消耗、勞動(dòng)力及所獲利潤(rùn)如下表所示:品種原材料２能源消耗(百元）勞動(dòng)力(人）利潤(rùn)（千元)甲16４45乙３2現(xiàn)有庫(kù)存原材料1４00千克；能源消耗總額不超過(guò)2400百元;全廠勞動(dòng)力滿員為2000,并求出最大利潤(rùn)．人.試安排生產(chǎn)任務(wù)(生產(chǎn)甲品各多少件）,使利潤(rùn)最大、乙產(chǎn)解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件,相應(yīng)的利潤(rùn)為S．則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為maxS4x5ys.t.2x3y1400x6y24004x2y2000x0,y0,x,yZ模型的求解：用圖解法.可行域?yàn)椋河芍本€l:2x3y14001l:x6y24002:l:4x2y20003及x0,y0組成的凸五邊形區(qū)域.直線l:4x5yC在此凸五邊形區(qū)域內(nèi)行平移動(dòng).易知：當(dāng)過(guò)的交點(diǎn)時(shí)，Ｓ取最ll與l132x3y1400解得：x400,y200大值.由4x2y2000S440052002600(千元）.max故安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品４00件、乙產(chǎn)品2０0件,可使利潤(rùn)最大,其最大利潤(rùn)為2600千元.6.某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物，每箱的體積、重量以及可獲利潤(rùn)如下表:體積重量利潤(rùn)（百元/箱)20貨物(立方米/箱)(百斤/箱)甲乙54２51０已知這兩種貨物托運(yùn)所受限制是體積不超過(guò)２4立方米，重量不超過(guò)13百斤.試問(wèn)這兩種貨物各托運(yùn)多少箱，使得所獲利潤(rùn)最大,并求出最大利潤(rùn)..貨物、乙貨物的托運(yùn)箱數(shù)分別為x,x,所獲利潤(rùn)為z則問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表示為12解：設(shè)甲maxz20x10x12第一章作業(yè)解答第16頁(yè)共35頁(yè)121212112l:2x5x13及x0,x0組成直線21212平行移動(dòng).x2l1l2x1l易知:當(dāng)l過(guò)l與l的交點(diǎn)時(shí)，1z取最大值25x4x24x4由12解得x112x5x13122z20410190.maxv與波長(zhǎng)、水深d、水的密度和重力加速度g有關(guān),試用量綱分析方法給出波速v的表達(dá)式.7．深水中的波速解：設(shè)v,，d,，g的關(guān)系為f(v,,d,,g)=0.其量綱表達(dá)式為[v]=LM0T，－1［]=LM0T0，[d］=ＬM0Ｔ０，［]=L-３MＴ0,[g]=ＬM0Ｔ-2，其中L，M，Ｔ是基本量綱.---－-－--－４分量綱矩陣為11131(L)00010(M)1000A=2(T)(v)()(d)()(g)齊次線性方程組Ay＝0，即第一章作業(yè)解答第17頁(yè)共35頁(yè)yyyyy3012345y40-y1-2y05的基本解為y=(1,1,0,0,1),y=(0,1,1,0,0)2212P定理得1v2g12由量綱i11d2,∴vg,()2d112vg(d)，其中是未定函數(shù)．第二章(2)(2０0８年10月9日15.速度為s的風(fēng)車(chē)上,空氣密度是,用量綱分析方法確定風(fēng)車(chē)獲v的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為得的功率P與v、S、的關(guān)系．解:設(shè)P、v、S、的關(guān)系為f(P,v,s,)0,其量綱表達(dá)式為：,[]=ML3,這里L(fēng),M,T是基本量綱.23,[v]=LT1,[s］=L2[P]=MLT量綱矩陣為：2123(L)1001(M)Ａ=3100(T)(P)(v)(s)(齊次線性方程組為：yyyy22301234yy0143yy012它的基本解為y(1,3,1,1)111,其中是無(wú)量綱常數(shù).，Pvs31P定理得P1由量綱v3si1６.雨滴的速度v與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度g有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是:運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比,比例系數(shù)為粘滯系數(shù)，用量綱分析方法給出速度v的表達(dá)式.f(v，，,g)=0.其量綱[v]=LM0－1-3表達(dá)式為T(mén),［］=L解：設(shè)v,,,g的關(guān)系為ＭＴ0，[］＝MＬT-2（LＴ-1L-１）-1Ｌ-2=MＬＬ-2T-2T=L－1ＭT－１，[g］=LM0T-２,其中L,M，T是基本量綱.第一章作業(yè)解答第18頁(yè)共35頁(yè)量綱矩陣為1311(L)0110(M)A=1012(T)(v)()()(g)齊次線性方程組Ａy=０，即y-3y-yy01234yy023-y-y-2y0134的基本解為ｙ=（-3，－1,1,１）g1g.，其中是無(wú)量綱常數(shù)．P定理得v3iv由量綱3v與空氣密度、粘滯系數(shù)、特征尺寸和重力加速度１6*．雨滴的速度g有關(guān),其中粘滯系數(shù)的定義是：運(yùn)動(dòng)物體在流體中受的摩擦力與速度梯度和接觸面積的v的表達(dá)式.乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù),用量綱分析方法給出速度解:設(shè)v，,,，g的關(guān)系為f(v,,,,g)0.其量綱表達(dá)式為]=Ｌ-3ＭT0，[］=ＭＬT-2(LT-1Ｌ-１)-1L-２=MＬL-2Ｔ-2T=Ｌ－１[v]=LM0Ｔ,[－１MT-1,[]=LM0T0，［g]=LＭ0T－2其中L,M,T是基本量綱.量綱矩陣為11311(L)00110(M)A＝10012(T)(v)()()()(g)齊次線性方程組Aｙ=0即yyyyy3012345yy034yy2y0145的基本解為y(1,1,0,0,1)221y(0,3,1,1,)1222得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量v1/2g1/211g3/21/22第一章作業(yè)解答第19頁(yè)共35頁(yè)3/2g1/2)12vg,.由(,)0,得(1即111212g(3/2g1/21)，其中是未定函數(shù).,即在單擺運(yùn)動(dòng)中考慮阻力,并設(shè)阻力與擺的速度成正比．給出周期的,即怎樣由模型擺的周期計(jì)算原型擺的周期.l,質(zhì)量m，重力加速度g,阻力系數(shù)２0.考察阻尼擺的周期,然后討論物理模擬的比例模型t,擺長(zhǎng)表達(dá)式解：設(shè)阻尼擺周期k的關(guān)系為f(t,l,m,g,k)0其量綱表達(dá)式為[t]L0M0T,[l]LM0T0,[m]L0MT0,[g]LM0T2,[k][f][v]1MLT2(LT1)1L0MT1:，其中，，是基本量綱．LMT量綱矩陣為01010(L)00101(M)A=10021(T)(t)(l)(m)(g)(k)齊次線性方程組0yy24yy035y2yy0145的基本解為11Y(1,,0,,0)221Y(0,1,1,1,1)222得到兩個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量tl1/2g1/21lm1g1/2k1/22l,kl1/2(),22∴tmg1/2g11lkl1/2),其中是未定函數(shù).gmg1/2∴t(考慮物理模擬的比例模型，設(shè)和原型擺的周期、擺長(zhǎng)、質(zhì)量分別為g和k不變,記模型第一章作業(yè)解答第20頁(yè)共35頁(yè)lkl1/2()gmg1/2t,t;l,l'';m,m'.又t當(dāng)無(wú)量綱量llgllmtglt時(shí),就有.ml第三章1（2008年10月14日）1.在3．１節(jié)存貯模型的總費(fèi)用中增加購(gòu)買(mǎi)貨物本身的費(fèi)用,重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量.證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來(lái)的一樣，而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量都比原來(lái)結(jié)果減少.解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)單位重量貨物的費(fèi)用為k,其它假設(shè)及符號(hào)約定同課本．10對(duì)于不允許缺貨模型,每天平均費(fèi)用為:ccrTC(T)kr122TdCccr122dTT22c1dC令，解得0T*dTcr22cr由QrT，得QrT1c2與不考慮購(gòu)貨費(fèi)的結(jié)果比較,T、Ｑ的最優(yōu)結(jié)果沒(méi)有變.20對(duì)于允許缺貨模型，每天平均費(fèi)用為：kQC(T,Q)1cc(rTQ)cQ22r232T12rCTkQccQ2crcQ3322rT2T2212T22rT2CcQcQk3rTTc3QrT2C0T令,得到駐點(diǎn)：C0Q第一章作業(yè)解答第21頁(yè)共35頁(yè)2cccT3k212rcccc23232crc1ck2r23krQcccc(cc)cc322322323與不考慮購(gòu)貨費(fèi)的結(jié)果比較,T、Ｑ的最優(yōu)結(jié)果減少.2．建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷(xiāo)售存貯模型.設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)k，銷(xiāo)售速率為常數(shù)r,kr．在每個(gè)生產(chǎn)周期Ｔ內(nèi),開(kāi)始的一段時(shí)間0tT一邊生產(chǎn)一邊銷(xiāo)售,后來(lái)0的一段時(shí)間(TtT)只銷(xiāo)售不生產(chǎn)，畫(huà)出貯存量g(t)的圖形.設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為0c,單位時(shí)間每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為c，以總費(fèi)1用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期，討論2kr和kr的情況.解：由題意可得貯存量g(t)的圖形如下：gg(t)krrTTtcTg(t)dtc0)ii2t(kr)TTOn貯存費(fèi)為climg(022t0i120(kr)Tr(TT)又00rkr(kr)TTT0T,貯存費(fèi)變?yōu)閏2k2于是不允許缺貨的情況下，生產(chǎn)銷(xiāo)售的總費(fèi)用(單位時(shí)間內(nèi))為ccr(kr)Tr(kr)T2c1cTC(T)12T2kT22kdCdTcr(kr)2kc.12T22ckcr(kr)令dC0,得TdT122ckcr(kr)易得函數(shù)C(T)在T處取得最小值，即最優(yōu)周期為：T12第一章作業(yè)解答第22頁(yè)共35頁(yè)2c當(dāng)kr時(shí)，T1．相當(dāng)于不考慮生產(chǎn)的情況.cr2當(dāng)kr時(shí)，T．此時(shí)產(chǎn)量與銷(xiāo)量相抵消,無(wú)法形成貯存量.第四章(２００８年10月28日）A件甲產(chǎn)品用原料１千克，B原料5千克;一件乙產(chǎn)品用A原料2千1.某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,一克，B原料4千克.現(xiàn)有原料２AB0千克,原料70千克.甲品每件售價(jià)分別為2０元和30元．問(wèn)、乙產(chǎn)如何安排生產(chǎn)使收入最大?解：設(shè)安排生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件,乙產(chǎn)品y件,相應(yīng)的利潤(rùn)為S則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：maxＳ=２0x+３０yx2y205x4y70s.ｔ.x,y0,x,yZ這是一個(gè)整線性規(guī)劃問(wèn)題,現(xiàn)用圖解法進(jìn)行求解可行域?yàn)椋河芍本€l：x+2y=20,l:５x+4y=7０12ly2以及x=0，y=0組成的凸四邊形區(qū)域．直線l：２0ｘ＋30ｙ=c在可行域內(nèi)l平行移動(dòng).易知:當(dāng)l過(guò)l與l的交點(diǎn)時(shí),l112xS最取大值．x2y205x4y7010x解得由y5此時(shí)S＝2010305=35０（元）max2．某廠擬用集裝箱托運(yùn)甲乙兩種貨物,每箱的體積、重量以及可獲利潤(rùn)如下表:體積重量利潤(rùn)貨物（立方米/箱）（百斤/箱）(百元/箱)甲乙5２520４１0已知這兩種貨物托運(yùn)所受限制是體積不超過(guò)24立方米，重量不超過(guò)13百斤．試問(wèn)這兩種貨物各托運(yùn)多少箱，使得所獲利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)..貨物、乙貨物的托運(yùn)箱數(shù)分別為x,x,所獲利潤(rùn)為z則問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可表示為12解：設(shè)甲第一章作業(yè)解答第23頁(yè)共35頁(yè)212st2x5x131212可行域?yàn)椋河芍本€112l:2x5x13及x0,x0組成直線l:20x10xc在此凸四邊形區(qū)域內(nèi)1212212平行移動(dòng).x2l1l2x1l易知：當(dāng)l過(guò)l與l的交點(diǎn)時(shí),z取最大值2154x24xx4由12解得x112x5x13122z20410190．max3．某微波爐生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃在下季度生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的微波爐.已知每臺(tái)甲型、乙型微波爐的銷(xiāo)售利潤(rùn)所耗原料分別為２和3個(gè)單位,所需工時(shí)分別為4和2原料為100個(gè)單位,工時(shí)為2臺(tái).試建立一個(gè)分別為3和2個(gè)單位.而生產(chǎn)一臺(tái)甲型、乙型微波爐個(gè)單位.若允許使用12０個(gè)單位，且甲型、乙型微波爐產(chǎn)量分別不低于６臺(tái)和１數(shù)學(xué)模型,確定生產(chǎn)甲型、乙型微波爐的臺(tái)數(shù),使獲利潤(rùn)最大.并求出最大利潤(rùn)．解:設(shè)安排生產(chǎn)甲型微波爐利潤(rùn)為S.x件,乙型微波爐y件,相應(yīng)的則此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：maxＳ=3x＋2y2x3y1004x2y120s.ｔ．x6,y12,x,yZ這是一個(gè)整線性規(guī)劃問(wèn)題第一章作業(yè)解答第24頁(yè)共35頁(yè)用圖解法進(jìn)行求解可行域?yàn)?由直線l:２x+3y=10０，l:4ｘ+２y＝１2０12max第五章2(2００8年1１月14日)(只有中心室），在快速靜脈注射間為）和口服或肌肉注射3種給藥方式下求解血藥濃度,并畫(huà)出血藥濃度脈滴注（持續(xù)時(shí)曲線的圖形.ft,中心室藥量為xt,血藥濃度為Ct,容積為V,解:設(shè)給藥速率為中心室0ft0,Ctxt排除速率為常數(shù)k,則x/tkxtft,xtVCt.0VD,則ft0,C0D0,解得CtD0ekt.k(1）快速靜脈注射：設(shè)給藥量為排除00VVk，則ftk,C00,解得滴注(持續(xù)時(shí)間為):設(shè)滴注速率為00(2)恒速靜脈0k1e,0t0ktCtVkk0Vkt1ekt,ektftkDe見(jiàn)5.4節(jié)（13）式，解得(3)口服或肌肉注射:k01t0010第一章作業(yè)解答第25頁(yè)共35頁(yè)kDeekt01,kk010ktVkk0101Ct３種情況下的血藥濃01kDtekt,kkV度曲線如下：(1)(2)(3)Ota4.,設(shè)乙方與甲方戰(zhàn)斗有效系數(shù)之比為b4.在5.3節(jié)正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型（3）中與xy相同.1(?）問(wèn)乙方取勝時(shí)的剩余兵力是多少初始兵力,乙方取勝的時(shí)間如何確定.00(2)若甲方在戰(zhàn)斗開(kāi)始后有后備部隊(duì)以不變的速率,討論如何判斷r增援,重新建立模型雙方的勝負(fù).?解:用xtyt表示甲、乙交戰(zhàn)雙方時(shí)刻t的士兵人數(shù),則正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型可,近似表示為:dxaydt1dybx,dtx0x,y0y000a現(xiàn)求(1)的解：(1）的系數(shù)矩陣為Ab0第一章作業(yè)解答第26頁(yè)共35頁(yè)EAbaba2ab0.1,222,對(duì)應(yīng)的特征向量分別為，111222xt1的通解為CeabtCeabt.yt1121再由初始條件,得2xtyeabtx0yex0abt22001可得dybx.dxay又由3其解為ay2bx2k,而kay2bx200aybxk2020y1b3（１)當(dāng)xt0時(shí)，yty.011aa0a23即乙方取勝時(shí)的剩余兵力數(shù)為2y.0又令xt0,由（2）得x0yeabt1x0yeabt10.220101x2ytln3.4b注意到xy,得e20.e2abt13,abt0yx200100(2)若甲方在戰(zhàn)斗開(kāi)始后有后備部隊(duì)以不變的速率r增援．則第一章作業(yè)解答第27頁(yè)共35頁(yè)dxdtdydtx(0)x,y0yayrbx400dybxdx由4得ayr,即bxdxaydyrdy.相軌線為ay22rybx2k,或r2bx2r2k.此相軌線比書(shū)圖１1中的軌線上移了akay2rybxay202.00ar.a乙方取勝的條件為k0,亦即rb22r2.a2y0x0aa第六章(2００8年11月20日）１.在6.1節(jié)捕魚(yú)模型中,如果漁場(chǎng)魚(yú)量的自然增長(zhǎng)仍服從Ｌogｉｓtic規(guī)律，而單位時(shí)間捕撈量為常數(shù)ｈ.(１)分別就hrN/4,hrN/4，hrN/4這3種情況討論漁場(chǎng)魚(yú)量方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定狀況.(2)如何獲得最大持續(xù)產(chǎn)量,其結(jié)果與6．1節(jié)的產(chǎn)量模型有何不同．解:設(shè)時(shí)刻ｔ的漁場(chǎng)中魚(yú)的數(shù)量為，則由題設(shè)條件知:變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型為xtxtdx(t)rx(1x)hNdt記Fxrx()(1x)hN(１).討論漁場(chǎng)魚(yú)量的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性：，得rx(1x)h0．由Fx0Nrx2rxh01即Nr2r(r4h)4rh,NNN14hrN2N(1)的解為:x1,2第一章作業(yè)解答第28頁(yè)共35頁(yè)①當(dāng)hrN/4②當(dāng)hrN/40,,（1)無(wú)實(shí)根,此時(shí)無(wú)平衡點(diǎn);Nx.200,,（1)有兩個(gè)相等的實(shí)根，平衡點(diǎn)為xrx(x)r(1)r2rx,()0Fx不能斷定其穩(wěn)定性．F''0NNNdxxrN0，即．不穩(wěn)定;4dt但xx及均有xx()0Fxrx(1)x000N③當(dāng)hrN/4,0時(shí),得到兩個(gè)平衡點(diǎn):N14hNrNN14hNrNx1，x222N易知:x,Nx2F(x)0F(x)0，'，'22112.x不穩(wěn)定，平衡點(diǎn)x穩(wěn)定12平衡點(diǎn)(2)最大持續(xù)產(chǎn)量的數(shù)學(xué)模型為hrN/4maxhs.t.F(x)0hrN/4hrN/4rx1x/Nx即maxhrx(1)，?NNrN此時(shí)，易得xhN/2*0x1x2x24N2這個(gè)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定．這是與６．1節(jié)的產(chǎn)量模型不同之處．但x*0NNN要獲得最大持續(xù)產(chǎn)量，應(yīng)使?jié)O場(chǎng)魚(yú)量,且盡量接近，但不能等于．x222第八章（2008年12月９日）1.基于省時(shí)、收入、岸間商業(yè)、當(dāng)?shù)厣虡I(yè)、建筑就業(yè)等五項(xiàng)因素,畫(huà)出目標(biāo)為“越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益”的層次結(jié)構(gòu),擬用層次分析法在建橋梁、修隧道、設(shè)渡輪這三個(gè)方案中選一個(gè)圖.解：目標(biāo)層越海方案的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)效益準(zhǔn)則層省收岸間當(dāng)?shù)亟ㄖr(shí)入商業(yè)商業(yè)就業(yè)第一章作業(yè)解答第29頁(yè)共35頁(yè)方案層建橋梁修隧道設(shè)渡輪２.簡(jiǎn)述層次分析法的基本步驟.問(wèn)對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問(wèn)題要分成哪3個(gè)層次？具體內(nèi)容分別是什么?答:層次分析法的基本步驟為:（1).建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2)．構(gòu)造成對(duì)比較陣；（3）．計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn);（４)．計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)．對(duì)于一個(gè)即將畢業(yè)的大學(xué)生選擇工作崗位的決策問(wèn)題,用層次分析法一般可分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這３個(gè)層次．目標(biāo)層是選擇工作崗位,方案層是工作崗位1、工作崗位2、工作崗位３等,準(zhǔn)則層一般為貢獻(xiàn)、收入、發(fā)展、聲譽(yù)、關(guān)系、位置等．3.用層次分析法時(shí),一般可將決策問(wèn)題分解成哪3個(gè)層次?試給出一致性指標(biāo)的定義以及n階正負(fù)反陣A為一致陣的充要條件.答:用層次分析法時(shí),一般可將決策問(wèn)題分解為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層這3個(gè)層次；一致性指標(biāo)的定義為：nn1．n階正互反陣A是一致陣的充要條件為：A的最大特征根=n．CI7.右下圖是５位網(wǎng)球選手循環(huán)賽的結(jié)果，作為競(jìng)賽圖，它是雙向連通的嗎?找出幾條完全路徑，用適當(dāng)方法排出５位選手的名次．解:這個(gè)5階競(jìng)賽圖是一個(gè)５階有向Hamiltｏｎ圖.其一個(gè)2有向Haｍilton圈為314523．所以此競(jìng)賽圖是雙向連通的.4512324531135312431452等都是完全路徑．此競(jìng)賽圖的鄰接矩陣為01010001105A1000040010111100令e1,1,1,1,1T,各級(jí)得分向量為第一章作業(yè)解答第30頁(yè)共35頁(yè)SAe2,2,1,2,3T,S2AS14,3,2,4,5T，14AS313,11,7,13,17S3AS27,6,4,7,9,STT由此得名次為5，1(4）,2，3(選手1和4名次相同).第九章(2０08年12月23日)一報(bào)童每天從郵局訂購(gòu)一種報(bào)紙,沿街叫賣(mài),第二天削價(jià)可以全部賣(mài)出,但報(bào)童每100份報(bào)紙要賠r是一隨機(jī)變量,其概率分布如下表：)０１2.已知每100份報(bào)紙報(bào)童全部賣(mài)出可獲利7元.如果當(dāng)天賣(mài)不掉4元.報(bào)童每天售出的報(bào)紙數(shù)售出報(bào)紙數(shù)r(百份345P(r)概率0.050.10.250.350.１50.1試問(wèn)報(bào)童每天訂購(gòu)多少份報(bào)紙最佳（訂購(gòu)量必須是100的倍數(shù)）?f(r)7r(4)(nr)rn解：設(shè)每天訂購(gòu)n百份紙，則收益函數(shù)為:rn7n收益的期望值為G(n）＝rnPr+n(114)()7nP(r)r0rn1現(xiàn)分別求出n=0,1,2,3,4,5時(shí)的收益期望值．4G（0)=0;G(1）＝×0.0５＋7×０．1+7×（0.25+0.35＋０．1５+0.１）＝6.45;G(2)=(80.0530.1140.25)14(0.350.150.1)11.8;Ｇ（3)=(120.0510.1100.25210.35)21(0.150.1)14.4Ｇ(4)=（160.0550.160.25170.35280.15)280.113.15=200.0590.120.25130.35240.15350.110.25G(5）當(dāng)報(bào)童每天訂30０份時(shí)，收益的期望值最大.《數(shù)學(xué)模型》作業(yè)解答第一章(2008年9月9日）4.在“椅子擺放問(wèn)題”的假設(shè)條件中,將四腳的連線呈正方形改為呈長(zhǎng)方形，其余條件不變.試構(gòu)造模型并求解．解：設(shè)椅子四腳連線呈長(zhǎng)方形ABＣD.AB與ＣＤ的對(duì)稱軸為x軸,用中心點(diǎn)的轉(zhuǎn)角第一章作業(yè)解答第31頁(yè)共35頁(yè)、B與地面距離之和記為f();Ｃ、D與地面距離之和.將相鄰兩腳Ａ表示椅子的位置記為g()．并旋轉(zhuǎn)180.于是，設(shè)f(0)0,g(0)0,就得到g0,f0.0g是0,2上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).若0,2,有數(shù)學(xué)模型：設(shè)f、fg0,且g00,f00,g0,f0,則0,2,使00.0fg0h()f()g().就有h(0)0,h()f()g()0g()0.模型求解:令hg的連續(xù)性,得到h是一個(gè)連續(xù)函數(shù).從而是上的連續(xù)函0,再由f,,使數(shù).由連續(xù)函數(shù)的介值定理：0,h0.即0,,使0000.0fg0g0.又因?yàn)?,2,有fg0.故f008.假定人口的增長(zhǎng)服從這樣的規(guī)律：時(shí)刻t的人口為x(t),單位時(shí)間內(nèi)人口的增量與xx(t)成正比（其中x為最大容量).試建立模型并求解.作出解的圖形并與指數(shù)增長(zhǎng)模mm型、