2022北京立新學(xué)校高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2022北京立新學(xué)校高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的

x(x+2)

1.不等式x-3<0的解集為()

A.{x|x〈-2或0<x<3}B.{x|-2<x<0或

x>3}

C.{x[x<-2或x>0}D.{x|x<0或x>3}

參考答案：

A

1

2.函數(shù)f(x)=3ax3-x2+5(a>0)在(0,2)上不單調(diào)，則a的取值范圍是()

11

A.0<a<lB.0<a<2C.2<a<lD.a>l

參考答案：

D

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

1

【分析】函數(shù)f(x)=3ax3-x2+5(a>0)在(0,2)上不單調(diào)，即函數(shù)f(x)在(0,2)

內(nèi)有極值點(diǎn)，結(jié)合圖象可得到a的限制條件，從而可求出a的范圍.

232

【解答】解：f(x)=ax.2x,函數(shù)f(x)=yax.x+5(a>0)在(0,2)上不單調(diào)，即函

數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)有極值點(diǎn)，

因?yàn)閍>0,且F(0)=0,所以有F(2)>0,即4a一4>0,解得a>l.

故選D.

3.已知△工5c中，a=42,b=6,8=60°,那么角Z等于（）

A.45°B.135°c,45"或135°

D.30。

參考答案：

A

4,函數(shù)〃x）=l°g2&+l）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（0，.）B.[°'EC.

D.口，用）

參考答案：

A

略

5.已知平面a與兩條直線L"*,1*La,則是“用上口”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要

參考答案：

C

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，為充要條件，故選C.

6.下列四個命題：

①命題“若/一我+2=0,則x=l”的逆否命題為“若x#l,則I2-3x+2#0”；

T

a=—

②“4”是“CBS2a=0”的充分不必要條件；

③若「人1為假，）丫0為真，則A0有且僅有一個是真命題：

④對于命題p：3rE&,使得Y+x+l<0,則-iP：WxeA,使得Y+X+1".

其中，正確的命題個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

參考答案：

D

7.如果函數(shù)/。)=2--4。-&泣+1在區(qū)間[3,m)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是

A(一0°,-2]B[-2,+°°)c(一阻4]D[4,+00)

參考答案：

8.A/4BC中，力>B是疝】/>sinB

A-充分非必要條件B.必要非充分條

a充要條件D.既非充分也

非必要條件

參考答案:

9.過點(diǎn)M(-2,0)的直線m與橢圓2+y=1交于R、P?兩點(diǎn)，線段PR的中點(diǎn)為P,設(shè)直

線m的斜率為L(kWO),直線OP的斜率為kz,則kk的值為()

1

A.2B.-2C.2D.-~2

參考答案:

【考點(diǎn)】橢圓的應(yīng)用；直線與圓錐曲線的綜合問題.

【分析】點(diǎn)斜式寫出直線m的方程，代入橢圓的方程化簡，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)公

式求出P的橫坐標(biāo)，再代入直線m的方程求出P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線0P的斜率k2,

計(jì)算kh的值.

【解答】解：過點(diǎn)M(-2,0)的直線m的方程為y-0=k,(x+2),

代入橢圓的方程化簡得(2k「+l)x2+8kjx+8k/-2=0,

2

-8kt-4k[2

22

；.xi+x2=2ki+1,，p的橫坐標(biāo)為2kl+1（

2kl-4kj22kl

222

P的縱坐標(biāo)為k3x,+2）=2kl+1,即點(diǎn)P（2kl+1,2kl+1）,

-1

2k

直線OP的斜率k2=l,

，kik2=-2.

故選D

10.下列命題中，真命題是（）

x2

A.?x0CR,ex°W0B.?xGR,2>x

a

C.a+b=0的充要條件是E=-1D.a>1且b>1是ab>1的充分條件

參考答案：

D

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【分析】對于A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)來分析；

對于B,可舉個反例說明其為假，如*=2時;左邊=右邊；

對于C,因?yàn)槭浅湟獥l件，所以要互相推出；

對于D,只要能從左邊推到右邊即可.

【解答】解：A,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知e*N0恒成立，故A假；

B,舉個反例說明其不成立即可，如x=2時，左邊=右邊，故B假；

—=~1

C,當(dāng)a+b=O且bWO時，才能推出b,所以不是充分條件，故C假；

D,顯然當(dāng)a>l且b>l時，必有ab>l成立，故D為真命題.

故選D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

某學(xué)校數(shù)學(xué)課外活動小組在坐標(biāo)紙上，為某沙漠設(shè)計(jì)植樹方案如下：第k棵樹

種植在點(diǎn)Pk(Xi’E)處，其中5=1,%=1，當(dāng)kN2時，

1u上一］uk-2

x、=&i+l-5——+5——

<_L/「L：」,其中㈤表示實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，例如［2.6］=2,

［0.6］=0,按此方案，第2008棵樹種植點(diǎn)的坐標(biāo)為

參考答案：

分析：直接用累加法可得(3,402)。

12.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?1,5］,部分對應(yīng)值如下表：

X-10245

f(X)121.521

f(x)的導(dǎo)函數(shù)丫=『(X)的圖象如圖所示.

下列關(guān)于函數(shù)f(x)的命題：

①函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,2］；

②函數(shù)f(x)在［0,2］上是減函數(shù)；

③如果當(dāng)xG［-l,t］時，f(x)的最大值是2,那么t的最大值為4；

④當(dāng)l<a<2時，函數(shù)y=f(x)-a最多有4個零點(diǎn).

其中真命題的序號是一一.

參考答案：

①②④

13.如圖，在正三棱柱工3C-4&G中，45=1.若二面角的大小為

60°,則點(diǎn)C到平面45cl的距離為

參考答案：

3

4

略

X—y-?-l>0

x4-y-3>0

14.若x,y滿足約束條件卜一3《°則z=x+2y的最小值為.

參考答案：

3

【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.

【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結(jié)論.

【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，

由z=x+2y,得y=-2X7,平移直線丫二一,、?，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)C時,

__L二

直線y=2X2的截距最小，此時z最小，

：x-3=0fx=3

由1x+y-3=0,得1尸0,即c(3,0)

此時z=3+2x0=3.

故答案為：3

15.下列命題：

①設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù),若aVb,則ab'VaZb；

②若a<b<0,則ab；

x2+3

③函數(shù)yXx2+2的最小值是2；

14

④若x、y是正數(shù)，且x+y=l,則xy有最小值16；

21

⑤已知兩個正實(shí)數(shù)x,y滿足x+y=l,則x+y的最小值是久歷.

其中正確命題的序號是—.

參考答案：

②④

【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)；基本不等式.

【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式.

【分析】①的結(jié)論不成立，舉出反例即可；

②由同號不等式取倒數(shù)法則，知②成立；

③④⑤分別利用基本不等式即可判斷.

【解答】解：①設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù)，若a<b,則ab'Va'b,此結(jié)論不成立，

反例：令a=-10,b=-1,則ab"=-10>a2b=-100,故①不成立；

11

②若aVbVO,由同號不等式取倒數(shù)法則，知故②成立；

4+3_____]__________

③函數(shù)y=Vx2+2=7x2+2+7x2+2>2的前提條件是JX2+2=1,?.?"+222,二函數(shù)y

的最小值不是2,故③不正確；

14_14[±IT1

④：x、y是正數(shù)，且X+JM,，l=x+y22Vxy,...VxyW4；.xy216,故④正確，

2112x-2x

⑤兩個正實(shí)數(shù)X,y滿足x+y=l,；.y=1-x=X,即y=X-2>o,;.x>2,

Xx-2+22

y+x=x+x-2=x-2+x-2+2=x-2+x-2+3^2V2+3,當(dāng)且僅當(dāng)x=2+M,y=V2+l時取

等號，故⑤不正確，

故答案為：②④.

【點(diǎn)評】本題考查命題的真假判斷，解題時要注意同號不等式取倒數(shù)法則、均值不等式成

立的條件等知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用.

16.命題“女€R，P>0"的否定是.

參考答案：

€A,x2<0

17.從裝有3個紅球,2個白球的袋中隨機(jī)取出2個球，設(shè)其中有4個紅球，則,（6=2）

為.

參考答案：

3

10

解析:S嚏亮

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

__3

18.二次函數(shù)/。)滿足/(-3)=-73,1/(-2)=-1,且對稱軸'=一5

(1)求“X)；(2)求不等式/⑺>-35--(108+刖)x+2冽2-73(冽eK)的解

集.

參考答案：

解：(1)設(shè)/(x)=a/+以+c(aH°)

.../(-3)=-73,/(-2)=-1>且〃x)的最大值是8,

a<0

-劭+c=-73

44以-2B+c=-1

.2?~2解得

a=-36

<b=-108

.C=-73：./(X)=-36x2-108X-73

(2)由(1)知不等式/⑺>-35--(108+癡)x+2/-73等價于

—36X2-108x-73>-35x2-(108+3m)x+2m2-73

即產(chǎn)-3wx+2w2cogp(x-w)(x-2w)<0

當(dāng)活=0時，所求不等式的解集為空集；ks5u

當(dāng)w>0時，所求不等式的解集為｛雁1冽<*<2加｝；

當(dāng)M<0時，所求不等式的解集為Ml2w<x<羽｝

19.數(shù)列｛aj滿足ai=Lna?+i=(n+1)a?+(n+1)n(nCN')，

(1)令c產(chǎn)n,證明｛cj是等差數(shù)列，并求a“；

]

(2)令,求數(shù)列｛b?｝前n項(xiàng)和S?.

參考答案：

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差關(guān)系的確定.

an

【分析】(1)把已知數(shù)列遞推式兩邊同時除以n(n+1),可得數(shù)列｛T｝是以1為首項(xiàng),

以1為公差的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后可得a0；

]

(2)把(1)中求得的數(shù)列通項(xiàng)公式代入b,K屆后整理后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列

｛b?｝前n項(xiàng)和S,,.

【解答】(1)證明：由na“+i=(n+1)a?+(n+1)n,得

n+1n,又：1

數(shù)列｛n｝是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列,

a

-^l+(n-l)Xl=n

貝Un

.a=n2

)?n:

1

⑵解：?.?b“=V^/anH=n(n+l)X

n+1,

334nn+1=n+1.

20.已知p：-x?+2x-mVO對x￡R恒成立;q：x，mx+l=O有兩個正根.若p/\q為假命

題，pVq為真命題，求m的取值范圍.

參考答案：

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.

【分析】先確定命題P，q為真時，實(shí)數(shù)m的范圍，進(jìn)而由p/\q為假命題，pVq為真命

題，則p,q一真一假，得到答案.

【解答】解：若P為真，則△=4-4m<0,HPm>l…

△=IT|2-4>0

《

若q為真，貝,即mW-2…

為假命題，pVq為真命題，則P，q一真一假

m〉l

若P真q假，則">-2,解得：m>l…

（Mi

若P假q真，則fn<-2,解得：mW-2…

綜上所述：mW-2,或田>

1…

/8=4sinKsin（x4■馬

21.已知函數(shù)3,在△ABC中，角的對邊分別為。，b,c.

（I）當(dāng)L2」時，求函數(shù)的取值范圍；

（II）若對任意的XW*都有/（工）4/8,*=2,c=4,點(diǎn)。是邊8C的中點(diǎn)，求AO

的長.

參考答案：

J(x)=4sinxsin(K+=4simc(sinxrosy+casx?biy)

解（I）函數(shù)

=2sin2x+2^snxcasx=l—cos2x+-^sn2x=2sin(2x——)+1

6

Qxjo,外..--<2x--<—

L2j666

JF

-1<2sin(2x-—)<2

則6

故得函數(shù)/U)的取值范圍是：@3]

/（j0=2si?（2x--）+l

（II）由（I）可知6

任意的xeJt都有（冷，-2A6~2+2kX

一公歪

QO<d<第3

》=Zc=4由余弦定理：e——

可得：a=2后

———=———=--—sn/F=—,9nC7=l

由正弦定理，sindsinBsinC可得：2

:一B=一,C=—

62

JD=/犬*d5c）?二行

由勾股定理：可得V2

22.對于函數(shù)歹=/（x）,若存在XgC火，使得/@。）=的成立，稱X。為不動點(diǎn)，已

知函數(shù)/（X）="”+?+1〃+@-1），3工0）

（1）當(dāng)"=11=-2時，求函數(shù)/（x）不動點(diǎn).

⑵若對任意的實(shí)數(shù)力，函數(shù)/（X）恒有兩個相異的不動點(diǎn)，求a的取值范圍.

參考答案：

解：（1）是等差數(shù)列，且。3=5,即=13,設(shè)公差為d。

1+2d=5%=1