直圓雙軸柔性鉸臂柔度的設(shè)計計算公式

直圓雙軸柔性鉸臂柔度的設(shè)計計算公式

柔性鏈具有體積小、無間隙、無機(jī)械摩擦、成本低、無潤油等優(yōu)點。廣泛應(yīng)用于精細(xì)工程中。例如精密工作臺、納米定位技術(shù)、微加速度器、微夾持機(jī)構(gòu)及顯微裝置等。柔性鉸鏈分為單軸柔性鉸鏈和雙軸柔性鉸鏈。單軸柔性鉸鏈最常見的形式是直梁型柔性鉸鏈和圓弧型柔性鉸鏈。為了得到不同的精度和運動范圍,提出了橢圓型柔性鉸鏈、倒角型柔性鉸鏈、拋物線型柔性鉸鏈和雙曲線型柔性鉸鏈等。單軸柔性鉸鏈的缺點是只能沿一個軸彈性彎曲。而把頸部做成圓桿狀的雙軸柔性鉸鏈,則能沿任意軸轉(zhuǎn)動且容易加工。1965年,文獻(xiàn)推導(dǎo)出柔性鉸鏈的設(shè)計計算公式,避免了繁雜費時的數(shù)值計算。但是Paros精確計算公式在形式上較為復(fù)雜,其簡化公式是在柔性鉸鏈厚度遠(yuǎn)小于半徑的條件下給出的,在設(shè)計計算較厚的鉸鏈時產(chǎn)生較大的誤差。本文針對雙軸圓形柔性鉸鏈,利用能量法,通過引入中間變量,得到較為簡潔的柔性鉸鏈柔度系列設(shè)計計算公式,從而避免了費時繁雜的數(shù)值計算,為工程設(shè)計計算提供方便。1柔性項目的變形雙軸柔性鉸鏈的幾何尺寸及受力變形如圖1所示,桿端部截面是直徑為D的圓,鉸鏈的最小截面為直徑為d的圓,切割半徑為R,圓心角為θm。假設(shè)柔性鉸鏈的右端為相對固定端,左端受到力和力矩Fx、Fy、Mz、Fz、My的作用,左端的變形Δx、Δy、αy、αz、Δz。雙軸柔性鉸鏈繞y軸的角變形和沿z軸線形變形計算方法,與鉸鏈繞z軸的角變形和沿y軸線形變形計算方法相同,因此只推導(dǎo)鉸鏈繞z軸的角變形和沿y軸線形變形。由于柔性鉸鏈的變形集中在柔性鉸鏈圓弧部分,所以忽略柔性鉸鏈圓弧以外的變形。設(shè)柔性鉸鏈材料的彈性模量為E,剪切彈性模量為G,泊松比為υ。把柔性鉸鏈看作變截面梁,如圖2所示。顯然x截面的內(nèi)力分量可以表示為:{F(x)=-FxF(y)=-FyΜ(z)=Μz-xFy(1)單元的應(yīng)變能為:其中,As(x)為x截面的有效剪切面積。Δx=?U/?Fx,Δy=?U/?Fy,αz=?U/?Μz(3)在圓心角θ(x截面)處取微元體dθ進(jìn)行研究,把從0到l上的積分轉(zhuǎn)化到從-θm到θm上的積分。微元體的厚度為:dx=d(Rsinθ)=Rcosθdθ。微元體的高度為:d1=d+2(R-Rcosθ)=d+2R(1-cosθ)。微元體截面面積為:A(x)=π4d21。微元體截面沿z方向的慣性矩為:Ι(x)=π64d41?x=Rsinθm+Rsinθ,l=2Rsinθm(4)再根據(jù)下式:∫dx(x2+a2)n=x2(n-1)a2(x2+a2)n-1+2n-32(n-1)a2∫dx(x2+a2)n-1(5)可得雙軸柔性鉸鏈的系列設(shè)計計算公式。1.1tf1ss4.2.2+4-5.2.2+3,5.2+21+3ta1+3雙軸柔性鉸鏈產(chǎn)生沿z軸的角變形αz是柔性鉸鏈最重要的參數(shù)。力矩Mz作用下導(dǎo)致柔性鉸鏈產(chǎn)生繞z軸的角變形αz,其柔度表達(dá)式為:αzΜz=αyΜy=64πER3f1(6)其中,f1為中間變量,其表達(dá)式為:f1=4s4(20s3+16s2+4s+1)tanθm2(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]+16s5(10s2+6s+1)tanθm2(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]2+64s6(2s+1)tanθm23(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]3+16s5(5s2+4s+1)(1+4s)72arctan(√1+4stanθm2)(7)其中,s=R/d。在力Fy作用下,由于彎矩導(dǎo)致柔性鉸鏈產(chǎn)生繞z軸的角變形αz,其柔度表達(dá)式為:αzFy=αyFz=-64sinθmπER2f1(8)1.2剪切力導(dǎo)致的柔性新型真設(shè)置在力矩Mz作用下,導(dǎo)致柔性鉸鏈產(chǎn)生沿y軸的線形變形Δy,其柔度表達(dá)式為:ΔyΜz=ΔzΜy=-64sinθmπER2f1(9)在力Fy作用下,導(dǎo)致柔性鉸鏈產(chǎn)生沿y軸的線形變形Δy,其柔度表達(dá)式為:ΔyFy=ΔzFz=64(1+sin2θm)πERf1-64πERf2(10)其中f2為中間變量,其表達(dá)式為:f2=4(1+2s)(10s2+s+1)s4tanθm2(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]+8(5s-2)(1+2s)2s4tanθm23(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]2+16(1+2s)3s4tanθm23(1+4s)3[(1+4s)tan2θm2+1]3+4(20s2+12s+3)s5(1+4s)72arctan(√1+4stanθm2)(11)在力Fy作用下,由于剪切力導(dǎo)致柔性鉸鏈產(chǎn)生沿y軸的線形變形Δy,其柔度表達(dá)式為:(ΔyFy)δ=(ΔzFz)δ=409πGRf3(12)其中,f3為中間變量,其表達(dá)式為:f3=4s2(1+2s)tanθm2(1+4s)[(1+4s)tan2θm2+1]+8s3(1+4s)32arctan(√1+4stanθm2)(13)1.3沿x軸的線性變形x在力Fx作用下,由于拉伸或壓縮導(dǎo)致柔性鉸鏈產(chǎn)生沿x軸的線形變形Δx,其柔度為:ΔxFx=4πERf3(14)2計算直軸柔性鏈的公式為通常情況下,使用最多的是直圓型柔性鉸鏈,即θm=π/2。對于直圓型雙軸柔性鉸鏈,可以得到更加簡潔的計算公式。2.1柔性新型真合力fy-1,2s3+3,5和5-3-5-10s3-3,5和10s3-3-5-10s3-3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3+3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3+3.3.3+3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.3.3+3.在力矩Mz作用下,導(dǎo)致柔性鉸鏈產(chǎn)生繞z軸的角變形αz,其柔度為:αzΜz=αyΜy=64πER3f11(15)其中,f11為中間變量,其表達(dá)式為:f11=2s4(20s3+16s2+4s+1)(1+4s)3(1+2s)+4s5(10s2+6s+1)(1+4s)3(1+2s)2+8s6(2s+1)3(1+4s)3(1+2s)3+16s5(5s2+4s+1)(1+4s)72arctan(√1+4s)(16)在力Fy作用下,由于彎矩導(dǎo)致柔性鉸鏈產(chǎn)生繞z軸的角變形αz,其柔度為:αzFy=αyFz=-64πER2f11(17)2.2柔性新型真合成分配的變形結(jié)構(gòu)在力矩Mz作用下,導(dǎo)致柔性鉸鏈產(chǎn)生沿y軸的線形變形Δy,其柔度表達(dá)式為:ΔyΜz=ΔzΜy=-64πER2f11(18)在力Fy作用下,導(dǎo)致柔性鉸鏈產(chǎn)生沿y軸的線形變形Δy,其柔度為:ΔyFY=ΔyFY=128πERf11-64πERf22(19)其中,f22為中間變量,其表達(dá)式為:f22=4(15s2+4s+1)s43(1+4s)3+4(20s2+12s+3)s5(1+4s)72arctan(√1+4s)(20)在力Fy作用下,柔性鉸鏈產(chǎn)生沿y軸的線形變形Δy,其柔度為:(ΔyFy)δ=(ΔzFz)δ=409πGRf33(21)其中,f33為中間變量,其表達(dá)式為:f33=2s21+4s+8s3(1+4s)32arctan(√1+4s)(22)2.3沿x軸的線性變形x在力Fx作用下,由于拉伸或壓縮導(dǎo)致柔性鉸鏈產(chǎn)生沿x軸的線形變形Δx,其柔度為:ΔxFx=4πERf33(23)3計算公式的確定和計算結(jié)果本文給出的雙軸柔性鉸鏈的設(shè)計計算公式是精確推導(dǎo)的結(jié)果,表達(dá)式相對比較簡潔。任取3組雙軸柔性鉸鏈的材料和幾何參數(shù),見表1所列。分別運用本文給出的系列設(shè)計計算公式和J.M.Paros給出的設(shè)計計算公式進(jìn)行比較,計算結(jié)果見表2所列。其中Paros表示與本文計算公