排列組合問題經典題型

AA、480種B、240種C、120種D、96種排列組合問題經典題型與通用方法相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排列.例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必須相鄰且B在A的右邊，則不同的排法有（）A、60種B、48種C、36種D、24種相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數是（）A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種例3.已知集合A={1,2,3,,19,20}，集合B={a,a,a,a}，且BuA，若Ia-a1工1（i,j二1,2,3,4），則滿足條1234ij件的集合B有多少個？…定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數的方法.例4.（1）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A,B可以不相鄰）那么不同的排法有（）A、24種B、60種C、90種D、120種（2）由數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字的共有（）A、210種B、300種C、464種D、600種標號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例5.將數字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數，則每個方格的標號與所填數字均不相同的填法有（）A、6種B、9種C、11種D、23種有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例6.（1）有甲乙丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需一人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法種數是（）A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種（2）12名同學分別到三個不同的路口進行流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案有（）A、C4C4C4種B、3C4C4C4種C、C4C4A3種C4C4C4D、^28豐種128412841283A33全員分配問題分組法:例7.（1）4名優(yōu)秀學生全部保送到3所學校去，每所學校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？（2）5本不同的書，全部分給4個學生，每個學生至少一本，不同的分法種數為（）名額分配問題隔板法:例8：10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？例9?馬路上有編號為1,2,3...,9九只路燈，現(xiàn)要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的二盞或三盞，也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？限制條件的分配問題分類法:例10.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加?甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝四項工作，則不同安排方案的種數是A.152B.126C.90D.54多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結果要求分成不相容的幾類情況分別計數再相加。例11（1）從1，2，3.，100這100個數中，任取兩個數，使它們的乘積能被7整除，這兩個數的取法（不計順序）共有多少種？（2）從1，2，3，.，100這100個數中任取兩個數，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？例12.電子表10點20分08秒時，顯示的數字是10:20:08，那么，從8點到10點內，電子表6個數碼均不相同的情況有多少種?10?交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數公式n（AuB）=n（A）+n（B）-n（AcB）例13.從6名運動員中選出4人參加4x100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方案？定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。例14.現(xiàn)1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結為一排考慮，再分段處理。例15.（1）6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數是（）A、36種B、120種C、720種D、1440種（2）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:例16.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有（）A、140種B、80種C、70種D、35種選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例17.（1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要從中選4人進行混合雙打訓練，有多少種不同的選法？幾何問題:例18.（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有（）A、70種B、64種C、58種D、52種（2）四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有（）A、150種B、147種C、144種D、141種（3）記正方體的各條棱的中點構成的集合為M,則過且僅過集合M的三個點的平面有多少個？（4）正方體8個頂點可連成多少對異面直線？16?圓排問題單排法:把n個不同元素放在圓周n個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列,而順序相同（即旋轉一下就可以重合）的排法認為是相同的,它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而無首位、末位之分，下列n個普通排列：a,a,a,a;a,a,a,,a,；a,a,,a在圓排列中只算一種，因為旋轉后可以重合，故認為相同，n個元素的圓123n234nn1n-1排列數有理種?因此可將某個元素固定展成單排，其它的n-1元素全排列.n例19.有5對姐妹站成一圈,要求每對姐妹相鄰,有多少種不同站法？17?可重復的排列求冪法:允許重復排列問題的特點是以元素為研究對象,元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置,一般地n個不同元素排在m個不同位置的排列數有mn種方法.例20.把6名實習生分配到7個車間實習共有多少種不同方法？19?元素個數較少的排列組合問題可以考慮枚舉法：例21.某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤,根據需要,軟件至少買3片,磁盤至少買2盒,則不同的選購方法有（）A．5種B．6種C．7種D．8種例22．從1到100的一百個自然數中,每次取出兩個數,使其和大于100,這樣的取法共有多少種？20?復雜的排列組合問題也可用分解與合成法：例23.（1）30030能被多少個不同偶數整除？（2）設a,a,,a是由1,2,n,的一個排列,把排在a的左邊且比a小的數的個數稱為a的順序數12niii（i二12；n）。如在排列V；4,5,321中，5的順序數為1，3的順序數為0.則在由12,8這八個數字構成的全排列中，同時滿足8的順序數為2、7的順序數為3、5的順序數為3的不同排列的種?數為多少？21?利用對應思想轉化法:對應思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復雜的問題轉化為簡單問題處理例24.（1）圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內的交點最多有多少個？（2）某城市的街區(qū)有12個全等的矩形組成，其中實線表示馬路，從A到B的最短—T路徑有多少種？22?全錯位排列問題公式法:全錯位排列問題（賀卡問題，信封問題）記住公式即可瑞士數學家歐拉按一般情況給出了一個遞推公式：用A、B、C……表示寫著n位友人名字的信封!a、b、C..…表示n份相應的寫好的信紙。把錯裝的總數為記作f（n）。假設把a錯裝進B里了，包含著這個錯誤的一切錯裝法分兩類：

b裝入A里，這時每種錯裝的其余部分都與A、B、a、b無關，應有f(n-2)種錯裝法。b裝入A、B之外的一個信封，這時的裝信工作實際是把(除a之外的)n—1個信紙b、c……裝入(除B以外的)n-1個信封A、C......，顯然這時裝錯的方法有f(n-1)種?？傊赼裝入B的錯誤之下，共有錯裝法f(n-2)+f(n-1)種。a裝入C,裝入D……的n-2種錯誤之下，同樣都有f(n-2)+f(n-1)種錯裝法，因此得到一個遞推公式：f(n)=(n-1)-[f(n-1)+f(n-2)]，分別帶入n=2、3、4等可推得結果。也可用迭代法推導出一般公式：f(n)=n!?[1-+-+……+(-1)n]1!2!3!n!例25.設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？例26、5位同學原來坐成一排，現(xiàn)讓他們重新坐，則至多有兩位同學坐在其原來的位置的不同的坐法是多少？多人傳球問題：(構造遞推關系)例27、a,a,,a(n>3)n個人傳球，第一次由a開始傳球，可傳給其他任何一個人，第二次由拿球者再傳給其12n1他任何一個人，如此繼續(xù)…，則第k次球仍回到a的手中的傳球方法種數是多少？1上臺階問題：例28、10級臺階，某人可一步跨一級，也可跨兩級，也可跨三級。他6步就可上完臺階的方法數是多少？他上完臺階的方法總數是多少？方程的正整數解的個數問題：(隔板法)例29.方程x+x++x二k(k,neN*，k>n)的正整數解有多少個？有多少非負整數解個？12n例30.將20個完全相同的球放入編號為1，2，3，4，5的五個盒子中。若要求每個盒子至少放一個球，則一共有多少種放法？若每個盒子可放任意個球，則一共有多少種放法？若要求每個盒子放的球的個數不小于其編號數，則一共有多少種放法？配對(配湊)問題：例31.5雙相異的鞋共10只，現(xiàn)隨機地取出6只，恰好能配成2雙鞋的取法是多少？例32.50名選手參加乒乓球淘汰賽比賽,需要打多少場才能產生冠軍?淘汰賽比賽規(guī)則是:要淘汰1名選手必須進行1場比賽;反之,每進行1場比賽則淘汰1名選手。例33.有11名翻譯人員，其中5名是英語翻譯人員，4名是日語翻譯人員，另2人英、日語均精通?，F(xiàn)從中選出8人組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英語，另4人翻譯日語，則有多少種不同的選派方式？27.染色問題：例34.把圓分成10個不相等的扇形,并且用紅、黃、藍三種顏色給扇形染色,但不允許相鄰的扇形有相同的顏色,問共有多少種染色法?123456例35.在如圖所示的六個空格里涂上紅黃藍三種顏色，每種顏色只能涂兩次，要求相鄰空格不同色，請問一共有多少種涂法？

例36.某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現(xiàn)4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的不同的栽種方法有多少種？（變式：若要栽種5種顏色的花？）要栽種花，則排列組合問題經典題型答案要栽種花，則1?解析：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當于4人的全排列，A4二24種，答案：D.42?解析：除甲乙外，其余5個排列數為A5種，再用甲乙去插6個空位有A2種，不同的排法種數是A5A2二3600種，5656選B.3.易知a,a,a,a互不相等且不相鄰，則有C4二2380。1234174?解析：（1）B在A的右邊與B在A的左邊排法數相同，所以題設的排法只是5個元素全排列數的一半，即1A5=6025種，選B.（2）按題意，個位數字只可能是0，1，2，3,4共5種情況，分別有A5個，AiAiA3,AiAiA3,AiAiA3,AiA3個，合并總543333323333計300個，選B丄（A6-A5）=300種）2655?解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數字，只有一種填法，共有3x3xi=9種填法，選B.6?解析：（1）先從10人中選出2人承擔甲項任務，再從剩下的8人中選1人承擔乙項任務，第三步從另外的7人中選i人承擔丙項任務，不同的選法共有C2CiCi=2520種，選C.i087（2）答案：A.7.（1）C2A3二3643（2）C2A4二240，答案：B.548?解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應著一種分配方案，故共有不同的分配方案為C6二84種.99?解析：把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈C3種方法，所以滿足條件的關燈方案5有i0種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.10.【解析】分類討論：若有2人從事司機工作，則方案有^x4=18;若有1人從事司機工作，則方案有0心乂￡=1說種，所以共1S-1OS=126種，故E正確『11.解析：(1)解析：被取的兩個數中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數組成的集合視為全集I,能被7整除的數的集合記做A=｛7,14,21,98｝共有14個元素，不能被7整除的數組成的集合記做A=｛1,2,3,4,,100｝共有86個元素；由此可知，從A中任取2個元素的取法有C2,從A中任取一個，又從A中任14取一個共有C1C1，兩種情形共符合要求的取法有C2+C1C1=1295種.1486141486(2)解析：將I=｛1,2,3,100｝分成四個不相交的子集，能被4整除的數集A=｛4,8,12,100｝；能被4除余1的數集B=｛1,5,9,97｝,能被4除余2的數集C=｛2,6,,98｝，能被4除余3的數集d=｛3,7,11,99｝，易見這四個集合中每一個有25個元素；從A中任取兩個數符合要；?從B,D中各取一個數也符合要求；從C中任取兩個數也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C2+C1C1+C2=1225種.2525252512.解：(1)08：ab:cd，其中a、c位可填1,2，3,4,5；b、d位可填1,2,3,4,5,6,7,9.(2)09：ab:cd，其中a、c位可填1,2，3,4,5；b、d位可填1,2,3,4,5,6,7,8.先填a、c，再填b、d，共2A2A2=12005613?解析：設全集=｛6人中任取4人參賽的排列｝,A=｛甲跑第一棒的排列｝,B=｛乙跑第四棒的排列｝，根據求集合元素個數的公式得參賽方法共有：n(I)-n(A)-n(B)+n(AcB)=A4-A3-A3+A2=252種.655414?解析：老師在中間三個位置上選一個有A1種，4名同學在其余4個位置上有A4種方法；所以共有A1A4=72種。.43415?解析：(1)前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共A6=720種，選C.6(2)解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有A2種，某1個元素排在后半段的四個位置中4選一個有A1種，其余5個元素任排5個位置上有A5種，故共有A1A2A5=5760種排法.544516?解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有C3—C3—C3=70種，選.C945解析2：至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有C2C1+CiC2=70臺，選C.45417?解析：(1)先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C2種，再排：在四個盒中每次排3個有A3種，故44共有C2A3=144種.44(2)先取男女運動員各2名，有C2C2種，這四名運動員混和雙打練習有A2中排法，故共有C2C2A2=120種.54254218?解析：(1)正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構成C4四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都8不能構成四面體，所以四面體實際共有C4-12=58個.8(2)解析：10個點中任取4個點共有C4種，其中四點共面的有三種情況：①在四面體的四個面上，每面內四點共10面的情況為C4，四個面共有4C4個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；③過棱上三點與對棱中點的三角66形共6個.所以四點不共面的情況的種數是C4-4C4-3-6=141種.106(3)56個。8+1x4x6+2x2x6=56。一個面內取GH兩點，另一個點取F時，即8個角；一個面內取GH兩點，另一個點取K時，2x2x6=24個；一個面內取HI兩點，那另一個點只能取A或C，2x2x6=24個因為四面體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個頂點可構成多少個不同的四面體，從正方體8個頂點中任取四個頂點構成的四面體有C4-12=58個，所以8個頂點可連成的異面直線有3x58=174對.819?解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有A4種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有42種方式，故不同的安排方式24x25=768種不同站法.說明：從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有丄A種Ammn不同排法.20?解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數原理知共有76種不同方案.”x>3,y>221.解析:C。設購買軟件x片、磁盤y盒,則*60x+70y—500，所以x=3,y=2,3,4；x=4，y=2,3,4；x=5,y=2ox,ygN故共7種。22.解析：2(1+2++49)+50=2500(包括兩個數不同和相同的情形！)23?解析：(1)先把30030分解成質因數的形式：30030=2x3x5x7x11x13；依題意偶因數2必取，3,5,7,11,13這5個因數中任取若干個組成成積，所有的偶因數為Co+C1+C2+C3+C4+C5=32個(或1-25=32).55555(2)分析知7必排在8之后,5必排在7之后.且8的前面只有2個數,8、7之間只有一個小于7的數,6或在7之前,或在7、5之間,或在5之后。第一種情況：6在7之前，形如：##8#7#5#,C1A4二72；34第2種情況：6在7、5之間，形如：##8#765#,A4二24；4第3種情況：6在5之后，形如：##8#75##,C1A4二4824所以共144種。24?解析：(1)因為圓的一個內接四邊形的兩條對角線相交于圓內一點，一個圓的內接四邊形就對應著兩條弦相交于圓內的一個交點，于是問題就轉化為圓周上的10個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有C4個，所以圓周上有1010點，以這些點為端點的弦相交于圓內的交點有C4二210個.10(2)解析：可將圖中矩形的一邊叫一小段，從A到B最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過4段的走法，便能確定路徑，因此不同走法有C4二35種.725?解析：從5個球中取出2個與盒子對號有C2種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應，利用枚舉法分析，如果剩5下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4,5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數為2C2二20種.5解：錯排問題，分類解決：C0f⑸+C1f⑷+C2f⑶二109555解析：設第k次球仍回到a的手中的傳球方法種數是a，則a=0,a=n-1，且a=(n-1)k-1-a，所以1k12kk-11/1、「1/1、「(n-1>+(-1>-n-1)a-_?(n-1)k=-[a-—?(n-1)k-1]na=(keN*)。knk-1nknr[x=2,3,4Ix+y+z二6解析：(1)設跨1級、2級、3級的步數分別為x,y,z，則f°“，解得1歹=4,2,0，故方法數為Ix+2y+3z二10IIz=0,1,2C2+C3C2+C4二15+60+15二90636(2)設上完n級臺階的方法數為f(n),貝9f(1=)f1,=(f)=,且f(nf(-n4)f-(n+2)f—,>n44???f⑷=7,f⑸=13,f⑹=24,f(7)=44,f⑻=81,f⑼=149,f(10)=27429?解析：CnT；CnTk—1k+n—1解析：(1)C4二3876；(2)C4；(3)先在編號為1,2,3,4,5的五個盒子中依次放入0,1,2,3,4個球，再只1924要保證余下的10個球每個盒子至少放一個，則C4二1269解析：C2-C2-22二12053解析：49.解析：C4C4+C3C1C4+C2C2C4—35+120+30—185TOC\o"1-5"\h\z47426425解析：前9個扇形依次染色并不難,但第10個扇形既與第九個相鄰也與第1個相鄰,這兩個扇形顏色可能相同也可能不相同,所以直接用記數原理有困難,但建立遞推關系并不難．設將圓分成n個不相等的扇形時，滿足題設的染法有a種.依次記n個扇形為s，…s.顯然舛=3.當n=2時，先對s,染n1n11色，有3種方法；S］染色后再對s2染色，有2種方法，故a2=6.當n>3時，我們依次對$嚴2，..怡”染色?對s1染色，有3種方法，對s1染色后再對s2染色有2種方法，同樣的對s3，s4…,sn分別有2種方法，由乘法原理共有3?2n-1種染色方法.但這樣做s與s1有可能同色.即在3?2n-1種染色方法中包含了s與s1同色的染色方法.對于s與s1同色的情形，n1n1n1拆去s與s1的邊界使s與s1合并，便得到將圓分為n-1個扇形時同色不相鄰的染色方法，這樣的情況有a1種.故n1n1n-1a=3^2n-1-a(n>3).所以a—6，n>3時，a—2”+2?(—1)n，Aa=210+2=1026.nn-13n10解：由題意，紅黃藍三種顏色，每種顏色恰好涂了兩次，分為兩類：第一類可按一下步驟進行：第1步：涂第一格，有3種方法；第2步：涂第二格，有2種方法；第3步：用與第一格不同的顏色涂第三格，有1種方法；第4步：第四格可以涂與第三格顏色不同的，有2種方法。第5步：用不同的兩色涂剩下的兩格，有2種方法；所以有3*2*1*2*2=24種第二類可按一下步驟進行：第1步：涂第一格，有3種方法；第2步：涂第二格，有2種方法；第3步：用與第一格相同的顏色涂第三格，有1種方法；第4步：第四格只能用沒有用過的顏色涂，有種方法。第5步：第五格只能用涂第二格的顏色，第六格只能用涂第四格的顏色，有1種方法；所以有3*2*1*1*1=6種所以，共有24+6=30種涂法。解析:注意4種顏色的花都有種上。A3(1+1+1+2)—120(變式：A3[CiCi+(3+2)?2]二960)春到四月，如火如荼，若詩似畫，美到了極致，美到了令人心醉。''你是一樹532一樹的花開，是燕，在梁間呢喃，你是愛，是暖，是希望，你是人間的四月天”'喜歡才女林徽因歌頌四月之美的這首《你是人間的四月天》，她將四月的萬種風情描摹得淋漓盡致，讀來如沐春風如飲甘露'四月之美，美在清明'時光剛剛跨入四月的門檻，清明就如期而至，'清明時節(jié)雨紛紛，路上行人欲斷魂'”清明是一種傳承了數千年的古老文化，是一場活著的人祭奠逝去的祖先的親情style“風吹曠野紙錢飛，古墓壘壘春草綠〃，每到清明，人們不會忘記在天堂的祖先，都會放下手中繁忙的工作，即便遠離故土，也會懷揣濕漉漉的心事回到鄉(xiāng)下，挑揀一個最宜祭祀的日子，趕往祖先墓地，虔誠地獻上一捧鮮花，點上幾支香火，燒上一些紙錢，將祖先的墳墓裝扮一新，以表達對已逝親人的思念和祝福。清明時節(jié)，最容易勾起與已逝親人一起度過的那些美好歲月的回憶，讓人深刻體悟到親情的可貴。于是，親情跨越了時空，淚水模糊了雙眼。在瑩瑩淚光中，就讓活著的人好好活著，讓已經逝去的人在天堂感到欣慰。四月之美，美在祭祖的哀思，美在人間傳遞著的溫情。四月之美，美在谷雨。'清明早、立夏遲，谷雨種棉正當時”，清明過后，雨水增多，有利于