第4章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

高數(shù)線數(shù)考試情況

禮拜四下午2點(diǎn)以自然班為單位購(gòu)買作業(yè)冊(cè)、輔導(dǎo)書，13元/本,

25元/2本高數(shù)線數(shù)考試情況

禮拜四下午2點(diǎn)以自然班為單位購(gòu)買作業(yè)冊(cè)、輔導(dǎo)書，13元/本、25元/2本推廣第四章

一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微分法

及其應(yīng)用

第一講一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的基本概念

第四章

一、區(qū)域1.鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)注

若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑,也可寫成點(diǎn)P0的去心鄰域記為2.區(qū)域(1)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集

E

及一點(diǎn)

P:

若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)

E,

若存在點(diǎn)P的某鄰域U(P)∩E=,

若對(duì)點(diǎn)P的任一鄰域U(P)既有屬于E的點(diǎn)也有不則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)；則稱P為E的外點(diǎn)

;則稱P為E

的邊界點(diǎn)

.屬于E的點(diǎn),注：E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E

注：E的外點(diǎn)必不屬于E

注：E的邊界點(diǎn)可能屬于E,也可能不屬于E.內(nèi)點(diǎn)P外點(diǎn)P邊界點(diǎn)P(2)聚點(diǎn)若對(duì)任意給定的,點(diǎn)P

的鄰域內(nèi)總有異于P的點(diǎn)屬于E,則稱P是E的聚點(diǎn).注：聚點(diǎn)可以屬于E,也可以不屬于E(因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為E的邊界點(diǎn))D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域

若點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱E為開集；

若點(diǎn)集E

E或E的補(bǔ)集為開集,則稱E為閉集；

若集D中任意兩點(diǎn)都可用一完全包含于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域,簡(jiǎn)稱區(qū)域;。。

E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界,記作

E;例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域

點(diǎn)集是開集，但非區(qū)域.o3.n維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n維空間,n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中的稱為該點(diǎn)的第k個(gè)坐標(biāo)

.記作即一個(gè)點(diǎn),

對(duì)集合E,若存在正數(shù)M,使一切點(diǎn)P

E與某定點(diǎn)P0

的距離PP0

M,則稱E為有界集,

無界集.否則稱E為的距離記作中點(diǎn)a

的

鄰域?yàn)橐?guī)定為過規(guī)定為點(diǎn)

的直線內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)、開集、閉集、有界集區(qū)域、閉區(qū)域的概念均可推廣到n維空間二、多元函數(shù)的概念

圓柱體的體積

定量理想氣體的壓強(qiáng)定義1.

設(shè)非空點(diǎn)集D

稱為函數(shù)的定義域

;x,y稱為自變量，z為因變量，數(shù)集稱為函數(shù)的值域

.如果對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)，變量z按照一定的法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng)，則稱記為稱為函數(shù)的圖形

.變量z是變量x,y的二元函數(shù)(或稱點(diǎn)P的函數(shù)）例如,

二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域注:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)

D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形一般為空間曲面.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．

n元函數(shù)記作當(dāng)n=3時(shí),有三元函數(shù)多值函數(shù)：有兩個(gè)或兩個(gè)以上的z值與P(x,y)對(duì)應(yīng)的的函數(shù)三、多元函數(shù)的極限定義2.

設(shè)n元函數(shù)點(diǎn),則稱A為函數(shù)當(dāng)n=2時(shí),二元函數(shù)的極限可寫作：P0是D的聚若存在常數(shù)A,對(duì)記作都有對(duì)任意正數(shù)

,總存在正數(shù),注：刻畫了P點(diǎn)與P0點(diǎn)的接近程度刻畫了f(P)與A點(diǎn)的接近程度例1.

設(shè)求證：證:故總有注：若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或沿某條路經(jīng)趨于P0(x0,y0)極限不存在，解:設(shè)P(x,y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0,0),在點(diǎn)(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k值不同極限不同!在(0,0)點(diǎn)極限不存在.以不同方式趨于不存在.例2.討論函數(shù)函數(shù)例3.討論函數(shù)在點(diǎn)(0,0)的極限.所以內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)3.多元函數(shù)的極限作業(yè):練習(xí)冊(cè)P1－4預(yù)習(xí):連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)第二講二、

偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算三、高階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與偏導(dǎo)數(shù)第四章一、多元函數(shù)的連續(xù)一、多元函數(shù)的連續(xù)性

定義.

設(shè)n元函數(shù)定義在D上,如果函數(shù)在D上各點(diǎn)處都連續(xù),則稱此函數(shù)在D上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn).則稱n元函數(shù)連續(xù).連續(xù),令因?yàn)樗赃B續(xù)還可定義如下定義.

設(shè)n元函數(shù)定義在D上,如果則稱n元函數(shù)連續(xù),例如,

函數(shù)在點(diǎn)(0,0)極限不存在,故(0,0)為其間斷點(diǎn).結(jié)論:

一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).基本初等函數(shù):各變量的冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù),反三角函數(shù)初等函數(shù):由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到的可用一個(gè)式子表示的函數(shù)定理：若f(P)在有界閉域D上連續(xù),則在D上可取得最大值M及最小值m;(3)對(duì)任意(有界性定理)

(最值定理)

(介值定理)

有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)有定義，若極限設(shè)函數(shù)即:二、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法同樣可定義對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù),記為或y偏導(dǎo)數(shù)存在,即y為常數(shù)例如,

三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法：對(duì)某個(gè)變量求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，其他變量均為常數(shù)，對(duì)該變量求導(dǎo)數(shù)。求偏導(dǎo)數(shù)的方法就是求導(dǎo)數(shù)的方法。當(dāng)把多元函數(shù)當(dāng)某個(gè)變量的一元函數(shù)處理時(shí)，一元函數(shù)的所有結(jié)論都成立。二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線對(duì)y軸的函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!例1.

求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).例2.

設(shè)證:例3.求的偏導(dǎo)數(shù).解:求證偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:注:(R為常數(shù)),不是分子與分母的商!此例表明,整體記號(hào),三、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù):類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y的一階偏導(dǎo)數(shù)為例5.

求函數(shù)解:注:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及例如,二者不等例6.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程則定理例如,

對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),注:本定理對(duì)n元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等(證明略)和都在連續(xù)，證:令則則定理.令同樣在點(diǎn)連續(xù),得內(nèi)容小結(jié)1.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)有界閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)2.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)3.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)作業(yè)：作業(yè)冊(cè)P5－8*二、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用應(yīng)用

第三講一元函數(shù)y=f(x)的微分近似計(jì)算估計(jì)誤差本節(jié)內(nèi)容:一、全微分的定義全微分

第四章一、全微分的定義

定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D的內(nèi)點(diǎn)(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微.可微與可偏導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？定理(必要條件)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微由微分定義:則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)二、全微分的必要條件證明：定理(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對(duì)x

的偏增量因此有自變量的增量△x,△y稱為自變量的微分,記作反例:

函數(shù)易知但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不連續(xù),因此在點(diǎn)(0,0)不可微.注:定理的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:定理(充分條件)若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.三、全微分的充分條件證明：略定理(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.令則令則三、全微分的充分條件因此函數(shù)在點(diǎn)可微.又因?yàn)楣视幸驗(yàn)樗怨视兄匾P(guān)系:函數(shù)可偏導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)極限存在反例均考察(0,0)點(diǎn)推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)記作故有下述疊加原理稱為偏微分，它們?yōu)橹挥幸粋€(gè)變量在變的全微分為化時(shí)的微分.例1.計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.解:可知當(dāng)*四、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用:近似計(jì)算由全微分定義較小時(shí),及有近似等式:(用于近似計(jì)算函數(shù)增量的近似值)(用于近似計(jì)算(x,y)附近點(diǎn)函數(shù)值)半徑由20cm增大解:已知即受壓后圓柱體體積減少了

例3.

有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm

,則高度由100cm減少到99cm

,體積的近似改變量.

求此圓柱體例4.計(jì)算的近似值.

解:

設(shè),則取則內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)3.微分應(yīng)用?近似計(jì)算作業(yè):作業(yè)冊(cè)P9－10預(yù)習(xí):多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法第四講一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分微分法則多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第四章一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理

若函數(shù)處可微分,在點(diǎn)(x,y)偏導(dǎo)數(shù)存在,則復(fù)合函數(shù)證:

設(shè)x取增量△x,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t有增量1、多——多復(fù)合求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t在(x,y)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在2.多——一復(fù)合求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t3.一——多復(fù)合求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理：在t點(diǎn)可導(dǎo)，在相應(yīng)的(u,v)點(diǎn)可微，則定理：在(x,y)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在在相應(yīng)的u點(diǎn)可微，則4.多重復(fù)合求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理可微，則口訣：復(fù)函求導(dǎo)別著急，先把函數(shù)剝剝皮層層剝皮剝到底，同路求導(dǎo)做乘積異路各積加一起。又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里表示復(fù)合函數(shù)表示外層函數(shù)與不同,導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)單記號(hào)：固定y對(duì)x求導(dǎo),固定v對(duì)x求導(dǎo)例1.設(shè)解:例2.解:例3.

設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:例4.

設(shè)

f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論u,v是自變量還是中間變量,

都可微，則復(fù)合函數(shù)可微,u,v為自變量,則其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.當(dāng)u,v為中間變量,例5.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以例1.設(shè)內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t2.全微分形式不變性不論u,v是自變量還是因變量,作業(yè):作業(yè)冊(cè)P11－15口訣：復(fù)函求導(dǎo)別著急，先把函數(shù)剝剝皮層層剝皮剝到底，同路求導(dǎo)做乘積異路各積加一起。預(yù)習(xí):隱函數(shù)的求導(dǎo)法第四章第五講一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則公式的導(dǎo)出過程也是直接從方程入手求隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方法:方程兩邊對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù),遇到含因變量的項(xiàng)用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則,解出隱函導(dǎo)數(shù)，此法稱為求導(dǎo)法求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可用微分法.例1.

驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解:令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可并求法一:公式法兩邊對(duì)x求導(dǎo)法二—方程兩邊直接求導(dǎo)法兩邊微分法三—微分法定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

,則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得所以微分法求導(dǎo)法例2.

設(shè)解法1

方程兩邊直接求導(dǎo)法解法2

利用公式設(shè)則例3.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法1

利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程故對(duì)方程兩邊求微分:解法2

微分法.二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G對(duì)變量y和z的雅可比(Jacobi)行列式.1.兩個(gè)關(guān)于三個(gè)變量的方程確定兩個(gè)一元函數(shù)定理3.設(shè)的某一則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有導(dǎo)數(shù)公式:①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定兩個(gè)滿足:鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；滿足條件有隱函數(shù)組則兩邊對(duì)x求導(dǎo)得設(shè)方程組故得系數(shù)行列式定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下(求導(dǎo)法）：方程兩邊微分故得系數(shù)行列式定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下(微分法）：由F、G的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比(Jacobi)行列式.2.兩個(gè)方程確定兩個(gè)二元函數(shù)定理4.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：有隱函數(shù)組則兩邊對(duì)x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P的某鄰域內(nèi)故得系數(shù)行列式同樣可得例4.

設(shè)解:方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí):求答案:由題設(shè)故有例5.

設(shè)解:確定的x，y的函數(shù)，其中是由方程兩邊微分故有均可微，求內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱函數(shù)(組)求導(dǎo)方法方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算;方法2.利用微分形式不變性;方法3.代公式作業(yè):作業(yè)冊(cè)P16－19隱函求導(dǎo)有訣竅，先把因變自變找，變量關(guān)系若明了，方程兩邊對(duì)自變導(dǎo)，解出要求函數(shù)導(dǎo)；變量關(guān)系不明了，兩邊微分不求導(dǎo)，因變微分一求到，導(dǎo)數(shù)立刻就得到?？谠E：雅可比(1804–1851)德國(guó)數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú)地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ).他對(duì)行列式理論也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引進(jìn)了“雅可比行列式”,并應(yīng)用在微積分中.他的工作還包括代數(shù)學(xué),變分法,復(fù)變函數(shù)和微分方程,在分析力學(xué),動(dòng)力學(xué)及數(shù)學(xué)物理方面也有貢獻(xiàn).他在柯尼斯堡大學(xué)任教18年,形成了以他為首的學(xué)派.第六講一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用第四章平面的點(diǎn)法式方程法向量為平面過點(diǎn)直線的對(duì)稱式方程方向向量為直線過點(diǎn)復(fù)習(xí):1.

平面點(diǎn)法式方程2.

直線對(duì)稱式方程一、空間曲線的切線與法平面過點(diǎn)M與切線垂直的平面稱為曲線在該點(diǎn)的法位置.空間光滑曲線在點(diǎn)M處的切線為此點(diǎn)處割線的極限平面.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停1.曲線方程為一般參數(shù)方程的情況切線方程此處要求也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量

.不全為0,因此得法平面方程

例1.求圓柱螺旋線對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程即解:

由于該點(diǎn)的切向量為在,故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為2.曲線方程為特殊參數(shù)方程的情況切線方程切線的方向向量:一般形式為:3.曲線為一般式的情況光滑曲線當(dāng)曲線上一點(diǎn),且有時(shí),可表示為處的切向量為則在點(diǎn)切線方程有或也可表為法平面方程例2.

求曲線在點(diǎn)M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解：令則即切向量法平面方程即二、曲面的切平面與法線

設(shè)有光滑曲面通過其上定點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,切線方程為不全為0.則

在且點(diǎn)M的切向量為任意引一條光滑曲線問題:

上過點(diǎn)M的任何曲線在該點(diǎn)的切線都是否在同一平面上？在上,得令由于曲線

的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,此平面稱為

在該點(diǎn)的切平面.曲面

在點(diǎn)M的法向量法線方程切平面方程曲面時(shí),則在點(diǎn)故當(dāng)函數(shù)法線方程令特別,當(dāng)光滑曲面

的方程為顯式

在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),切平面方程由切平面方程可得點(diǎn)的全微分的幾何意義右邊正是自變量從變?yōu)樵诘娜⒎?，左邊為切平面上相?yīng)于這兩點(diǎn)豎坐標(biāo)的增量，所以自變量從變?yōu)榉匠讨?x,y,z)是切平面上任一點(diǎn)令則時(shí)時(shí)，曲面上點(diǎn)的切平面對(duì)應(yīng)于這兩點(diǎn)豎坐標(biāo)的改變量的全微分的幾何意義為：在例3.

求球面在點(diǎn)(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以球面在點(diǎn)(1,2,3)處有:切平面方程

即法線方程法向量令例4.

確定正數(shù)

使曲面在點(diǎn)解:

二曲面在M點(diǎn)的法向量分別為二曲面在點(diǎn)M相切,故又點(diǎn)M在球面上,于是有相切.與球面,因此有三、平面曲線的切線與法線過點(diǎn)M與切線垂直的直線稱為曲線在該點(diǎn)的法位置.平面光滑曲線在點(diǎn)M處的切線為此點(diǎn)處割線的極限線.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停1.曲線方程為一般參數(shù)方程的情況切線方程切線的方向向量:稱為曲線的切向量

.2.曲線方程為特殊參數(shù)方程的情況切線方程切線的方向向量:一般形式為:1.空間曲線的切線與法平面

1)參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量?jī)?nèi)容小結(jié)2)特殊參數(shù)式情況.空間光滑曲線切向量空間光滑曲線切向量3)一般式情況.空間光滑曲面曲面

在點(diǎn)1)隱式情況.的法向量2.曲面的切平面與法線空間光滑曲面2)顯式情況.法向量作業(yè)

作業(yè)冊(cè)P20－22第七講一、方向?qū)?shù)

二、梯度方向?qū)?shù)與梯度第四章一、方向?qū)?shù)定義:設(shè)函數(shù)z

f(x,y)在點(diǎn)P0(x0

y0)則稱為函數(shù)在點(diǎn)P0

處沿方向

l

的方向?qū)?shù).記作的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xoy平面上以P0(x0

y0)為始點(diǎn)的一條射線

是l上任一點(diǎn)

若極限存在即

當(dāng)l為x軸正向時(shí)為x軸負(fù)方向時(shí)定理則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點(diǎn)P可微,得故若函數(shù)在點(diǎn)可微其中是l的方向角三元函數(shù)方向?qū)?shù)及計(jì)算定義:若函數(shù)在點(diǎn)處沿方向l的方向?qū)?shù)定義為:定理則函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l

的方向?qū)?shù)存在,且有注求l

方向的方向余弦方法：將與l同方向的向量單位化例1.求函數(shù)

在點(diǎn)P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).解:向量l的方向余弦為例2.

求函數(shù)在點(diǎn)P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點(diǎn)P的切向量為例3.設(shè)是曲面在點(diǎn)P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點(diǎn)P處沿求函數(shù)二、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：方向?qū)?shù)取最小值：當(dāng)相反時(shí)，1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點(diǎn)P處的梯度記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度注函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義函數(shù)在一點(diǎn)的梯度垂直于該點(diǎn)等值面(或等值線),稱為函數(shù)f的等值線.則L*上點(diǎn)P處的法向量為同樣,對(duì)應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當(dāng)各偏導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零時(shí),其上點(diǎn)P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.3.梯度的基本運(yùn)算公式例4.證:試證處矢徑r的模,三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(chǎng)(數(shù)性函數(shù))場(chǎng)向量場(chǎng)(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場(chǎng)(勢(shì))如:溫度場(chǎng),電位場(chǎng)等如:力場(chǎng),速度場(chǎng)等(向量場(chǎng))注意:任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是梯度場(chǎng).例5.已知位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q

在任意點(diǎn)試證證:利用例4的結(jié)果這說明場(chǎng)強(qiáng):處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)在點(diǎn)沿方向l(方向角方向?qū)?shù)在點(diǎn)方向?qū)?shù)沿方向l(方向角為2.梯度?三元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為?二元函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為3.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在??可微梯度在方向l上的投影.作業(yè)：作業(yè)冊(cè)P23－25第八講一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題多元函數(shù)的極值最值及其求法第四章一、多元函數(shù)的極值定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)對(duì)1.極值定義(極小值).異于(x0,y0)的(x,y)有極大值定義：使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱為駐點(diǎn).例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件有取得極值,取得極值同理注:駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).有駐點(diǎn)(0,0),但在該點(diǎn)不取極值.且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故注：偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),如2.極值點(diǎn)的必要條件時(shí),具有極值定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí),不能確定

,需另行討論.若函數(shù)3.極值點(diǎn)的充分條件（1）的定義域求出所有駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)對(duì)二階導(dǎo)數(shù)存在的每個(gè)駐點(diǎn)計(jì)算A、B、C確定4.求極值的方法步驟（2）（3）用充分條件判斷,其它駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)用定義例求函數(shù)解:第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)駐點(diǎn)ABCAC-B2(1,0)12>00672>0極小值f(1,0)=-5(1,2)12>00-6-72<0在(1,2)不取極值(-3,0)-1206-72<0在(-3,0)不取極值(-3,2)-12<00-672>0極大值f(-3,2)=31例

函數(shù)及是否取極值?解:在(0,0)點(diǎn)鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負(fù)0在點(diǎn)(0,0)顯然(0,0)都是它們的駐點(diǎn),并且在(0,0)都有可能為二、多元函數(shù)的最值定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得最大(小)值.例如:在點(diǎn)(0,0)有最小值;在點(diǎn)(0,0)有最大值;在定義域無最值.最大值和最小值統(tǒng)稱為最值,使函數(shù)取得最值的點(diǎn)稱為最值點(diǎn).內(nèi)有1.最值定義2.有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的最值{最值點(diǎn)}最值的求法：(1)求出區(qū)域內(nèi)部所有駐點(diǎn)、偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，邊界上可能的最值點(diǎn)及各點(diǎn)函數(shù)值最值在區(qū)域內(nèi)部取到,且只有一個(gè)駐點(diǎn)P時(shí),則為最值依據(jù)：有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)必取到最大值和最小值{駐點(diǎn),邊界上的可能的最值點(diǎn),偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)}(2)比較：最大者為最大值,最小者為最小值3.實(shí)際問題的最值例解:

設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.例4.

有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來做成解:

設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為xcm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:1.z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的條件極值對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制定義:函數(shù)則稱f(x0,y0)為函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的條件極大（小）值，條件極大值和條件極小值統(tǒng)稱為條件極值,使函數(shù)取得條件極值的點(diǎn)稱為條件極值點(diǎn).在(x0,y0)的某鄰域U(x0,y0)內(nèi)有定義,若對(duì)異于(x0,y0)的(x,y)

U(x0,y0)且

(x,y)=0時(shí)有(1)定義(2)條件極值的求法:方法1代入法.一元函數(shù)轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)注：代入法把二元函數(shù)的條件極值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的無條件極值問題代入z=f(x,y)得的無條件極值問題方法2拉格朗日乘數(shù)法（只能求可能的條件極值點(diǎn)）.一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,條件極值點(diǎn)必滿足設(shè)記故故有條件極值點(diǎn)必滿足則問題等價(jià)于這正是無條件極值點(diǎn)滿足的條件函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù)，利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.注：拉格朗日乘數(shù)法把二元函數(shù)的條件極值問題轉(zhuǎn)化為三元函數(shù)的無條件極值問題注：拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，充分條件判別法不可用②求拉格朗日函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，令其為0，解方程組拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)可能條件極值點(diǎn)步驟①構(gòu)造拉格朗日函數(shù).設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).2.求函數(shù)下的極值.在一個(gè)條件設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).函數(shù)下的極值.在兩個(gè)條件3.四、條件最值最值問題無條件最值:條件最值:1.z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的條件最值對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制定義:函數(shù)則稱f(x0,y0)為函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的條件最大（小）值，條件最大值和條件最小值統(tǒng)稱為條件最值,使函數(shù)取得條件極值的點(diǎn)稱為條件最值點(diǎn).在包含(x0,y0)的集合D內(nèi)有定義,若當(dāng)(x,y)D且

(x,y)=0時(shí)有2.實(shí)際問題條件最值最值必在定義域內(nèi)取到，拉格朗日函數(shù)在定義域內(nèi)部有唯一的駐點(diǎn)，則駐點(diǎn)為最值點(diǎn)例要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問題為求x,y,令解方程組解:設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最?。康拈L(zhǎng)方體開口水箱,試問得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).第二步判別?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域2.函數(shù)的最值問題

作業(yè)：作業(yè)冊(cè)P26－27第九講一、多元函數(shù)的條件極值二、多元函數(shù)的條件最值三、多元函數(shù)微分學(xué)內(nèi)容總結(jié)多元函數(shù)的條件極值、條件最值一、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:1.z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的條件極值對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制定義:函數(shù)則稱f(x0,y0)為函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的條件極大（小）值，條件極大值和條件極小值統(tǒng)稱為條件極值,使函數(shù)取得條件極值的點(diǎn)稱為條件極值點(diǎn).在(x0,y0)的某鄰域U(x0,y0)內(nèi)有定義,若對(duì)異于(x0,y0)的(x,y)

U(x0,y0)且

(x,y)=0時(shí)有(1)定義(2)條件極值的求法:方法1代入法.一元函數(shù)轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)注：代入法把二元函數(shù)的條件極值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的無條件極值問題代入z=f(x,y)得的無條件極值問題方法2拉格朗日乘數(shù)法（只能求可能的條件極值點(diǎn)）.一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,條件極值點(diǎn)必滿足設(shè)記故故有條件極值點(diǎn)必滿足則問題等價(jià)于這正是無條件極值點(diǎn)滿足的條件函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù)，利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.注：拉格朗日乘數(shù)法把二元函數(shù)的條件極值問題轉(zhuǎn)化為三元函數(shù)的無條件極值問題注：拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，充分條件判別法不可用②求拉格朗日函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，令其為0，解方程組拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)可能條件極值點(diǎn)步驟①構(gòu)造拉格朗日函數(shù).設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).2.求函數(shù)下的極值.在一個(gè)條件設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).函數(shù)下的極值.在兩個(gè)條件3.二、條件最值最值問題無條件最值:條件最值:1.z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的條件最值對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制定義:函數(shù)則稱f(x0,y0)為函數(shù)z=f(x,y)在約束條件

(x,y)=0下的條件最大（?。┲担瑮l件最大值和條件最小值統(tǒng)稱為條件最值,使函數(shù)取得條件極值的點(diǎn)稱為條件最值點(diǎn).在包含(x0,y0)的集合D內(nèi)有定義,若當(dāng)(x,y)D且

(x,y)=0時(shí)有2.實(shí)際問題條件最值最值必在定義域內(nèi)取到，拉格朗日函數(shù)在定義域內(nèi)部有唯一的駐點(diǎn)，則駐點(diǎn)為最值點(diǎn)例.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問題為求x,y,令解方程組解:設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最省？的長(zhǎng)方體開口水箱,試問得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的條件極值問題(1)簡(jiǎn)單問題用代入法(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法第二步判別?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)2.函數(shù)的條件最值問題作業(yè)：作業(yè)冊(cè)P26－27已知平面上兩定點(diǎn)A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點(diǎn)C,使△ABC面積S△最大.解答提示:設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),思考與練習(xí)則設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)面積而比較可知,點(diǎn)C與E重合時(shí),三角形面積最大.點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開始或暫停*第九節(jié)一、二元函數(shù)泰勒公式二、極值充分條件的證明二元函數(shù)的泰勒公式第四章一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式記號(hào)(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)):

一般地,

表示表示定理1.的某一鄰域內(nèi)有直到n+1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn),則有其中①②①稱為f在點(diǎn)(x0,y0)的n階泰勒公式,②稱為其拉格朗日型余項(xiàng).證:令則利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得:一般地,由的麥克勞林公式,得將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.說明:(1)余項(xiàng)估計(jì)式.因f的各n+1階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),在某閉鄰域其絕對(duì)值必有上界

M,則有(2)當(dāng)n=0時(shí),得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:(3)若函數(shù)在區(qū)域D上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上例1.求函數(shù)解:的三階泰勒公式.因此,其中時(shí),具有極值二、極值充分條件的證明的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒有極值.時(shí)