2022-2023學年第一學期九年級數(shù)學期末數(shù)學模擬試題

2022-2023學年第一學期九年級數(shù)學期末數(shù)學模擬試題（06）

班級：姓名：得分：

注意事項：

本試卷滿分120分，試題共27題，其中選擇6道、填空10道、解答11道.答卷前，考生務必用0.5毫米

黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（2021秋?徐州期末）二次函數(shù)y=的圖象向上平移3個單位長度，所得圖象的函數(shù)表達式為（）

A.y=x?+3B.y=x"—3C.y———3D.y=—尤~+3

2.（2021秋?建鄴區(qū)期末）一元二次方程2d-l=4x化成一般形式后，常數(shù)項是-1,一次項系數(shù)是（）

A.2B.-2C.4D.-4

3.（2021秋?鼓樓區(qū)期末）平面內(nèi)，OO的半徑為3,若點P在O。外，則OP的長可能為（）

A.4B.3C.2D.1

4.（2021秋?秦淮區(qū)期末）某大學生創(chuàng)業(yè)團隊有研發(fā)、管理和操作三個小組，各組的日工資和人數(shù)如表：

操作組管理組研發(fā)組

日工資（元/260280300

人）

人數(shù)（人）444

現(xiàn)從管理組抽調(diào)2人，其中1人到研發(fā)組，另1人到操作組，調(diào)整后與調(diào)整前相比，下列說法不正確的是（

）

A.團隊日工資的平均數(shù)不變B.團隊日工資的方差不變

C.團隊日工資的中位數(shù)不變D.團隊日工資的極差不變

5.（2021秋?深水區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為位似中心將AOAB放大得到△OCD.若

點A、C的橫坐標分別為1、2,且48=石，則線段8的長為（）

A.2B.75C.4D.275

6.（2021秋?玄武區(qū)期末）二次函數(shù)丫=以2+云+。的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如表:

X-3-2-101

y-11-311-3

對于下列結論：①二次函數(shù)的圖象開口向下；②當x>0時，y隨x的增大而減?。虎鄱魏瘮?shù)的最大值是

1；④若%，3是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，則玉+&=-g,其中，正確的是（）

A.①②B.③④C.①③D.①②④

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請把答案直接填寫在橫線上

7.（2021秋?建鄴區(qū)期末）若2=則山=_.

y3y

8.（2021秋?漂水區(qū)期末）某校組織一次歌唱比賽，最終得分由歌唱水平、舞臺表現(xiàn)、專業(yè)知識三部分組

成.若把歌唱水平、舞臺表現(xiàn)、專業(yè)知識的成績按6:3:1計算總分，小紅這三項得分依次為80分、90分和

90分.那么在這次比賽中，小紅的總分為_分.

9.（2021秋?秦淮區(qū)期末）連續(xù)兩次拋擲一枚均勻的硬幣，兩次都正面朝上的概率是—.

10.（2021秋?秦淮區(qū)期末）若一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為3c相，圓心角為120。的扇形，則該圓錐

的側面面積為—cm2（結果保留兀）.

11.（2021秋?鼓樓區(qū)期末）點C是線段的黃金分割點（AC>BC）,若A8=2加，則AC=cm.

12.（2021秋?玄武區(qū)期末）二次函數(shù)y=2Y-4x+3根的圖象的頂點在x軸上，則，"的值為.

13.（2021秋?建鄴區(qū)期末）若方程f-4084441=0的兩根為12021,則方程V一21一4084440=0的兩根

為一.

14.（2021秋?鼓樓區(qū)期末）一個圓錐的底面圓半徑是1,母線長是3,沿著一條母線將圓錐側面剪開并展平，

得到一個扇形，則這個扇形的圓心角度數(shù)為一

15.（2021秋?灤水區(qū)期末）若二次函數(shù)丫=渥+法+或〃、b、c為常數(shù)）的圖象如圖所示，則關于x的不

等式a(x+2)2+〃(x+2)+c<0的解集為

16.（2021秋?鼓樓區(qū)期末）AABC中，AB=AC=13,8c=24,點/是AABC的內(nèi)心，點O是AABC的外

心，則。/=____.

三、解答題（本大題共11小題，共88分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（2022春?玄武區(qū)期末）解方程：

（1）於-4）+1=0；

（2）（2x-3）2=5（2x-3）.

18.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）某公司職工的月工資情況如下：

職位經(jīng)理副經(jīng)理職員

人數(shù)1118

月工資/元1200080002000

（1）求該公司職工月工資的平均數(shù)為一元、眾數(shù)為一元、中位數(shù)為一元；

（2）你認為用平均數(shù)表示該公司職工月工資的“集中趨勢”合適嗎？說說你的理由.

19.（2022春?江寧區(qū)期末）在一個不透明的抽獎袋中裝有紅色、黃色、白色、黑色四種除顏色外都相同的

小球，從袋子中摸出1個球，紅色、黃色、白色分別代表一、二、三等獎，黑色表示謝謝參與.

（1）若小明獲得1次抽獎機會，小明中獎是—事件；（填隨機、必然、不可能）

（2）小明觀察后發(fā)現(xiàn)，平均每8個人中會有1人抽中一等獎，2人抽中二等獎，3人未獲獎，若袋中共有

24個球，請你估算袋中白球的數(shù)量；

（3）在（2）的條件下，如果在抽獎袋中增加兩個黃球，抽中一等獎的概率會怎樣變化？請說明理由；繼續(xù)

添加小球，能否使抽中一等獎的概率還原？若能，請設計一種添加方案.若不能，請說明理由.

20.（2022春?惠山區(qū)期末）關于x的一元二次方程W-爾+2機-4=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程有一個根為1,求，"的值和另一個根.

21.（2021秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，他表示一個窗戶的高，AM和四V表示射入室內(nèi)的光線，窗戶的下端到

地面的距離=已知某一時刻在地面的影長av=15〃，AC在地面的影長CM=45”，求窗戶的

22.（2021秋?沸水區(qū)期末）某商店銷售一種銷售成本為40元/千克的水產(chǎn)品，若按50元/千克銷售，一個

月可售出500版，銷售價每漲價1元，月銷售量就減少10依.

（1）寫出月銷售利潤y（單位：元）與售價x（單位：元/千克）之間的函數(shù)解析式；

（2）當銷售單價定為55元時，計算月銷售量和銷售利潤；

（3）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？

（4）當售價定為多少元時會獲得最大利潤？求出最大利潤.

23.（2021秋?玄武區(qū)期末）如圖，在OO中，弦AC,3。相交于點E,AB=BC=CD.

（1）求證AC=8O;

（2）連接8,若NBDC=20。，則N8EC的度數(shù)為°.

24.（2021秋?玄武區(qū)期末）己知二次函數(shù)y=（x+a）（x—a—2）（a為常數(shù)，且。工-1）.

（1）求證：無論a取何值，二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點；

（2）點？（加,%），。（機+3,%）在二次函數(shù)的圖象上，且M＞為，直接寫出機的取值范圍.

25.（2021秋?秦淮區(qū)期末）如圖，AB是0O的直徑，弦交43于點。，點P在45的延長線上,

連接OE、AC、BC,已知NPOE=2ZPCB.

（1）求證：PC是的切線；

（2）若BD=2OD,且依=12,求OO的半徑.

26.（2021秋?深水區(qū)期末）【認識模型】

RF

（1）如圖1,直線《/〃2,直線，"、〃分別與4、4交于點A、8和點尸、D,機和〃交于點￡.則器=

【應用模型】

（2）如圖2,在AABC中，。是邊A5上一點，K—=—=-.若BC=4,AS=10,求AC的長.

ABAC3

mn

A

F

B

圖2

27.（2021秋?鼓樓區(qū)期末）問題呈現(xiàn)：探究二次函數(shù)y=-x（x-3）+/n（其中噫*3,機為常數(shù)）的圖象與

一次函數(shù)y=x+2的圖象公共點.

問題解決：

（1）問題可轉(zhuǎn)化為：二次函數(shù)y=-x（x-3）（噴/3）的圖象與一次函數(shù)y=的圖象的公共點.

（2）在下列平面直角坐標系中畫出y=-x（x-3）（噴/3）的圖象.

（3）請結合（2）中圖象，就機的取值范圍討論兩個圖象公共點的個數(shù).

問題拓展：若二次函數(shù)y=+機（其中g領k1,加為常數(shù)）的圖象與一次函數(shù)），=-2x+2的圖象有兩個

公共點，則機的取值范圍為—.

0

答案與解析

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.（2021秋?徐州期末）二次函數(shù)），=-犬的圖象向上平移3個單位長度，所得圖象的函數(shù)表達式為（）

A.y=x2+3B.y=x2-3C.y=-x2-3D.y=-x2+3

【分析】易得新拋物線的頂點，根據(jù)頂點式及平移前后二次項的系數(shù)不變可得新拋物線的解析式.

【解答】解：原拋物線y=-f的頂點為（0,0）,向上平移3個單位，那么新拋物線的頂點為（0,3）：

可設新拋物線的解析式為y=-（x-/iy+%,代入得：y=-x?+3.

故選：D.

2.（2021秋?建鄴區(qū)期末）一元二次方程2/-l=4x化成一般形式后，常數(shù)項是-1,一次項系數(shù)是（）

A.2B.-2C.4D.-4

【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出一次項系數(shù)即可.

【解答】解：2X2-1=4X,

移項得：2/一4%-1=0,

即一次項系數(shù)是T,

故選：D.

3.（2021秋?鼓樓區(qū)期末）平面內(nèi)，。。的半徑為3,若點尸在。。外，則OP的長可能為（）

A.4B.3C.2D.1

【分析】根據(jù)題意可以求得。P的取值范圍，從而可以解答本題.

【解答】解：?.?0O的半徑為3,點P在。。外，

;.OP>?>,

故選：A.

4.（2021秋?秦淮區(qū)期末）某大學生創(chuàng)業(yè)團隊有研發(fā)、管理和操作三個小組，各組的日工資和人數(shù)如表：

操作組管理組研發(fā)組

日工資（元/260280300

人）

人數(shù)（人）444

現(xiàn)從管理組抽調(diào)2人，其中1人到研發(fā)組，另I人到操作組，調(diào)整后與調(diào)整前相比，下列說法不正確的是（

）

A.團隊日工資的平均數(shù)不變B.團隊日工資的方差不變

C.團隊日工資的中位數(shù)不變D.團隊日工資的極差不變

【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)和極差的定義分別對每一項進行分析，即可得出答案.

【解答】解：原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，x（260x4+280x4+300x4）=280（元），中位數(shù)為工*（280+280）=280

122

（元），極差為300-260=40（元），

方差為一X[（260-280）2X4+（280-280）2x4+（300-280）2x4]=——（元？），

123

新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為-!~X（260X5+280X2+300X5）=280（元），中位數(shù)為出土當=280（元），極差為

122

300-260=40（元），

11nnn一

方差為一X[（260-280）2X5+（280—280）2x2+（300-280）2x5]=——（元?），

123

所以團隊平均日工資、日工資的中位數(shù)和極差都不變，只有方差發(fā)生改變，

故選：B.

5.（2021秋?深水區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，以原點O為位似中心將AOAB放大得到△OCD.若

點A、C的橫坐標分別為1、2,且=石，則線段CD的長為（）

A.2B.V5C.4D.2逐

【分析】根據(jù)題意求出AOA8與AOCD的相似比，汁算即可.

【解答】解：?.?以原點O為位似中心將△03放大得到點4、C的橫坐標分別為1、2,

ACMB與AOC。的相似比為1:2,

vAB=y[5,

CD=2AB=245,

故選：D.

6.（2021秋?玄武區(qū)期末）二次函數(shù)了=以2+法+。的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如表:

X-3-2-101

y-11-311-3

對于下列結論：①二次函數(shù)的圖象開口向下；②當x>0時，y隨x的增大而減??；③二次函數(shù)的最大值是

1;④若占，々是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，則為+z=-；，其中，正確的是（）

A.①②B.③④C.①③D.①②④

【分析】先由表格中y的大小變化得到開口方向，然后由表中y值相等時的x的值求得對稱軸，進而得到二

次函數(shù)的增減性和最值，然后結合根與系數(shù)的關系得到當，々的關系.

【解答】解：由表格中數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大先增大后減小，

.??二次函數(shù)的圖象開口向下，故①正確，符合題意；

由表格可知，當*=一1和x=0時，y=l,

對稱軸為直線x=心2=_1,

22

.?.當x>0時，y隨x的增大而減小，故②正確，符合題意；

二次函數(shù)的最大值大于1，故③錯誤，不符合題意；

VX,.々是二次函數(shù)圖象與X軸交點的橫坐標，對稱軸為直線x=-；,

.X+芻_1

..---------,

22

.?.%+毛=-1,故④錯誤，不符合題意；

故選：A.

二.填空題（共10小題）

7.（2021秋?建鄴區(qū)期末）若2=2,則葉2=9.

y3y—3—

【分析】由2=2,可以假設x=23y=3k,（ZwO）代入計算即可解決問題.

V3

【解答】解：?.?2=2,

y3

.,?可以假設x=24,y=3Z,（攵wO）

x+y_2k+3k_5k_5

y3k3k3

故答案為2.

3

8.（2021秋?漂水區(qū)期末）某校組織一次歌唱比賽，最終得分由歌唱水平、舞臺表現(xiàn)、專業(yè)知識三部分組

成.若把歌唱水平、舞臺表現(xiàn)、專業(yè)知識的成績按6:3:1計算總分，小紅這三項得分依次為80分、90分和

90分.那么在這次比賽中，小紅的總分為84分.

【分析】根據(jù)加權平均數(shù)的定義列式計算即可.

【解答】解：在這次比賽中，小紅的總分為迎包生亙必1=84（分），

6+3+1

故答案為：84.

9.（2021秋?秦淮區(qū)期末）連續(xù)兩次拋擲一枚均勻的硬幣，兩次都正面朝上的概率是-.

~4~

【分析】畫樹狀圖展示所有4種等可能的結果數(shù)，再找出兩次都是反面朝上的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求

解.

【解答】解：畫樹狀圖為：

開始

正反

正反正反

共有4種等可能的結果數(shù)，其中兩次都是正面朝上的結果數(shù)為1,

兩次都是正面朝上的概率=」.

4

故答案為：

4

10.（2021秋?秦淮區(qū)期末）若一個圓錐的側面展開圖是一個半徑為3cm,圓心角為120。的扇形，則該圓錐

的側面面積為_3萬_。相2（結果保留;r）.

【分析】利用圓錐的側面展開圖為一扇形，所以計算扇形的面積即可得到該圓錐的側面面積.

【解答】解：該圓錐的側面面積=國±文=3%?/）.

360

故答案為3”.

11.（2021秋?鼓樓區(qū)期末）點C是線段AB的黃金分割點（AC>8C）,若=2的，則AC=_（4-1）_?！?

【分析】根據(jù)黃金分割的定義得到AC=叵匚AB,把43=2加代入計算即可.

2

【解答】解：?.?點C是線段AB的黃金分割點（AC>BC）,

2

而AB=2cm，

AC==-1）ctn.

2

故答案為(6-1).

12.(2021秋?玄武區(qū)期末)二次函數(shù)y=2d-4x+3m的圖象的頂點在x軸上，則"?的值為

【分析】求出頂點(1,3〃?-2),再由題意可得3加一2=0,即可求」的值.

【解答】解：Vy=2x2-4x+3m=2(x-1)2-2+3w,

，頂力、(1,3AH—2)>

,/頂點在x軸上，

/.3m—2=0,

2

「.，〃=一，

3

故答案為：

3

13.(2021秋?建鄴區(qū)期末)若方程■?—4084441=0的兩根為±2021,貝U方程f-2x-4084440=0的兩根為

x,=2022-％=-2020_.

【分析】利用配方法求解即可.

【解答】解：x2-2%-4084440=0,

x2-2%=4084440,

x2-2x+l=4084441,B|J(x-1)2=4084441,

?.?方程X2-4084441=0的兩根為±2021,

.,.x-l=±2021,

/.Xy=2022,x2=-2020.

故答案為：X)=2022,X,=-2020.

14.(2021秋?鼓樓區(qū)期末)一個圓錐的底面圓半徑是1,母線長是3,沿著一條母線將圓錐側面剪開并展平，

得到一個扇形，則這個扇形的圓心角度數(shù)為120。.

【分析】利用圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母

線長和弧長公式得到處@=2么1,然后解關于。的方程即可.

180

【解答】解：設扇形的圓心角為。。，

根據(jù)題意得％坦=2%

180

解得6=120.

故答案為120.

15.(2021秋?深水區(qū)期末)若二次函數(shù)尸加+以+以“、6、c為常數(shù))的圖象如圖所示，則關于x的不

等式a(x+2f+伙x+2)+c<0的解集為_x<—1或x>l_.

【分析】根據(jù)圖象可得x<l或x>3時or2+bx+c<0,則a(x+2)z+Z?(x+2)+c<0時x+2<l或x+2>3,

進而求解.

【解答】解：由圖象可得x<1或x>3時or，+，x+c<0,

/.當a(x+2)2+b(x+2)+c<0時，x+2<l或x+2>3,

解得X<-1或X>1,

故答案為：xc-1或X>1.

16.(2021秋?鼓樓區(qū)期末)AABC中，AB=AC=\3,,8c=24,點/是AABC的內(nèi)心，點O是AABC的外

心，則。/=14.3.

【分析】設8C邊的中點為。，連接4),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到A￡>，8C，ZDAB=ZCAD,得到內(nèi)

心/和外心O都在直線AD上，根據(jù)勾股定理得到AD=5,設A4BC的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R,

則心=。/+8,根據(jù)勾股定理列方程得到R=16.9,求得8=11.9,根據(jù)三角形的面積公式得到r=2.4,

于是得到結論.

【解答】解：設8c邊的中點為。，連接AD,

.-.ADLBC,ZDAB=ZCAD,

?.?點。為AABC的外心，點/為AABC的內(nèi)心,

內(nèi)心/和外心O都在直線AD上，

?rAB=AC=13，8C=24,

:.BD=CD=\2,

AD7AB?-BD。=5,

設AABC的內(nèi)切圓半徑為r,外接圓半徑為R,則/O=D/+O￡>，

連接03,在RtAODB中，OD=R-5,OB=R,DB=12,

由勾股定理得(R-5)2+122=R2,

.?./?=16,9.

.?.OD=AO-A￡)=16.9-5=11.9，

■：SMHC=^BC-AD=^{AB+BC+AC}-r,

BCAD24x512汽，

?f—__________—________=__=24,

AB+BC+AC13+24+135

/.r=DI—2.4,

:.IO=D/+OD=2A+1l,9=14.3.

故答案為：14.3.

三.解答題(共11小題)

17.(2022春?玄武區(qū)期末)解方程：

(1)Mx-4)+l=0；

(2)(2x-3)2=5(2x-3).

【分析】(1)利用配方法得到(x-2>=3,然后利用直接開平方法解方程;

(2)先移項得到(2X-3)2-5(2X-3)=0,然后利用因式分解法解方程.

【解答】解：(1)X2-4x=-1,

x2-4x+4=3,

(x—2—=3,

x—2=土E,

所以X1=2+J5,X2=2-y/3

(2)(2x-3)2—5(2x-3)=0,

(2x-3)(2x-3-5)=0,

21-3=0或21-3-5=0,

所以王=萬，x2=4.

18.（2021秋?鼓樓區(qū)校級期末）某公司職工的月工資情況如下:

職位經(jīng)理副經(jīng)理職員

人數(shù)1118

月工資/元1200080002000

（1）求該公司職工月工資的平均數(shù)為2800元、眾數(shù)為元、中位數(shù)為元；

（2）你認為用平均數(shù)表示該公司職工月工資的“集中趨勢”合適嗎？說說你的理由.

【分析】（1）求出這20個數(shù)的總和，然后除以20即可得出平均數(shù)：眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，看哪個數(shù)出

現(xiàn)的頻率最高，那個數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；求公司職員的月工資的中位數(shù)，可先將題目中的數(shù)據(jù)進行從小

到大的排列，然后確定中間的數(shù)或中間兩數(shù)的平均數(shù)；

（2）根據(jù)平均數(shù)的定義即可求解.

【解答】解：⑴平均數(shù)工J200Q+8000+2000X18=2800（元）；

20

眾數(shù)是2000元；

中位數(shù)是2000元.

故答案為：2800；2000；200（）；

（2）在這個問題中，眾數(shù)不易受數(shù)據(jù)中極端值的影響.眾數(shù)也是數(shù)據(jù)的一種代表數(shù)，反映了一組數(shù)據(jù)的集

中程度，眾數(shù)可作為描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量.因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別極

大，這樣導致平均工資與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能表示該公司職工月工資的“集中趨勢”.

19.（2022春?江寧區(qū)期末）在一個不透明的抽獎袋中裝有紅色、黃色、白色、黑色四種除顏色外都相同的

小球，從袋子中摸出1個球，紅色、黃色、白色分別代表一、二、三等獎，黑色表示謝謝參與.

（1）若小明獲得1次抽獎機會，小明中獎是隨機事件;（填隨機、必然、不可能）

（2）小明觀察后發(fā)現(xiàn)，平均每8個人中會有1人抽中一等獎，2人抽中二等獎，3人未獲獎，若袋中共有

24個球，請你估算袋中白球的數(shù)量；

（3）在（2）的條件下，如果在抽獎袋中增加兩個黃球，抽中一等獎的概率會怎樣變化？請說明理由；繼續(xù)

添加小球，能否使抽中一等獎的概率還原？若能，請設計一種添加方案.若不能，請說明理由.

【分析】（D根據(jù)隨機事件的定義，結合題目問題情境進行判斷即可：

（2）求出“獲三等獎”的概率即可估計白球的數(shù)量；

（3）根據(jù)概率的定義，加入2個黃球，球的總數(shù)為26個，而紅球3個，因此概率發(fā)生變化；再根據(jù)添加紅

球和其它顏色的球，使紅球的概率為［即可.

8

【解答】解：（1）袋子中裝有紅色、黃色、白色、黑色四種顏色的小球，摸出1個球，紅色、黃色、白色分

別代表一、二、三等獎，而黑色表示謝謝參與，

所以小明中獎是隨機事件，

故答案為：隨機；

（2）由題意得，獲得三等獎的概率為8T-2-3=',

84

24x1=6（個），

4

答：袋中共有24個球，估計袋中白球大約有6個；

（3）（2）中的24個中有紅球3個，黃球6人格，白球6個，黑球9個；

再加入2個黃球，球的總數(shù)為26個，而紅球還是3個，因此紅球的概率為之，所以抽中一等獎的概率降低

26

了；

可以還原為工，

8

設加入x個紅球，y個其它顏色的球，由于紅球的概率為g,所以有，

x+3_1

26+x+y8

即lx-y=2,

因為x、y均為整數(shù)，

所以當x=l時，y=5,（答案不唯一）

所以設計方案為：繼續(xù)添加1個紅球，5個其它顏色的球，能是摸到紅球的概率還原為

8

20.（2022春?惠山區(qū)期末）關于x的一元二次方程9一的+2〃?_4=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若方程有一個根為1,求加的值和另一個根.

【分析】（1）根據(jù)方程表示出根的判別式，判斷根的判別式大于等于。即可得證；

（2）把x=l代入方程求出m的值，進而確定出方程，求出另一根即可.

【解答】（1）證明：???△=（一機）2-4（2加一4）

=nr-8m+16

=(/n-4)2..O,

.??方程總有兩個實數(shù)根；

（2）解：把X=1代入方程得：1-/77+2777-4=0,

解得：771=3?

把m=3代入得：x2—3x4-2=0,

解得：菁=1,“2=2，

所以另?根為x=2.

21.（2021秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，表示一個窗戶的高，AM和8V表示射入室內(nèi)的光線，窗戶的下端到

地面的距離8。=1機.已知某一時刻在地面的影長aV=L5〃z,AC在地面的影長CM=4.5〃?，求窗戶的

【分析】陽光可認為是一束平行光，由光的直線傳播特性可知透過窗戶后的光線8N與4￡仍然平行，由此

可得出一對相似三角形，由相似三角形性質(zhì)可進一步求出的長，即窗戶的高度.

【解答】解：???&V//AW，

:?/CBN=ZA,ZCNB=ZM,

.NBNS^CAM，

.NCBC

~MC~~AC>

1.51

.?—=---,

4.5AC

解得：C4=3（利），

/.AB=3-1=2（/n）,

答：窗戶的高度為2〃?.

22.（2021秋?漂水區(qū)期末）某商店銷售一種銷售成本為40元/千克的水產(chǎn)品，若按50元/千克銷售，一個

月可售出500伙，銷售價每漲價1元，月銷售量就減少10kg.

（1）寫出月銷售利潤），（單位：元）與售價x（單位：元/千克）之間的函數(shù)解析式；

（2）當銷售單價定為55元時，計算月銷售量和銷售利潤；

(3)商店想在月銷售成本不超過1000()元的情況下，使月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？

(4)當售價定為多少元時會獲得最大利潤？求出最大利潤.

【分析】(1)根據(jù)月銷售利潤=每千克的利潤x數(shù)量就可以表示出月銷售利潤y(單位：元)與售價x(單

位：元/千克)之間的函數(shù)解析式；

(2)把x=55代入(1)的解析式就可以求出銷售利潤，由售價與銷售量的關系就可以求出結論；

(3)當y=8000時，代入(1)的解析式求出結論即可，

(4)將(1)的解析式化為頂點式就可以求出結論.

【解答】解：(1)由題意，得

y=(X-40)(500-10(x-50)],

y=-10x2+1400x-40000.

答：y與x之間的函數(shù)關系式為：y=-lOx2+1400%-40000；

(2)由題意，得

當x=55時，月銷售量為：500-(55-50)10=450千克；

銷售利潤為：y=-10x552+1400x55-40000=6750.

答：銷售單價定為55元時，月銷售量為450千克，銷售利潤為：6750元；

(3)由題意，得

8000=-10/+1400%-40000.

解得：Xf=60>Xj=80.

當x=60時，銷售成本為：40(1000-60x10)=16000元>10000元舍去，

當x=80時，銷售成本為：40(1(X)0-80x10)=8000元<10000元.

答：銷售單價應定為80元；

(4)y=-1Ox2+1400^-40000.

y=-10(x-70)2+9000.

.,.a=-10<0>y有最大值.

...當x=70時.y最大=9000元.

23.(2021秋?玄武區(qū)期末)如圖，在OO中，弦AC,比>相交于點E,AB=BC=CD.

(1)求證AC=8Q；

(2)連接CD,若ABDC=20°,則ABEC的度數(shù)為140°.

【分析】(1)根據(jù)AB=BC=C。求出4BC=OC8,再根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關系得出即可；

(2)根據(jù)圓周角定理得出NC4D=NBZM=N5DC=20°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N4ED,再求出答案

即可.

【解答】(1)證明：?.?AB=BC=CD,

.-.AB+BC=CD+BC，

ABC=DCB，

AC=BD:

(2)連接4),

??/BDC=20。,AB=BC=CD,

ACAD=ABDA=ZBDC=20°,

???NA￡D+NC4E>+NBA4=180。，

/.ZA￡E>=180°-ZC4D-ZBZM=180o-20o-20o=140°,

/BEC=ZAED=140。，

故答案為：14().

24.(2021秋?玄武區(qū)期末)已知二次函數(shù)y=(x+a)(x—a—2)(〃為常數(shù)，且

(1)求證：無論。取何值，二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點；

(2)點。(m+3,必)在二次函數(shù)的圖象上，且直接寫出團的取值范圍.

【分析】（I）令y=0,解方程，即可解答；

（2）先計算其對稱軸，根據(jù)點尸，Q在對稱軸左鋤或?qū)ΨQ軸兩鋤列不等式可得結論.

【解答】（1）證明：由題意得：令y=0時，（x+a）｛x—6?-2）=0?

二.司=一。，￡=。+2,

工一1，

—ciw。+2,

.??無論。取何值，二次函數(shù)的圖象與x軸總有兩個交點；

（2）解：對稱軸是：+=[,

2

???點PO,y）,QO+3,%）在二次函數(shù)的圖象上，且科>%，

加+3,,1或1一機>機+3-1,

.二九一2或加<——；

2

綜上，，”的取值是：m<--.

2

25.（2021秋?秦淮區(qū)期末）如圖，AB是OO的直徑，弦交AB于點。，點P在他的延長線上,

連接OE、AC、BC,已知NPOE=2NPCB.

（1）求證：PC是0O的切線；

（2）若BD=2OD,且P3=12,求0O的半徑.

【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理得NPOE=2N4,則N4=NPC8,由AB是。。的直徑得到

ZACB=90°,則ZA+ZASC=90。，由OC=03得至UZABC=NOCB,得至“NOCB+NPCB=90。,所以

OC1PC,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；

（2）設OO的半徑為火，則OC=R,OP=R+12,OD=-R,證明△CO4APOC,然后利用相似比即可

3

得到R的值.

【解答】（1）證明：連接OC,如圖，

-.ZPOE=2ZPCB,

而NPOE=2ZA,

;.ZA=ZPCB,

???AB是OO的直徑，

ZAO?=90。，

/.ZA+ZABC=90°,

而OC—OB,

:.ZABC=NOCB,

.-.ZA+ZOCB=90°,

ZOCB+ZPCB=90°,

:.OC±PC,

.?.PC是oo的切線；

（2）解：設OO的半徑為R,則OC=R,OP=R+12,

?；BD=2OD,

：.OD=-R,

3

\'CE_LAB，

ZODC=90°f

?;/COD=4POC,

WCOD^NPOC,

:.OC:OP=OD.OC,即R:(R+12)=：R:R,

:.R=6.

26.（2021秋?漂水區(qū)期末）【認識模型】

（1）如圖1,直線/J4,直線機、〃分別與/r4交于點A、8和點尸、￡）,機和"交于點E.則些

AB

DE

~FD-,

【應用模型】

(2)如圖2,在A48C中，D是邊AB上一點，J1—若8c=4,AB=\O,求AC的長.

ABAC3

mn

圖2

【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，得出結論;

（2）過點A作8C的平行線交C。的延長線于點￡,作C"_LAE,垂足為H，交回于點尸，根據(jù)平行線

分線段成比例定理求出C2=g2=L,進而得出AC=CE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE,根據(jù)等腰三角

ECAB3

形的性質(zhì)求出A/7,根據(jù)勾股定理計算，得到答案.

【解答】解：（1）B/〃2,

BEDE

~AB~~FD

故答案為：—

FD

（2）如圖2,過點A作8C的平行線交8的延長線于點七，作垂足為“，交AB于點尸，

,BC//AE,

CDBD

BDCD

,'AB~~AC'

AC=CE,

CD1

--=-f

AC3

CD1

/.----=一，

DE2

?：BCIIAE,

△CQ8sAm4,

BCCD141

---=----=-即0II----=一

AEDE2fAE2

解得：AE=8,

\AC=CE,CHLAE.

.?.AH=HE=4,

AH=CB,

?：AH/IBC,

AF=BF=-AB=5,FH=FC，

2

在RtAAHF中，HF=dAF-AH?=>/52-42=3,

:.HC=6,

27.(2021秋?鼓樓區(qū)期末)問題呈現(xiàn)：探究二次函數(shù)y=-x(x-3)+〃？(其中噴/3,機為常數(shù))的圖象與

一次函數(shù)y=x+2的圖象公共點.

問題解決：

(1)問題可轉(zhuǎn)化為：二次函數(shù)y=-x(x-3)(噫!k3)的圖象與一次函數(shù)y=_x+2-〃?_的圖象的公共點.

(2)在下列平面直角坐標系中畫出y=-x(x-3)(噴/3)的圖象.

(3)請結合(2)中圖象，就加的取值范圍討論兩個圖象公共點的個數(shù).

問題拓展：若二次函數(shù)＞=-丁+機(其中g領k1，團為常數(shù))的圖象與一次函數(shù)y=-2x+2的圖象有兩個

公共點，則機的取值范圍為一.

Ox

【分析】(1)二次函數(shù)y=-4工-3)+機(蟋/3)與一次函數(shù)y=x+2的公共點可轉(zhuǎn)化為方程