《高中數(shù)學導數(shù)題典》備選1000題十三

題1051：k(x-1)例題：已知函數(shù)f(x)=lnx,g(X)=—X+1(1)求函數(shù)F(X)=f(X)-g(X)的單調區(qū)間;(2)當X>1時，函數(shù)f(X)>g(X)恒成立，求k的取值范圍;(3)設正數(shù)a,a,a,,a滿足a+a+a++a=1，

1 2 3n 1 2 3 n…1、…1、求證：ln(1+—)+ln(1+—)+a2 a21 21、 2n2+ln(1+—)> a2n+2n題1052：已知函數(shù)f(X)=(2X+1)ln(2X+1)-a(2X+1)2-X(a>0)(1)如圖，設直線X=-1,y=-X將坐標平面分成I，II，III，IV四個區(qū)域(不含邊界)，若函數(shù)y=f(X)的圖象恰好位于其中一個區(qū)域內，判斷其所在的區(qū)域并求對應的a的取值范圍；1 X+X、(2)當a>k時，求證：DX,X∈(0,+∞)且XWX，有f(X)+f(X)<2f(12)2 12 1 2 1 2 2題1053：，3八a, 八一已知函數(shù)f(X)=(--1)eX+-(X>0,a∈R)

X X(1)若f(X)在(0,+∞)上單調遞減，求a的取值范圍；(2)當a∈(-3,-e)時，判斷關于X的方程f(X)=2的解的個數(shù)題1054：已知函數(shù)f(X)=aXlnX+bX(a≠0)在(1,f(1))處的切線與X軸平行，(e是自然對數(shù)的底數(shù))(1)試討論f(X)在(0,+∞)上的單調性；(2)①設g(X)=X+?,X∈(0,+∞)，求g(X)的最小值eX-1…f(X) 2 -②證明：^―-+ -≥1-XaXeX-1+1f(X) 2注：求函數(shù)：y=^--+ -+X的值域XeX-1+1a2g(X)=XlnX+ ≥1XeX-1+1(xlnx-1)(xeχ-1+1)+2≥01lnX≥1-—,eι-χ≥2-xx求值域時，g(X)≥1,那么值域是不是［1,+∞)呢？當然是的，這是因為當X>1時，g(X)>XlnX，此時對任意b>1，取X=eb，均有g(eb)>beb>b，題1055：設函數(shù)f(X)=XlnX+a(X-1)(1)求函數(shù)f(X)的單調區(qū)間；(2)若f(X)≥0恒成立1(3)當X∈(-,+∞)時，題1056：設函數(shù)f(X)=lnX-e1-XX(1)判斷函數(shù)y=f(X)零點的個數(shù)，并說明理由；eX-eX(2)記h(X)=g(X)-f(X)+ ,討論h(X)的單凋性；XeX(3)若f(X)<g(X)在(1,+∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍，求a的值；XeX(X+lnX+k)≥k恒成立，求k的值;，g(X)=a(X2-1)-1.題1057：已知函數(shù)f(X)=2eX+aX(1)求f(X)的單調區(qū)間；(2)討論f(X)在(0,+∞)上的零點個數(shù)題1058：已知關于X的方程(1-X)eX-aX2=a有兩個不同的實數(shù)根X,X12(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：X+X<012題1059：已知函數(shù)f(X)=ln(X+1)+OX，其中aeR.(1)當a=T時，求證：f(X)≤0；(2)對任意X≥eX>0,存在X∈(-1,+∞),使f(X2~1)~fM_1)>a(-2L~1)~f(-)-成立，求a2 1 X-X X21 2的取值范圍.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))題1060：lnX設f(X)= ,g(X)=aX+XaX-1(1)證明：f(X)在(0,1)上單調遞減；(2)若0<a<X<1，證明：g(X)>1題1061：已知函數(shù)f(X)=ln(1+X)-ln(1-X).(1)證明：直線y=2X與曲線y=f(X)相切；(2)若f(X)>k(X3-3X)對X∈(0,1)恒成立，求k的取值范圍.題1062：已知函數(shù)f(X)=X3+mX，g(X)=-X2+n.(1)若曲線y=f(X)與曲線y=g(X)在它們的交點處的公共切線為y=2X+c，求m，n，C的值;(2)當n=1時，若VX∈(-∞,0)，f(X)<g(X)，求m的取值范圍.題1063：已知函數(shù)f(X)=lnX-X-m(m∈R)(1)若函數(shù)f(X)有兩個零點，求m的取值范圍;(2)證明：當m≥-3時，關于X的不等式f(X)+(X—2)ex<0在［1,1］上恒成立題1064：已知函數(shù)f(X)=exSinX-ax(1)當a=0時，求曲線y=f(X)在(0,f(0))處的切線方程；3π ....(2)當a<0時，判斷f(X)在［0,］上的單調性，并說明理由；43π(3)當a<1時，求證：?X∈［0,一］，都有f(X)≥0.4題1065：已知函數(shù)f(X)=lnX-X+1,函數(shù)g(X)=aXβX-4X，其中a為大于零的常數(shù).(1)求函數(shù)f(X)的單調區(qū)間；(2)求證：g(X)-2f(X)≥2(lna-ln2)題1066：設f(X)=(aX2-X)lnX+a-1,記g(X)=f'(X)(1)當a=1時，求g(X)的零點的個數(shù)；(2)當a>1時，證明：f(X)>0題1067：已知函數(shù)f(X)=SinX-X+mX3(m∈R).(1)當m=0時，證明：f(X)>-e2；(2)當X≥0時，函數(shù)f(X)單調遞增，求m的取值范圍.題1068：已知函數(shù)f(X)=lnX+a(1-X),a∈R.(1)討論f(X)的單調性；1,(2)當a=--時，令g(X)=X2-1-2f(X),其導函數(shù)為g'(X)，設X,X是函數(shù)g(X)的兩個零點，2 12x+x 、判斷一γτ是否為g(X)的零點？并說明理由.題1069：已知函數(shù)f(X)=eχ+ax一a(a∈R,a≠0)(1)若函數(shù)f(x)在x=0處取得極值，求實數(shù)a的值；并求此時f(x)在［-2,1］上的最大值；(2)若函數(shù)f(x)不存在零點，求實數(shù)a的取值范圍題1070：已知函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx,a∈R(1)若函數(shù)f(x)在［1,2］上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)令g(x)=f(x)-x2，是否存在實數(shù)a，當X∈(0,e］時，函數(shù)g(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；(3)當X∈(0,e］時，求證：e2x2-5X>(X+1)lnX題1071：已知函數(shù)f(X)=ex-a,g(X)=ln(x+a)，其中a∈R+(1)若f(x)≥g(x)，求a的取值范圍；(2)當a≥1時，設h(x)=f(x)g(x)-x2，討論h(X)在(0,+∞)上的零點個數(shù)題1072：已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=1x2-bx(b為常數(shù)).(1)函數(shù)f(X)的圖象在點(1,f(1))處的切線與函數(shù)g(X)的圖象相切，求實數(shù)b的值；(2)若b≥2，?X,X∈［1,2］，且X≠x，都有If(x)-f(X)l>lg(x)-g(x)1成立，求實數(shù)b的12 1 2 1 2 1 2值.題1073：已知函數(shù)f(x)=x-a-(a+1)lnx(a∈R)x(1)當0<a≤1時，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)是否存在實數(shù)a，使得至少有一個X∈(0,+∞)，使f(X)>X成立，求出實數(shù)a的取值范圍;0 00若不存在，說明理由題1074：設函數(shù)f(X)=—ax2-1TnX,其中a∈R.2(1)若a=0，求過點(0,-1)且與曲線y=f(X)相切的直線方程；(2)若函數(shù)f(X)有兩個零點X,X12①求a的取值范圍；②求證：f'(X)+f'(X)<0.12題1075：已知f(X)=eX-alnx(a∈R)(1)求函數(shù)f(X)在點(1,f(1))處的切線方程；(2)當a=-1時，若不等式f(X)>e+m(X-1)對任意X∈(1,+∞)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍題1076：已知函數(shù)f(X)=lnX-1,g(X)=-ax+bX(1)討論函數(shù)h(X)=f(X)-g(X)單調區(qū)間；(2)若直線g(X)=-ax+b是函數(shù)f(X)=lnX-1的圖象的切線，求b-a的最小值X解：有題知道：f(X)=lnX-1為上凸函數(shù)，因此必有：lnX-1≤-ax+b，令X=1，則有b-a≥-1XX取f(X)=lnX-1，取b=-3,a=-2，此時只需證明：lnX-1-2X+3≤0XX題1077：已知函數(shù)f(X)=lnX-2X+1.(1)求f(X)的極值；(2)設f'(X)為f(X)的導函數(shù)，求證：f(X)≤f'(X).題1078：(1)已知a∈[0,1]，用分析法證明：a3+-?-≥1-a+a2；a+1(2)若m<-1,用反證法證明：fG)=XeX-(m+3)X2,(X>0)函數(shù)無零點題1079：已知函數(shù)f(X)=X2+2lnX+2(a-4)X在(1,+∞)上是增函數(shù).(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)在(1)的結論下，設g(X)=卜-。|+a,X∈[0,ln3]，求函數(shù)gG)的最小值.題1080：已知函數(shù)f(X)=lnX(1)若函數(shù)g(X)=f(X)-aX+1X2有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若關于X的方程f(X)=m(X+1),(m∈Z)有實數(shù)解，求整數(shù)m的最大值解：(2)若m=0，f(X)=lnX=0，顯然有解X=1，當m≥1時，f(X)=lnX≤X-1<X+1≤m(X+1)，此時方程f(X)=m(X+1)無解則整數(shù)m的最大值為0題1081：已知函數(shù)f(X)=XeX+aX3+bX2+C(其中e為自然對數(shù)的底，a,b,C∈R)的導函數(shù)為y=f'(X)(1)當a=C=0時，討論函數(shù)f(X)在區(qū)間(0,+∞)上的零點的個數(shù)；(2)設點A(0,f(0)),B(m,f(m))是函數(shù)f(X)圖象上兩點，若對任意的m>0,割線AB的斜率都m大于fV),求實數(shù)a的取值范圍題1082：已知函數(shù)f(X)=eX+aX2(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).e(1)當a=--時，求函數(shù)f(X)的單調區(qū)間；(2)若f(X)≥X+1在X≥0時恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.題1083：已知函數(shù)f(X)=2-ax+XlnX有兩個零點X,X(X<X).12 1 2(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：X+X>4.12題1083：已知函數(shù)f(X)=1e2x-a2X，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)f(X)的單調性；a2(2)若a∈[-,e]，設函數(shù)g(X)=f(X)+—的最小值為h(a)，求h(a)的最大值.e2題1084：兀已知函數(shù)f(x)=xcosx-(a+I)Smx,X∈弓,兀)兀(1)當a∈(—,兀)時，若曲線y=f(X)在點(a,f(a))處的切線平行于X軸，求a的值及函數(shù)f(X)的單調區(qū)間；(2)若a∈[―18—,--3—]，記函數(shù)f(χ)的最小值為t，求t的取值范圍.題1085：完成下列問題：1(1)探究函數(shù)f(X)=lnX+ (P∈R且P≠0)的單調性；pX(2)若存在X∈[1,e]，使得不等式e+m≥X+eχlnX成立，求實數(shù)m的取值范圍.題1085：已知函數(shù)f(X)=ex-2X2-XlnX,g(x)=eχ-ax2+x(a∈R),其中e為自然常數(shù).(1)求函數(shù)f(X)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程；(2)若g(X)≥f(X)對任意的X>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.題1086：lnx—b x—1—eX已知函數(shù)f(X)二 —1(b∈R),g(X)= .x ex(1)若b=1,求函數(shù)f(X)的圖象在X=1處的切線方程；(2)若對任意的X>0，都存在X∈R，使得g(X)>f(X)成立，試求實數(shù)b的取值范圍.1 2 21題1087：、2lnX+2已知函數(shù)f(X)= .eX(1)求函數(shù)f(X)在(l,+∞)上的單調區(qū)間；

e22(2)證明：對于任意的X>0，都有f'(X)?ln(X+1)<—+——eXeX+2題1087：已知函數(shù)f(X)=(X-2)lnX，g(X)=Ox一1.(1)求曲線y=f(X)在點(1,f(1))處的切線方程；(2)若對任意的X∈[3,+∞),f(X)≥g(X)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.題1088：已知函數(shù)f(X)=e1-X—lnX+1ox2-a一1,其中a為常數(shù)且a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù).2 2X(1)記g(X)=f(X)—e1-X+a-，討論函數(shù)g(X)的單調性；2X(2)若不等式f(X)≥0對任意的X∈[1,+∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.題1088：已知函數(shù)h(X)=alnX+X2-(a+2)X,g(x)=(a-1)lnX+(1+a)X2-4X.(1)若函數(shù)h(X)在[2,5]上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(X)=h(X)—g(X)的圖象與直線y=m(m∈R)交于AB兩點，線段AB中點的橫坐標為X，證明：f(x)<0(f'(X)為函數(shù)f(X)的導函數(shù))00題1089：已知f(X)=lnX一ax+a,a∈R(1)討論f(x)的單調性；(2)若g(X)=f(X)+1(X-1)2有三個不同的零點，求a的取值范圍.1-aX解：(1)由已知f(X)的定義域為Q+∞)，又f(X)=——，X當a≤0時，f'(X)>0恒成立，0<X<1,f'(X)>0,f(X)單調遞增；a當a>0時，0<X<1,f'(X)>0,f(X)單調遞增；X>1,f'(X)<0,f(X)單調遞減；aa(2)由題g(X)=lnX-aX+a+?(X-1)2，g'(X)=X+—-1-a2X①當a≤1時，g'(X)≥1-a≥0，此時g(X)單調遞增，最多存在一個零點，不符合題意②當a>1時，g'(X)=x2_(a+I)X+1，令h(X)=X2-(a+1)X+1，此時A=(a+3)(a-1)>0，X令h(X)=0兩根分別為X1,X2(X1<X2)，由X+X=a+1>0,XX=1，1 2 12可以知道0<X<1<X120<X<?h(X)>0,g'(X)>0,g(X)單調遞增；當X1<X<X2,h(X)<0,g'(X)<0,g(X)單調遞減;X>X,h(X)>0,g'(X)>0,g(X)單調遞增;2其中g(1)=0，g(X)>0,g(X)<0,g(e-a-2)<0， g(2(a+1))>0，12因此有3X∈(e-a-2,1)使得g(X1)=0，3X2=1使得g(X2)=0；3X3∈(1,2(a+1))使得g(X3)=0綜上：a∈(1,+∞)注1:當0<X<1時， ?(X-1)2<—，因此有g(X)<lnX-ax+a+?<lnX+a+-22 2 2lnX+a+2=0,解得X=e-a-2注2：當X>1時，g(X)=InX-aX+a+—X2-X+?>—x2-(a+1)X，令4X2-(a+1)X=02 22 2得x=2(a+1)，，令解題1090：x已知函數(shù)f(x)= ,g(X)=k(X—1).lnx(1)證明：?k∈R，直線y=g(X)都不是曲線y=f(X)的切線；(2)若3X∈[e,e2],使f(x)≤g(x)+1成立，求實數(shù)k的取值范圍.解法1：正常討論參考《數(shù)學小丸子的解題筆記》(導數(shù)壓軸題與放縮應用)29頁【20題】解法2：化曲為直X1分離參數(shù)有：k≥InXJ，考慮證明：lnXJ≥∣，一1 X一1 21 1 1 1即證：-一≥-(X一1)+ ，即證：≥-，又X∈[e,e2]，顯然成立，因此有k∈[-,+∞)lnX 2 2 lnX 2 2解法3：化曲為曲X1X1X1 2E2分離參數(shù)有：k≥lnx2，lnx2≥-——--=1[Z'e一：X)+1]≥1,因此有k∈[1,+∞)X一1X一1 X-1 2 X一1 2 2解法4：普通求導X1k≥InX2，X一1X1lnX2X一11 ln(X)+X一1φ'(X)= ln2x——<(X-1)211+X-12 <0(X一1)2叭X)=因此φ(X)在X∈[e,e2]單調遞減，則φ(X)≥φ(e2)=1,因此有k∈[1,+∞)第一問：(1)假設存在切線，設切點為(X,f(X))，00f(X)由題知必有：——0-=f(X),整理有l(wèi)nX+X-1=0，X一1 0 0 00函數(shù)h(X)=lnX+X一1單調遞增，且h(1)=0,又因為XW1,因此原命題得證0題1091：已知函數(shù)f(X)=ln(ax+b)+X2(aW0)(1)若曲線y=f(X)在點(1,f(1))處的切線方程為y=X,求函數(shù)f(X)的極值;(2)若f(X)≤X2+X恒成立，求ab的最大值解：(2)由題f(X)≤X2+X得Cx-aX-b≥0，令g(X)=Cx-aX-bg'(X)=eχ-ab若a<0，此時X<-ag'(X)>0, g(X)單調遞增,bea

因g(——-b——)<0，不符合題意，因此a>0a又因為求ab最大值，故考慮b>0時情況，由題知g(1)≥0,則有B+b≤√'XT1a+2b、 eab=-?(--—)2≤-，當且僅當a=ee,b苧時取等，下證明：g(X)=eχ-Cx--苧≥0,g'(X)=CX0<X<1,g'(X)<0,g(X)單調遞減;X>1,g'(X)>0,g(X)單調遞增;因此有g(χ)≥g(1)=0，符合題意，因此(ab)maxe=2注：要證：g(X)=Cx-CX--白≥0,Y1 1即證：ex-2≥X+-,由不等式CX≥X+1知顯然成立b注：g(X)=eχ-ax-b<e-a-b-ax,b令e-a-b-ax=0,C解得X=—ba—ba題1092：p已知函數(shù)F(X)=—+ln(px)(其中P>0).X11(1)當2<P<-時時，求F(X)零點的個數(shù)k的值;(2)在(1)的條件下，記這些零點分別為X(i=1,2,3,,k),i11

求證：一+—+XX12+—>2&X3．題1093：已知函數(shù)f(X)=a(X2-X)+lnX+b的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為3X—J—3=0(1)求a,b的值;(2)如果對任何X>0，都有f(x)≤kx?[f'(X)—3]，求所有k的值;解：(1)f(X)=a(2X-1)+1,由題知f(1)=3,f(1)=0，解得a=2,b=0x(2)令g(X)=f(X)-kx?[f'(X)-3]=2(X2-X)+lnX-kx[4x-5+?]，Xg'(x)=2(2x-1)+1-k(8x-5)，其中g(1)=0，又因g(X)≤0，則必有g(1)=0，

X(1-X)(4X+1)當k=1時，g(X)= ，X0<X<1,g'(X)>0,g(X)單調遞增；X>1,g'(X)<0,g(X)單調遞減，g(X)≤g(1)=0解