欠阻尼振動(dòng)課件

第9章振動(dòng)和波按照物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的形態(tài)，經(jīng)典物理學(xué)分成力（包括聲）、熱、電、光等子學(xué)科。然而，某些形式的運(yùn)動(dòng)是橫跨所有這些學(xué)科的，其中最典型的要算振動(dòng)和波了。在力學(xué)中有機(jī)械振動(dòng)和機(jī)械波，在電學(xué)中有電磁振蕩和電磁波，聲是一種機(jī)械波，光則是一種電磁波。量子力學(xué)又稱波動(dòng)力學(xué)。本章的意義絕不局限于力學(xué)，它將為學(xué)習(xí)整個(gè)物理學(xué)打基礎(chǔ)。DSP芯片第9章振動(dòng)和波按照物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的形態(tài)，經(jīng)典物理學(xué)分成力（1一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)

平衡與振動(dòng)處于靜止?fàn)顟B(tài)的物體，我們稱之為平衡，此時(shí)物體不受力或所受的合力為零。如果處于平衡位置的物體受到某種擾動(dòng)而離開了平衡位置，則我們根據(jù)該物體以后能否保持平衡而將平衡分為以下四種：穩(wěn)定平衡、亞穩(wěn)平衡、不穩(wěn)平衡和隨遇平衡，如圖所示。一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)平衡與振動(dòng)處于靜止?fàn)顟B(tài)的2平衡與振動(dòng)我們僅討論處于穩(wěn)定平衡（嚴(yán)格地說，穩(wěn)定平衡是理想情況，絕對(duì)的穩(wěn)定平衡是沒有的）或亞穩(wěn)平衡而擾動(dòng)較小的情況，此時(shí)物體將會(huì)發(fā)生振動(dòng)。我們把振動(dòng)的物體稱為振子。平衡與振動(dòng)我們僅討論處于穩(wěn)定平衡（嚴(yán)格地3

恢復(fù)力與彈性力圖中的“彈簧振子”有一個(gè)平衡位置O，在那個(gè)位置，彈簧既沒有伸長(zhǎng)也沒有縮短，對(duì)物體不施加作用力，物體得以平衡。試把物體從平衡位置移開，例如移到P點(diǎn)，然后放手，拉長(zhǎng)的彈簧有收縮的趨勢(shì)，它施加于物體的作用力驅(qū)使物體向平衡位置移動(dòng)。這種驅(qū)使物體向平衡位置移動(dòng)的力叫作恢復(fù)力?；謴?fù)力和慣性這一對(duì)矛盾不斷斗爭(zhēng)，它們的作用交替消長(zhǎng)，力學(xué)系統(tǒng)就在平衡位置左右一定范圍內(nèi)來回振動(dòng)?；謴?fù)力與彈性力圖中的“彈簧振子”有一個(gè)4

恢復(fù)力與彈性力彈簧振子的恢復(fù)力是彈簧的彈性力，其大小正比于彈簧的伸長(zhǎng)或縮短。它滿足胡克定律：式中x是物體對(duì)平衡位置的位移，k叫作彈性系數(shù)（或倔強(qiáng)系數(shù)），k越大表示彈簧越硬。由胡克定律可知彈性力有兩個(gè)特點(diǎn)：因?yàn)閺椥粤的指向總與位移x的方向相反，故彈性力F總是指向平衡位置，總是力圖把質(zhì)點(diǎn)拉回到平衡位置；因?yàn)镕的數(shù)值大小正比于位移x的大小，所以物體偏離平衡位置越遠(yuǎn)，則它受到的拉回平衡點(diǎn)的力也越大。恢復(fù)力與彈性力彈簧振子的恢復(fù)力是彈簧5恢復(fù)力與彈性力重力也可以成為恢復(fù)力。如圖所示的單擺，如將小球從平衡位置拉到P點(diǎn)再松手，小球?qū)⒃谄胶馕恢肙點(diǎn)附近往復(fù)擺動(dòng)。它的結(jié)構(gòu)雖與上述彈簧振子完全不同，但它們的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)是十分相似的。式中負(fù)號(hào)表示F與角位移方向相反?？梢?，單擺所受的雖不是彈性力，但小角度擺動(dòng)時(shí)在形式上與彈性力完全相似。我們把這種與彈性力具有相似表達(dá)式的力，叫做準(zhǔn)彈性力?？梢宰C明：一維保守力在穩(wěn)定平衡位置附近一定是準(zhǔn)彈性力?；謴?fù)力與彈性力重力也可以成為恢復(fù)力。如圖所示的單擺，如將小6恢復(fù)力與彈性力取V0=0,x0=0，得彈性勢(shì)能為：勢(shì)能的曲線示于圖。由圖可見，在一個(gè)嚴(yán)格的彈性力作用下的質(zhì)點(diǎn)只可能作束縛運(yùn)動(dòng)，對(duì)任何大的能量E，質(zhì)點(diǎn)都不能作自由運(yùn)動(dòng)，而只能在下列有限范圍內(nèi)運(yùn)動(dòng)，即：其中：恢復(fù)力與彈性力取V0=0,x0=0，得彈性勢(shì)能7

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)解

如圖所示，設(shè)彈簧振子的質(zhì)量為m，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，選取x軸，以平衡位置O為原點(diǎn)，則振子的運(yùn)動(dòng)方程為：令：解為：其中為待定常數(shù)，由初始條件確定。稱這種運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)解如圖所8簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征參量描繪一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征參量有三個(gè)：振幅、角頻率和相位。振幅AA代表質(zhì)點(diǎn)偏離中心（平衡位置）的最大距離，它正比于(E)1/2，即它的平方正比于系統(tǒng)的機(jī)械能，A2∝E；簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征參量9簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征參量(2)角頻率ω（也稱圓頻率）振動(dòng)的特征之一是運(yùn)動(dòng)具有周期性。完成一次完整的振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間稱為周期，用T表示。由上式可知周期T與角頻率ω的關(guān)系為：T=2π/ω。周期的倒數(shù)稱為頻率ν，ν=1/T=ω/2π。周期的單位是“秒”；頻率的單位是“秒-1”，這有個(gè)專門的名稱“赫茲（Hz）”；角頻率的單位是“弧度／秒（rad/s）”。對(duì)于彈簧振子，頻率與周期為可見彈簧振子的頻率（或周期）由其固有參量和決定，而與初始條件無關(guān)，故稱為振子的固有頻率。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征參量(2)角頻率10簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征參量相位（或位相）

其中時(shí)刻t=0的相位，稱為初相位。相位是相對(duì)的，通過計(jì)時(shí)零點(diǎn)的選擇，我們總可以使初相位：而多個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)之間的相位差是重要的。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征參量相位（或位相）11簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述(1)x-t曲線圖示法

簡(jiǎn)諧振動(dòng)可以用三角函數(shù)表示，也可用下邊的曲線圖表示，圖上已將振幅、周期和初相標(biāo)出。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述(1)x-t曲線12簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述(2)

振幅矢量法簡(jiǎn)諧振動(dòng)還可以用旋轉(zhuǎn)振幅矢量（也稱相矢量）來表示。自原點(diǎn)畫一條長(zhǎng)等于振幅的矢量A，開始時(shí)(t=0)，讓矢量A與x軸的夾角等于振動(dòng)的初位相，令A(yù)以角速度（就是振動(dòng)角頻率）逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則矢量在軸上的投影就是振動(dòng)的位移（如圖）。這種表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方法清晰明了，它能比較直觀地把振幅、頻率和初位相表示出來，我們以后將經(jīng)常用到這種表示法。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述(2)振幅矢量13

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述(3)復(fù)數(shù)法利用三角函數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，簡(jiǎn)諧振動(dòng)也可用復(fù)數(shù)表示或其中：是復(fù)數(shù)，稱復(fù)振幅，它已包含了初位相。但要注意，有意義的是上式的實(shí)部。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述(3)復(fù)數(shù)法14諧振子的能量下面計(jì)算簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量。振子的坐標(biāo)和速度為：其中動(dòng)能：

勢(shì)能：

機(jī)械能：

此式表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能是守恒的。諧振子的能量下面計(jì)算簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量。振子的坐標(biāo)和速度為：15諧振子的能量由前式可見動(dòng)能和勢(shì)能的變化頻率都是原振子振動(dòng)頻率的兩倍。不難求出，一個(gè)周期內(nèi)動(dòng)能、勢(shì)能的時(shí)間平均值都等于總能量的二分之一。諧振子的能量由前式可見動(dòng)能和勢(shì)能的變化頻16簡(jiǎn)諧振動(dòng)的演示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的演示17

振動(dòng)的合成與分解簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)，任何一個(gè)復(fù)雜的振動(dòng)都可以看成若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。數(shù)學(xué)上稱這種分解為傅里葉（Fourier）變換。

專用FFT芯片振動(dòng)的合成與分解簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單、最基本18方向、頻率相同，初位相不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合 成設(shè)物體同時(shí)參與兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，每個(gè)振動(dòng)的位移與時(shí)間關(guān)系可表為利用振幅矢量法，由圖不難看出，合運(yùn)動(dòng)仍是同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，即（余弦定理）方向、頻率相同，初位相不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合 成19方向、頻率相同，初位相不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合 成由此可知，合振動(dòng)的振幅取決于兩振動(dòng)的位相差則為一般值則則方向、頻率相同，初位相不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合 成由此可知，合20方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

設(shè)為簡(jiǎn)單起見，設(shè)若有方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)為簡(jiǎn)單起見，設(shè)21方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率與原來兩振動(dòng)頻率幾乎相等而振幅隨時(shí)間的變化為由于振幅所涉及的是絕對(duì)值，故其變化周期由下式?jīng)Q定故振幅變化頻率：方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成此簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率與原22方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

即兩頻率之差。這一現(xiàn)象稱為拍，⊿v稱為拍頻，拍的振動(dòng)曲線如圖所示。當(dāng)兩振動(dòng)的振幅不等，即A1≠A2時(shí)，也有拍現(xiàn)象，此時(shí)合振幅仍有時(shí)大時(shí)小的變化，但不會(huì)達(dá)到零。方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成即兩頻率之差。這一現(xiàn)23方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

校正樂器，例如校正鋼琴，往往拿待校的鋼琴同已校好的鋼琴作比較，彈奏兩架鋼琴的同一個(gè)音鍵，細(xì)聽有無拍的現(xiàn)象。如果聽得出有拍的現(xiàn)象，說明尚未校準(zhǔn)，必須再校，使得拍頻越來越小直到拍完全消失為止，這一音鍵才算校準(zhǔn)。方向相同，頻率不同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成校243.方向垂直、頻率相同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（二維振動(dòng)）振動(dòng)系統(tǒng)可以同時(shí)參與方向互相垂直的兩個(gè)振動(dòng)，例如單擺，就可以同時(shí)參與這樣的兩個(gè)振動(dòng)。設(shè)一個(gè)振動(dòng)沿x方向，一個(gè)沿y方向，即：這實(shí)際上就是合振動(dòng)的坐標(biāo)參量方程。3.方向垂直、頻率相同的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（二維振動(dòng)）25二、阻尼振動(dòng)理想振動(dòng)，振幅保持不變，振動(dòng)能量也保持不變。這只是實(shí)際情況的一種抽象，實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)，當(dāng)無外界能量補(bǔ)充時(shí)，振幅都要隨時(shí)間逐漸衰減，衰減的原因，一是有摩擦力存在，將振動(dòng)能量逐漸變?yōu)闊崮芎纳⒘?；二是振?dòng)能量以波的形式向四周傳播，使振動(dòng)能量逐漸變?yōu)椴ǖ哪芰?，本?jié)討論有摩擦力存在的振動(dòng)。

人造衛(wèi)星太陽能帆板的減振二、阻尼振動(dòng)理想振動(dòng)，振幅保持不變，振動(dòng)能26運(yùn)動(dòng)方程及其解我們主要考慮摩擦力與速度成正比的情形。當(dāng)速度不大時(shí)，粘滯阻力就屬這種情形。在考慮了粘滯阻力后，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)槠渲衕稱為阻尼系數(shù)。令：ω0是阻力不存在時(shí)振子的固有角頻率，β稱為阻尼因數(shù)或衰減常數(shù)。于是運(yùn)動(dòng)方程為：這是常系數(shù)二階線性常微分方程。運(yùn)動(dòng)方程及其解我們主要考慮摩擦力與速度成正27運(yùn)動(dòng)方程及其解對(duì)于復(fù)雜問題，復(fù)數(shù)法能顯示其優(yōu)越性。該方程的解法是，視x為復(fù)數(shù)，用試探解代入，其中r為待定常數(shù)。可解得：于是方程的解可寫成如下形式：其中A1,A2為待定常數(shù)，由初始條件決定。運(yùn)動(dòng)方程及其解對(duì)于復(fù)雜問題，復(fù)數(shù)法能顯示其優(yōu)越性。該方程的28

欠阻尼振動(dòng),1.振動(dòng)解

令將特解代入通解，得取上式的實(shí)部得：此時(shí)振子的運(yùn)動(dòng)嚴(yán)格講己不再是周期運(yùn)動(dòng)，但仍可看作振幅逐漸衰減的周期運(yùn)動(dòng)，其振幅和周期為欠阻尼振動(dòng),1.振動(dòng)解令將特解代入通解，得取29

欠阻尼振動(dòng)，2.阻尼振子的能量動(dòng)能：勢(shì)能：機(jī)械能：

欠阻尼振動(dòng)，2.阻尼振子的能量動(dòng)能：勢(shì)能：機(jī)械30欠阻尼振動(dòng)，2.阻尼振子的能量可見機(jī)械能并不守恒。當(dāng)時(shí)，有于是對(duì)時(shí)間微商，得：和(9.2.11)式比較知：這是摩擦力的功率，即損失的能量用于克服摩擦力作功。欠阻尼振動(dòng)，2.阻尼振子的能量可見機(jī)械能并不守恒。當(dāng)31

欠阻尼振動(dòng)，3.品質(zhì)因數(shù)衰減常數(shù)的大小反映了阻尼的大小。我們也可用一周中振子損失的能量在總能量中所占的比例來描寫阻尼的大小。通常將t時(shí)刻時(shí)振子的能量E與經(jīng)一周后損失的能量⊿E之比的2π倍稱為振子的品質(zhì)因數(shù)，并用Q表之：小阻尼情況下，根據(jù)上面的能量表示式(9.2.15)，可得欠阻尼振動(dòng)，3.品質(zhì)因數(shù)衰減常32

欠阻尼振動(dòng)，3.品質(zhì)因數(shù)因所以可見，Q僅由振動(dòng)系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。奧迪轎車前后箱減振器欠阻尼振動(dòng)，3.品質(zhì)因數(shù)因所以可見，Q僅由振33

臨界阻尼與過阻尼過阻尼情況為此時(shí)r1,r2皆為實(shí)數(shù)由解的表達(dá)式(9.2.5)知：其中A1,A2可由初條件決定，此時(shí)已沒有振動(dòng)現(xiàn)象（非三角函數(shù)）。臨界阻尼與過阻尼過阻尼情況為此時(shí)r1,r2皆為實(shí)34

臨界阻尼與過阻尼臨界阻尼情況為此時(shí)我們只得到了阻尼方程(9.2.3)的一個(gè)特解，為了求另一個(gè)特解，可令代入阻尼方程，得阻尼方程的通解為：其中A1,A2可由初條件決定，此時(shí)也沒有振動(dòng)現(xiàn)象。臨界阻尼狀態(tài)之所以重要，是因?yàn)樗鶎?duì)應(yīng)的回復(fù)時(shí)間，即由靜止開始從偏離平衡位置的某處回復(fù)到平衡位置（在一定觀察精度內(nèi)）所需的時(shí)間，比欠阻尼和過阻尼狀態(tài)都要短。臨界阻尼與過阻尼臨界阻尼情況為此時(shí)我35

臨界阻尼與過阻尼阻尼的作用：欠阻尼：振動(dòng)存在，但周期變長(zhǎng)，振幅隨時(shí)間減小，最終振動(dòng)停止；臨界阻尼：不可能振動(dòng)，但趨于平衡最快；過阻尼：不可能振動(dòng)，但趨于平衡變慢。理想汽車減震器：臨界阻尼臨界阻尼與過阻尼阻尼的作用：欠阻尼：振動(dòng)存在，但周期變36三、受迫振動(dòng)與共振只受彈性力或準(zhǔn)彈性力和粘滯阻力作用的振動(dòng)系統(tǒng)，其振幅總是隨時(shí)間衰減，振動(dòng)不能持久。如果要使振動(dòng)持久不衰，就必須由外界不斷供給能量。振動(dòng)系統(tǒng)在外界強(qiáng)迫力作用下的振動(dòng)，叫做受迫振動(dòng)。（例如電磁傅科擺）三、受迫振動(dòng)與共振只受彈性力或準(zhǔn)彈性力和粘37運(yùn)動(dòng)方程及其解1.受恒定外力作用

設(shè)外界的強(qiáng)迫力F0為常數(shù)，則阻尼振動(dòng)系統(tǒng)滿足的方程為：該方程有一特解：令代入(7.3.1)得：這就是阻尼運(yùn)動(dòng)的方程(9.2.1)，只是平衡位置改變了。即當(dāng)外界的強(qiáng)迫力F0為常數(shù)時(shí)，不產(chǎn)生任何新的內(nèi)容，故我們以后不考慮恒定的外力作用。運(yùn)動(dòng)方程及其解1.受恒定外力作用設(shè)外38運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用任何非正弦型外力都可以看成正弦型外力的線性迭加。研究了振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)正弦型外力的響應(yīng)，也就原則上解決了振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)任何外力的響應(yīng)問題。下面我們僅考慮簡(jiǎn)諧強(qiáng)迫力彈簧振子的運(yùn)動(dòng)方程為：令上式變?yōu)椋哼\(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用任何39運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用下面求其特解。為此，將方程寫成復(fù)數(shù)形式：其中令代入得：于是：運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用下面求其特解。為此，40運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用方程(9.3.5)的特解應(yīng)為(9.3.9)式的實(shí)部，即其中運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用方程(9.3.5)的41運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用(9.3.10)式是方程(9.3.5)的特解，該方程的通解等于該方程的一個(gè)特解加上對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。而在小阻尼的情況下，(9.2.8)式即為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解。于是方程(9.3.5)的通解為：其中為待定常數(shù)，由初始條件決定，的表達(dá)式見(9.2.6)。運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用(42運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用對(duì)(9.3.13)式討論如下：其中第一項(xiàng)即阻尼振動(dòng)，它隨著時(shí)間衰減，故稱暫態(tài)解，第二項(xiàng)不隨時(shí)間衰減，稱為穩(wěn)態(tài)解。開始時(shí)，振子的運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，為暫態(tài)解和穩(wěn)態(tài)解的疊加，經(jīng)過一段時(shí)間以后，暫態(tài)解衰減掉了，只留下穩(wěn)態(tài)解。穩(wěn)態(tài)解的特點(diǎn)是它的頻率與強(qiáng)迫力頻率相同，它的振幅及初位相與初始條件無關(guān)，完全由強(qiáng)迫力和系統(tǒng)的固有參量決定，而暫態(tài)解的頻率由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅及初位相則由初始條件決定。運(yùn)動(dòng)方程及其解2.受周期外力作用對(duì)(9.3.13)式43穩(wěn)態(tài)解分析下面分析受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解，受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：穩(wěn)態(tài)解：其中注意到：故運(yùn)動(dòng)方程中各項(xiàng)可用旋轉(zhuǎn)矢量表示如圖所示，則各量之間的相位關(guān)系一目了然。穩(wěn)態(tài)解分析下面分析受迫振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解，受迫振44穩(wěn)態(tài)解分析我們只討論的欠阻尼情況。(頻率甚低)

此時(shí)對(duì)應(yīng)的矢量旋轉(zhuǎn)圖見圖所示。我們可得如下結(jié)論：(1)頻率甚低時(shí)，物體加速度和速度均很小，故物體的慣性與阻力都可以忽略，彈力幾乎時(shí)時(shí)與外力相平衡。(2)振幅矢量稍落后于矢量外力，振動(dòng)與外力同位相。穩(wěn)態(tài)解分析我們只討論的欠阻尼情45穩(wěn)態(tài)解分析(頻率甚高)

對(duì)應(yīng)的矢量旋轉(zhuǎn)圖見圖所示。我們可得如下結(jié)論：因頻率甚高，物體的慣性很重要。速度并不大，位移更小，阻力和彈力均可忽略，物體幾乎只在外力作用下振動(dòng)，而且振幅很小。此時(shí)(2)振幅矢量落后于矢量外力f0，相位約為π。穩(wěn)態(tài)解分析(頻率甚高)對(duì)應(yīng)的矢量旋轉(zhuǎn)圖見圖所示。我們可得46通過交流電的燈泡通過交流電的燈泡47共振現(xiàn)在讓我們來仔細(xì)討論一下，受迫振動(dòng)所給出的振幅和相位隨頻率變化的情況。上式中無論選ω或ω0作變量，位移和速度的振幅都有一個(gè)極大值。阻尼越小峰值越尖銳。這種現(xiàn)象叫做共振。共振現(xiàn)在讓我們來仔細(xì)討論一下，受迫振動(dòng)所48共振這里應(yīng)注意到，在力學(xué)里和電學(xué)里考察的著眼點(diǎn)還有所不同。在機(jī)械的振動(dòng)系統(tǒng)里，往往系統(tǒng)的固有頻率ω0是固定的，驅(qū)動(dòng)力的頻率ω可以調(diào)節(jié)；此外，機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)中的位移是比較容易觀察并產(chǎn)生直接效果的。然而，在振蕩電路里，固有頻率ω0是可調(diào)的，驅(qū)動(dòng)力是外來的訊號(hào)，其頻率ω（電臺(tái)信號(hào)）是給定的；此外，電路中重要的變量是電流，它相當(dāng)于這里的速度。所以，在力學(xué)里應(yīng)著重考察位移隨驅(qū)動(dòng)頻率ω的變化，而在電學(xué)里應(yīng)著重考察電流（速度）隨固有頻率ω0的變化。然而從功率的角度看，在任何情況里我們都應(yīng)著重考察速度。共振這里應(yīng)注意到，在力學(xué)里和電學(xué)里考察的49共振1.振幅共振

當(dāng)dB/dω=0時(shí)，B最大，由(9.3.18)式知，振幅B最大。此時(shí)稱為達(dá)到振幅共振。時(shí)，有共振時(shí)相移：共振1.振幅共振當(dāng)dB/dω=0時(shí)，B最大，50共振1.振幅共振

即位移落后于驅(qū)動(dòng)力π/2相位，而速度恰好與驅(qū)動(dòng)力同相位。功率=F0

v，故此時(shí)外力永遠(yuǎn)做正功，效果是振幅越來越大。共振1.振幅共振即位移落后于驅(qū)動(dòng)力π/2相位，而速51共振1.振幅共振

B-ω圖常稱頻率響應(yīng)曲線或稱共振曲線。當(dāng)Q>1時(shí)，所有的曲線都有一個(gè)峰，這就是共振峰。品質(zhì)因素Q越大，曲線的峰越明顯。共振峰位于略小于共振1.振幅共振B-ω圖常稱頻率響應(yīng)52共振2.能量共振既然外力供給振子的能量等于阻力消耗的能量（以維持振動(dòng)），則振子得到的功率：當(dāng)dP/dω=0時(shí)，P最大，此時(shí)稱為能量共振。由(9.3.19)可得，ω=ω0時(shí)能量共振。共振時(shí)強(qiáng)迫力的功率時(shí)刻與阻力的功率相抵，因而振子的機(jī)械能恒定不變。這時(shí)振子以固有頻率振動(dòng)，猶如一個(gè)不受阻力的自由振子，故動(dòng)能與勢(shì)能之和與時(shí)間無關(guān)。同時(shí)，共振時(shí)強(qiáng)迫力與速度同位相，因而時(shí)刻對(duì)體系作正功，這正是共振開始時(shí)振幅急劇增大的原因所在。但隨著振幅的增大，阻力的功率也不斷增大，最后與強(qiáng)迫力的功率相抵，遂使振子的振幅保持恒定。

共振2.能量共振既然外力供給振子的53共振2.能量共振與振幅共振不同的是，能量共振時(shí)ω和ω0嚴(yán)格相等，如圖所示。共振2.能量共振與振幅共振不同的是，能量共振時(shí)ω和ω54共振3.共振峰的銳度，Q的第二種意義通常用銳度來描寫共振曲線的尖銳程度，共振峰銳度定義為：稱為共振峰寬度。共振3.共振峰的銳度，Q的第二種意義55共振3.共振峰的銳度，Q的第二種意義當(dāng)β很小時(shí)，由從(9.3.18)式得故于是共振峰銳度恰等于品質(zhì)因數(shù)。這是Q值的第二種意義。共振3.共振峰的銳度，Q的第二種意義當(dāng)β很小時(shí)，由56共振4.系統(tǒng)放大倍數(shù)，Q的第三種意義由(9.3.14)式知，當(dāng)ω≈0時(shí)，振幅我們定義系統(tǒng)放大倍數(shù)其中Br為共振時(shí)的振幅，由(9.3.18)式知，代入(9.3.23)式得于是系統(tǒng)放大倍數(shù)恰等于品質(zhì)因數(shù)。這是Q值的第三種意義。共振4.系統(tǒng)放大倍數(shù)，Q的第三種意義由(9.3.157LC振蕩電路點(diǎn)絳唇[李清照]

蹴罷秋千，

起來慵整纖纖手。

露濃花瘦，

薄汗輕衣透。

LC振蕩電路點(diǎn)絳唇[李清照]

蹴罷秋千，

起來慵整58部隊(duì)過橋次聲波武器（頻率低于20Hz的聲波）部隊(duì)過橋次聲波武器59四、機(jī)械波如果在空間某處發(fā)生的擾動(dòng)，以一定的速度由近及遠(yuǎn)向四處傳播，則稱這種傳播著的擾動(dòng)為波。機(jī)械擾動(dòng)在彈性介質(zhì)內(nèi)的傳播形成機(jī)械波（彈性波）。四、機(jī)械波如果在空間某處發(fā)生的擾動(dòng)，以一定60

機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播由連續(xù)不斷的、無窮個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)，若其各部分有相互作用力而且可以有相互運(yùn)動(dòng)，稱為連續(xù)媒質(zhì)。若連續(xù)媒質(zhì)之間的相互作用力是彈性力，則稱為彈性媒質(zhì)。機(jī)械波特點(diǎn)：機(jī)械波是一種機(jī)械運(yùn)動(dòng)形式，必須具備兩個(gè)條件：振源和彈性媒質(zhì)；2.波是指媒質(zhì)整體所表現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；波的傳播是質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)的傳播過程，亦即振動(dòng)位相的傳播過程，而所有的質(zhì)點(diǎn)都仍在各自的平衡位置附近振動(dòng)。機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播由連續(xù)不斷的、無窮個(gè)61

機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播在彈性媒質(zhì)中，可以設(shè)想各質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)元）有一個(gè)平衡位置，它一離開平衡位置，即受到各附近質(zhì)點(diǎn)的指向平衡位置的合力。質(zhì)元間的相互作用（如彈性）使波得以傳播，質(zhì)元的慣性使波以有限的速度傳播。引起媒質(zhì)振動(dòng)的振動(dòng)物體稱為波源。

彈性媒質(zhì)形變分類：切變：物體受力后層間發(fā)生位移的現(xiàn)象稱為切變。切變物體企圖恢復(fù)原狀而產(chǎn)生的彈性力稱為切變彈性。張變：媒質(zhì)伸長(zhǎng)或壓縮這種變形稱為張變。張變物體企圖恢復(fù)原狀而產(chǎn)生的彈性力稱為張變彈性。機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播在彈性媒質(zhì)中，可以設(shè)想各質(zhì)點(diǎn)（質(zhì)元）62波的分類1.按傳播方式

如果波源振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直，就會(huì)形成周期性峰、谷的傳播。這樣的波稱為橫波。其具體形成過程如圖所示。波的分類1.按傳播方式如果波源振動(dòng)方向與波的傳播方向63波的分類1.按傳播方式

橫波傳播條件：媒質(zhì)具有切變彈性。

液體內(nèi)部、氣體不能產(chǎn)生切變彈性力，故液體內(nèi)部和氣體中不能傳播橫波。野鴨的水波實(shí)驗(yàn)波的分類1.按傳播方式橫波傳播條件：媒質(zhì)具有切變彈性64波的分類1.按傳播方式

如果波源振動(dòng)方向與波的傳播方向平行，就會(huì)形成周期性疏、密的傳播，這就是縱波。縱波的形成過程如圖所示。波的分類1.按傳播方式如果波源振動(dòng)方65聲波與聲納技術(shù)聲波與聲納技術(shù)66波的分類2.按空間形狀如果波在各向同性的均勻無限介質(zhì)中傳播，那么，從一個(gè)點(diǎn)波源發(fā)出的擾動(dòng)，經(jīng)過一定時(shí)間后，擾動(dòng)將到達(dá)一個(gè)球面上，如果擾動(dòng)是周期性的，介質(zhì)中各處也相繼發(fā)生同頻率的周期性擾動(dòng)。介質(zhì)中振動(dòng)位相相同的點(diǎn)的軌跡稱為波陣面，簡(jiǎn)稱波面。最前面的波陣面稱為波前。波陣面是球面的波稱為球面波，在離波源足夠遠(yuǎn)處，在觀察的不大范圍內(nèi)，球面可看成平面，這種波就稱為平面波，自波源出發(fā)且沿著波的傳播方向所畫的線叫波線，在各向同性介質(zhì)中，波線與波面互相垂直。波的分類2.按空間形狀如果波在各向67

波的分類2.按空間形狀波的分類2.按空間形狀68波的分類3.按波源振動(dòng)方式波源作周期振動(dòng)形成的波稱為周期波。波源作間歇振動(dòng)形成的波稱為脈沖波。波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)形成的波稱為簡(jiǎn)諧波。

波的疊加原理－獨(dú)立傳播特性波的分類3.按波源振動(dòng)方式波源作周期振動(dòng)形成的波稱69平面簡(jiǎn)諧波如果波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)也將相繼作同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這樣形成的波叫簡(jiǎn)諧波。如果波面為平面,則這樣的波稱為平面簡(jiǎn)諧波。由于平面簡(jiǎn)諧波的波面上每一點(diǎn)的振動(dòng)和傳播規(guī)律完全一樣，故平面簡(jiǎn)諧波可以用一維的方式來處理。如圖所示，設(shè)一簡(jiǎn)諧波沿正x方向傳播，已知在t時(shí)刻坐標(biāo)原點(diǎn)O處振動(dòng)位移的表式為平面簡(jiǎn)諧波如果波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，介質(zhì)中各質(zhì)70平面簡(jiǎn)諧波于是P點(diǎn)的位移為v稱為波的位相速度，也稱為波速，它表示單位時(shí)間某一振動(dòng)相位所傳播的距離。上式就是簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。由于波是向右傳播的，又稱為右行波。令λ稱為波長(zhǎng)，它表示振動(dòng)在一個(gè)周期中傳播的距離。平面簡(jiǎn)諧波于是P點(diǎn)的位移為v稱為波的位相速度，也稱71

平面簡(jiǎn)諧波由于令k稱為波數(shù)，它表示在2π米內(nèi)所包含的波長(zhǎng)數(shù)。于是簡(jiǎn)諧波方程又可以寫成：ω―時(shí)間周期性 k―空間周期性平面簡(jiǎn)諧波由于令k稱為波數(shù)，它表示在2π米內(nèi)所包72平面簡(jiǎn)諧波是和時(shí)間有關(guān)的量是和空間有關(guān)的量其對(duì)應(yīng)關(guān)系為：時(shí)間t：

圓頻率ω

周期

T空間x：

波數(shù)

k

波長(zhǎng)λ

而它們由波速相互聯(lián)系：若v與ω?zé)o關(guān)，則稱波是無色散的。平面簡(jiǎn)諧波是和時(shí)間有關(guān)的量是和空間有關(guān)的量其對(duì)應(yīng)關(guān)系為73平面簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的物理意義：波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程是一個(gè)二元函數(shù)，位移既是時(shí)間t的函數(shù)，又是位置x的函數(shù)。當(dāng)x一定，y僅為t的函數(shù)，例如x