立體幾何與空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

立體幾何與空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一、立體幾何知識(shí)點(diǎn)1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱的定義：有兩個(gè)面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形， 其余各面都是四邊形，且相鄰四邊形的公共邊都平行，由這些面圍成的幾何體叫棱柱。棱柱的性質(zhì)：側(cè)面都是平行四邊形；側(cè)棱都平行，側(cè)棱長(zhǎng)都相等。直棱柱：側(cè)棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱。棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體叫棱錐。棱柱的性質(zhì)：平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面的距離與高的比。棱臺(tái)的定義：用平行于底面的平面截棱錐，截面與底面的部分叫棱臺(tái)。棱臺(tái)的性質(zhì)：①上下底面平行且是相似的多邊形；②側(cè)面是梯形；③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)。圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn) ,其余三邊旋轉(zhuǎn)所圍成的幾何體叫圓柱。圓柱的性質(zhì)：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。圓錐的定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸圓,旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體叫錐。

圓錐的性質(zhì)：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。圓臺(tái)的定義：以直角梯形的垂直于底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸叫,旋轉(zhuǎn)一周所圍成的幾何體圓臺(tái)。圓臺(tái)的性質(zhì)：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)形。軸，(7)球體的定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)半圓面旋轉(zhuǎn)一周形圍成的幾何體叫球。軸，(7)球的性質(zhì)：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積之和。(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積之和。(2)特殊幾何體表面積公式(2)特殊幾何體表面積公式(C為底面周長(zhǎng)，h為高，h為斜高，I為母線)S直棱柱側(cè)面積=chSS直棱柱側(cè)面積=chS圓柱側(cè)=2兀訕S正棱錐側(cè)面積綣錐側(cè)面積二兀S正棱臺(tái)側(cè)面積-(Ci+1,C2)h肝臺(tái)側(cè)面積(rS正棱臺(tái)側(cè)面積-(Ci+1,C2)h肝臺(tái)側(cè)面積(r+R)兀】S=2 1)圓柱表對(duì)(「+(3)柱體、錐體、八Sh對(duì)(「+S圓錐表=兀丫(r+l)臺(tái)體的體積公式V圓柱二SIhVVShS圓臺(tái)表='r2中r】中Rl+R2)V圓錐二訂讓必3V臺(tái)J(S3+7SS+S)hV圓臺(tái)=/(S+屆+S)h=*r名V臺(tái)J(S3+7SS+S)h33(4)球體的表面積和體積公式： V球二—兀R3；S球面=4兀&33、平面及基本性質(zhì)公理1A€,B€,A€a,B€a二丨匸口公理2若P亡a,P亡P,則acp二a且P亡a

公理3不共線三點(diǎn)確定一個(gè)平面(推論1直線和直線外一點(diǎn),2兩相交直線,3兩平行直線)4、空間兩直線的位置關(guān)系共面直線：相交、平行(公理4)異面直線5、異面直線對(duì)定義的理解：不存在平面a,使得aua且bua判定：反證法(否定相交和平行即共面)判定定理：f5★(3)求異面直線所成的角：①平移法 即平移一條或兩條直線作出夾角，再解三角TOC\o"1-5"\h\zfrIab| 兀②向量法COST=|cosca,b:〉丨二」八(注意異面直線所成角的范圍 (0,—]|a||b| 2(4)證明異面直線垂直，①通常采用三垂線定理及逆定理或線面垂直關(guān)系來(lái)證明；②向量法a丄bua"b=O(5)求異面直線間的距離：大綱僅要求掌握已給出公垂線或易找出公垂線的有關(guān)問(wèn)題計(jì)算.6、直線與平面的位置關(guān)系1、 直線與平面的位置關(guān)系aua,a//a,aca=A2、 直線與平面平行的判定baI判定定理：b//a>=b//a(線線平行，則線面平行Fl?)auoj面面平行的性質(zhì):a面面平行的性質(zhì):aS3、直線與平面平行的性質(zhì)a//P(面面平行，則線面平行)a//a,aup]etcPa//a,aup]etcP=bJ=a//b線面平行，則線線平行P18)18★直線與平面垂直的判定4、直線與平面垂直的定義的逆用I丄m,丨丄判定定理：m,n匚a 丄a（線線垂直，則線面垂直F23）a//b'&丄& （F25練習(xí)第6題）a丄PP51)（4） 面面垂直的性質(zhì)定理：amp=I &丄P51)aua,a丄Ij面面平行是性質(zhì)：5、射影長(zhǎng)定理★6、三垂線定理及逆定 線垂影臺(tái)線垂斜理7兩個(gè)平面的位置關(guān)系：空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系相交和平行、8、兩個(gè)平面平行的判定（1）判定定理：a//：，b//" =a//P （線線平行，則面面平行a,b0,acb=F F）19（2）〔丄;=ot//P垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行I丄P（3）a//Y，P//Y二a//P平行于同一平面的兩個(gè)平面平行 （P練習(xí)第2題）219、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：a//P,a匚aB￥La〃b（面面平行，則線線（2）面面平行的性質(zhì)定理：平行F20）

(3)性質(zhì)2:a//P,l丄a=l丄P10、兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)⑴判定定理：a丄P⑴判定定理：a丄P,aua=aP(線面垂直，則面面垂直F50)(2)性質(zhì)定理：面面垂直的性質(zhì)定理:?=a丄P(面面垂直，則線面垂直面垂直P(pán)51)12、空間角：異面直線所成角(12、空間角：異面直線所成角(9.1)；斜線與平面所成的角■TT-(0,；(1)求作法(即射影轉(zhuǎn)化法)：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足(2)向量法：設(shè)平面(2)向量法：設(shè)平面a的法向量為n，則直線AB與平面a所成的角為 0,則兀(0,-)，P兀(0,-)，P26'例4P28第6題sin8斗cos<AB,n>= AB|n|兩個(gè)重要結(jié)論最小角定理P:cos日COS?COS824813、空間距離：求距離的一般方法和步驟找出或作出有關(guān)的距離;證明它符合定義;在平面圖形內(nèi)計(jì)算(通常是解三角形)求點(diǎn)到面的距離常用的兩種方法(1)等體積法一一構(gòu)造恰當(dāng)?shù)娜忮F;(2)向量法一一求平面的斜線段，在平面的法向量上的射影的長(zhǎng)度:直線到平面的距離，兩個(gè)平行平面的距離通常都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解異面直線的距離①定義：和兩異面直線都垂直相交且?jiàn)A在異面直線間的部分（公垂線段）n為垂直于兩異面直向量法i（A,Bn為垂直于兩異面直|n|線的向量） 注意理解應(yīng)用：A=m2+n2+d2±2mncos日、空間向量知識(shí)點(diǎn)b0E1、空間向量的加法和減法:b0E⑴求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法,它遵循三角形法則?即：在空間任取一點(diǎn)T呻Lt円彳呻0,作0血二a,OB=b，貝0E血二a-b?（2求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法:

在空間以同一點(diǎn)0為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形OACE,則以0起點(diǎn)的對(duì)角線冷就是a與b的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則.2、實(shí)數(shù)a與空間向量a的乘積洛是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算當(dāng)幾〉0時(shí)，幾a與a方向相同；當(dāng)幾V0時(shí)，入a與a方向相反；當(dāng)入=0時(shí)，/a為零向量，記為0?幾a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的幾倍.3、 如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線.4、 向量共線充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,:（1工0）,a//：的充要條件是存在實(shí)數(shù)幾，使a5、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向6、向量共面定理：空間一點(diǎn)p位于平面AEC內(nèi)的充要條件是存在有

序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使碑夕UE穴；或?qū)臻g任一定點(diǎn)0,有齊=飛；或若四點(diǎn)P,；V,E,C共面，貝y0Pxb卻+0zE（C力ylyz+-7、已知兩個(gè)非零向量a和b,在空間任取一點(diǎn)0，作0&二a,0E=b,_Ib的夾角，記作〈a,b〉?兩個(gè)向量夾角的取值范記作a丄b_I則旬知稱個(gè)非零向量&和匕，則A^cos《弘b》稱為a,b的數(shù)量積，記ab作是:b?即即嗚疋3cos《a,b》?零向量與任何向量的數(shù)量積為0?8o8o、對(duì)于兩個(gè)1a零長(zhǎng)度a與ab和在a向量sZ互》》垂直積?11、若a,11、若a,b為非零向量，e為單位向量，則有1)ea=ae=iacos〈a,e》； (2丄匕=iaba(a與bI)呻呻?423)ab= 4-I，aaTa-jaljb'(6與向)反向)5)ab蘭b?耳4a12、空間向量基本定理12、空間向量基本定理：若三個(gè)向量a,b,c不共面，則對(duì)空間任一向量p,存在實(shí)數(shù)組｛x,y,z｝，使4 4筲P=xa+yb+ZC得13、 空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底?斗T■14、 設(shè)e,e,e3為有公共起點(diǎn)o的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?，?，:,03們?yōu)閱挝徽换祝?，?，:,03的公共起點(diǎn)0為原點(diǎn)分別以e1.e2的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz?則(6)TT彳(6)TT彳Ta/二A/b呻a(8)cos《a,b4bH0g?(曰)ia二ja,、a首衣；+bJx2+%2+才Jx；+y；+z；對(duì)于空間任意一個(gè)向量P，—定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)0重合，得到向量hp$?存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝，使得P=X'le+1:Z把X,y…稱作向量P在單位正交基底el,；，:下的坐標(biāo)，記作P=(x,y,z)此時(shí)，向量P的坐標(biāo)是點(diǎn)P在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)(X,y,z).15、設(shè)a=(Xi,yi,Zi),b=(X2,y2,Z2)，則(1)a+b=(Xi+X2,yi+丫2,乙+Z2)?(2)a—b=(人—x?,%—丫2,乙一Z2)?ha=(幾N,kyi,)b為非零向量,b為非零向量,(4)ab=XiX2+yiy2+NZ212=a丄buab=0u飛「y?,y+zZ=012=21(9)A(Xi,yi,Zi),B=(X2,y2,Z2),則 =AEi|=dx2X1)恥y-》丸1-216、空間中平面a的位置可以由a內(nèi)的兩條相交直線來(lái)確定?設(shè)這兩條相交直線相交于點(diǎn)0,它們的方向向量分別為a,b?P為平面a上任意一點(diǎn)，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y使得0p=xa中yb，這樣點(diǎn)0與向量2,b就確定了平面僅的位置?17、直線I垂直《，取直線I的方向向量a，則向量a稱為平面a的法18、若空間不重合兩條直線 a，b的方向向量分別為a，b，則a〃b=1//U

19.ua丄nuan=019.ua丄nuan=0aua//na=Zn.20、若空間不重合的兩個(gè)平面a，p的法向量分別為a，b，則a//P二a//b=4 ? 4Za=Zb,a』P二a丄b=ab=0?I21、設(shè)異面直線a,b的夾角為e，方向向量為a，b，其夾角為W，貝J有COS0=|cos?|?22、設(shè)直線I的方向向量為1，平面a的法向量為n,I與a所成的角為日，:與為日，:與n的夾角為護(hù)，則有sinTcos■?申=4n23、設(shè)％,n2是二面角a-1-P