高中數(shù)學(xué)雙曲線經(jīng)典例題

..高中數(shù)學(xué)雙曲線經(jīng)典例題一、雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程1．兩圓C1：〔x+4〕2+y2=2，C2：〔x﹣4〕2+y2=2，動(dòng)圓M與兩圓C1，C2都相切，那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是〔〕A．x=0 B．C． D．2、求適合以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：〔1〕焦點(diǎn)在x軸上，虛軸長(zhǎng)為12，離心率為；〔2〕頂點(diǎn)間的距離為6，漸近線方程為．3、與雙曲線有一樣的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是4、求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔，﹣2〕和B〔﹣2，〕兩點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．5、P是雙曲線=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)|PF1|=17，那么|PF2|的值為．二、離心率1、點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為該雙曲線上一點(diǎn)，假設(shè)△PF1F2為等腰直角三角形，那么該雙曲線的離心率為．2、設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：〔a＞0，b＞0〕的兩個(gè)焦點(diǎn)．假設(shè)在C上存在一點(diǎn)P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，那么C的離心率為．3、雙曲線的焦距為2c，直線l過(guò)點(diǎn)〔a，0〕和〔0，b〕，且點(diǎn)〔1，0〕到直線l的距離與點(diǎn)〔﹣1，0〕到直線l的距離之和．那么雙曲線的離心率e的取值圍是〔〕A． B． C． D．3、焦點(diǎn)三角形1、設(shè)P是雙曲線x2﹣=1的右支上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，A〔3，1〕，那么|PA|+|PF|的最小值為．2、．F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2﹣5y2=75的左右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面積．3、雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點(diǎn)，焦距為10，焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍．求：〔1〕雙曲線的漸近線方程；〔2〕假設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，且滿足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面積．4、直線與雙曲線的位置關(guān)系過(guò)點(diǎn)P〔1，1〕的直線L與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么直線L的斜率k=＿＿＿＿5、綜合題型如圖，橢圓(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(eq\r(2)＋1)，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？假設(shè)存在，求λ的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．高中數(shù)學(xué)雙曲線經(jīng)典例題參考答案與試題解析一．選擇題〔共2小題〕1．〔2015秋?校級(jí)期末〕兩圓C1：〔x+4〕2+y2=2，C2：〔x﹣4〕2+y2=2，動(dòng)圓M與兩圓C1，C2都相切，那么動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是〔〕A．x=0 B．C． D．【解答】解：由題意，①假設(shè)兩定圓與動(dòng)圓相外切或都切，即兩圓C1：〔x+4〕2+y2=2，C2：〔x﹣4〕2+y2=2，動(dòng)圓M與兩圓C1，C2都相切，∴|MC1|=|MC2|，即M點(diǎn)在線段C1，C2的垂直平分線上又C1，C2的坐標(biāo)分別為〔﹣4，0〕與〔4，0〕∴其垂直平分線為y軸，∴動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是x=0②假設(shè)一切一外切，不妨令與圓C1：〔x+4〕2+y2=2切，與圓C2：〔x﹣4〕2+y2=2外切，那么有M到〔4，0〕的距離減到〔﹣4，0〕的距離的差是2，由雙曲線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以〔﹣4，0〕與〔4，0〕為焦點(diǎn)，以為實(shí)半軸長(zhǎng)的雙曲線，故可得b2=c2﹣a2=14，故此雙曲線的方程為綜①②知，動(dòng)圓M的軌跡方程為應(yīng)選D．2．〔2014?三?！畴p曲線的焦距為2c，直線l過(guò)點(diǎn)〔a，0〕和〔0，b〕，且點(diǎn)〔1，0〕到直線l的距離與點(diǎn)〔﹣1，0〕到直線l的距離之和．那么雙曲線的離心率e的取值圍是〔〕A． B． C． D．【解答】解：直線l的方程為+=1，即bx+ay﹣ab=0．由點(diǎn)到直線的距離公式，且a＞1，得到點(diǎn)〔1，0〕到直線l的距離，同理得到點(diǎn)〔﹣1，0〕到直線l的距離.，．由，得．．于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得≤e2≤5．由于e＞1＞0，所以e的取值圍是．應(yīng)選D．二．填空題〔共5小題〕3．〔2013秋?城區(qū)校級(jí)期末〕P是雙曲線=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)|PF1|=17，那么|PF2|的值為33．【解答】解：由雙曲線方程知，a=8，b=6，那么c==10．∵P是雙曲線上一點(diǎn)，∴||PF1|﹣|PF2||=2a=16，又|PF1|=17，∴|PF2|=1或|PF2|=33．又|PF2|≥c﹣a=2，∴|PF2|=33．故答案為334．〔2008秋?海淀區(qū)期末〕點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為該雙曲線上一點(diǎn)，假設(shè)△PF1F2為等腰直角三角形，那么該雙曲線的離心率為．【解答】解：由題意，角F1或角F2為直角，不妨令角F2為直角，雙曲線方程﹣=1此時(shí)P〔c，y〕，代入雙曲線方程﹣=1解得y=又三角形PF1F2為等腰三角形得PF2=F1F2，故得=2c，即2ac=c2﹣a2，即e2﹣2e﹣1=0，解得e=1故雙曲線的離心率是故答案為．5．〔2014秋?象山縣校級(jí)月考〕設(shè)P是雙曲線x2﹣=1的右支上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，A〔3，1〕，那么|PA|+|PF|的最小值為﹣2．【解答】解：設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為F2，由雙曲線的定義可得|PF2|﹣|PF|=2a，即|PF|=|PF2|﹣2a，那么|PA|+|PF|=|PF2|+|PA|﹣2a≥|F2A|﹣2a，當(dāng)P、F2、A三點(diǎn)共線時(shí)，|PF2|+|PA|有最小值，此時(shí)F2〔﹣2，0〕、A〔3，1〕，那么|PF2|+|PA|=|AF2|=，而對(duì)于這個(gè)雙曲線，2a=2，所以最小值為﹣2．故答案為：﹣2．6．〔2011秋?家港市校級(jí)期末〕與雙曲線有一樣的焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．【解答】解：設(shè)所求雙曲線的方程為，∵雙曲線的焦點(diǎn)為〔±，0〕∴所求雙曲線中的c2=5①∵雙曲線過(guò)點(diǎn)∴②且c2=a2+b2③聯(lián)立①②③解得a2=4，b2=1，∴雙曲線的方程為．故答案為：．7．〔2013?〕設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：〔a＞0，b＞0〕的兩個(gè)焦點(diǎn)．假設(shè)在C上存在一點(diǎn)P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，那么C的離心率為．【解答】解：依題意可知∠F1PF2=90°|F1F2|=2c，∴|PF1|=|F1F2|=c，|PF2|=|F1F2|=c，由雙曲線定義可知|PF1|﹣|PF2|=2a=〔﹣1〕c∴e==．故答案為：．三．解答題〔共4小題〕8．F1，F(xiàn)2分別是雙曲線3x2﹣5y2=75的左右焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面積．【解答】解：由題意，雙曲線3x2﹣5y2=75，可化為=1由余弦定理可得160=PF12+PF22﹣2PF1?PF2cos120°=〔PF1﹣PF2〕2+3PF1?PF2=100+3PF1?PF2，∴PF1?PF2=20．S△F1PF2=PF1?PF2sin120°=×20×=5．故答案為：A．9．〔2014春?湄潭縣校級(jí)期中〕雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點(diǎn)，焦距為10，焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍．求：〔1〕雙曲線的漸近線方程；〔2〕假設(shè)P為雙曲線上一點(diǎn)，且滿足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面積．【解答】解：〔1〕設(shè)雙曲線方程為〔a＞0，b＞0〕，那么∵焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，∴c=2a，∴b==a，∴雙曲線的漸近線方程為y=±x；〔2〕由余弦定理可得4c2=PF12+PF22﹣2PF1?PF2cos60°=〔PF1﹣PF2〕2+PF1?PF2=4a2+PF1?PF2，∵焦距為10，∴2c=10，2a=5∴PF1?PF2=75．∴S△F1PF2=PF1?PF2sin60°=?75?=．10．〔2008秋?校級(jí)期末〕求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔，﹣2〕和B〔﹣2，〕兩點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：設(shè)所求雙曲線方程為：mx2﹣ny2=1，〔mn＞0〕，因?yàn)辄c(diǎn)A〔，﹣2〕和B〔﹣2，〕在雙曲線上，所以可得：，解得，故所求雙曲線方程為．11．〔2009秋?天心區(qū)校級(jí)期末〕求適合以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：〔1〕焦點(diǎn)在x軸上，虛軸長(zhǎng)為12，離心