立體幾何專(zhuān)題：外接球問(wèn)題

外接球的有關(guān)問(wèn)題解決問(wèn)題的方法先看是否能夠還原成長(zhǎng)方體或正方體，長(zhǎng)方體或正方體的體對(duì)角線的中點(diǎn)為球心，是否還原三棱柱，三棱柱上卞面三角形外接圓的圓心連線中點(diǎn)為球心；否則利用球的截面性質(zhì)解決。尋找兩個(gè)有公共斜邊的直角三角形，若這兩個(gè)直角三角形不在同一個(gè)平面，則斜邊一定就是直徑；尋找該幾何體的高時(shí)不要忘了，球心和截面圓的圓心連線一定和截面圓垂直?？梢缘玫酱_定簡(jiǎn)單多面體外接球的球心的如下結(jié)論.結(jié)論1:正方體或長(zhǎng)方體的外接球的球心其體對(duì)角線的中點(diǎn).結(jié)論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點(diǎn).結(jié)論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點(diǎn).結(jié)論4：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過(guò)計(jì)算找到.結(jié)論5：若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心.題型一球的截面性質(zhì)應(yīng)用截面的性質(zhì)：①球心和截面圓的圓心連線和截面圓垂直；②球心到截面圓的距離為d,截面圓的半徑為廣，球的半徑為則d2+r=R\③球心一定在過(guò)截面圓的圓心的垂線上，具體位置可通過(guò)計(jì)算找到。例1.在半徑為10的球面上有A,B,C三點(diǎn)，如果=8^3,ZACB=60°,則球O到平面ABC的距離為（ ）2 B?4C.6 D.8【答案】C針對(duì)性練習(xí)球o的截面把垂直于截面的直徑分為i：3兩部分，若截面圓半徑為JT,則球o的體積為“ 16 32 人kA.16-r B.—7t C.——D.4>/3龍3 3【答案】c[2012高考真題新課標(biāo)文8】平面6Z截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面a的距離為血,則此球的體積為A.應(yīng)兀 B.4羽兀 C.4嬌兀 D.6羽7V【答案】B【2011高考真題新課標(biāo)文，16】已知兩個(gè)圓錐有公共的底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓都在同一個(gè)球面上，若圓錐底面面枳是這個(gè)球的面積的2,則這兩個(gè)圓錐中，體積較小16者的高與體積較大者的高的比值為 ?！敬鸢浮?:3【2011高考真題新課標(biāo)理，15】已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，

且AB=6, = .則棱錐O—A3CD的體枳為 【答案】：8^3提示：利用球的截面性質(zhì)題型二構(gòu)造正方體或長(zhǎng)方體確定球心結(jié)論：長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心是在其體對(duì)角線的中點(diǎn)處，即體對(duì)角線是其外接球的直徑，以下是常見(jiàn)的、基本的幾何體補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體的途徑與方法.途徑1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐（或者說(shuō)同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體）、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體.途徑2：相對(duì)的棱相等的三棱錐，可構(gòu)造長(zhǎng)方體（構(gòu)造方法：面對(duì)角線為三棱錐的棱）.途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體.途徑4：若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體.例1.長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為3,4,5,且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積為A.25兀 B.50”C.125兀D.都不對(duì)【答案】點(diǎn)評(píng)：長(zhǎng)方體或正方體的外接球的直徑是體對(duì)角線長(zhǎng)。例2.己知三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA=2.SB=SC=4.則該三棱錐的外接球的半徑為（）A.3 ?B?6C?36D?9【答案】A構(gòu)造長(zhǎng)方體例3.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖和左視圖是腰長(zhǎng)為1的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面枳為（）A.12龍D.12A.12龍【答案】C提示：構(gòu)造正方體針對(duì)性練習(xí)（2010新課標(biāo)高考真題文，7】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2。衛(wèi)衛(wèi)，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面枳為（ ）A.3兀（F B.67ra2 C?12龍a' D?24加'

【答案】B—個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A. B. C.3羽冗 D.6tt【答案】A【2014陜西高考真題理，5］已知底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為J亍則正四棱柱的各頂點(diǎn)均在TOC\o"1-5"\h\z同一個(gè)球面上，則該球的體枳為 （）.32兀 c. 小c 小4龍A. B.4tt CX D.——3 3【答案】D若一個(gè)正四棱柱的主視圖是邊長(zhǎng)分別為1和2的矩形，則其外接球的表面積等于（ ）A.6tt B.9/rC.6tt或9龍 D.24;r或36兀【答案】C正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為?，點(diǎn)S、4、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為 .【答案】—36?如果三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，它們的面積分別為6腫、4腫和3肺，那么它的外接球的體積是 .■—■29履兀［答案］———6在三棱錐A-BCD中，43丄平面BCD.CD丄BC,AB=3,BC=4,CD=5,則三棱錐A-BCD外接球的表面積 .【答案】50兀在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2、AD=BC=3,AC=BD=4,則三棱錐A-BCD外接球的體積 .【答案】10.若正方體外接球的體枳是空10.若正方體外接球的體枳是空,則正方體的棱長(zhǎng)等于 【答案】題型三：三棱柱或能構(gòu)造三棱柱的外接球問(wèn)題（模型二）該三棱柱只能是直三棱柱，上卞面三角形的外心的連線的中點(diǎn)為球心，三棱柱實(shí)質(zhì)為長(zhǎng)方體的一部分，所以構(gòu)造三棱柱的途徑和構(gòu)造長(zhǎng)方體的相同。以下是常見(jiàn)的、基本的幾何體補(bǔ)成三棱柱的途徑與方法.途徑1：若已知三棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成三棱柱.途徑2：若四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，則可將棱錐補(bǔ)成三棱柱.例1.直三棱柱ABC-A^C,的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AAl=2,Z^AC=120°,則此球的表面積為 ?！敬鸢浮?0龍

點(diǎn)評(píng)：球心一定在直三棱柱的中截面上。例2.【2010遼寧高考真題文】已知是球O表面上的點(diǎn)，必丄平面ABC,43丄BC,SA=AB=l,BC=忑,則球O的表面枳等于A.47T B?3龍 C.27T D??！敬鸢浮緼【解析】選A.法1：構(gòu)造三棱柱；法2：由已知，球O的直徑為2R=SC=2,表面枳為4兀R’=4兀針對(duì)性練習(xí)【2010新課標(biāo)高考真題理，10］設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為d,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）7 .-7rcr37 .-7rcr311.—7tcr3【答案】BTOC\o"1-5"\h\z已知三棱柱ABC_AQG的底面是邊長(zhǎng)為A的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，且該三棱柱的外接球的表面積為12龍，則該三棱柱的體積為 （ ）A.2羽B(yǎng).3羽 C.4* D.5若【答案】B三棱錐S-ABC中，SA丄面A^C,SA=2.AABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則其外接球的表面積為 ?■16龍【答案】——4?若三棱錐P-ABC的最長(zhǎng)的棱PA二2,且各面均為直角三角形，則此三棱錐的外接球的體積是 ?4龍【答案】——3若三棱錐S-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，S4丄平面ABC.SA=2^3.AB=1,AC=2,ZBAC=609則球O的表面積為 【答案】16兀題型四尋找球心的其它方法：由性質(zhì)確定球心利用球心o與截面圓圓心q的連線垂直于截面圓及球心o與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦

的性質(zhì)，確定球心.法1:球心到球面上各點(diǎn)的距離都相等，所以可以尋找一下是否有公共斜邊的直角三角形法2：球心一定在過(guò)外接圓的圓心和外接圓所在的平面垂直的直線上例1.三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，棱長(zhǎng)PA=PB=PC=2*,AB=AC=BC=3,則球的半徑為 ?！敬鸢浮?點(diǎn)評(píng)：利用球的截面性質(zhì)例2.點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)球的球面上，AB二BC二2,AC二2丁1,若四面體ABCD體積的最犬值4為一，則該球的表面積為3【答案】9兀例3?如圖，三棱錐P—ABC內(nèi)接于球O,PA丄平面ABC,AABC的外接圓為球0的小圓OiQWAC?ZBAC=號(hào)，AB二1,PA=2?則外接球的表面枳為 【答案】8兀法1：尋找球心方法1因?yàn)镻A丄平面ABC,球心0—定在過(guò)0】垂直平面ABC的垂線上，球心為PC的中點(diǎn)法2：尋找球心方法2尋找有公共斜邊且不在同一平面的直角三角形,則斜邊為球的直徑.法3：構(gòu)造三棱柱或長(zhǎng)方體點(diǎn)評(píng)：不能夠確定球心時(shí)可以尋找有公共邊的直角三角形，且這兩個(gè)直角三角形不在同一平面上，則斜邊的中點(diǎn)就是球心。針對(duì)性練習(xí)A.—B.16兀C.9兀4【答案】A.—B.16兀C.9兀4【答案】A3.【2011高考真題遼寧文,>/3A.—3B.一托C.3兀 D.12兀22【答案】C2.［2014安徽高考真題,8］正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊SA=AB=BC=l,則球0的表面積為長(zhǎng)為2,則該球的表面枳為（ ）D.匹10］己知球的直徑SC二4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),AB=2,ZASC=乙BSC=45°