立體幾何和平面解析幾何知識點

必修2數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識第1章 立體幾何初步§1.1.1 棱柱、棱錐和棱臺底面§1.1.2圓柱、圓錐、圓臺和球§1.1.3中心投影和平行投影三視圖：主視圖（從前向后）；左視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）主視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；長對正俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；高平齊左視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度；寬相等§1.1.4直觀圖畫法斜二測畫法：①原來與x軸平行的線段仍然與x軸平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y軸平行且長度為原來的一半.§1.2.1平面的基本性質(zhì)1?點與平面的關(guān)系：點A在平面a內(nèi)，記作Aea；點a不在平面a內(nèi)，記作A7點與直線的關(guān)系：點A在直線l上，記作：AU1；點A在直線l外，記作A電1；直線與平面的關(guān)系：直線1在平面a內(nèi)，記作1ua；直線1不在平面a內(nèi)，記作1wa公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）用符號語言表示公理1：Ae1,Be1,Aea,Bean1ua公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：①經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.公理2及其推論作用：①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)；②它是證明平面重合的依據(jù)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線若平面a和平面0相交，交線是1，記作aC卩二1.用符號語言表示公理3：Pua,Pu0且ac卩=1nPU1.公理3的作用：①它是判定兩個平面相交的方法；②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關(guān)系,即交線必過公共點③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據(jù).§1.2.2空間兩條直線的位置關(guān)系平行關(guān)系公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行定理如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這個兩角相等異面直線異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.它們既不平行，又不相交.異面直線所成的角:直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O分別引直線a，〃a,b〃b,則把直線af和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角.兩條異面直線所成角的取值范圍是（0°，90°].若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直.§1.2.3直線與平面的位置關(guān)系三種位置關(guān)系直線在平面內(nèi)――有無數(shù)個公共點．直線不在平面內(nèi)（即直線在平面外）：①相交一一只有一個公共點；②平行――沒有公共點；二種位置關(guān)系的符號表示：aua； a A；a〃a.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行.線線平行=線面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.線面平行=線線平行直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面.線線垂直=線面垂直性質(zhì)定理：①如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內(nèi)的所有直線.線面垂直=線線垂直②如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行.直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.直線和平面所成角的取值范圍是[0°，90°].§1.2.4平面與平面的位置關(guān)系兩平面平行的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行?（線面平行=面面平行）；如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行（線線平行=面面平行）；垂直于同一條直線的兩個平面平行；性質(zhì)定理：①如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行；（面面平行=線面平行）②如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行；（面面平行=線線平行）兩平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.（線面垂直=面面垂直）

性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面.（面面垂直n線面垂直）二面角和二面角的平面角①二面角的定義：從一條直線l出發(fā)的兩個半平面a,卩所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.記作a_l-卩.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角.二面角的取值范圍［0°,180°］， 平面角是直角的二面角叫直二面角.§1.3.1 空間幾何體的表面積空間幾何體的表面積公式（c為底面周長，h為咼，h為斜咼，l為母線）S =chS二2S =chS二2兀rhS =丄ch' S =兀rl直棱柱側(cè)面積 圓柱側(cè) 正棱錐側(cè)面積2 圓錐側(cè)面積S =-（c+c）h' S圓厶側(cè)面積（r+R加l S圓柱表=2兀rC+l）正棱臺側(cè)面積2 1 2 圓臺側(cè)面積 圓柱表S=nrC+1）S=nV2+rl+Rl+R2）圓錐表 圓厶表§1.3.2空間幾何體的體積柱體、錐體、V=Sh柱1V仕=一Sh錐31.2.厶體的體積公式V=Sh=n2rh圓柱V=1nr2hV=-(S'+PS'S+S)h圓錐3 臺3l厶=3(S'+VSS+S)h=-n(r2+rR+R2)h球體的表面積和體積公式V+=4nr3；s十=4nR2球3 球面上購ir土t 1I/ 1\上矚殊小上臨護(hù)大/ ■ Il上憐縮小3.若多面體的表面積為S,內(nèi)切球的半徑為R,則該多面體的體積V二3SR3.第2章平面解析幾何初步§2.1.1 直線的斜率直線的傾斜角 x軸正方向與直線向上方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0°.因此，直線傾斜角的取值范圍是［0°,180°）.直線的斜率定義：傾斜角a不是90°的直線，a的正切叫做這條直線的斜率.直線的斜率通常用k表示.即k=tana.當(dāng)a=0。時，k=o；當(dāng)au（o。,90。）時，k>0；當(dāng)au（90。，180。）時，kvo；當(dāng)a=90°時，k不存在.y—y經(jīng)過兩點P］（X］,y1）,P2（x2,y2）的直線的斜率公式：k=2—丿1（X1豐x2）x—x1221§2.1.2直線的方程1.點斜式：y—y1=k（x—X］）直線斜率為k,且過點（X］,y1）.注意：當(dāng)直線的傾斜角為0°時，直線的斜率k=0,直線的方程是y=y1；當(dāng)直線的傾斜角為90°時，直線的斜率不存在，直線的方程是x=xj斜截式：y二kx+b，直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b(bUR)兩點式： 廠= 「(x豐x,y豐y)直線經(jīng)過兩點P〔(xy.),P2(xy2)y—yx—x 1212 1112222121截矩式：-+-=1直線l過點(a,0)和點(0,b),即l在x軸、y軸上的截距分別為a,b.ab(aM0且bM0)注意：直線l在坐標(biāo)軸上的截距相等時，斜率為一1或經(jīng)過原點；直線l在坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)時，斜率為1或經(jīng)過原點；一般式：Ax+By+C=0(A,B不全為0)注意：①平行于x軸的直線：y=b(b為常數(shù))，直線的斜率為0；平行于y軸的直線：x=a(a為常數(shù))，直線的斜率不存在；直線在坐標(biāo)軸上的截距可以為一切實數(shù)§2.1.3兩條直線的平行與垂直設(shè)直線l,：y=kx+b，直線l2：y=kx+b.111222貝I」①l//1ok=k,b豐b； ②l丄lokk=一11212121212注意：利用斜率判斷直線的平行或垂直時，要注意斜率的存在與否.§2.1.4兩條直線的交點若直線l1：A1x+B1y+C1=0，與直線l2：A2x+B2y+C2=0相交則交點坐標(biāo)為方程組/A1x+B1y+C1=0的一組解?方程組無解ol//1；方程組有IAx+By+C=0 1 2222無數(shù)解ol1與l2重合過定點的直線系斜率為k且過定點(x0,y0)的直線系方程為y—y0=k(x—xQ)；過兩條直線人：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為(A1x+B1y+C1)+九(A2x+B2y+C2)=0(九為參數(shù))，其中直線l2不在直線系中.§2.1.5平面上兩點間的距離設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐標(biāo)系中的兩點，則IAB1=x?—x‘2+(y?—y,2x+xy+y若線段AB的中點為M(x0,y0), 則x0=122,歹0=122§2.1.6 點到直線的距離|Ax+By+C|1?點到直線距離公式：點P(x0,y0)到直線l：Ax+By+C=0的距離d= 0 000 JA2+B2|C—C|2.兩條平行直線l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0間的距離d= 1 2-1 1 2 2 v'A2+B2

§2.2.1 圓的方程1.標(biāo)準(zhǔn)方程 (x—a)2+(y—b)2=r2,圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為r；2.一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0DE當(dāng)D2+E2—4F>0時，方程表示圓，此時圓心坐標(biāo)為(—2,—2),半徑為1r= D2+E2—4F2當(dāng)D2+E2—4F二0時，表示一個點；當(dāng)D2+E2—4F<0時，方程不表示任何圖形.§2.2.2直線與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系有三種情況：相離，相切，相交；可由下列兩種方法判斷：①設(shè)直線1:Ax+By+C—0，圓C:(x一a)2+(y一b\-r2，圓心CC,b)到l的距離為|Aa+Bb+C|d—A2+B2則有d>rO1與C相離；d=rO1與C相切；dVrO1與C相交；②設(shè)直線1:Ax+By+C—0，圓C：(X—a)2+(y—b)2—r2，先將方程聯(lián)立消元,得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為△,則有AVO01與C相離；^=001與C相切；A〉。01與C相交；直線1被圓C截得的弦長公式：AB—2^72—d2過圓C：x2+y2=r2上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x+y0y=r2過圓C：x2+y2=r2外一點P(x°,y°)作圓C的兩條切線PA,PB(A,B為切點)切點弦AB所在直線的方程為x0x+y0y=r2§2.2.3圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓C:(x—a)2+(y—b)2—r2， 圓C:(x—a)2+(y—b)2—R2.111222兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(或差)，與圓心距(d=C1C2)之間的大小比較來確定.當(dāng)d>R+r時，兩圓相離； 當(dāng)d—R+r時，兩圓外切； 當(dāng)R—r<d<R+r時，兩圓相交；當(dāng)d—|R—r時，兩圓內(nèi)切； 當(dāng)d<|R—r|時，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)d=0時，為同心圓.§2.3.1空間直角坐標(biāo)系y如右圖，ABCD-A1B1C1D1是單位正方體.