2023-2024學(xué)年北師大版必修第一冊 第三章　§3　第1課時(shí)　指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì) 課件（35張）

激趣誘思當(dāng)有機(jī)體生存時(shí),會(huì)因呼吸、進(jìn)食等不斷地從外界攝入碳14,最終體內(nèi)碳14與碳12的比值會(huì)達(dá)到與環(huán)境一致(該比值基本不變),當(dāng)有機(jī)體死亡后,碳14的攝入停止,之后體中碳14因衰變會(huì)逐漸減少,通過測定碳14與碳12的比值就可以測定該生物的死亡年代.已知碳14的半衰期(消耗一半所花費(fèi)的時(shí)間)為5730年,你能用函數(shù)表示有機(jī)體內(nèi)的碳14與其死亡時(shí)間之間的關(guān)系嗎?知識(shí)點(diǎn)撥一、指數(shù)函數(shù)的概念當(dāng)給定正數(shù)a,且a≠1時(shí),對于任意的實(shí)數(shù)x,都有唯一確定的正數(shù)y=ax與之對應(yīng),稱y=ax為指數(shù)函數(shù).(1)定義域?yàn)镽,函數(shù)值大于0;(2)圖象過定點(diǎn)(0,1).名師點(diǎn)析

1.當(dāng)x=0時(shí),y=a0=1,即指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)(0,1);若a=1,指數(shù)函數(shù)y=ax即為y=1,圖象為經(jīng)過點(diǎn)(0,1)與x軸平行的直線.所以圖象過定點(diǎn)(0,1).2.根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義,只有形如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)才叫指數(shù)函數(shù),微思考指數(shù)函數(shù)中,為什么要規(guī)定a>0,且a≠1?提示如果a<0,那么ax對某些x值沒有意義,如(-4無意義;如果a=0,那么當(dāng)x>0時(shí),ax=0,當(dāng)x≤0時(shí),ax無意義;如果a=1,y=1x=1是個(gè)常數(shù)函數(shù),沒有研究的必要.所以規(guī)定a>0,且a≠1,此時(shí)x可以是任意實(shí)數(shù).二、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域:R(2)值域:(0,+∞)(3)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=1(4)當(dāng)x<0時(shí),0<y<1;當(dāng)x>0時(shí),y>1(4)當(dāng)x<0時(shí),y>1;當(dāng)x>0時(shí),0<y<1.(5)在R上是增函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大;當(dāng)x值趨近于負(fù)無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于0(5)在R上是減函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于0;當(dāng)x值趨近于負(fù)無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大2.函數(shù)y=ax和y=bx函數(shù)值的大小關(guān)系

x<0x=0x>00<a<b<1ax>bx>1ax=bx=10<ax<bx<1a>b>10<ax<bx<1ax=bx=1ax>bx>1底數(shù)a對函數(shù)圖象的影響當(dāng)a>1時(shí),a的值越大,圖象越靠近y軸,增加的速度越快;當(dāng)0<a<1時(shí),a的值越小,圖象越靠近y軸,減少的速度越快3.一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax和y=()x(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱,且它們在R上的單調(diào)性相反.名師點(diǎn)析

1.指數(shù)函數(shù)的圖象,既不關(guān)于原點(diǎn)對稱,也不關(guān)于y軸對稱,所以指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).2.指數(shù)函數(shù)的圖象永遠(yuǎn)在x軸的上方.底數(shù)越大,圖象越高,簡稱“底大圖高”.微判斷判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)指數(shù)函數(shù)y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函數(shù).(

)(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).(

)(3)所有的指數(shù)函數(shù)圖象過定點(diǎn)(0,1).(

)(4)函數(shù)y=a|x|與函數(shù)y=|ax|的圖象是相同的.(

)答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×微練習(xí)(1)若指數(shù)函數(shù)y=(a-2)x是R上的增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

(2)函數(shù)y=2-x的圖象是(

)解析(1)由函數(shù)y=(a-2)x是R上的增函數(shù),得a-2>1,即a>3.答案(1)(3,+∞)

(2)B課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一指數(shù)函數(shù)的概念例1(1)若指數(shù)函數(shù)f(x),滿足f(2)-f(1)=6,則f(3)=

.

(2)已知函數(shù)y=(a2-3a+3)ax是指數(shù)函數(shù),求a的值.(1)解析設(shè)指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0,且a≠1),則a2-a=6,得a=-2(舍去)或a=3,于是f(3)=33=27.答案27反思感悟

1.判斷一個(gè)函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)的方法(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,且a≠1,x∈R)這一結(jié)構(gòu)形式.(2)明特征:指數(shù)函數(shù)的解析式具備的三個(gè)特征,只要有一個(gè)特征不具備,則不是指數(shù)函數(shù).2.已知某個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù),求參數(shù)值的步驟(1)列:依據(jù)指數(shù)函數(shù)解析式所具備的三個(gè)特征,列出方程(組)或不等式(組).(2)解:解所列的方程(組)或不等式(組),求出參數(shù)的值或范圍.變式訓(xùn)練

1下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是

.(填序號(hào))

解析①y=5x符合指數(shù)函數(shù)的定義,是指數(shù)函數(shù);②y=4x-1中,指數(shù)是x-1而非x,不是指數(shù)函數(shù);③y=-3x中,系數(shù)是-1而非1,不是指數(shù)函數(shù);⑦y=(a+3)x中,底數(shù)a+3不一定滿足“大于0,且不等于1”的條件,不一定是指數(shù)函數(shù).答案①⑥

探究二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用1.指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題例2已知函數(shù)f(x)=ax+1+3(a>0,且a≠1)的圖象一定過點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

.

解析∵當(dāng)x+1=0,即x=-1時(shí),f(-1)=a0+3=4恒成立,故函數(shù)f(x)=ax+1+3的圖象恒過點(diǎn)(-1,4).答案(-1,4)反思感悟

指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題的解法因?yàn)楹瘮?shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)(0,1),所以對于函數(shù)f(x)=kag(x)+b(k,a,b均為常數(shù),且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,則f(x)的圖象過定點(diǎn)(m,k+b).即令指數(shù)等于0,解出相應(yīng)的x,y,則點(diǎn)(x,y)為所求定點(diǎn).延伸探究本例中函數(shù)改為f(x)=5·a3x-2+4呢?2.畫指數(shù)型函數(shù)的圖象例3畫出下列函數(shù)的圖象,并說明它們是由函數(shù)f(x)=2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的.(1)y=2x-1;(2)y=2x+1;(3)y=-2x;(4)y=2|x|.分析作出函數(shù)y=2x的圖象,利用平移變換與對稱變換求解.解(1)如圖①,y=2x-1的圖象是由y=2x的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到的.(2)如圖①,y=2x+1的圖象是由y=2x的圖象向上平移1個(gè)單位長度得到的.(3)如圖①,y=-2x的圖象與y=2x的圖象關(guān)于x軸對稱.(4)函數(shù)y=2|x|為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對稱,且其在x≥0上的圖象與y=2x的圖象一致,可得y=2|x|的圖象如圖②所示.反思感悟

變換作圖法及注意點(diǎn)(1)平移變換及對稱變換:(2)翻折變換:①將函數(shù)y=f(x)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方,替代原x軸下方部分,并保留y=f(x)的圖象在x軸上及其上方部分即可得到函數(shù)y=|f(x)|的圖象.②將函數(shù)y=f(x)的圖象在y軸右側(cè)的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸左側(cè),替代原y軸左側(cè)部分,并保留y=f(x)的圖象在y軸上及其右側(cè)的部分即可得到函數(shù)y=f(|x|)的圖象.(3)利用變換作圖法作圖要注意以下兩點(diǎn):①選擇哪個(gè)指數(shù)函數(shù)作為起始函數(shù);②要注意平移的方向及單位長度.變式訓(xùn)練

2函數(shù)y=的圖象有什么特征?你能根據(jù)圖象指出其值域和單調(diào)區(qū)間嗎?∴原函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.由圖象可知值域是(0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0],單調(diào)遞減區(qū)間是[0,+∞).3.指數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別例4如圖是指數(shù)函數(shù):①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的圖象,則a,b,c,d與1的大小關(guān)系是(

)A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c解析(方法一)①②中函數(shù)的底數(shù)大于0且小于1,在y軸右邊,底數(shù)越小,圖象向下越靠近x軸,故有b<a,③④中函數(shù)的底數(shù)大于1,在y軸右邊,底數(shù)越大,圖象向上越靠近y軸,故有d<c.故選B.(方法二)作直線x=1,與函數(shù)①②③④的圖象分別交于A,B,C,D四點(diǎn),將x=1代入各個(gè)函數(shù)可得函數(shù)值等于底數(shù)值,所以交點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大,則對應(yīng)函數(shù)的底數(shù)越大.由圖可知b<a<1<d<c.故選B.答案B反思感悟

指數(shù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)指數(shù)函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象的相對位置與底數(shù)大小的關(guān)系:在y軸右側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小;在y軸左側(cè),圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由小變大.無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象與直線x=1相交于點(diǎn)(1,a),因此,直線x=1與各圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即底數(shù),由此可得底數(shù)的大小.變式訓(xùn)練

3若函數(shù)y=ax-(b+1)(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限,則必有(

)A.0<a<1,b>0 B.0<a<1,b<0C.a>1,b<0 D.a>1,b>0解析由指數(shù)函數(shù)y=ax圖象的性質(zhì)知函數(shù)y=ax的圖象過第一、二象限,且恒過點(diǎn)(0,1),而函數(shù)y=ax-(b+1)的圖象是由y=ax的圖象向下平移(b+1)個(gè)單位長度得到的,如圖,故若函數(shù)y=ax-(b+1)的圖象過第一、三、四象限,則a>1,且b+1>1,從而a>1,且b>0.故選D.答案D探究三利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較冪值大小例5比較下列各題中兩個(gè)值的大小:解(1)(單調(diào)性法)由于2.53與2.55.7的底數(shù)都是2.5,故構(gòu)造函數(shù)y=2.5x,而函數(shù)y=2.5x在R上是增函數(shù).又3<5.7,∴2.53<2.55.7.(3)(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,則2.3-0.28<0.67-3.1.反思感悟

比較冪的大小的常用方法

延伸探究比較下面兩個(gè)數(shù)的大小:(a-1)1.3與(a-1)2.4(a>1,且a≠2).解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.若a-1>1,即a>2,則y=(a-1)x是增函數(shù),∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-