2023-2024學(xué)年北師大版必修第一冊 第六章　§3　用樣本估計(jì)總體分布 課件（39張）

激趣誘思我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出.某市政府為了節(jié)約生活用水,計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理,即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a,用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi),超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).如果希望85%以上的居民的日常生活不受影響,那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理?你認(rèn)為較為合理地確定出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn),需要做哪些工作?知識點(diǎn)撥一、頻率分布表與頻率分布直方圖1.基本概念名稱概念頻數(shù)、頻率將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個(gè)組,各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),叫作該組的頻數(shù).每組頻數(shù)除以全體數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)的商叫作該組的頻率.頻率反映該組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小樣本的頻率分布根據(jù)隨機(jī)所抽樣本的大小,分別計(jì)算某一事件出現(xiàn)的頻率,這些頻率的分布規(guī)律(取值狀況)就叫作樣本的頻率分布極差若一組數(shù)據(jù)的最小值為a,最大值為b,則b-a的差就叫作極差組距把所有數(shù)據(jù)分成若干組,每個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離稱為組距2.頻率分布表和頻率分布直方圖的意義從一個(gè)總體得到一個(gè)包含大量數(shù)據(jù)的樣本時(shí),我們很難從一個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)中直接看出樣本所含的信息.如果把這些數(shù)據(jù)整理成頻率分布表或頻率分布直方圖,就可以比較清楚地看出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布,從而估計(jì)總體的分布情況.用樣本估計(jì)總體,是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個(gè)基本思想方法,而對于總體分布,我們總是用樣本頻率分布對它進(jìn)行估計(jì).3.頻率分布表與頻率分布直方圖的制作步驟(1)頻率分布是指從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度,來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律.(2)一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.(3)畫頻率分布直方圖的一般步驟為:第一步,求極差.第二步,確定組距和組數(shù).為了方便起見,組距的選擇應(yīng)力求“取整”,極差、組距、組數(shù)有如下關(guān)系:第三步,分組.通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間,最后一組取閉區(qū)間.第四步,列頻率分布表.統(tǒng)計(jì)各組數(shù)據(jù)的頻數(shù),計(jì)算頻率,填入表格中,完成頻率分布表.第五步,依據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖.畫圖時(shí),以橫軸表示樣本數(shù)據(jù),縱軸(小長方形的高)表示頻率與組距的比值.名師點(diǎn)析

頻率分布直方圖的特征總體分布情況可以通過樣本頻率分布情況來估計(jì),樣本頻率分布是總體分布的一種近似表示,頻率分布表和頻率分布直方圖有以下特征:(1)從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢.(2)從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.(3)頻率分布表和頻率分布直方圖由樣本決定,因此它們會隨樣本的變化而變化.(4)若固定分組數(shù),隨著樣本容量的增加,頻率分布表中各個(gè)頻率會穩(wěn)定在某一個(gè)值的附近,從而頻率分布直方圖中的各個(gè)小長方形的高度也會穩(wěn)定在特定的值上.微思考1繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意什么問題?④同樣一組數(shù)據(jù),如果組距不同,橫軸、縱軸單位長度不同,得到的頻率分布直方圖的形狀也會不同,不同的形狀給人們的印象也不同,這種印象有時(shí)會影響我們對總體的判斷.微思考2頻率分布表與頻率分布直方圖各有什么特點(diǎn)?提示頻率分布表反映具體數(shù)據(jù)在各個(gè)不同區(qū)間的取值頻率,但不直觀,數(shù)據(jù)的總體態(tài)勢不明顯.頻率分布直方圖能直觀地表明數(shù)據(jù)分布的形狀態(tài)勢,但失去了原始數(shù)據(jù).二、頻率折線圖在頻率分布直方圖中,按照分組原則,再在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間,從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開始,用線段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn),直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn),就可以得到一條折線,我們稱之為頻率折線圖.名師點(diǎn)析

頻率折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢,隨著樣本容量的不斷增加,分組的不斷加密,頻率折線就會越來越光滑,最終形成一條光滑的曲線.微拓展總體密度曲線的特征(1)在樣本頻率分布直方圖中,隨著樣本容量的增加,作圖時(shí)所分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線,如圖所示.(2)總體密度曲線反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比,它能給我們提供更加精細(xì)的信息,圖中陰影部分的面積,就是總體在區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的百分比.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一頻數(shù)與頻率的有關(guān)計(jì)算例1已知一個(gè)容量是40的樣本,把它分成六組,第一組到第四組的頻數(shù)分別是5,6,7,10,第五組的頻率是0.2,那么第六組的頻數(shù)是

,頻率是

.

答案4

0.1反思感悟

頻數(shù)與頻率的求解策略對于頻數(shù)與頻率的問題,首先要明確幾個(gè)等量關(guān)系,即各組的頻數(shù)之和等于樣本容量,各組的頻率之和為1,頻率=.在解題過程中,要明確頻數(shù)、頻率以及樣本容量之間的關(guān)系,弄清已知、未知,選擇合適的公式進(jìn)行解題.變式訓(xùn)練

1一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后組距與頻數(shù)如下表:組距[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間(0,50)上的頻率為

.

解析區(qū)間(0,50)包括四部分的數(shù)據(jù),在這四部分上的數(shù)據(jù)的頻數(shù)和是2+3+4+5=14,樣本容量為20,所以樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間(0,50)上的頻率為

=0.7.答案0.7探究二畫頻率分布直方圖、頻率折線圖例2某省為了了解和掌握2020年高考考生的實(shí)際答卷情況,隨機(jī)地取出了100名考生的數(shù)學(xué)成績,數(shù)據(jù)如下:(單位:分)135981021109912111096100103125971171131109210210910411210512487131971021231041041281091231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108(1)列出頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖和頻率折線圖;(3)估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績在[100,120)分之間的比例.分析先求極差.根據(jù)極差與數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)確定組距、組數(shù),然后按頻率分布直方圖的畫法繪制圖形.解在100個(gè)數(shù)據(jù)中,最大值為135,最小值為80,極差為135-80=55.取組距為5,則組數(shù)為

=11.(1)頻率分布表如下:分組頻數(shù)頻率[80,85)10.010.002[85,90)20.020.004[90,95)40.040.008[95,100)140.140.028[100,105)240.240.048分組頻數(shù)頻率[105,110)150.150.030[110,115)120.120.024[115,120)90.090.018[120,125)110.110.022[125,130)60.060.012[130,135]20.020.004合計(jì)1001.000.200(2)根據(jù)頻率分布表中的有關(guān)信息畫出頻率分布直方圖及頻率折線圖,如圖所示.(3)從頻率分布表中可知,這100名考生的數(shù)學(xué)成績在[100,120)分之間的頻率為0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,據(jù)此估計(jì)該省考生數(shù)學(xué)成績在[100,120)分之間的比例為60%.反思感悟

組距和組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn),將數(shù)據(jù)分組時(shí),組數(shù)力求合適,使數(shù)據(jù)的分布規(guī)律能較清楚地呈現(xiàn)出來,組數(shù)太多或太少都會影響對數(shù)據(jù)分布情況的了解,若樣本容量不超過120個(gè)時(shí),按照數(shù)據(jù)的多少常分為5組~12組,一般樣本容量越大,所分組數(shù)越多.延伸探究本例條件不變,制成頻率分布直方圖時(shí)分組如下,[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),[100,105),[105,110),[110,115),[115,120),[120,125),[125,130),[130,135].若90分或90分以上為及格,請計(jì)算該省考生數(shù)學(xué)成績的及格率.解列出頻率分布表如下

分組頻數(shù)頻率[80,85)10.01[85,90)20.02[90,95)40.04[95,100)140.14[100,105)240.24[105,110)150.15[110,115)120.12[115,120)90.09[120,125)110.11[125,130)60.06[130,135]20.02合計(jì)1001.00由表可得,及格(即90分或90分以上)的頻率為0.04+0.14+0.24+0.15+0.12+0.09+0.11+0.06+0.02=0.97.故及格率為97%.探究三頻率分布直方圖的應(yīng)用例3某校在5月份開展了科技月活動(dòng).在活動(dòng)中某班舉行了小制作評比,規(guī)定作品上交的時(shí)間為5月1日到31日,逾期不得參加評比.評委會把同學(xué)們上交作品的件數(shù)按5天一組分組統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖).已知從左到右各長方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1,第三組的頻數(shù)為12,請解答下列問題:(1)本次活動(dòng)共有多少件作品參加評比?(2)哪組上交的作品數(shù)最多,有多少件?(3)經(jīng)過評比,第四組和第六組分別有10件、2件作品獲獎(jiǎng),問這兩組哪組獲獎(jiǎng)率較高?分析(1)根據(jù)條件:從左到右各長方形的高的比為2∶3∶4∶6∶4∶1,第三組的頻數(shù)為12,計(jì)算參加評比的作品總數(shù);(2)根據(jù)頻率分布直方圖判斷哪組上交的作品最多,再由本組的頻率計(jì)算頻數(shù);(3)先分別由第四組和第六組的頻率計(jì)算該組的頻數(shù),再計(jì)算獲獎(jiǎng)率.解(1)設(shè)從左到右各長方形的高分別為2x,3x,4x,6x,4x,x.參加評比的作品總數(shù)為a件,又(2x+3x+4x+6x+4x+x)×5=1,解得a=60(件).(2)由頻率分布直方圖可以看出第四組上交的作品數(shù)量最多,共有6×x×5×a=18(件).反思感悟

1.頻率分布直方圖的性質(zhì)(1)因?yàn)樾【匦蔚拿娣e=組距×=頻率,所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小;(2)在頻率分布直方圖中,各小矩形的面積之和等于1;2.頻率分布直方圖反映了樣本在各個(gè)范圍內(nèi)取值的可能性,由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內(nèi)的頻率,可近似地估計(jì)總體在這一范圍內(nèi)取值的可能性.變式訓(xùn)練

2為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖如圖所示,圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?(2)若次數(shù)在110或110以上為達(dá)標(biāo),試估計(jì)該校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少?素養(yǎng)形成利用頻率分布直方圖進(jìn)行計(jì)算典例

某班50名學(xué)生在一次百米測試中,成績?nèi)拷橛?3秒與19秒之間,將測試結(jié)果按如下方式分成六組:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18),[18,19].如圖所示的是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x,成績大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為y,則x和y分別為(

)A.0.9,35 B.0.9,45C.0.1,35 D.0.1,45解析從頻率分布直方圖可以看出x=1-(0.06+0.04)=0.9,y=50×(0.36+0.34)=35.答案A1.一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組及各組的頻數(shù)如下

分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]頻數(shù)234542則樣本在區(qū)間[20,60)上的頻率是(

)A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8答案D當(dāng)堂檢測2.一個(gè)容量為32的樣本,已知某組數(shù)據(jù)的頻率為0.125,則該組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為(

)A.2 B.4 C.6 D.8解析0.125×32=4.答案B3.(2020天津,4)從一批零件中抽取80個(gè),測量其直徑(單位:mm),將所得數(shù)據(jù)分為9組:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如下頻率分布直方圖,則在被抽取的零件中,直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)的個(gè)數(shù)為(

)A.10 B.18 C.20 D.36解析在[5.43,5.47]的頻率為(6.25+5.00)×0.02=0.225,∴0.225×80=18.故選B.答案B4.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué),將他們的身高(單位:cm)數(shù)據(jù)繪制成